精品解析：江苏省南京市联合体2024-2025学年八年级下学期月考数学试卷（2月份）

2024-2025学年江苏省南京市联合体八年级（下）月考 数学试卷（2月份） 一、选择题（共12小题，满分48分，每小题4分） 1. 若 则的值为（ ） A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 2. 在，，，，，这些数中，无理数的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 如图，已知小华的坐标为，小亮坐标为，则小东坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，由能得到的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，线段经过原点O，点C在y轴上，D为线段上一动点，若点，，，且，则长度的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 某公司生产的，两种大小不同的观赏水晶球，已知9个种水晶球与11个种水晶球的质量相同，分别从9个种水晶球和11个种水晶球中各拿出1个交换后，重新称重，此时9个水晶球比11个水晶球的质量轻，问：，两种水晶球的单个质量各为多少千克？设每个种水晶球的质量为，每个种水晶球的质量为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 沿的方向平移到的位置若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线和相交于点O，平分，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 相等的角是对顶角 C. 若，则 D. 正数与负数的和一定等于零 10. 若一个正数的平方根在数轴上分别对应A，B两点，且，则这个正数为（　　） A. 36 B. 9 C. 0 D. 12 11. 如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，，点E在上，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 13. 点A向下平移2个单位，再向左平移2个单位到点，则点A的坐标为______． 14. 下列数中：，，，，，，，所有无理数的和是________． 15. 如上图，把直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则______． 16. 方程组的解是________． 17. 关于x，y的方程组的解满足，则______． 18. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为______． 三、解答题（共7小题，满分78分） 19. （1）计算：； （2）求x的值：； （3）解方程组：． 20. 如图所示，三个顶点均在平面直角坐标系的格点上． （1）若把向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到，在图中画出，并直接写出三个顶点坐标； （2）求出的面积； （3）点为轴上一点，且的面积是面积的一半，求点坐标． 21. 请结合题意，在横线上填上合适的推理依据． 如图，，，， 求证：． 证明：（已知） （______） （已知） ____________（______） ______（______） 又（已知） （______） ____________（______） （______） ．（______） 22. 我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． （1）已知关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的二元一次方程组的解； （2）请用上面的换元法解方程组． 23. （1）若，都是实数，且，求的立方根； （2）已知的立方根是3，的算术平方根是3，是的整数部分，求的值． 24. 素材 若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买25杯A型咖啡，25杯B型咖啡需450元． 问题解决 任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的咖啡（两种都要），刚好花200元，问有几种购买方案？ 25. 如图1，在和中，．连接． （1）求证：； （2）将和绕点A向相反方向旋转，如图2，与交于点O，与交于点F． ①若，求的度数； ②连接，求证：平分； ③若G为上一点，，且，连接，直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省南京市联合体八年级（下）月考 数学试卷（2月份） 一、选择题（共12小题，满分48分，每小题4分） 1. 若 则的值为（ ） A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 2. 在，，，，，这些数中，无理数的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，和是无理数，共两个； 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的定义进行判断． 3. 如图，已知小华的坐标为，小亮坐标为，则小东坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据小华，小亮的坐标可确定坐标原点的位置，由此即可求出小东的坐标，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，如图所示， ∴小东的坐标是， 故选：． 【点睛】本题主要考查用坐标表示地理位置，根据题意可确定坐标原点，由此即可找出相应点的坐标，解题的关键是建立坐标系，并确定坐标系的原点的位置． 4. 下列图形中，由能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，对顶角相等．熟练掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行是解题的关键． 根据平行线的判定定理，对顶角相等对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：如图， A中能得到，故符合要求； B中能得到，故不符合要求； C中能得到，故不符合要求； D中不能得到，故不符合要求； 故选：A． 5. 如图，线段经过原点O，点C在y轴上，D为线段上一动点，若点，，，且，则长度的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、点，得出，，，最后利用垂线段最短及三角形的面积公式解决问题． 