1.1.1&1.1.2 一次函数的图象与直线的方程&直线的倾斜角、斜率及其关系（教学课件）数学北师大版2019选择性必修第一册

1.1 一次函数的图象与直线的方程 1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系 第一章 直线与圆 北师大版2019选择性必修第一册·高二 前情回顾 坐 标 系 “点” “数” 有序数对或数组 几何 代数 代 方 数 法 研究几何 图形性质 直线 圆 几何 要素 平面直角 坐标系 直线的方程 圆的方程 代数 方法 几何 问题 在初中，我们知道一次函数的图象是一条直线，一次函数是二元一次方程。 章节导读 1.2直线的倾斜角、 斜率及其关系 1.3 直线 的方程 1.4两条直线的平行与垂直 1.5两条直线的交点坐标 直线的倾斜角 斜率 倾斜角与方向向量间的关系 一般式 、点法式 点斜式 、两点式 两条直线平行 两条直线垂直 1.6距离公式 两条直线的交点坐标 两点间的距离公式 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离公式 学 习 目 标 1 2 3 理解直线的倾斜角与直线斜率的概念. 从两个角度刻画直线的倾斜程度，体会数形结合的思想. 能掌握直线的倾斜角、斜率、方向向量之间的相互转换. 读教材 阅读课本P2-P7，5分钟后完成下列问题： 1. 确定一条直线的几何要素是什么？ 我们一起来探究“直线的倾斜角、斜率”吧！ 2. 直线的倾斜角的概念是什么？ 3. 直线的斜率的计算公式是什么？ 新课引入 1.以下两个楼梯有什么不同？ 2.用什么来刻画这种不同呢？ 倾斜角/高度与宽度的比值。 倾斜程度不同。 接下来我们一起探究，如何刻画图中两条蓝色的直线？ 学习过程 01 03 02 目录 1 直线方程与直线的倾斜角 3 题型训练 2 倾斜角、斜率、方向向量间的关系 那么，直线、一次函数和方程之间有什么样的关系呢？ 新知探究1 探究1 下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？ 这三个方程可以看成函数y=2x+1的函数值 分别为3，0，-1时，求自变量x的值；从图像来看这三个方程的解分别对应着二元一次方程y=2x+1在函数图象上A，B，C三点的横坐标. 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 y ＝ 2x+1 A B C 新知1 1. 一次函数的图象和直线方程： 一次函数的图象和直线方程 二元一次方程的解 一次函数图像上的点的坐标 一次函数图像的所有点坐标 即一条直线 二元一次方程的所有解 一般地，一次函数的图象是一条直线，同时函数解析式 可以看作二元一次方程；在解析几何中研究直线时，就是利用直线 与方程的这种对应关系，建立直线的方程，并通过方程来研究直线的有关问题． 新知探究1 探究2 对于平面坐标系中的一条直线，如何利用坐标系确定它的位置？ y x o y x o 下面这些直线有什么区别？ 都过同一点， 但直线的方向不同。 直线的方向相同， 但直线不会经过同一点。 如何确定一条直线？ 两点确定一条直线 x y O l A B O P x y l1 l2 l3 l4 一个点和一个方向 确定一条直线 α4 新知探究1 思考 在直角坐标系中，过点 P 的一条直线绕 P 点旋转，不管旋转多少周， 它相对 x 轴的相对位置有几种情形？ x o y P x o y P x o y P x o y P 其它直线的方向向上 水平直线的方向向右 水平向右 右向上 垂直向上 左向上 直线的方向 新知2 直线的倾斜角 直线方向不同 直线的倾斜程度不同 也就是直线与x轴所成的角不同 思考：怎样描述这种“倾斜程度”的不同? O P x l1 l2 l3 l4 α4 直线与轴相交时,取轴为基准， 轴正方向与直线向上方向之间 所成的角，叫做直线的倾斜角。 新知2 直线的倾斜角 当直线 l 与 x 轴平行或重合时， 倾斜角为 倾斜角为直角， 倾斜角为锐角， 倾斜角为钝角， 直线的倾斜角 α 的取值范围为 2. 倾斜角的范围： 典例分析 任何一条直线 例1 判断正误. (1)在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角.（ ） (2)方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等.（ ） (3)方向不同的直线，倾斜角可能相等.（ ） (4)不存在两条直线的倾斜角相同.（ ） √ × √ × 方向确定且唯一 倾斜角确定且唯一 同一倾斜角 方向确定且唯一 直线不唯一：平行 典例分析 注意：倾斜角范围 例2 设直线l过原点且倾斜角为，若将直线l绕原点逆时针旋转45 得到直线l1则求直线的倾斜角1？ l x y O 1 l x y O 1 解： 如图所示 典例分析 例3 已知直线 l 向上方向与 y 轴正向所成的角为30°，则直线 l 的 倾斜角为____________. 注意：倾斜角范围 解： 如图所示 方法总结 任何一条直线 方向确定且唯一 倾斜角确定且唯一 同一倾斜角 方向确定且唯一 直线不唯一：平行 直线的倾斜角 α 的取值范围为 两个特殊角度：(1)当直线与轴平行或重合时，规定直线的倾斜角； (2)当直线轴垂直(与轴平行)时，直线的倾斜角 学习过程 01 03 02 目录 1 直线方程与直线的倾斜角 3 题型训练 2 倾斜角、斜率、方向向量间的关系 新知探究2 思考 用什么来刻画这种不同呢？ 倾斜角或高度与宽度的比值。 x y o 对边比邻边 怎样刻画倾斜角呢？ 正切函数 新知探究2 探究2 已知直线经过与的坐标有什么关系？ 如果直线经过与的坐标又有什么关系？ O x y O y x α α • • 两点确定一条直线 一个点和一个方向 新知探究2 思考： 如果直线经过两点，，， 那么与，的坐标有怎样的关系？ O y x α α • • 1. 直线斜率的定义： 我们把一条直线的的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率（slope）斜率通常用小写字母k 表示，即：k =tanα 新知2 倾斜角、斜率、方向向量间的关系 2. 倾斜角、斜率、方向向量间的关系： x y O 注：k值与直线上两点的顺序无关，斜率是定值． 当直线与x轴平行或重合时，公式是否成立？ 当直线与x轴垂直时，公式是否成立？ x o y P1 P2 成立，此时斜率k=0. 不成立，此时斜率不存在. y1=y2,斜率k=0; x1=x2,斜率不存在。 k＝ tanα = 直线的方向向量() 图1-6 新知2 倾斜角、斜率、方向向量间的关系 3. 倾斜角与斜率的变化规律： 图象 α 的大小 α = 0o 0o < α < 90o α = 90o 90o < α < 180o k 的范围 k = 0 k > 0 不存在 k < 0 k 的增减性   随α的增大而增大   随α 的增大而增大 倾斜角 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率 典例分析 例1 求满足下列条件的直线的斜率：(1) 经过点A(2，－8)，B(5，1)； (2) 经过点C(0，2)，D(2，－1)； (3) 经过点M(－1，3)，N(0，3)。 解：由经过两点的直线斜率的计算公式，可得： (1)kAB= (2)kCD= (3)kMN= 课本第4页 典例分析 解：因为kAB= kAC= kAD= 且直线l经过点A(－1，2)，所以点B，D在直线l上，点C不在直线l上。 例2 已知直线l经过点A(－1，2)，且斜率k = －2，判断B(1，－2)， C(0，4)，D(0，0)中，哪些点在直线l上，哪些点不在直线l上？ 课本第5页 典例分析 例3 已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k： (1)若0≤α≤，求斜率k的取值范围; (2)若≤α≤，求斜率k的取值范围； 课本第6页 解：(2)由正切函数的性质，可得当≤α<告时，k=tanα≥1； 当<a≤时，k=tanα≤－1；当0=时，斜率k不存在。 综上，斜率k的取值范围是{k|k≤－1或k≥1}； 解：(1)由0≤α≤及正切函数的性质，可得tan0 ≤tanα ≤tan， 即0≤tanα ≤， 所以斜率k的取值范围是{k|0≤k≤}； 典例分析 例3 已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k： (3)若－≤k≤－，求倾斜角α的取值范围； (4)若一1≤k≤，求倾斜角α的取值范围。 课本第6页 解：(3)由－≤k≤－，可得－≤tanα≤－，又0≤α<π，所以由正切函数 的性质，得倾斜角0的取值范围是{α|≤α≤}； (4)由一1≤k≤，可得一1≤tanα≤，又0≤α<π，所以由正切函数的性质， 得倾斜角α的取值范围是{α|0≤α≤或≤α<}. 典例分析 例4 课本第6页 典例分析 课本第7页 例5 已知直线l 的斜率为2，求它的一个方向向量的坐标？ 解： 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)（其中x1x2）为直线l上的两点，则直线l 的 一个方向向量v=(x2 － x1，y2－ y1). 由经过两点的直线斜率的计算公式，可得 2 = 即y2－ y1= 2(x2 － x1) 所以v = (x2－ x1，y2－ y1,) = (x2 －x1)(1，2)， 因此，(1,2)是直线l的一个方向向量的坐标. 典例分析 课本第7页 例6 根据下列条件，求直线l的倾斜角： 方法总结 求直线的斜率的三种方法: (1) 已知直线的倾斜角为 α ，且 α ≠ 90°，则k＝ tanα (2) 已知直线上两点坐标，则k＝ tanα = (3) 已知直线的一个方向向量 (x，y)，则k＝ 斜率k=0 倾斜角α=0° y1=y2 直线与x轴平行或重合 斜率k不存在 倾斜角α=90° x1=x2 直线与x轴垂直 两种特殊情况下的斜率问题: 学习过程 01 03 02 目录 1 直线方程与直线的倾斜角 3 题型训练 2 倾斜角、斜率、方向向量间的关系 倾斜角与斜率的应用 题型1 题型探究 例1 下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是( ) A.(4,2)与(－4,1) B.(0,3)与(3,0) C.(3，－1)与(2，－1) D.(－2,2)与(－2,5) D 解：　因为x1＝x2＝－2， 所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在. 倾斜角与斜率的应用 题型1 题型探究 例2 如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( ) A.k1＜k3＜k2 B.k3＜k1＜k2 C.k1＜k2＜k3 D.k3＜k2＜k1 A 解: 设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3， 则由图知0°＜α3＜α2＜90°＜α1＜180°， 所以tan α1＜0，tan α2＞tan α3＞0，即k1＜0，k2＞k3＞0. 倾斜角与斜率的应用 题型1 题型探究 例3 如图，，，，求直线，，的斜率， 并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 解：直线的斜率； 直线的斜率； 直线的斜率. 由可知， 直线与的倾斜角均为锐角，直线的倾斜角为钝角. 斜率求参数(范围)问题 题型2 题型探究 例4 若过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为 . 1 例5 已知经过点P(3,m)和点Q(m,－2)的直线的斜率为2，求m的值？ 题型探究 例6 已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时： (2)直线l与y轴平行？ (1)直线l与x轴平行？ 解 (1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，∴m＝1. (2)若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，∴m＝－1. 斜率求参数(范围)问题 题型2 斜率求参数(范围)问题 题型2 题型探究 例7 已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时： (1)直线l的方向向量的坐标为(3,1)？ (2)直线的倾斜角为45°？ (3)直线的倾斜角为锐角？ (2)由题意可知，直线l的斜率k＝1， (3)由题意可知，直线l的斜率k>0， 解得－1<m<1. 题型探究 求斜率、倾斜角的范围 题型3 (－∞，－1]∪[1，＋∞) 解 如图，k＝tan=1， k＝tan=－1 所以k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞) 题型探究 求斜率、倾斜角的范围 题型3 x y O －∞ 不存在 0 0 ＋∞ k= α ∈[0°，60°]∪(90°，180°) 题型探究 求斜率、倾斜角的范围 题型3 例10 已知点，，过点的直线与线段有公共点. (1)求直线l的斜率的取值范围？ (2)求直线l的倾斜角的取值范围？ 解：如图，由题意可知，， (1)要使l与线段有公共点，则或， 即直线l的斜率的取值范围是. (2)由题意可知直线的倾斜角介于直线与的倾斜角之间， 又的倾斜角是， 的倾斜角是，∴的取值范围是. 题型探究 求斜率、倾斜角的范围 题型3 例11 如图，已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)，若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围？ 解　如图所示，当D由B运动到C时， 直线AD的斜率由kAB增大到kAC， 方法总结 斜率范围问题 方法：内分外合 (1)所过点分别代端点求出两个斜率kPA,kPB; (2)判断点的横坐标是否在点A和点B横坐标构成的区间内： 点在内，取两边；点在外，取中间. 过点的直线与线段有公共点: ] 题型探究 求斜率、倾斜角的范围 题型3 例12 若已知点,另有两点,若过点的 直线与线段有交点,求直线的斜率取值范围？ 解: kPA kPB 所以直线的斜率取值范围是： 课堂小结 1.倾斜角的定义：直线与轴相交时,取轴为基准，轴正方向与直线 向上方向之间所成的角，叫做直线的倾斜角。 2.斜率的定义：我们把一条直线的的倾斜角α的正切值叫做这条直线的 斜率（slope）斜率通常用小写字母k 表示，即：k =tanα 3. 倾斜角、斜率、方向向量间的关系： 注：k值与直线上两点的顺序无关，斜率是定值． k＝ tanα = 直线的方向向量() 课堂小结 4. 倾斜角与斜率的变化规律： 图象 α 的大小 α = 0o 0o < α < 90o α = 90o 90o < α < 180o k 的范围 k = 0 k > 0 不存在 k < 0 k 的增减性   随α的增大而增大   随α 的增大而增大 倾斜角 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率 感谢聆听! 已知直线 的倾斜角 ，且 ，求直线 和 的斜率． 解： 由斜率公式k＝＝1，得m＝1. 解：　由＝2，得m＝. 即＝1，解得m＝0. 解：(1)直线l的方向向量的坐标为(3,1)，故k＝， 即＝，得m＝ . 即>0， 例8已知直线l的倾斜角的取值范围是，则直线l的斜率的 取值范围是 . 例9若某直线的斜率k∈(－∞，]，求该直线的倾斜角α的取值范围？ 所以直线AD的斜率的变化范围是. $$