专题24.1 放缩与相似形（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题24.1 放缩与相似形 教学目标 1.了解放缩运动的特点； 2. 能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 3. 掌握相似多边形的性质； 4.会判断指定对象的三角形或四边形是否相似。 教学重难点 1.重点 （1）由放缩运动指出图形的大小不同，但形状相同； （2）相似形的概念，会辨析两个图形是否属于相似形； （3）掌握相似多边形的性质并学会应用； 2.难点 （1）判断指定对象的三角形或四边形是否相似； （2）相似多边形的性质的综合应用。 知识点1 图形的放缩运动 相似形 1.大小不同、形状相同的图形 ①如右图所示，左侧的两面规格不同的五星红旗，旗上的五角是有大有小，但形状相同；右侧的两个圆，这两个圆的大小不同，但形状相同。 ②日常生活中，可以看到许多像这样形状相同、大小不一定相同的图形. 2.图形的放缩运动 ①对于左图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形ABCD,得到四边形A₁B₁C₁D₁;放大四边ABCD,得到四边形A₂B₂C₂D₂. ②图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动.将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形 . 图中，四边形 A₁B₁C₁D₁和四边形A₂B₂C₂D₂ 都与四边形ABCD形状相同. 3.相似形 ①相似形：我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形. ②相似的图形，它们的大小不一定相同.对于大小不同的两个相似形，可以看作大的图形由小的图形放大而得到，或小的图形由大的图形缩小而得到. ③对于大小相同的两个相似形，它们可以重个这时它们是全等形. 【即学即练】 1. 对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（　　） A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变 B．图形中线段的长度与角的大小都会改变 C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变 D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变 2. 下列图标中，不是相似图形的是（     ） A． B． C． D． 知识点2 相似三角形的性质 1.两个三角形是相似形：如图24-4,△A₁B₁C是△ABC通过放大后得到的图形，这两个三角形的形状相同，它们是相似形. 图24 - 4 2.相似三角形的性质 ①问题：对△ABC和△A₁B₁C₁ 进行观察和测量，可以发现∠A₁与∠A、∠B₁与∠B、∠C₁与 ∠C分别有怎样的大小关系? A₁B₁与AB、B₁C₁与 BC、A₁C₁与AC这三组边的长度的比值之间有怎样的大小关系? ②通过测量及计算，可以得：∠A₁与∠A、∠B₁与∠B、∠C₁与∠C对应相等； ③相似三角形的性质一：相似三角形对应角相等 ④相似三角形的性质二：相似三角形对应边的长度成比例 在上述问题中，由各组边的长度的对应比值相等，可知这两个三角形的边的长度对应成比例. ⑤△ABC放大为△A₁B₁C₁后，△ABC的角的大小不变，而它的各边“同样程度”地放大了.我们说△A₁B₁C₁ 与△ABC的形状相同，就是指它们的角对应相等，边的长度对应成比例. ⑥相似符号:△ABC、△A₁B₁C₁这两个三角形相似，用符号来表示，记作△ABC∽△A₁B₁C₁，符号“∽”读作“相似于”。 【即学即练】 1．如图，已知，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，，求的长． 知识点3 相似多边形 1.相似多边形 一般来说，两个多边形是相似形，就是说它们同为n边形而且形状相同.也就是这两个多边形的角对应相等，边的长度对应成比例. 如果四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且点A、B、C、D分别与点A1、B1、C1、D1对应，则记作：“四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1”. 2.相似多边形的性质 根据多边形相似的含义，得到： ①如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例. ②当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1. 【即学即练】 1．如图，四边形 四边形．    (1)______； (2)求边，的长度． 2．如图，四边形四边形，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3. 下列命题中，错误的是（     ） A．两个含有角的等腰三角形一定相似 B．两个矩形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个正方形一定相似 题型01 放缩运动 【典例1】．如图，将图形用放大镜放大，应该属于(    )． A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换 【变式1】．将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是（   ） A．边的长度 B．图形的周长 C．图形的面积 D．角的度数 【变式2】．如图，用放大镜将图形放大，应属何种变换　　 A．相似变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．对称变换 题型02 判断相似图形 【典例1】．下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列说法不正确的是（    ） A．客机模型与客机相似 B．用放大镜看到的图形与原图形相似 C．亮亮4岁时的照片与16岁时的照片相似 D．一棵树与它在水中的倒影相似 【变式2】．下面几对图形中，相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 题型03 相似形的概念辨析、填空 【典例1】．