【详解】如图，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、点， ∵点，，， ∴，，， ∵垂线段最短， ∴当时有最小值， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴长度的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，掌握三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键． 6. 某公司生产的，两种大小不同的观赏水晶球，已知9个种水晶球与11个种水晶球的质量相同，分别从9个种水晶球和11个种水晶球中各拿出1个交换后，重新称重，此时9个水晶球比11个水晶球的质量轻，问：，两种水晶球的单个质量各为多少千克？设每个种水晶球的质量为，每个种水晶球的质量为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据题意可得等量关系：①9枚A种水晶球的重量枚B种水晶球的重量；②(10枚B种水晶球的重量枚A种水晶球的重量)(1枚B种水晶球的重量枚A种水晶球的重量) ，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设每个种水晶球的质量为，每个种水晶球的质量为，根据题意得： ． 故选：C 7. 沿的方向平移到的位置若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，根据图形平移，图形的大小不变，对应角、对应边相等即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，由平移的性质得：，   故选：B ． 8. 如图，直线和相交于点O，平分，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角垂直的定义，平角的定义，平分线的定义，对顶角的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴，则， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了角的平分线即把一个角分成两个相等的角的射线，垂直的定义，对顶角的性质，熟练掌握定义和性质是解题的关键． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 相等的角是对顶角 C. 若，则 D. 正数与负数的和一定等于零 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的判定，对顶角，利用平方根解方程，有理数的运算，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意； B、对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意； C、若，则，原命题是假命题，不符合题意； D、正数与负数的和不一定等于零，例如：，原命题是假命题，不符合题意； 故选A． 10. 若一个正数的平方根在数轴上分别对应A，B两点，且，则这个正数为（　　） A. 36 B. 9 C. 0 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，平方根，根据一个正数的平方根互为相反数，结合，得到这个正数的两个平方根为和，进行求解即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根在数轴上分别对应A，B两点，且， ∴这个正数的两个平方根为和， ∴这个正数为； 故选B． 11. 如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律探究性问题，按照反弹角度依次画图，探索反弹规律，即可求出答案． 【详解】解：根据反射角等于入射角画图如下，     由题意得，，最后再反射到，由此可知，每6次循环一次， ， 点的坐标与相同， ． 故选：D． 12. 如图，，点E在上，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是知晓“两直线平行，内错角相等”． 根据直角三角形的两个锐角互余、平行线的性质定理即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 13. 点A向下平移2个单位，再向左平移2个单位到点，则点A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移与坐标，设，根据平移可得，结合题意即可求解． 【详解】解：设，根据平移可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 下列数中：，，，，，，，所有无理数的和是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数，实数的加法运算，先化简各数，再根据无理数的定义找出所有的无理数，最后相加即可求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴无理数有，， ∴所有无理数的和为， 故答案为：． 15. 如上图，把直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则______． 【答案】34 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，余角定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； 先由两直线平行，同位角相等得到，再由三角板中角度的特点得到，即可得出答案． 【详解】解：如图所示： ， ， ， ， 故答案为：34． 16. 方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】①②③得出，求出④，④①求出，④②求出，再求出即可． 【详解】解：， ①②③，得， ④， ④①，得， ④②，得， ④③，得， 所以方程组的解是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，能把三元一次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键． 17. 关于x，y的方程组的解满足，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．让方程组中的两个方程直接相减得到，于是得出，结合已知，即可得出的值． 【详解】解：， ①②，得， ， ， ， ， 故答案为：3． 18. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为______． 【答案】##57度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同旁内角互补得出，再由两直线平行同位角相等即可得出答案． 【详解】解：如图： ， ∵水面和杯底互相平行， ∴， ∵， ∴， ∵水中的两条光线平行， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共7小题，满分78分） 19. （1）计算：； （2）求x的值：； （3）解方程组：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，立方根的性质以及实数的运算． （1）原式利用乘方的意义，绝对值的代数意义，以及二次根式性质，立方根定义计算即可求出值； （2）利用立方根的性质求出解即可； （3）方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 整理得， 开方得， 解得； （3）， 得：， 解得：， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为． 20. 如图所示，三个顶点均在平面直角坐标系的格点上． （1）若把向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到，在图中画出，并直接写出三个顶点坐标； （2）求出的面积； （3）点为轴上一点，且的面积是面积的一半，求点坐标． 【答案】（1）如下图所示， （2）6 （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）利用三角形面积公式求解； （3）设点，根据面积公式建立方程，解方程即可． 【小问1详解】 由图知三个顶点坐标为：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：设点， 根据题意得：， 解得：，或， ∴或． 21. 请结合题意，在横线上填上合适的推理依据． 如图，，，， 求证：． 证明：（已知） （______） （已知） ____________（______） ______（______） 又（已知） （______） ____________（______） （______） ．（______） 【答案】 垂直的定义；，同位角相等，两直线平行；，两直线平行，内错角相等；等量代换；，同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；垂直的定义 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质，进行作答即可． 【详解】略 22. 我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． （1）已知关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的二元一次方程组的解； （2）请用上面的换元法解方程组． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，得到，然后解方程组即可； （2）设，得到，然后解方程组即可； 【小问1详解】 解：设， 则原方程组可化为， ， 解得：； 【小问2详解】 设， 则原方程组可化为， 化简整理得， 解得：， ， 解得． 23. （1）若，都是实数，且，求的立方根； （2）已知的立方根是3，的算术平方根是3，是的整数部分，求的值． 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0求出，进而得到，再求出的值，即可根据立方根的定义求出答案； （2）根据立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，根据无理数的估算方法求出c的值，再求和即可得到答案． 【详解】解：（1）∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的立方根为3， ∴的立方根为3，； （2）∵的立方根是3，的算术平方根是3， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 素材 若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买25杯A型咖啡，25杯B型咖啡需450元． 问题解决 任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的咖啡（两种都要），刚好花200元，问有几种购买方案？ 【答案】任务1：款咖啡的每杯价格为8元，款咖啡每杯价格为10元 任务2：共有四种方案，①款20杯，款4杯；②款15杯，款8杯；③款10杯，款13杯；④款5杯，款16杯 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，任务一：根据素材中的数量关系列二元一次方程组，解方程组即可；任务二：设款咖啡为杯，款咖啡为杯，根据所给数量关系列二元一次方程，结合，均为正整数，解方程即可．正确列出方程（组）是解题的关键． 【详解】解：任务1：设款咖啡的每杯价格为元，款咖啡每杯价格为元， 由题可知：，解得， 答：款咖啡的每杯价格为8元，款咖啡每杯价格为10元； 任务2：设款咖啡为杯，款咖啡为杯，则． ， ，均为正整数， ，，，． 即有共有四种方案，分别为：①款20杯，款4杯； ②款15杯，款8杯； ③款10杯，款13杯； ④款5杯，款16杯． 25. 如图1，在和中，．连接． （1）求证：； （2）将和绕点A向相反方向旋转，如图2，与交于点O，与交于点F． ①若，求的度数； ②连接，求证：平分； ③若G为上一点，，且，连接，直接写出与的数量关系． 【答案】（1） 证明：， ， 即：， 在和中， ， ， ； （2）①； ②证明：过点A作于点M，于点N，如图所示： ， ， ∴， ， 平分； ③ 【解析】 【分析】（1）根据，推出，结合证明，即可得出结论； （2）①根据，得出，根据，结合三角形内角和定理即可得出答案； ②过点A作于点M，于点N，根据，得出，证明，即可证明结论； ③连接， 证明，得出，证明，根据等腰三角形三线合一得出，根据垂直平分线的性质得出，再根据，即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：根据解析（1）可知，， ， ， 又， ； ②略 ③解：；理由如下： 连接，如图3所示： ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，掌握全等三角形的判定与性质，熟悉“手拉手”模型的证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $