4.5.2用二分法求方程的近似解教案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

优秀教案系列 4.5.2　用二分法求方程的近似解 教学分析 · 教学目标 1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件. 2.了解二分法是求方程近似解的常用方法,能借助计算器用二分法求方程的近似解. · 评价目标 会用二分法求一个函数在给定区间内的零点,从而求得方程的近似解. · 教学重难点 重点:用“二分法”求方程的近似解. 难点:方程近似解所在初始区间的确定,利用二分法求给定精确度的方程的近似解. · 教法学法 结合本节课的具体内容,确立讨论法和启发引导法为主要教学方法.根据教学内容及教学重难点的分析,本节课采用讲解讨论相结合,自学辅导互相穿插的形式,以学生为主体,教师创设和谐、愉悦的环境及辅以适当的引导.同时,利用多媒体形象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性,以提高课堂教学效益. · 课时安排 1课时 · 教学准备 1.知识准备:函数零点、函数零点存在定理、方程的解 2.教具准备:多媒体课件、GGB软件 教学设计 [导入新课] 设置悬念 在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路,如何迅速查出故障所在? 如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多,每查一个点要爬一次电线杆,10 km长的线路大约有200多根电线杆呢. 可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆就能确定出故障的很小范围,你知道他是如何做到的吗? 如图,他首先从线段AB的中点C查找,用随身带的话机向两端测试,若发现AC段正常,则可断定故障在BC段,再查线段BC的中点D,这次发现BD段正常,则故障在CD段,再查线段CD的中点E……以此类推. 每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,所以要把故障发生的范围缩小到50~100 m,即一两根电线杆附近,只要查7次就够了. 情境问题 思考1　上述情境中,工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的? 提示 二分法. 思考2　工人师傅选择下次在哪个范围内爬电线杆的关键是什么? 提示 确立故障的范围. 思考3　如果把故障可能发生的范围缩小在200 m左右,至多需要爬几次电线杆? 提示 6次. (设计意图:通过实例让学生初步接触二分法,了解二分法的一般步骤,让学生感知“生活中处处有数学”.) [讲授新课] 了解概念 思考1　我们已经知道,函数f(x)=ln x+2x-6在区间(2,3)内存在一个零点.进一步的问题是,如何求出这个零点呢? 合作探究　如果能将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,就可以得到符合要求的零点的近似值.为了方便,可以通过取区间中点的方法,逐步缩小零点所在的范围. 取区间(2,3)的中点2.5,用计算工具算得f(2.5)≈-0.084.因为f(2.5)f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内. 再取区间(2.5,3)的中点2.75,用计算工具算得f(2.75)≈0.512.因为f(2.5)f(2.75)<0,所以零点在区间(2.5,2.75)内. 由于(2,3)⫌(2.5,3)⫌(2.5,2.75),所以零点所在的范围变小了.如果重复上述步骤,那么零点所在的范围会越来越小.这样,我们就可以通过有限次重复相同的步骤,将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间,区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值.为了方便,我们把区间的一个端点作为零点的近似值. 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 (2,3) 2.5 -0.084 (2.5,3) 2.75 0.512 (2.5,2.75) 2.625 0.215 (2.5,2.625) 2.562 5 0.066 (2.5,2.562 5) 2.531 25 -0.009 (2.531 25,2.562 5) 2.546 875 0.029 (2.531 25,2.546 875) 2.539 062 5 0.010 (2.531 25,2.539 062 5) 2.535 156 25 0.001 (设计意图:通过特殊的方程求解问题的探究,推广一般的方程求解问题的方法,即二分法,发展学生的逻辑推理、直观想象、数学抽象、数学运算核心素养.) 二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 思考2　(1)二分法所求出的方程的解都是近似解吗? 提示 不是的,如函数f(x)=x-2用二分法求出的解就是精确解. (2)是否所有的函数都可以用二分法求近似零点? 提示 不是的,如果函数零点两侧函数值同号,不适合用二分法求此零点近似值,如f(x)=|x|. (3)用二分法最后一定能求出函数的零点吗? 提示 不能,只有达到精确度后,所得区间内任一数才均可视为零点的近似值. (4)二分法的解题原理是什么? 提示 函数零点存在定理. 