精品解析：江苏省盐城市五校2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题

2024/2025学年度第二学期 联盟校第二次阶段性考试高二年级数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分. 2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上. 3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若为一组从小到大排列的数1，2，3，5，7，8，11的第上四分位数，则二项式的展开式的常数项是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻（yáo）组成，其中爻分为阳爻“”和阴爻“”.在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有4个阳爻”，则（） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 给图中五个区域染色，有四种不同的颜色可供选择，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ） A. 216种 B. 168种 C. 192种 D. 180种 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. 事件，相互独立 B. C. D. 11. 在棱长为1的正方体中，点在棱上运动，则（ ） A. 若点为的中点，则平面平面 B. C. 点到平面距离的最小值为 D. 异面直线，所成角的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1和3不相邻的五位数的个数为__________.（用数字作答） 13. 由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点（4，10）后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为______. 14. 人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置．随着AI技术的发展与普及，越来越多学生和家长利用网络在线学习和辅导．若景乐同学每天可以选择在线课程或面授课程两种方式进行学习．已知第一天选择在线课程和面授课程的概率为都为0.5，若第一天其选择在线课程，则第二天继续选择在线课程的概率为0.7；第一天选择面授课程，则第二天选择在线课程的概率为0.6．那景乐同学第二天选择在线课程的概率为______，若第二天选择了在线课程，则其第一天选择面授课程的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年春节档一部国产动画电影《哪吒之魔童闹海》横空出世，迅速斩获各项票房冠军，截止3月20日，该电影已进入全球票房榜前五．经权威电影机构调查，得到其前5周的票房数据如下表： 周次 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 周次代码 1 2 3 4 5 票房总额亿元 40 35 25 37 7 （1）求关于的线性回归方程； （2）该机构随机调查了某电影院2月15日200位观影人的购票情况，其中购买《哪吒之魔童闹海》的男性有80人，女性有70人，购买其他电影的男性有30人，女性有20人，完成列联表，并判断是否有的把握认为是否购买《哪吒之魔童闹海》与性别有关． 购买《哪吒》 购买其他电影 合计 男性 女性 合计 附：①，在利用最小二乘法求得的线性回归方程中， ②，其中． 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 16. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线的方程； （2）探究的最小值； （3）当时，求的最小值的极值． 17. 如图，在三棱柱中，，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值． 18. 人工智能中的大语言模型Deepseek（以下简称Deepseek）能自动从多种来源收集和整合数据，从而大大提高工作效率，但一些重复性、规律性强的工作岗位可能会被替代，某单位因受到Deepseek的冲击需要对所有员工重新考核竞聘上岗，考核标准如下：进行三次理论考核，每位员工只有通过上一次考核才有资格参加下一次考核，否则直接淘汰，三次考核全部通过方可重新上岗.假设小李通过第一、二、三次理论考核的概率分别为p，，p，每次理论考核是否通过相互独立，小李不会主动弃权． （1）若时，小李通过三次理论考核的概率最大，求的值； （2）当p为（1）中确定的时，公司为了照顾小李，答应当小李至少通过一次理论考核但未能重新上岗时，再给他一次实操考核的机会，若实操考核通过也可重新上岗；若实操考核未通过，则淘汰，已知小李通过实操考核的概率为．求： （ⅰ）小李参加考核的次数的分布列； （ⅱ）小李重新上岗的概率． 19. 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的乘积，形成一个新数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“延拓”.