4.1 因式分解课件2024-2025学年北师大版八年级数学下册

第四章 因式分解 4.1 因式分解 因式分解的定义 因式分解与整式乘法的关系.（重点、难点） 学习目标 新课导入 1. 单项式：若一个代数式是_______________，这样的代数式叫作单项式，单独______或________也是单项式. 数与字母的乘积 一个数 一个字母 2. 多项式：几个单项式的___叫作多项式. 和 3. 整式：单项式和多项式统称整式. 新课讲解 993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流. 新课讲解 小明是这样做的: 993－99 ＝99×992－99×1 ＝99(992－1) ＝99×9 800 ＝98×99×100. 所以，993－ 99能被100整除. 在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数 的积的形式. 993－99还能被哪些正整数整除？ 新课讲解 你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的形式 吗？与同伴交流. 新课讲解 练一练 下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？ (1) (a＋3)(a－3)＝a2－9 ； (2) m2－4＝(m＋2)(m－2)； (3) a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1； (4) 2mR＋2mr＝2m(R＋r). (2)(4)是因式分解．理由：只有(2)(4)是把一个多项式化成几个整式的积的形式． 解： 新课讲解 计算下列各式： (1)3x(x－1)＝ (2)m(a＋b－1)＝ (3)(m＋4)(m－4)＝ (4)(y－3)2＝ 根据上面的算式进行因式分解: (1)3x2－3x＝( )( )； (2)ma＋mb－m＝( )( ) (3)m2－16＝( )( )； (4)y2－6y＋9＝( )( ) 新课讲解 整式乘法与因式分解的关系： 整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一 个是和差化积，是两种互逆的变形． 即：多项式 整式乘积． x2－1 (x＋1)(x－1) 因式分解 整式乘法 新课讲解 例 典例分析 把各选项进行整式乘法的运算，将所得的积与 x2－3xy2对照，能够与x2－3xy2相等的选项必是 正确答案． 分析： 把x2－3xy2分解因式，结果正确的是( 　　) A．(x＋3xy)(x－3xy) B．x(x－3xy) C．x2(1－3xy2) D．x(x－3y2) D 新课讲解 练一练 1.连一连： x2－y2 9－25x2 x2＋6x＋9 xy－y2 (x＋3)2 y(x－y) (3－5x)(3＋5x) (x＋y)(x－y) 新课讲解 2.因为(a－2)2＝a2－4a＋4，所以a2－4a＋4可因式分解为____________． (a－2)2 课堂小结 1.因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形 叫做因式分解，也可称为分解因式． 2. 因式分解与整式乘法是一个互逆过程， 即：几个整式相乘 一个多项式 当堂小练 2.一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)，那么这个多项式是(　　) A．b6－4 B．4－b6 C．b6＋4 D．－b6－4 1.若x2＋3x＋m＝(x＋1)(x＋2)，则m的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B B 当堂小练 3.下列因式分解正确的是(　　) A．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 B．(x2－4)x＝x3－4x C．ax＋bx＝(a＋b)x　　　 D．m2－2mn＋n2＝(m＋n)2 C 拓展与延伸 把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是(　　) A．a＝2，b＝3 B．a＝－2，b＝－3 C．a＝－2，b＝3 D．a＝2，b＝－3 B 1.(北师8下P93)下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)12a2b=3a·4ab； (2)(x+3)(x-3)=x2-9； 解：不是因式分解.因为等号左边12a2b是单项式. 解：不是因式分解.因为等号左边（x+3）（x-3）是积的形式，右边x2-9是一个多项式，所以这是多项式的乘法运算. 课后练习 (3)4x2-8x-1=4x(x-2)-1； (4)2ax-2ay=2a(x-y). 解：不是因式分解.因为等号左边虽然是一个多项式，但是等号右边的4x（x-2）-1不是整式的积的形式. 解：是因式分解.因为等号左边2ax-2ay是一个多项式，且等号右边的2a（x-y）是几个整式的积的形式. 2.填空： (1)x2-3xy-　　　　=(x-4y)(x+y)；  (2)已知(3x+2)(x-5)=3x2-13x-10，则3x2-13x-10因式分解的结果是 ； (3)当k=　　　　时，二次三项式x2+kx+12因式分解的结果是(x-4)(x-3).  小结：抓住互逆的恒等变形这一关键点，求出未知项. 4y2　 （3x+2）（x-5） -7 4.(1)计算下列各式：  ①a(a+1)=　　　　　　 　；   ②(2a-b)(2a+b)=　　　　　　　；   (2)根据(1)中的计算结果，把下列各式因式分解：  ①a2+a=　　　　　　　　；   ②4a2-b2=　　　　　　 　　.  4a2-b2 a2+a a（a+1） （2a-b）（2a+b） 5.如果多项式x2-mx-21可以分解为(x+3)(x-7)， 那么m=　　　　.  小结：抓住恒等变形反推未知项. 4 6.利用1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形和2个长为a、宽为b的长方形可拼成一个正方形(如图所示)，请根据拼接前后图形的面积关系写出一个多项式的因式分解：　　　　　　　　　　.  a2+b2+2ab=（a+b）2 7.学习因式分解时，李老师在黑板上写下4个等式： ①15x2y=3x·5xy； ②(x+y)(x-y)=x2-y2； ③x2-x-2=(x+1)(x-2)； ④x2-3x+1=x. 其中从左到右变形，是因式分解的是(　　) A.①④ B.② C.③ D.③④ C 8.根据乘法运算的算式，把下列多项式因式分解： 乘法运算 因式分解 a(3a-5b)=3a2-5ab 3a2-5ab=_____________ (x-3y)(2x+y)=2x2-5xy-3y2 2x2-5xy-3y2=_______________ (x-2y)(x+2y)=x2-4y2 x2-4y2=_______________ (a-3b)2=a2-6ab+9b2 a2-6ab+9b2=__________ a（3a-5b）　 （x-3y）（2x+y） （x-2y）（x+2y） （a-3b）2 9.如果(x+5)，(x-3)都是多项式x2+kx-15的因式，那么k=　　　　.  2 ★10. (北师8下P92改编)利用因式分解的思想说明255+511能被30整除. 0.45 解：∵255+511=510+511=510×（1+5） =59×5×6=59×30， ∴255+511能被30整除. 请完成课本本节对应习题 布置作业 谢谢大家 $$