小试牛刀 例1　下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是(　　) 答案 C 解析 A中,函数无零点.B和D中,函数有零点,但它们在零点左右两侧的函数值符号均相同,因此它们都不能用二分法来求零点.而在C中,函数的图象是一条连续不断的曲线,图象与x轴有公共点,并且在零点的左右两侧的函数值符号相反,故选C. 跟踪训练1　若函数f(x)的图象如图所示,则其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　) A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3 答案 D 解析 函数的图象与x轴有4个公共点,所以零点的个数为4;左右两侧函数值异号的零点有3个,所以用二分法求解的个数为3.故选D. 概念深化 思考3　(1)用二分法求函数零点的近似值时,函数需要满足什么条件? 提示 函数需要满足的条件是:①f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断;②在区间[a,b]端点的函数值满足f(a)f(b)<0. (2)在《庄子·天下》中有一句话“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,若给所取木棍规定一个长度,是否就可以停止取半?同样给区间规定一个长度,是否也可以结束周而复始的运算? 提示 可以,所以用二分法求函数零点的近似值时,规定了精确度. 用二分法求函数零点近似值的步骤: 给定精确度ε,用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下: (1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0. (2)求区间(a,b)的中点c. (3)计算f(c),并进一步确定零点所在的区间: ①若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点; ②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c)),则令b=c; ③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c. (4)判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤(2)~(4). 小试牛刀 例2　用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]内零点的近似值(精确度为0.01). 解 经计算,f(1)<0,f(1.5)>0,所以函数在区间(1,1.5)内存在零点x0. 取区间(1,1.5)的中点x1=1.25,经计算f(1.25)<0, 因为f(1.25)f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5). 重复上述步骤,使零点所在的范围越来越小,得到函数的一个零点所在的区间,如下表: 零点所在区间 中点的值 中点函数值符号 (1,1.5) 1.25 f(1.25)<0 (1.25,1.5) 1.375 f(1.375)>0 (1.25,1.375) 1.312 5 f(1.312 5)<0 (1.312 5,1.375) 1.343 75 f(1.343 75)>0 (1.312 5,1.343 75) 1.328 125 f(1.328 125)>0 (1.312 5,1.328 125) 1.320 312 5 f(1.320 312 5)<0 则x0∈(1.320 312 5,1.328 125). 因为|1.328 125-1.320 312 5|=0.007 812 5<0.01, 所以函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]上零点的近似值可取为1.328 125. 规律方法　用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 (1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m,n](一般采用估计值的方法完成). (2)取区间端点的平均数c,计算f(c),确定有解区间是[m,c]还是[c,n],逐步缩小区间的“长度”,直到区间的两个端点符合精确度要求,终止计算,得到函数零点的近似值. (3)确定函数的零点个数时,要结合函数的单调性. 跟踪训练2　证明函数f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一零点,并求出这个零点的近似值(精确度为0.1). 解 ∵f(1)=-1<0,f(2)=4>0,即f(1)f(2)<0, 又f(x)是增函数,∴函数f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一零点.设该零点为x0,则x0∈(1,2). 取x1=1.5,f(1.5)≈1.328>0, ∵f(1)f(1.5)<0,∴x0∈(1,1.5). 取x2=1.25,f(1.25)≈0.128>0, ∵f(1)f(1.25)<0,∴x0∈(1,1.25). 取x3=1.125,f(1.125)≈-0.444<0, ∵f(1.125)f(1.25)<0,∴x0∈(1.125,1.25). 