主题1 第1章 第1节 集合(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习（北师大版）

主题一 预备知识 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第1节　集　合 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 夯实 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 　 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 　　　 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 主题一 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 高考总复习 数学（BS新教材） ★[课程标准] 1．了解集合的含义，了解全集与空集的含义，体会元素与集合的属于关系． 2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 3．理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，会求给定子集的补集． 4．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，能使用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算． 1．集合的基本概念 (1)集合元素的性质：　确定性　、　无序性　、　互异性　. (2)元素与集合的关系 ①属于，记为　∈　；②不属于，记为　∉　. (3)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N＋(或N*) Z Q R (4)集合的表示方法：①　列举法　；②　描述法　；③　图示法　. 2．集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子 集 如果集合A的　每个元素　都是集合B的元素，就说A包含于B，或者说B包含A，若　A包含于B　，则称A是B的一个子集 A⊆B(或B⊇A) 真子集 如果A⊆B但A≠B，就说A是B的真子集 AB(或BA) 集合 相等 如果A⊆B并且B⊆A，就说两个集合　相等　 　A＝B　 3.集合的基本运算 　　表示 运算 　 文字语言 集合 语言 图形语言 记法 并 集 把所有集合A、B中的元素放在一起组成的集合，叫做A和B的并集，简称为并 {x|x∈A，或 x∈B} 　A∪B　 交 集 把所有　既属于A又属于B　的元素组成的集合，称为A，B的交集 {x|x∈A，且 x∈B} 　A∩B　 补 集 若A是全集U的子集，U中　不属于A　的元素组成的子集叫作A的补集 {x|x∈U， 且x∉A} 　∁UA　 1．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UB⊆∁UA. 3．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)∅＝{0}．(　　) (2)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集．(　　) (3)a在集合A中，可用符号表示为a⊆A.(　　) (4)N⊆N＋⊆Z.(　　) (5)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× ◆[小题查验] 1．若集合A＝{x∈N|x≤eq \r(2 025)}，a＝4eq \r(2)，则下面结论中正确的是(　　) A．{a}⊆A　　　　　　　 B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A 答案：D 2．(2023·上海卷)已知集合P＝{1,2}，Q＝{2,3}，若M＝{x|x∈P且x∉Q}，则M＝(　　) A．{1} B．{2} C．{1,2} D．{1,2,3} 解析：A　[由M＝{x|x∈P且x∉Q}知，M＝{1}．] 3．(2023·全国甲卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{2,5}，则N∪∁UM＝(　　) A．{2,3,5} B．{1,3,4} C．{1,2,4,5} D．{2,3,4,5} 解析：A　[因为全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，所以∁UM＝{2,3,5}，又N＝{2,5}， 所以N∪∁UM＝{2,3,5}．] 4．(BSD必修第一册P9例6改编)若集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤1或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________________. 解析：因为A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤1或x≥4}，所以A∪B＝R，A∩B＝{x|－1＜x≤1或4≤x＜5}． 答案：R　{x|－1＜x≤1或4≤x＜5} 5．(忽视空集讨论)已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是　________. 解析：由题易得M＝{a}，∵M∩N＝N，∴N⊆M， ∴N＝∅或N＝M，∴a＝0或a＝±1. 答案：0或1或－1 集合的基本概念 1．已知集合A＝{x|－1＜x＜3，x∈N}，B＝{C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为(　　) A．6　　　 B．7 C．8　 　 D．9 解析：C　[因为集合A＝{x|－1＜x＜3，x∈N}， 所以A＝{0,1,2}，因为B＝{C|C⊆A}， 所以B中的元素为A的子集，即B有23＝8个．] 2．(多选)已知集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，则m＋n的值可能为(　　) A．0 B.eq \f(1,2) C．1 D．2 解析：BD　[因为集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝0，,－2n＋1＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m≠0，,Δ＝4－4m＝0，,n＝－\f(－2,2m)，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝0，,n＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝1，)) 所以m＋n＝eq \f(1,2)或m＋n＝2.] 3．设A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，3，a2－3a，a＋\f(2,a)＋7))，B＝{|a－2|, 3}，已知4∈A且4∉B，则a的取值集合为________． 解析：因为4∈A，即4∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，3，a2－3a，a＋\f(2,a)＋7))， 所以a2－3a＝4或a＋eq \f(2,a)＋7＝4. 若a2－3a＝4，则a＝－1或a＝4； 若a＋eq \f(2,a)＋7＝4，即a2＋3a＋2＝0，则a＝－1或a＝－2. 由a2－3a与a＋eq \f(2,a)＋7互异，得a≠－1. 故a＝－2或a＝4.又4∉B，即4∉{|a－2|,3}， 所以|a－2|≠4，解得a≠－2且a≠6. 综上所述，a的取值集合为{4}． 答案：{4} 4．(2024·上海模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1，m，n}，若3－m∈A，n＋1∈A，则非零实数m＋n的可能取值集合是________． 解析：因为3－m∈A，所以3－m＝1或3－m＝2或3－m＝3， 解得m＝2或m＝1或m＝0，因为n＋1∈A，所以n＋1＝1或n＋1＝2或n＋1＝3， 解得n＝0或n＝1或n＝2， 又因为B＝{1，m，n}，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝0，,n＝2，)) 即m＋n＝2. 答案：{2} 与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合． (2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． (3)对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性． 集合间的基本关系 [典例]　(1)(2024·全国模拟)若集合A＝{x∈N|x≤eq \r(2 025)}，实数a满足，则下列结论正确的是(　　) A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A [解析]　因为＝1，所以a2－4eq \r(3)a＋12＝0，解得a＝2eq \r(3)， 因为A＝{x∈N|x≤eq \r(2 025)}，所以a∉A.所以{a}⊆A，a⊆A，{a}∈A均为错误表述． [答案]　D (2)(2024·吉安期中)已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，则使B⊆A成立的实数m的取值范围是________． [解析]　①当B＝∅时，则m＋1＞2m－1，即m＜2，此时B⊆A成立，符合题意． ②当B≠∅时， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤7，))解得2≤m≤4. 综上，实数m的取值范围是(－∞，4]． [答案]　(－∞，4] [互动探究] 在本例(2)中，若把“B⊆A”改为“A⊆∁UB”，则实数m的取值范围是________． 解析：①当B≠∅时，则m＋1≤2m－1，即m≥2， 因为集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}， 则∁UB＝{x|x＜m＋1或x＞2m－1}， 又A⊆∁UB，则m＋1＞7或2m－1＜－2， 解得m＞6或m＜－eq \f(1,2)，又m≥2，所以m＞6； ②当B＝∅时，则m＋1＞2m－1，即m＜2，此时∁UB＝R，符合题意． 综上所述，实数m的取值范围为m＞6或m＜2. 答案：(－∞，2)∪(6，＋∞) 由集合的关系求参数的关键点 由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且常要对参数进行讨论，注意区间端点的取舍． 提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况． 1．(2024·烟台模拟)若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{－1,2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为　________. 解析：当a＝0时，B＝∅，此时满足B⊆A， 当a＞0时，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\r(\f(2,a))，\r(\f(2,a))))，此时A，B集合只能是“蚕食”关系， 所以当A，B集合有公共元素－eq \r(\f(2,a))＝－1时，解得a＝2， 当A，B集合有公共元素eq \r(\f(2,a))＝2时，解得a＝eq \f(1,2)，故a的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，2)). 答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，2)) 2．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________． 解析：①若B＝∅，则Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2. ②若1∈B，则12＋m＋1＝0， 解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意； ③若2∈B，则22＋2m＋1＝0， 解得m＝－eq \f(5,2)，此时B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，不符合题意． 综上所述，实数m的取值范围为[－2,2)． 答案：[－2,2) 集合的基本运算 ►[命题点1]　求交集、并集　 1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　) A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2} C．{－2} D．{2} 解析：C　[由题意可知，集合N＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，所以M∩N＝{－2}．] 