下列关于“相似形”的说法中正确的是（    ） A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形 C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例 【变式1】．相似的两个图形，它们的大小 (填“一定”，“不一定”，“一定不”)相同． 题型04 判断指定对象的三角形或四边形是否相似 【典例1】．下列选项中的两个图形一定相似的是（     ） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 【变式1】．下列说法正确的个数有（   ） ①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．下列命题中，错误的是（    ） A．两个含有角的等腰三角形一定相似 B．两个矩形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个正方形一定相似 【变式3】．下列选项中的两个图形一定相似的是（      ） A．两个等边三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个等腰梯形 题型05 网格问题 【典例1】．下列各组中两个图形不相似的是（    ） A． B．C．D． 【变式1】．下列和如图相似的图形是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，下列网格中各个小正方形的边长均为1个单位长度，阴影部分的图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．乙和丙 【变式3】．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（   ） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 题型06 相似三角形的性质 【典例1】．如图，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【变式1】．如图，，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 题型07 相似矩形的性质及应用 【典例1】．如图，矩形矩形，已知，，，则的长为（   ） A．6 B．10 C．11 D．12 【变式1】．如图，已知矩形ABCD与矩形DEFC相似，且AB＝2 cm，BC＝5 cm，求AE的长． 【变式2】．如图，把一张矩形纸片沿着和边的中点连线对折，要使矩形正好与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．如图，将矩形密铺在长为，宽为的矩形纸片右侧，若组成的新矩形与原矩形（图中阴影部分）相似，则（    ）    A．3 B．6 C． D． 题型08 相似多边形的性质—图形与数学符号 【典例1】．如图，四边形四边形，若 ，，则（   ）    A． B． C． D． 【变式1】．若如图所示的两个四边形相似，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，四边形四边形，求角的大小和的长度． 【变式3】．如图，四边形四边形，，． (1)___________； (2)求边的长度． 题型09 相似多边形的性质—文字语言 【典例1】．已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，    ，，，，，求，的长和的度数． 【变式1】．已知五边形五边形，，，，，则 ． 【变式2】．已知四边形与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别对应． (1)已知，，，求的度数； (2)已知，，，，，求四边形的周长． 一、单选题 1．下列选项中，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法中，不正确的是(    ) A．同一版的8开中国地图与32开的中国地图相似 B．同一张底片冲出的两张照片相似 C．校长办公桌上插的小国旗与学校升旗杆上飘扬的国旗相似 D．画图用的两块三角板是相似的 3．用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（  ） A．各边的长度 B．各内角的度数 C．五边形的周长 D．五边形的面积 4．下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（   ）    A．   B．   C．   D．   5．下列图形，一定相似的是（    ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个菱形 6．下列各组图形中，不一定相似的是（　　） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．各有一个角是50°的两个直角三角形 D．各有一个角是100°的两个等腰三角形 二、填空题 7．两面规格不同的五星红旗，旗上的五角星有大有小，但 相同；两个大小不同的圆， 相同． 8．形状相同的图形叫做 ． 两个图形相似是指它们的 相同，与它们的位置无关； 是一种特殊的相似图形，不仅形状相同，大小也相同． 9．下列命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③有一个角都是150°的两个菱形相似；④所有的正六边形都相似．其中是真命题的有 ．(填序号) 10．四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A、B、C、D分别与A'、B'、C'、D'对应，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的长是 ． 11．如图，四边形∽四边形，，，，则 ． 12．一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它形状相同的四边形最小边长为6，则另一个四边形的周长是 ． 13．如图，矩形中，，，剪去一个矩形后，余下的矩形矩形，则的长为 ． 三、解答题 14．