期末模拟提升检测金卷02—2024～2025学年八年级下学期模拟测试卷【广东专版 北师大版】

2024~2025学年度第二学期数学期末模拟卷（广东专用） 八年级数学 时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．若分式无意义，则（    ） A． B． C． D． 3．下列代数式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 4．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，，如图2，则此时A，B两点之间的距离是（ ） A． B． C． D． 6．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 7．不等关系在生活中广泛存在．如图，小颖与小红现在的年龄分别是a岁，b岁．图中两人的对话体现的数学原理是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．如图，在中，，，交于点，，则的长是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在平行四边形中，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，点从点向点的运动的过程中，的长度（    ） A．保持不变 B．逐渐增加 C．先增加再减小 D．先减小再增加 10．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点、均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．化简：= ． 12．在中国传统建筑中，八角窗（图1）是一个独特的元素，其设计灵感源自古代的天文观测和宇宙哲学．八个角象征着“八方来风、四通八达”，寓意着开放与包容．如图2所示，这个正八边形的一个外角的度数为 ． 13．分解因式： ． 14．若关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 15．如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上，此时、、三点也恰好共线，若、分别是、的中点，则的度数是 ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．先化简，再求值：，其中． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，请画出，并求出线段平移的距离______； （2）将绕坐标原点按顺时针方向旋转得到，请画出． 18．如图，是四边形的对角线，，垂足分别为E，F，且．证明：四边形为平行四边形．    四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题9分，共27分） 19．整体代换作为一种数学思想方法在代数式化简求值中比较常用． 例如：已知，求代数式：的值． 解：． 请仿照上面的方法求解下面的问题： （1）已知：，求代数式的值； （2）边长为a，b()的长方形的周长为16，面积为15，求代数式的值． 20．如图，D是等边内一点，将绕点B顺时针旋转得到，连接，且． （1）求的度数； （2）若，求证：． 21．某商家准备购进甲、乙两种粽子进行销售，若甲种粽子的进价比乙种粽子的进价每盒少5元，其用90元购进甲种粽子的数量与用100元购进乙种粽子的数量相同． （1）求甲种粽子、乙种粽子的进价分别是每盒多少元？ （2）若该商家购进甲种粽子的数量是乙种粽子的3倍少5盒，两种粽子的总数不少于95盒，计划采购粽子的资金共5325元，已知该商家甲种粽子的销售价格为50元/盒，乙种粽子的销售价格为每件58元/盒，则购进的甲、乙两种粽子全部售出后，销售的总利润最多能达到多少元？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水的质量的比表示盐水的浓度． （1）现有m克盐水中含n克盐，则盐水的浓度为．加入a克水，则盐水浓度为．生活经验告诉我们，盐水加水后会变淡，由此得到不等式：______（填“”、“”或“”）． 【数学思考】 （2）将（1）中的“加入a克水”改为“加入a克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，此时盐水浓度为______，由此得到新的不等式______（用含a、m、n的式子表示），试证明你发现的新的不等式． 【结论运用】 （3）在中，三条边的长度分别为x、y、z，试运用（1）、（2）中的不等式，证明：． 23．综合探究 综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动． 问题初探： （1）如1图，点O是平行四边形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点C的对应点为，点B与点D重合，猜想和的数量关系，并说明理由； 迁移探究 （2）如2图，连接，与交于点P，猜想和的位置关系，并说明理由； 拓展探索 （3）如3图，若纸片沿过点O的线段折叠，点B不与重合，连接，猜想和的位置关系，并说明理由 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第二学期数学期末模拟卷（广东专用） 八年级数学 时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟悉掌握图形特征是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的特点逐一判断即可． 【详解】解：选项A为轴对称图形,不是中心对称图形，故不正确； 选项B既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不正确； 选项C是轴对称图形，不是中心对称图形，故不正确； 选项D是中心对称图形也是轴对称图形． 故选：D． 2．若分式无意义，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，掌握分式无意义的条件是分母为零成为解题的关键． 根据分式无意义的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴，解得：． 故选：A． 3．下列代数式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，而是整式．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是整式中的单项式，不是分式，故不符合题意； B．是整式中的单项式，不是分式，故不符合题意； C．的分母含字母，是分式，故符合题意； D．是整式中的单项式，不是分式，故不符合题意； 故选C． 4．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来(，向右画；，向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．