2．(2024·成都期末)设集合A＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，B＝{x|x＞0}，则(　　) A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R C．A∩B＝{x|0＜x＜1} D．A∪B＝{x|x＞1} 解析：C　[∵集合A＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，B＝{x|x＞0}，A＝(－3,1)，B＝(0，＋∞)，∴A∩B＝(0,1)．] ►[命题点2]　集合的交、并、补的综合运算　 1．(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|－1＜x＜2}，则{x|x≥2}＝(　　) A．∁U(M∪N) B．N∪∁UM C．∁U(M∩N) D．M∪∁UN [考题解读]　本题考查集合的交、并、补集运算，考查数学运算与数学抽象的核心素养．集合是高考每年必考知识点，一般以容易题目呈现，位于选择题的前3题的位置上，所给集合多为简单不等式的解集、离散的数集或点集，这种考查方式多年来保持稳定． 解析：A　[由题意可得M∪N＝{x|x＜2}， 则∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，选项A正确； ∁UM＝{x|x≥1}，则N∪∁UM＝{x|x＞－1}，选项B错误；M∩N＝{x|－1＜x＜1}，则∁U(M∩N)＝{x|x≤－1或x≥1}，选项C错误； ∁UN＝{x|x≤－1或x≥2}，则M∪∁UN＝{x|x＜1或x≥2}，选项D错误．] 2．(多选)已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是(　　) A．A∩B＝∅ B．A∪B＝{x|－2≤x≤3} C．A∪(∁RB)＝{x|x≤－1或x＞2} D．A∩(∁RB)＝{x|2＜x≤3} 解析：BD　[∵A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}， ∴A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1＜x≤2}，故A不正确； A∪B＝{x|－1＜x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，故B正确； ∵∁RB＝{x|x＜－2或x＞2}， ∴A∪(∁RB)＝{x|－1＜x≤3}∪{x|x＜－2或x＞2}＝{x|x＜－2或x＞－1}，故C不正确； A∩(∁RB)＝{x|－1＜x≤3}∩{x|x＜－2或x＞2}＝{x|2＜x≤3}，故D正确．] ►[命题点3]　利用集合的基本运算求参数的取值(范围)　 [典例]　(1)(2024·天津河东模拟)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，A∪B＝A，则实数a值构成的集合为(　　) A．{2}　　　　　　 B．{－1,2} C．{1,2} D．{0,2} [解析]　由A∪B＝A知：B⊆A，当a＋2＝3，即a＝1，则a2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，不符合；当a＋2＝a2，即a＝－1或a＝2.若a＝－1，则a2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，不符合；若a＝2，则A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，满足要求．综上，a＝2. [答案]　A (2)(2024·豫北名校联考)设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}，若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(4,3))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)) D．(1，＋∞) [解析]　A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，设函数f(x)＝x2－2ax－1，因为函数f(x)＝x2－2ax－1图象的对称轴为直线x＝a(a>0)，f(0)＝－1<0，根据对称性可知，若A∩B中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f2≤0，,f3>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－4a－1≤0，,9－6a－1>0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≥\f(3,4)，,a<\f(4,3)，))即eq \f(3,4)≤a<eq \f(4,3). [答案]　B 解集合运算问题应注意以下三点 (1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键． (2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图． 　提醒：Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心． 1．(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2　　 B．1　 C.eq \f(2,3)　　 D．－1 解析：B　[若a－2＝0，则a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不满足题意；若2a－2＝0，则a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，满足题意．] 2．(2023·全国甲卷)设集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，则∁U(M∪N)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ 解析：A　[因为整数集U＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，所以∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}．] 集合的新定义问题 [典例]　(2024·北京清华附中校考期中)对非空整数集合M及k∈N，定义M⊕k＝{m＋t|m∈M，t＝－k，－k＋1，…，k}，对于非空整数集合A，B，定义d(A，B)＝min{k∈N|A⊆B⊕k，B⊆A⊕k}． (1)设M＝{2,4,6}，请直接写出集合M⊕1； (2)设A＝{1,2,3,4，…，100}，d(A，B)＝1，求出非空整数集合B的元素个数的最小值； (3)对三个非空整数集合A，B，C，若d(A，B)＝4且d(B，C)＝1，求d(A，C)所有可能取值． [解]　(1)若M＝{2,4,6}， 则由集合新定义可知M⊕1＝{1,3,5}∪{2,4,6}∪{3,5,7}＝{1,2,3,4,5,6,7}． (2)设B有|B|个元素，下证|B|min＝34. 一方面，B＝{2,5,8，…，98,101}，则AB⊕0＝B， 所以d(A，B)≠0，即d(A，B)≥1， 而B⊆A⊕1＝{0,1,2,3,4，…，101}， A⊆B⊕1＝{1,2,3,4，…，102}， 这表明了d(A，B)＝1满足题意， 此时|B|＝eq \f(101－2,3)＋1＝34，故|B|min＝34； 另一方面，若|B|＝j≤33，不妨设B＝{b1，b2，…，bj}且b1＜b2＜…＜bj， 由题意可知A⊆B⊕1＝{b1－1，b1，b1＋1}∪{b2－1，b2，b2＋1}∪…∪{bj－1，bj，bj＋1}， 而B⊕1最多含有3j≤99个元素，当且仅当{bk－1，bk，bk＋1}(1≤k≤j)，两两不同且|B|＝j＝33时，等号成立， 但这与A有100个元素矛盾， 所以|B|＝j≥34. 综上所述：非空整数集合B的元素个数的最小值是34. (3)一方面：先来证明(M⊕k)⊕l⊆M⊕(k＋l)， M⊕k＝{m＋t|m∈M，t＝－k，－k＋1，…，k}＝{n∈Z|∃m∈M，|n－m|≤k}， 因此只要M1⊆M2，就有M1⊕k⊆M2⊕k， 而∀x∈(M⊕k)⊕l，∃p∈M⊕k，|x－p|≤l， 所以∃m∈M，|p－m|≤k， 所以|x－m|＝|x－p＋p－m|≤|x－p|＋|p－m|≤l＋k， 即∀x∈M⊕(k＋l)， 从而(M⊕k)⊕l⊆M⊕(k＋l)． 另一方面：如果d(A，B)＝p，d(B，C)＝q，d(A，C)＝r， 那么A⊆B⊕p，B⊆C⊕q，B⊕p⊆(C⊕q)⊕p⊆C⊕(p＋q)， 从而A⊆C⊕(p＋q)，同理C⊆A⊕(p＋q)， 因此由定义可得d(A，C)＝r≤d(A，B)＋d(B，C)＝p＋q， 即d满足距离的三角不等式； 所以在本题中，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)＝4＋1＝5，d(A，C)≥d(A，B)－d(B，C)＝4－1＝3， 即d(A，C)∈{3,4,5}， 取A＝{0}，B＝{4}，C＝{5}，可知d(A，C)＝5可能成立， 取A＝{0}，B＝{4}，C＝{3}，可知d(A，C)＝3可能成立， 取A＝{0}，B＝{4}，C＝{3,4}，可知d(A，C)＝4可能成立， 综上所述，d(A，C)所有可能取值为3或4或5. 集合新定义问题的方法和技巧 (1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； (2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； (3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； (4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题． (2024·北京顺义高三统考期末)给定正整数n≥3，设集合A＝{a1，a2，…，an}．若对任意i，j∈{1，2，…，n}，ai＋aj，ai－aj两数中至少有一个属于A，则称集合A具有性质P. (1)分别判断集合{1,2,3}与{－1,0,1,2}是否具有性质P； (2)若集合A＝{1，a，b}具有性质P，求a＋b的值； (3)若具有性质P的集合B中包含6个元素，且1∈B，求集合B. 解：(1)集合{1,2,3}中的3＋3＝6∉{1,2,3},3－3＝0∉{1,2,3}， 所以集合{1,2,3}不具有性质P， 集合{－1,0,1,2}中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，两数中至少有一个属于集合{－1,0,1,2}，所以集合{－1,0,1,2}具有性质P； (2)若集合A＝{1，a，b}具有性质P， 记m＝max{1，a，b}，则m≥1， 令ai＝aj＝m，则2m∉{1，a，b}， 从而必有0∈{1，a，b}， 不妨设a＝0，则A＝{1,0，b}，b≠0且b≠1， 令ai＝1，aj＝b，则{1＋b,1－b}∩{1,0，b}≠∅，且{1＋b，b－1}∩{1,0，b}≠∅，b≠0且b≠1， 以下分类讨论： ①当1＋b∈{1,0，b}时，若1＋b＝0⇒b＝－1，此时，A＝{1,0，－1}满足性质P； 若1＋b＝1⇒b＝0，舍；若1＋b＝b，无解； ②当1＋b∉{1,0，b}时，则{1－b，b－1}⊆{1,0，b}，注意b≠0且b≠1，可知b无解； 经检验A＝{1,0，－1}符合题意，综上a＋b＝－1； (3)首先容易知道集合B中有0，有正数也有负数， 不妨设B＝{－bk，－bk－1，…，－b1,0，a1，a2，…，al}，其中k＋l＝5,0＜a1＜…＜al,0＜b1＜…＜bk， 根据题意{a1－al，…，al－1－al}⊆{－bk，－bk－1，…，－b1}，且{bk－b1，bk－1－b1，…，b2－b1}⊆{a1，a2，…，al}，从而(k，l)＝(2,3)或(3,2)， ①当(k，l)＝(3,2)时，{b3－b1，b3－b2}＝{a1，a2}， 并且{－b3＋b1，－b3＋b2}＝{－b1，－b2}⇒ b3＝b1＋b2，a2－a1∈{a1，a2}⇒a2＝2a1， 由上可得(b2，b1)＝(b3－b1，b3－b2)＝(a2，a1) ＝(2a1，a1)，并且b3＝b1＋b2＝3a1， 综上可知B＝{－3a1，－2a1，－a1,0，a1,2a1}； ②当(k，l)＝(2,3)时，同理可得B＝{－2a1，－a1,0，a1,2a1,3a1}， 据此，当B中有包含6个元素，且1∈B时，符合条件的集合B有5个，分别是{－2，－1,0,1,2}， eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)，0，\f(1,2)，1，\f(3,2)))，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(1,3)，0，\f(1,3)，\f(2,3)，1))，{－3，－2，－1,0,1,2}或eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1，－\f(1,2)，0，\f(1,2)，1)). $$