取x4=1.187 5,f(1.187 5)≈-0.160<0, ∵f(1.187 5)f(1.25)<0, ∴x0∈(1.187 5,1.25). ∵|1.25-1.187 5|=0.062 5<0.1, ∴可取x0=1.25,则函数的零点的近似值可取为1.25. (设计意图:让学生规范应用二分法的步骤解决问题.) 学以致用 例3　用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解(精确度为0.1). 解 令f(x)=2x3+3x-3,经计算,f(0)=-3<0, f(1)=2>0,因为f(0)f(1)<0, 所以函数f(x)在区间(0,1)内存在零点x0. 取区间(0,1)的中点0.5,f(0.5)<0, 因为f(0.5)f(1)<0,所以x0∈(0.5,1). 如此继续下去,得到方程的正实数解所在的区间,如下表: 零点所在区间 中点的值 中点函数值符号 (0,1) 0.5 f(0.5)<0 (0.5,1) 0.75 f(0.75)>0 (0.5,0.75) 0.625 f(0.625)<0 (0.625,0.75) 0.687 5 f(0.687 5)<0 则x0∈(0.687 5,0.75). 因为|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1, 所以方程2x3+3x-3=0的一个精确度为0.1的正实数的近似解可取为0.687 5. 规律方法　用二分法求方程的近似解,首先要选好计算的初始区间,这个区间既要包含所求的根,又要使其长度尽量小,其次要依据给定的精确度,及时检验所得区间的长度是否达到要求(达到给定的精确度),以决定是停止计算还是继续计算. 跟踪训练3　用二分法求方程2x+x=4在区间[1,2]内的近似解(精确度为0.2). 解 令f(x)=2x+x-4,则f(1)=2+1-4<0,f(2)=22+2-4>0. 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值及符号 (1,2) 1.5 0.33>0 (1,1.5) 1.25 -0.37<0 (1.25,1.5) 1.375 -0.031<0 则函数零点x0∈(1.375,1.5). ∵|1.375-1.5|=0.125<0.2, ∴2x+x=4在区间[1,2]内的近似解可取为1.375. 评价反馈 1.用二分法求方程log2x+x=2的近似解时,可以取的一个区间是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案 B 解析 令f(x)=log2x+x-2,则f(1)=log21+1-2=-1<0,f(2)=log22+2-2=1>0, 故f(1)f(2)<0, 由函数零点存在定理可知,函数的零点在区间(1,2)内, 故方程log2x+x=2的近似解可以取的一个区间是(1,2). 故选B. 2.若在用二分法求函数f(x)零点的近似值时,第一次所取的区间是[-3,5],则第三次所取的区间可能是(　　) A.[1,5] B.[-2,1] C.[1,3] D.[2,5] 答案 C 解析 ∵第一次所取的区间是[-3,5], ∴第二次所取的区间可能是[-3,1],[1,5], ∴第三次所取的区间可能是[-3,-1],[-1,1],[1,3],[3,5]. 故选C. 3.求方程x3-2x-3=0在区间(1,2)内的实数根,用二分法确定的下一个有根的区间是　　　　.  答案 (1.5,2) 解析 令f(x)=x3-2x-3,f(1)=-4<0,f(2)=1>0,f(1.5)=1.53-6<0, 所以确定的下一个有根的区间是(1.5,2). 4.以下是用二分法求方程x3+3x-5=0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程,请补充完整. 解 设函数f(x)=x3+3x-5,其图象在定义域R上是一条连续不断的曲线,且f(x)在R上单调递　　　　(填“增”或“减”).  先求f(0)=　　　,f(1)=　　　,f(2)=　　　.  所以f(x)在区间　　　　内存在零点x0.填写下表:  (可参考条件:f(1.125)<0,f(1.187 5)>0;符号填+、-) 区间 中点的值 中点函数值符号 区间长度 因为　　　　　　　　　　　　　　<0.1,  所以原方程的近似解可取为　　　　.  答案 增　-5　-1　9　(1,2) 区间 中点的值 中点函数值符号 区间长度 (1,2) 1.5 + 1 (1,1.5) 1.25 + 0.5 (1,1.25) 1.125 - 0.25 (1.125,1.25) 1.187 5 + 0.125 (1.125,1.187 5) 0.062 5 |1.187 5-1.125|=0.062 5　1.187 5 (设计意图:通过评价反馈练习题,巩固本节学习的内容.) 课堂小结 让学生回顾讨论,总结本节课学习内容: (1)知识:二分法的思想和步骤,函数零点的分类及二分法的适用范围. (2)思想:数形结合的思想、二分法思想、转化思想. (设计意图:培养学生及时梳理,系统总结新知识的习惯,掌握知识点的联系和思想方法的灵活运用.) 布置作业 完成教材第146页练习第1,2题;第155页习题4.5第1,3,4题. 板书设计 4.5.2　用二分法求方程的近似解 1.二分法定义　　　　　　　　　　　例1　　　　　　　例2 2.用二分法求方程的近似解的步骤　　　　 例3 小结 教学反思 本节通过学习用二分法求方程近似解的方法,使学生体会函数与方程之间的关系,通过一些函数模型的实例,让学生感受建立函数模型的过程和方法,体会函数在数学和其他学科中的广泛应用,进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$