根据不等式的基本性质求得不等式组的解集为，从而得解． 【详解】解：依题意得：不等式组的解集为． 即 故选B． 5．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，，如图2，则此时A，B两点之间的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，先根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，再结合等边三角形的性质作答即可． 【详解】解：∵衣架杆．， ∴是等边三角形 ∴ 故选：B 6．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是判断是否是因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解的定义． 根据因式分解的定义： 把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解,逐一判断即可． 【详解】解：．不符合几个最简整式的乘积的形式，不是因式分解，不符合题意，选项错误； ．不符合几个最简整式的乘积的形式，不是因式分解，不符合题意，选项错误； ．符合因式分解定义，符合题意，选项正确； ．不符合几个最简整式的乘积的形式，不是因式分解，不符合题意，选项错误． 故选：． 7．不等关系在生活中广泛存在．如图，小颖与小红现在的年龄分别是a岁，b岁．图中两人的对话体现的数学原理是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由图可知：，则：，即A选项符合题意． 故选：A． 8．如图，在中，，，交于点，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据含角的直角三角形的性质求得，由等边对等角以及三角形内角和定理求得，进而求得，再根据等边对等角得到，最后根据即可得解． 【详解】解：， 为直角三角形， 又，， ， ，， ， ， ，即， ， 是等腰三角形，即， ， 故选：D． 9．如图，在平行四边形中，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，点从点向点的运动的过程中，的长度（    ） A．保持不变 B．逐渐增加 C．先增加再减小 D．先减小再增加 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质，解题关键是掌握中位线定理．先根据中位线定理得出，再由此判断． 【详解】解：∵是的中点，是的中点， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴点从点向点的运动的过程中，的值先减小再增加， ∴的值先减小再增加． 故选：D． 10．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点、均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，勾股定理求出，，勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：作，交y轴于点F， 的坐标为 ∴， 是等边三角形，， ∴是的角平分线， ， ， 在中，， 即， 解得， ， ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．化简：= ． 【答案】 【分析】本题考查分式的约分，根据分式的基本性质，约分化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．在中国传统建筑中，八角窗（图1）是一个独特的元素，其设计灵感源自古代的天文观测和宇宙哲学．八个角象征着“八方来风、四通八达”，寓意着开放与包容．如图2所示，这个正八边形的一个外角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的外角和问题，根据正多边形的外角和为计算即可得解，熟练掌握正多边形的外角和为是解此题的关键． 【详解】解：正八边形的一个外角的度数为， 故答案为：． 13．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14．若关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式中对应不等式的解集，再根据大大小小找不到（无解）的口诀求解即可． 【详解】解： 解不等式②得：， ∵原不等式组无解， ∴， 故答案为：． 15．如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上，此时、、三点也恰好共线，若、分别是、的中点，则的度数是 ． 【答案】90 【分析】本题主要考查了旋转的性质，由旋转的性质可得，再由、、三点也恰好共线，可得，据此可得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∵、、三点也恰好共线， ∴， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴由旋转的性质可得， 故答案为：90． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，请画出，并求出线段平移的距离______； （2）将绕坐标原点按顺时针方向旋转得到，请画出． 【答案】(1)图形见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了平移的性质、旋转图形． （1）由点A平移后对应的点的坐标为，得出平移方式为：先向右平移5个单位长度，再向下平移3单位长度，即可得出答案； （2）将的三个顶点分别绕坐标原点O按顺时针方向旋转得到对应点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：∵点的对应点的坐标为， ∴先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到， 如图，即为所求， ∵点的对应点的坐标为， ∴线段先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到线段， ∴线段平移的距离为， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求． 18．如图，是四边形的对角线，，垂足分别为E，F，且．证明：四边形为平行四边形．    【答案】见解析 【分析】证明，推出，得出，进而可得结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 则在中， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法、证明三角形全等是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题9分，共27分） 19．整体代换作为一种数学思想方法在代数式化简求值中比较常用． 例如：已知，求代数式：的值． 解：． 请仿照上面的方法求解下面的问题： （1）已知：，求代数式的值； （2）边长为a，b()的长方形的周长为16，面积为15，求代数式的值． 【答案】(1) (2)240 【分析】（1）将所求式子因式分解后整体代入已知的式子求解即可； （2）由已知可得，进而利用完全平方公式的变形求出，再将所求的式子分解因式后整体代入求解即可． 【详解】（1）∵， ∴ ； （2）∵边长为a，b()的长方形的周长为16，面积为15， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了因式分解的应用和整体代入思想方法的运用，正确理解题意、掌握求解的方法是解题的关键． 20．如图，D是等边内一点，将绕点B顺时针旋转得到，连接，且． （1）求的度数； （2）若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，中垂线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据旋转得到，推出是等边三角形，进而得到，垂直得到，再根据角的和差关系求出的度数即可； （2）旋转得到，结合，得到，结合，得到垂直平分即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质得：， ， 是等边三角形， ， ， ， ； （2）根据题意得：， ， ， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ． 21．某商家准备购进甲、乙两种粽子进行销售，若甲种粽子的进价比乙种粽子的进价每盒少5元，其用90元购进甲种粽子的数量与用100元购进乙种粽子的数量相同． （1）求甲种粽子、乙种粽子的进价分别是每盒多少元？ （2）若该商家购进甲种粽子的数量是乙种粽子的3倍少5盒，两种粽子的总数不少于95盒，计划采购粽子的资金共5325元，已知该商家甲种粽子的销售价格为50元/盒，乙种粽子的销售价格为每件58元/盒，则购进的甲、乙两种粽子全部售出后，销售的总利润最多能达到多少元？ 【答案】(1)甲种粽子的进价为每盒45元，乙种粽子的进价为每盒50元 (2)665元 【分析】此题考查了分式方程、一次函数、一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是关键． （1）设乙种粽子的进价为每盒x元，则甲种粽子的进价为每盒元，用90元购进甲种粽子的数量与用100元购进乙种粽子的数量相同，据此列出方程，解方程并检验即可； （2）设购进乙种粽子y盒，则购进甲种粽子盒，该商家购进甲种粽子的数量是乙种粽子的3倍少5盒，两种粽子的总数不少于95盒，计划采购粽子的资金共5325元，据此列出不等式组，解不等式组得到且y为整数，再根据题意列出一次函数解析式，根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设乙种粽子的进价为每盒x元，则甲种粽子的进价为每盒元， 由题意得，， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义． 所以甲种粽子的进价为每盒45元，乙种粽子的进价为每盒50元， （2）设购进乙种粽子y盒，则购进甲种粽子盒， 由题意得， 解得且y为整数， 则其销售后总利润 化简整理得， 因为，w随着y的增大而增大。 因为 所以当时，总利润最大，利润最大值为665元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22．【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水的质量的比表示盐水的浓度． （1）现有m克盐水中含n克盐，则盐水的浓度为．加入a克水，则盐水浓度为．生活经验告诉我们，盐水加水后会变淡，由此得到不等式：______（填“”、“”或“”）． 【数学思考】 （2）将（1）中的“加入a克水”改为“加入a克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，此时盐水浓度为______，由此得到新的不等式______（用含a、m、n的式子表示），试证明你发现的新的不等式． 【结论运用】 （3）在中，三条边的长度分别为x、y、z，试运用（1）、（2）中的不等式，证明：． 【答案】（1）；（2）；；（3）见解析 【分析】本题主要考查了不等式的性质，正确得到，是解题的关键。 （1）根据盐水加水后会变淡可知加水后的盐水浓度小于未加水时盐水的浓度，据此可得答案； （2）根据盐水浓度等于盐的质量除以盐水的质量可得第一空答案，根据加盐后会变咸可知加盐后的盐水浓度大于未加盐时盐水的浓度，据此可得答案； （3）根据（1）（2）可得，，，，，，再由不等式的性质证明即可． 【详解】解：（1）由题意得，， 故答案为：； （2）由题意得，此时盐水浓度为， ∵盐水变得更咸了， ∴， 故答案为：；； （3）∵在中，三条边的长度分别为x、y、z， ∴， ∴，，， ∴； ∵，，， ∴， ∴． 23．综合探究 综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动． 问题初探： （1）如1图，点O是平行四边形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点C的对应点为，点B与点D重合，猜想和的数量关系，并说明理由； 迁移探究 （2）如2图，连接，与交于点P，猜想和的位置关系，并说明理由； 拓展探索 （3）如3图，若纸片沿过点O的线段折叠，点B不与重合，连接，猜想和的位置关系，并说明理由 【答案】（1），见解析 （2），见解析 （3），见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质： （1）由平行四边形的性质可得，，，推出，，证得，由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差关系，即可得出结论； （2）由折叠的性质可得，，，，结合平行四边形的性质，证得，可得，，进而推出，即可得出结论； （3）分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J，由（1）（2）可得，，，设，可得，证得，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 理由：是对角线的交点， ，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：， 理由：纸片沿过点O的线段折叠，点B与点D重合， ，，，， 在中，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 即， ， ， ， ； （3）解：， 分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J， 由（2）得， 在中，， ， 纸片沿过点O的线段折叠， ， ， ， 由（1）得， ， ，， 设， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$