请认真观察如图所示的各组中的两个图形，哪些是形状相同的图形？哪些是形状不同的图形？ 15．如图是两个相似的平行四边形，根据给出的条件，求，及边长m． 16．如图所示的两个五边形相似，求a，b，c，d的值． 17．如图，四边形相似于四边形，求，，的度数以及x，y，z的值． 18．把下图中左边的图形，加以放大后画出与它们相似的图形． 19．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开（对折）得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，求的值．      20．九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长厘米，宽厘米，想在边上找点E，作，交于点F，使矩形矩形（不全等） (1)求的长度： (2)小阳想进一步探究，是否任意一个矩形都可以画出平行线，使分成的两个矩形相似（不全等），如果能够，请直接写出能够实现的原矩形的长与宽的比值k的取值范围，如果不能，请说明理由． 试卷第1页，共3页 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24.1 放缩与相似形 教学目标 1.了解放缩运动的特点； 2. 能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 3. 掌握相似多边形的性质； 4.会判断指定对象的三角形或四边形是否相似。 教学重难点 1.重点 （1）由放缩运动指出图形的大小不同，但形状相同； （2）相似形的概念，会辨析两个图形是否属于相似形； （3）掌握相似多边形的性质并学会应用； 2.难点 （1）判断指定对象的三角形或四边形是否相似； （2）相似多边形的性质的综合应用。 知识点1 图形的放缩运动 相似形 1.大小不同、形状相同的图形 ①如右图所示，左侧的两面规格不同的五星红旗，旗上的五角是有大有小，但形状相同；右侧的两个圆，这两个圆的大小不同，但形状相同。 ②日常生活中，可以看到许多像这样形状相同、大小不一定相同的图形. 2.图形的放缩运动 ①对于左图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形ABCD,得到四边形A₁B₁C₁D₁;放大四边ABCD,得到四边形A₂B₂C₂D₂. ②图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动.将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形 . 图中，四边形 A₁B₁C₁D₁和四边形A₂B₂C₂D₂ 都与四边形ABCD形状相同. 3.相似形 ①相似形：我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形. ②相似的图形，它们的大小不一定相同.对于大小不同的两个相似形，可以看作大的图形由小的图形放大而得到，或小的图形由大的图形缩小而得到. ③对于大小相同的两个相似形，它们可以重个这时它们是全等形. 【即学即练】 1. 对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（　　） A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变 B．图形中线段的长度与角的大小都会改变 C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变 D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变 【答案】D 【解析】根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，可知对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变， 故选D． 点睛：本题主要考查相似图形的性质.理解相似图形的性质是解题的关键. 2. 下列图标中，不是相似图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义．根据相似图形的定义判断即可． 【解析】解：选项A，B，D是相似图形，选项C不是相似图形． 故选：C． 知识点2 相似三角形的性质 1.两个三角形是相似形：如图24-4,△A₁B₁C是△ABC通过放大后得到的图形，这两个三角形的形状相同，它们是相似形. 图24 - 4 2.相似三角形的性质 ①问题：对△ABC和△A₁B₁C₁ 进行观察和测量，可以发现∠A₁与∠A、∠B₁与∠B、∠C₁与 ∠C分别有怎样的大小关系? A₁B₁与AB、B₁C₁与 BC、A₁C₁与AC这三组边的长度的比值之间有怎样的大小关系? ②通过测量及计算，可以得：∠A₁与∠A、∠B₁与∠B、∠C₁与∠C对应相等； ③相似三角形的性质一：相似三角形对应角相等 ④相似三角形的性质二：相似三角形对应边的长度成比例 在上述问题中，由各组边的长度的对应比值相等，可知这两个三角形的边的长度对应成比例. ⑤△ABC放大为△A₁B₁C₁后，△ABC的角的大小不变，而它的各边“同样程度”地放大了.我们说△A₁B₁C₁ 与△ABC的形状相同，就是指它们的角对应相等，边的长度对应成比例. ⑥相似符号:△ABC、△A₁B₁C₁这两个三角形相似，用符号来表示，记作△ABC∽△A₁B₁C₁，符号“∽”读作“相似于”。 【即学即练】 1．如图，已知，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题．利用三角形内角和定理求出，再利用相似三角形的性质求解． 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2. 已知，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．根据可得，即可求解． 【解析】解：， ， ，，， ， ， 知识点3 相似多边形 1.相似多边形 一般来说，两个多边形是相似形，就是说它们同为n边形而且形状相同.也就是这两个多边形的角对应相等，边的长度对应成比例. 如果四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且点A、B、C、D分别与点A1、B1、C1、D1对应，则记作：“四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1”. 2.相似多边形的性质 根据多边形相似的含义，得到： ①如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例. ②当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1. 【即学即练】 1．如图，四边形 四边形．    (1)______； (2)求边，的长度． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质． （1）利用相似多边形的对应角相等可得：，，再根据四边形的内角和求出，即可求解求； （2）利用相似多边形的对应边成比例列式求解即可． 【解析】（1）解：四边形 四边形， ，， 又，， ， ，即， 故答案为：． （2）四边形 四边形， ，即， 解得：，． 2．如图，四边形四边形，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似多边形的性质、多边形内角和定理，根据相似多边形的性质求出，根据四边形内角和等于计算，得到答案． 【解析】解：∵四边形四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3. 下列命题中，错误的是（     ） A．两个含有角的等腰三角形一定相似 B．两个矩形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个正方形一定相似 【答案】B 【分析】利用相似图形的定义分别判断即可得到答案． 【解析】解：A．两个含有角的等腰三角形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误； B．两个矩形一定相似，对应角相等，但对应边不成比例，故两个矩形不一定相似，说法错误，符合题意，选项正确； C．两个等边三角形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误； D．两个正方形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误， 故选B． 【点睛】本题考查了相似图形的定义，熟练掌握相似多边形对应角相等，对应边成比例是解题关键． 题型01 放缩运动 【典例1】．如图，将图形用放大镜放大，应该属于(    )． A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换 【答案】B 【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案． 【解析】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换． 故选B． 【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出． 【变式1】．将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是（   ） A．边的长度 B．图形的周长 C．图形的面积 D．角的度数 【答案】D 【分析】根据相似图形的性质解答． 【解析】解：将图形甲通过放大得到图形乙没有被放大的是角的度数， 故选：． 【点睛】本题考查了相似图形的性质，正确理解图形的相似是解题的关键． 【变式2】．如图，用放大镜将图形放大，应属何种变换　　 A．相似变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．对称变换 【答案】A 【分析】根据轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换的概念并结合图形，得出正确结果． 【解析】解：由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小产生变化，属于相似变化． 故选A． 【点睛】本题主要考查相似变换的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换比较容易选错的答案是位似变换． 题型02 判断相似图形 【典例1】．下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形相似的概念：形状相同，大小不同的两个图形；根据图形相似的概念即可作出判断． 【解析】解：由图形相似的概念知，选项D中的两个图形不相似； 故选：D． 【变式1】．下列说法不正确的是（    ） A．客机模型与客机相似 B．用放大镜看到的图形与原图形相似 C．亮亮4岁时的照片与16岁时的照片相似 D．一棵树与它在水中的倒影相似 【答案】C 【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义，属于中考常考题型．根据相似图形的定义判断即可． 【解析】解：A．客机模型与客机相似，正确； B．用放大镜看到的图形与原图形相似，正确； C．因为亮亮4岁和16岁的长相是不完全相同的，所以不是相似图形，故不正确； D．一棵树与它在水中的倒影相似，正确； 故选C． 【变式2】．下面几对图形中，相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的判定．如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，结合题中选项中所给的两个图形，运用上述的定义进行判定即可． 【解析】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似； C选项中的两个图形形状相同，相似； 故选：C． 【变式3】．下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似图形的形状相同，进行判断即可． 【解析】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似，C选项中的两个图形形状相同，相似； 故选：C． 题型03 相似形的概念辨析、填空 【典例1】．下列关于“相似形”的说法中正确的是（    ） A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形 C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例 【答案】B 【分析】根据相似形的性质逐一判断即可． 【解析】解：A：相似形形状相同、大小不一定相同，但是可以相同，故选项A错误； B：图形的放缩运动可以得到相似形，选项B正确； C：如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形，故选项C错误； D：全等形是相似形的特例，故选项D错误． 【点睛】本题考查相似形的性质，解题的关键是熟练掌握相似形的相关知识． 【变式1】．相似的两个图形，它们的大小 (填“一定”，“不一定”，“一定不”)相同． 【答案】不一定 【分析】根据相似图形的定义判断即可． 【解析】相似的两个图形形状相同，但大小不一定相等，只有两个图形全等时大小才相等，全等是相似的一种特殊情况． 故答案为：不一定． 【点睛】本题考查相似图形，明确相似图形的定义是解题的关键． 题型04 判断指定对象的三角形或四边形是否相似 【典例1】．下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形的识别，熟练掌握相似图形的定义：对应边成比例，对应角相等的图形叫相似图形是解题的关键．根据相似图形的定义，对选项逐一分析判断即可． 【解析】解：A、两个平行四边形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； B、两个正方形对应边成比例，对应角相等，故一定相似，符合题意； C、两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； D、两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； 故选：B． 【变式1】．下列说法正确的个数有（  ） ①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等的两个图形相似，根据相似图形的定义，对各小题分析判断后利用排除法求解即可得出答案． 【解析】解：①所有正方形对应角相等，对应边一定成比例，所以一定都相似，故①符合题意， ②矩形的每个角都等于，即对应角相等，但对应边不一定成比例，故②不符合题意， ③菱形的四条边相等，即对应边成比例，但对应角不一定相等，故③不符合题意， ④等腰三角形的对应角不一定相等，故④不符合题意， 综上所述，符合题意的只有一个， 故选：． 【变式2】．下列命题中，错误的是（    ） A．两个含有角的等腰三角形一定相似 B．两个矩形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个正方形一定相似 【答案】B 【分析】利用相似图形的定义分别判断即可得到答案． 【解析】解：A．两个含有角的等腰三角形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误； B．两个矩形一定相似，对应角相等，但对应边不成比例，故两个矩形不一定相似，说法错误，符合题意，选项正确； C．两个等边三角形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误； D．两个正方形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误， 故选B． 【点睛】本题考查了相似图形的定义，熟练掌握相似多边形对应角相等，对应边成比例是解题关键． 【变式3】．下列选项中的两个图形一定相似的是（      ） A．两个等边三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个等腰梯形 【答案】A 【分析】根据相似图形的概念进行判断即可； 【解析】解：A、两个等边三角形，三个角都是60° ∴它们是相似图形，符合题意； B、两个矩形四个角都是90°，但对应边的比不一定相等 ∴它们不是相似图形，不符合题意； C、两个菱形角不一定相等 ∴它们不是相似图形，不符合题意； D、两个等腰梯形对应边的比不一定相等， ∴它们不是相似图形； 故选：A． 【点睛】本题考查的是相似图形的判断，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键． 题型05 网格问题 【典例1】．下列各组中两个图形不相似的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义进行分析即可． 【解析】我们把形状相同的图形叫相似图形，其特征是对应角相等，对应边成比例，观察图形得知，B图对应边的比不全相等，故不相似． 故选：B． 【点睛】此题考查了相似图形的判断，解题的关键是理解相似图形的定义． 【变式1】．下列和如图相似的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项分析，排除错误答案． 【解析】解：A、形状相同，但大小不一定相同，符合相似形的定义，故正确； B、只是大小没有改变，而形状发生了改变，故错误； C、只是大小没有改变，而形状发生了改变，故错误； D、只是大小没有改变，而形状发生了改变，故错误． 故选A． 【点睛】形状相同是识别相似形的关键，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换即为相似变换． 【变式2】．如图，下列网格中各个小正方形的边长均为1个单位长度，阴影部分的图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．乙和丙 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可，正确理解相似图形的概念是解题的关键． 【解析】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似图形， 故选：． 【变式3】．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（   ） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 【解析】解：观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同． 故选：D． 题型06 相似三角形的性质 【典例1】．如图，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质解答即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴， 故选：． 