如数列1，2第一次“延拓”后得到数列1，2，2，第二次“延拓”后得到数列1，2，2，4，2.将数列，，经过次“延拓”后所得数列的项数记为、所有项的乘积记为. （1）给定数列，，，回答下列问题： ①写出该数列的第一次与第二次“延拓”后得到的数列，并求出与的值； ②将定数列，，经过次“延拓”后所得数列的项数记为，现将，，，，构成数列，求的值； （2）已知数列，，，其中，，，该数列经过3次“延拓”后，能被45整除，则满足上述条件的数列，，有几个？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024/2025学年度第二学期 联盟校第二次阶段性考试高二年级数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分. 2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上. 3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据向量平行得出，，再计算模长即可. 【详解】因为，所以，解得，， 则，． 故选:A． 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的性质直接求解即可. 【详解】由，得， 故． 故选：B 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，令即可求解. 【详解】由， 求导得：，令， 得， 所以， 故选：D 4. 已知是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用数列的性质得到，进而求出公差，即可求解. 【详解】因为，则，所以， 又，所以数列的公差为，所以， 则， 故选：B. 5. 若为一组从小到大排列的数1，2，3，5，7，8，11的第上四分位数，则二项式的展开式的常数项是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】利用百分位数的概念计算，再利用二项式展开式通项公式求常数项即可. 【详解】因为， 所以的第上四分位数是，即， 则， 由解得， 所以常数项为， 故选：D. 6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻（yáo）组成，其中爻分为阳爻“”和阴爻“”.在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有4个阳爻”，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型计算方法，分别求出事件和积事件的概率，根据条件概率计算公式，求出结果． 【详解】由题可知，事件“取出的重卦中有4阳2阴或5阳1阴”， 则，则． 故选：D． 7. 已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，根据条件判断函数的单调性，再根据函数的单调性把函数不等式转化为代数不等式，即可求出的取值范围. 【详解】设，，则. 因为在上恒成立，所以在上恒成立. 即在上单调递增. 又. 所以. 即不等式的解集为. 故选：A 8. 给图中五个区域染色，有四种不同的颜色可供选择，要求边界有重合部分的区域（仅顶点与边重合或仅顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ） A. 216种 B. 168种 C. 192种 D. 180种 【答案】B 【解析】 【分析】分别讨论区域三，四，五和二，三区域的染色，由分步乘法计数原理计算可得答案. 【详解】先对区域三，四，五染色，有种方法， 若区域二和三同色，区域一可以有3种染色方案，不同的染色方法有种； 若区域二和五同色，区域一有2种染色方案，不同的染色方法有种； 若区域二与三、五颜色不同，区域一有2种染色方案，不同的染色方法有种. 综上，不同的染色方法有种. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法计算可判断A错误，BC正确，对二项展开式两边同时求导并令计算可判断D正确. 【详解】对于A：令，则，故A错误； 对于B：令，则，故B正确； 对于C：令，则，故C正确； 对于D，由， 两边同时求导得， 令，则，故D正确. 故选：BCD. 10. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. 事件，相互独立 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】已知、、关系公式，把对应值代入就能算出．  对于A选项：依据事件独立定义，若，则、独立，算出和比较即可．  对于B选项：用条件概率公式，把、值代入计算，和比较．  对于C选项：先求和，再用条件概率公式计算，看是否等于．  对于D选项：根据算出，和比较大小． 【详解】对于A，已知，将，，代入可得：   因为，所以事件，相互独立，A选项正确．  对于B，根据条件概率公式，将，代入可得： ，B选项错误．  对于C，先求，． 再根据条件概率公式，将，代入可得： ，C选项正确．  对于D，，而，所以，D选项错误．  故选：AC． 11. 在棱长为1的正方体中，点在棱上运动，则（ ） A. 若点为的中点，则平面平面 B. C. 点到平面距离的最小值为 D. 异面直线，所成角的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得相应平面法向量及直线方向向量，通过法向量位置关系及夹角、距离公式逐个判断各选项即可． 【详解】以D为坐标原点，分别以、、所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图， 得：， 对于A，若点P为的中点，则， 设平面的法向量为，，， 由，取，得， 设平面的法向量为，， 由，取，得， 显然不平行，即平面平面不成立，故A错误； 对于B，设，则，， 则，故，故B正确； 对于C，设，， 平面的一个法向量为， 则点P到平面距离为， ∵，，∴当时，取得最小值为，故C错误； 对于D，设，， 设异面直线所成角为，则， 由，得，则， 则，又，则，故D正确. 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1和3不相邻的五位数的个数为__________.（用数字作答） 【答案】72 【解析】 【分析】利用间接法，在组成没有重复数字的五位数中排除1和3相邻的五位数，结合排列数运算求解. 【详解】组成没有重复数字的五位数的个数为； 组成没有重复数字且1和3相邻的五位数的个数为； 所以符合题意的五位数的个数为. 故答案为：72. 13. 由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点（4，10）后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求剩余数据的中心点，再代入回归直线方程求，再代入求，即可求残差值. 【详解】由于回归直线过样本中心点，当时，， 去除偏离点后，剩余数据的中心点为， 则，， 将点的坐标代入回归直线方程，可得，解得，所以，新的回归直线方程为，当时，， 所以，去除偏离点后，相应于样本点的残差值为. 故答案为：. 14. 人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置．随着AI技术的发展与普及，越来越多学生和家长利用网络在线学习和辅导．若景乐同学每天可以选择在线课程或面授课程两种方式进行学习．已知第一天选择在线课程和面授课程的概率为都为0.5，若第一天其选择在线课程，则第二天继续选择在线课程的概率为0.7；第一天选择面授课程，则第二天选择在线课程的概率为0.6．那景乐同学第二天选择在线课程的概率为______，若第二天选择了在线课程，则其第一天选择面授课程的概率为______． 【答案】 ①. 0.65 ②. 【解析】 【分析】本题可根据全概率公式和贝叶斯公式来求解． 【详解】设“第一天选择在线课程”为事件，“第一天选择面授课程”为事件，“第二天选择在线课程”为事件．已知，，． 根据全概率公式，可得：   根据贝叶斯公式，将，，代入可得：   故答案为： 0.65； ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年春节档一部国产动画电影《哪吒之魔童闹海》横空出世，迅速斩获各项票房冠军，截止3月20日，该电影已进入全球票房榜前五．经权威电影机构调查，得到其前5周的票房数据如下表： 周次 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 周次代码 1 2 3 4 5 票房总额亿元 40 35 25 37 7 （1）求关于的线性回归方程； （2）该机构随机调查了某电影院2月15日200位观影人的购票情况，其中购买《哪吒之魔童闹海》的男性有80人，女性有70人，购买其他电影的男性有30人，女性有20人，完成列联表，并判断是否有的把握认为是否购买《哪吒之魔童闹海》与性别有关． 购买《哪吒》 购买其他电影 合计 男性 女性 合计 附：①，在利用最小二乘法求得的线性回归方程中， ②，其中． 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） （2）表格见解析，没有的把握认为购买《哪吒之魔童闹海》与性别有关 【解析】 【分析】（1）由前5周的票房数据，分别求得，，利用回归系数的公式和样本点的坐标，求得，以及，即可得到所求的线性回归方程； （2）根据题意，得出的列联表，利用公式求得，结合附表，即可得到结论. 【小问1详解】 解：由前5周的票房数据，可得， ， 所以，则， 故所求的线性回归方程为． 【小问2详解】 解：由题意，可得列联表如下． 购买《哪吒》 购买其他电影 男性 80 30 110 女性 70 20 90 合计 150 50 200 可得， 故没有的把握认为购买《哪吒之魔童闹海》与性别有关． 16. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线的方程； （2）探究的最小值； （3）当时，求的最小值的极值． 【答案】（1） （2） （3）极大值为，无极小值． 【解析】 【分析】（1）求导得，，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）对求定义域，求导，根据a取不同的值得到函数单调性，即可求出最小值； （3）令，对函数求导，即可求解. 【小问1详解】 当时，，， 则，， 所以切线的方程为 【小问2详解】 定义域为． 当时，，则在上单调递增，故没有最小值； 当时，在单调递减，在单调递增， 所以 综上所述：当时，没有最小值；当时，最小值为； 【小问3详解】 由（2）可得 设，则， 令，得，所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的极大值为，无极小值． 