【变式1】．如图，，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是关键． 根据相似三角形对应角相等即可求解． 【解析】解：∵，且， ∴， 故选：B ． 【变式2】．如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握：相似三角形的对应角相等．据此解答即可． 【解析】解：∵，， ∴． 故选：D． 题型07 相似矩形的性质及应用 【典例1】．如图，矩形矩形，已知，，，则的长为（   ） A．6 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质得，进行计算即可得． 【解析】解：∵矩形∽矩形， ∴即， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】．如图，已知矩形ABCD与矩形DEFC相似，且AB＝2 cm，BC＝5 cm，求AE的长． 【答案】AE＝ 【分析】利用两个矩形相似，根据相似多边形的对应边成比例，先求出ED长，即可求出AE的长. 【解析】∵矩形ABCD与矩形DEFC相似， ∴＝，即＝， ∴DE＝， ∴AE＝AD－DE＝5－＝. 【点睛】本题题主要考查了相似多边形的性质，利用相似多边形对应边成比例的性质计算出线段的长度，解题找准对应边是关键. 【变式2】．如图，把一张矩形纸片沿着和边的中点连线对折，要使矩形正好与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键．根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得． 【解析】根据题意可知，矩形与矩形相似， ， 设,， 则， ，即， ，， 原矩形长与宽的比为， 故选：C． 【变式3】．如图，将矩形密铺在长为，宽为的矩形纸片右侧，若组成的新矩形与原矩形（图中阴影部分）相似，则（    ）    A．3 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似图形的性质，根据相似图形的对应边对应成比例，列出比例式进行求解即可． 【解析】解：由题意，得：， 设， ∵组成的新矩形与原矩形（图中阴影部分）相似， ∴， 解得：； ∴． 故选C． 题型08 相似多边形的性质—图形与数学符号 【典例1】．如图，四边形四边形，若 ，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似多边形的性质得到，然后根据四边形的内角和计算的度数即可． 【解析】解：四边形四边形， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例，也考查了四边形的内角和． 【变式1】．若如图所示的两个四边形相似，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应角相等求出∠1的度数，根据四边形内角和等于计算即可． 【解析】解：∵两个四边形相似， ∴， ∵四边形的内角和等于， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等是解题的关键． 【变式2】．如图，四边形四边形，求角的大小和的长度． 【答案】，，． 【分析】本题考查了相似多边形的性质，四边形的内角和，利用相似多边形的性质：对应边的比相等，对应角相等，即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【解析】解：∵四边形四边形， ∴，，， ∴， 解得， 在四边形中，． 【变式3】．如图，四边形四边形，，． (1)___________； (2)求边的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似多边形的性质； （1）根据相似多边形的性质得出对应角相等，根据四边形内角和定理求得； （2）由四边形四边形，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，将，代入，计算即可求出边的长． 【解析】（1）解：∵四边形四边形， ∴ ∴ 故答案为： （2）解：∵四边形四边形 ∴ ∵， ∴ 解得： 题型09 相似多边形的性质—文字语言 【典例1】．已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，    ，，，，，求，的长和的度数． 【答案】 【分析】根据相似图形的性质可求出，的长；根据四边形内角和求出，再根据相似图形的性质可得的度数． 【解析】解：∵四边形和四边形是相似的图形， ∴，即， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似图形的性质，熟知相似图形的形状完全相同，相似图形各内角对应相等，各边对应成比例是解题的关键． 【变式1】．已知五边形五边形，，，，，则 ． 【答案】 【分析】首先根据相似多边形的性质得到，，然后根据五边形的内角和为即可解答． 【解析】解：∵五边形五边形， ∴，， 又∵五边形的内角和为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，解题关键是掌握相似多边形的对应角相等． 【变式2】．已知四边形与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别对应． (1)已知，，，求的度数； (2)已知，，，，，求四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多边形相似的性质：对应角相等，求解即可； （2）根据多边形相似的性质：对应边成比例，进行求解即可． 【解析】（1）解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴； （2）解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的周长 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 一、单选题 1．下列选项中，是相似图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．根据形状相同的图形称为相似图形．结合图形，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【解析】解：A、两个图形形状相同，相似，符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； D、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意。 故选：A． 2．下列说法中，不正确的是(    ) A．同一版的8开中国地图与32开的中国地图相似 B．同一张底片冲出的两张照片相似 C．校长办公桌上插的小国旗与学校升旗杆上飘扬的国旗相似 D．画图用的两块三角板是相似的 【答案】D 【分析】本题主要考查相似图形的定义，根据“形状相同，大小不同的两个图形相似”即可判定，掌握相似图形的定义是解题的关键． 【解析】解：A.同一版的8开中国地图与32开的中国地图相似，正确； B.同一张底片冲出的两张照片相似，正确； C.校长办公桌上插的小国旗与学校升旗杆上飘扬的国旗相似，正确； D.画图用的两块三角板是相似的，不正确，一块是等腰直角三角形，一块不是等腰直角三角形； 故选：D． 3．用放大镜观察一个五边形时，不变的量是（  ） A．各边的长度 B．各内角的度数 C．五边形的周长 D．五边形的面积 【答案】B 【解析】解：∵用一个放大镜去观察一个三角形，∴放大后的三角形与原三角形相似，∵相似三角形的对应边成比例，∴各边长都变大，故此选项错误； ∵相似三角形的对应角相等，∴对应角大小不变，故选项B正确；． ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴C选项错误； ∵相似三角形的周长得比等于相似比，∴D选项错误． 故选B． 点睛：此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应角相等，相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长得比等于相似比． 4．下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据相似多边形的定义，对应边成比例且对应角相等的两个多边形相似，解答即可． 本题考查了多边形的相似，熟练掌握定义是解题的关键． 【解析】解：∵原始矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角， A中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； B中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形不相似， 此选项符合题意； C中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； D中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； 故选：B． 5．下列图形，一定相似的是（    ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个菱形 【答案】C 【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解． 【解析】解：A.两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似； B.两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似； C.两个等边三角形，角都是60°，故相似； D..任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似； 故选C． 【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键． 6．下列各组图形中，不一定相似的是（　　） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．各有一个角是50°的两个直角三角形 D．各有一个角是100°的两个等腰三角形 【答案】A 【分析】根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断． 【解析】解：A. 两个矩形，四个角都是直角，但四条边不一定对应成比例，不一定相似，故符合题意； B. 两个等腰直角三角形，对应边成比例，对应角相等，符合定义，一定相似，故不符合题意； C. 各有一个角是50°的两个直角三角形，都有一个直角，根据两角对应相等，两三角形相似，故不符合题意； D. 各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角一定是顶角，其余两角一定相等，故一定相似，故不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查了相似图形，掌握相似图形的定义是解题的关键． 二、填空题 7．两面规格不同的五星红旗，旗上的五角星有大有小，但 相同；两个大小不同的圆， 相同． 【答案】 形状 形状 【分析】根据相似形的性质求解即可． 【解析】解：两面规格不同的五星红旗，旗上的五角星是相似形，故形状相同；两个大小不同的圆是相似形，形状相同， 故答案为：形状，形状． 【点睛】本题考查相似形的性质，识别出两个图形是相似形是解题的关键． 8．形状相同的图形叫做 ． 两个图形相似是指它们的 相同，与它们的位置无关； 是一种特殊的相似图形，不仅形状相同，大小也相同． 【答案】 相似图形 形状 全等图形 【解析】略 9．下列命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③有一个角都是150°的两个菱形相似；④所有的正六边形都相似．其中是真命题的有 ．(填序号) 【答案】①③④ 【分析】根据真命题的定义，结合相似多边形的判定方法逐条分析即可. 【解析】①∵正方形的角都等于90° ∴正方形的角都相等； ∵正方形的四条边相等， ∴正方形的对应边成比例， ∴所有的正方形都相似正确； ②矩形的角都相等，但边不一定成比例，如： 矩形ABCD中AB=CD=4，AD=BC=2;矩形A′B′C′D′中，A′B′=C′D′=3，A′D′=B′C′=1， 则AB: A′B′≠CD: C′D′, ∴所有的矩形都相似错误； ③∵两个菱形都有一个角都是150°， ∴两个菱形各有两个150°的角和两个30°的角， ∴两个菱形的对应角相等； ∵菱形的四条边相等， ∴菱形的对应边成比例， ∴有一个角都是150°的两个菱形相似正确； ④∵正六边形的角都等于60° ∴正六边形的角都相等； ∵正六边形的四条边相等， ∴正六边形的对应边成比例， ∴所有的正六边形都相似正确． 故答案为①③④. 【点睛】此类题目主要考查相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等，两个条件必须同时具备． 10．四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A、B、C、D分别与A'、B'、C'、D'对应，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的长是 ． 【答案】1.6． 【分析】相似多边形的对应边成比例，根据相似多边形的性质即可解决问题． 【解析】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'， ∴CD：C′D′＝BC：B′C′， ∵BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2， ∴C′D′＝1.6， 故答案为：1.6． 【点睛】本题考查了相似图形，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质． 11．如图，四边形∽四边形，，，，则 ． 【答案】 【分析】利用相似多边形的对应角相等以及四边形内角和定理求得答案即可． 【解析】解：四边形∽四边形，，，， ，， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的对应角相等．也考查了四边形内角和定理． 12．一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它形状相同的四边形最小边长为6，则另一个四边形的周长是 ． 【答案】36 【解析】根据对应边成比例，得出该四边形的另三条边的长分别是8，10，12．所以周长为6＋8＋10＋12＝36． 13．如图，矩形中，，，剪去一个矩形后，余下的矩形矩形，则的长为 ． 【答案】1 【分析】根据相似多边形的性质得，即，然后利用比例性质求出即可． 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵余下的矩形矩形， ∴，即， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解决本题的关键是掌握如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比． 三、解答题 14．请认真观察如图所示的各组中的两个图形，哪些是形状相同的图形？哪些是形状不同的图形？ 【答案】③⑤中的图形形状相同，①②④⑥中的图形形状不同 【分析】本题考查相似图形的识别，相似图形是指形状相同的图形，根据题中的图形逐个判断即可得到答案，熟记相似图形定义是解决问题的关键． 【解析】解：③⑤中的图形形状相同，①②④⑥中的图形形状不同． 15．如图是两个相似的平行四边形，根据给出的条件，求，及边长m． 【答案】，． 【分析】根据两个平行四边形相似，求出，再利用相似平行四边形的边长比相等，求解出m的值. 【解析】∵两个平行四边形相似，∴，，解得． 【点睛】本题考查了相似平行四边形的运用，掌握相似平行四边形的对应角相等以及相似平行四边形的边长比相等是解题的关键. 16．如图所示的两个五边形相似，求a，b，c，d的值． 【答案】，，， 【分析】根据相似多边形的性质求解即可； 【解析】∵两个五边形相似， ∴相似比是， ∴， 解得，，，． 【点睛】本题主要考查了利用相似多边形的性质应用，准确计算是解题的关键． 17．如图，四边形相似于四边形，求，，的度数以及x，y，z的值． 【答案】，，，，， 【分析】根据相似形对应角相等，对应边成比例，列式计算即可． 【解析】解：∵四边形相似于四边形 ∴，，， ，∴，，，，， 又∵ ∴ 综上，，，，，，． 【点睛】本题考查了四边形内角和，相似形的性质，熟练应用相似形的性质是解决本题的关键． 18．把下图中左边的图形，加以放大后画出与它们相似的图形． 【答案】图形见解析 【解析】试题分析： 在右图中对照左图画出对应的图形即可. 试题解析： 所画图形如右图所示： 19．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开（对折）得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，求的值．      【答案】 【分析】此题考查了相似多边形的性质，设，，则，，根据相似多边形的性质得到，然后代入求解即可．解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等． 【解析】设，，则，， 由相似图形的性质得：，即， 解得或（不符题意，舍去）， 则． 20．九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长厘米，宽厘米，想在边上找点E，作，交于点F，使矩形矩形（不全等） (1)求的长度： (2)小阳想进一步探究，是否任意一个矩形都可以画出平行线，使分成的两个矩形相似（不全等），如果能够，请直接写出能够实现的原矩形的长与宽的比值k的取值范围，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)4或9 (2) 【分析】（1）根据矩形矩形得到，然后代数求解即可； （2）设，，，根据矩形矩形得到，得到，，然后根据一元二次方程的判别式求解即可． 【解析】（1）解：∵四边形是矩形 ∴厘米，厘米， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， 解得或9， 经检验，或9符合题意， ∴的长度为4或9； （2）解：设，， ∵矩形矩形 ∴ ∴ 整理得， 根据题意得， ∴ ∴（负值舍去） 原矩形的长与宽的比值k的取值范围为． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质，一元二次方程的判别式，解分式方程，根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$