17. 如图，在三棱柱中，，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知得，应用线面垂直的判定证明面，再由面面垂直的判定证明结论； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，根据线面角的正弦值及向量法求得，进而确定相关向量的具体坐标，最后应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 在中，，，则， 所以，则， 由，都在面内，则面， 又面，所以面面； 【小问2详解】 由（1）及，即两两垂直， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如下图示， 设，由（1），则， 所以， 若是面的一个法向量，则，取，则， 设直线与面所成角为，则， 所以，则， 在中，则， 若是面的一个法向量，则，取，则， 设面与面所成角为，则. 18. 人工智能中的大语言模型Deepseek（以下简称Deepseek）能自动从多种来源收集和整合数据，从而大大提高工作效率，但一些重复性、规律性强的工作岗位可能会被替代，某单位因受到Deepseek的冲击需要对所有员工重新考核竞聘上岗，考核标准如下：进行三次理论考核，每位员工只有通过上一次考核才有资格参加下一次考核，否则直接淘汰，三次考核全部通过方可重新上岗.假设小李通过第一、二、三次理论考核的概率分别为p，，p，每次理论考核是否通过相互独立，小李不会主动弃权． （1）若时，小李通过三次理论考核的概率最大，求的值； （2）当p为（1）中确定的时，公司为了照顾小李，答应当小李至少通过一次理论考核但未能重新上岗时，再给他一次实操考核的机会，若实操考核通过也可重新上岗；若实操考核未通过，则淘汰，已知小李通过实操考核的概率为．求： （ⅰ）小李参加考核的次数的分布列； （ⅱ）小李重新上岗的概率． 【答案】（1） （2）（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由题意得小李通过三次理论考核的概率为，然后利用导数可求出其最大值； （2）（ⅰ）设小李参加的所有考核的次数为X，则X的可能取值为1，3，4，根据题意求出相应的概率，从而可求出小李参加考核的次数的分布列；（ⅱ）根据题意分别求出小李第二次理论考核未通过但实操考核通过的概率，第三次理论考核未通过但实操考核通过的概率，通过三次理论考核的概率，然后利用互斥事件的概率公式可求得结果. 【小问1详解】 小李通过三次理论考核的概率为，， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，小李通过三次理论考核的概率最大． 【小问2详解】 由（1）知． （ⅰ）设小李参加的所有考核的次数为X，则X的可能取值为1，3，4， 当小李第一次理论考核未通过时，，， 当小李第二次理论考核未通过或通过三次理论考核时，， 所以， 当小李第三次理论考核未通过时，，， 所以小李参加考核的次数X的分布列为 X 1 3 4 P （ⅱ）小李第二次理论考核未通过但实操考核通过的概率为， 小李第三次理论考核未通过但实操考核通过的概率为， 小李通过三次理论考核的概率为， 所以小李重新上岗的概率． 19. 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的乘积，形成一个新数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“延拓”.如数列1，2第一次“延拓”后得到数列1，2，2，第二次“延拓”后得到数列1，2，2，4，2.将数列，，经过次“延拓”后所得数列的项数记为、所有项的乘积记为. （1）给定数列，，，回答下列问题： ①写出该数列的第一次与第二次“延拓”后得到的数列，并求出与的值； ②将定数列，，经过次“延拓”后所得数列的项数记为，现将，，，，构成数列，求的值； （2）已知数列，，，其中，，，该数列经过3次“延拓”后，能被45整除，则满足上述条件的数列，，有几个？ 【答案】（1）①第一次得到数列：1，2，2，，， 第2次得到数列：1，2，2，4，2，，，2，；，； ② （2）96 【解析】 【分析】（1）①由“延拓”的定义求解第一次与第二次“延拓”后得到的数列，并求解与的值即可； ②数列1，2，第次“延拓”后得到数列，记为，，，，，第次“延拓”后，每两项之间添加1项，共添加了项， 故总项数，从而得到，然后利用错位相减法求解即可. （2）由题设可知，，，，而，故要使能被45整除，则，，中既要有能被5整除的数，又要有能被3整除的数.令集合，，，然后由排列组合的知识求解即可. 【小问1详解】 ①数列1，2，第一次“延拓”后得到数列1，2，2，，， 第2次“延拓”后得到数列1，2，2，4，2，，，2，， ，. ②数列1，2，第次“延拓”后得到数列，记为，，，，， 第次“延拓”后，每两项之间添加1项，共添加了项， 总项数， 故，即，又，即， 是首项为4，公比为2的等比数列， ，即， 令 则 . 【小问2详解】 由题设可知，，，，而， 故要使能被45整除，则，，中既要有能被5整除的数，又要有能被3整除的数. 令集合，，， ①在集合，，中各取一个数构成数列，共有个； ②在集合中取两次数，集合中取一个数构成数列，共有个； ③在集合中取两次数，集合中取一个数构成数列，共有个. 综上所述满足条件的数列共有 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $