预习06 等式（6知识点+6题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

预习06 等式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：等式的性质 (1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立； (2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 注：用符号语言和量词表示上述等式的性质： (1)如果，则对任意c，都有； (2)如果，则对任意不为零的c，都有. 知识点 2 ：恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 注：常见的代数恒等式 （1）， （2） （3）， （4）， 知识点 3 ：十字相乘法 对于，将二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到v，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上图中上一行，位于下一行． 注：运用进行因式分解时需满足的条件：①分解因式的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和． 知识点 4 ：一元二次方程的解集 一元二次方程，其判别式. (1)当时，方程的解集为； (2)当时，方程的解集为； (3)当时，方程的解集为. 知识点 5 ：一元二次方程根与系数的关系 当一元二次方程的解不是空集时，这个方程的解可以记为，则有 知识点 6 ：方程组的解集 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集． 注意：（1）解方程组常用的方法：消元法． （2）当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来． 【题型1 等式的性质与应用】 1．下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对于选项，两边同时减，得到，故正确； 对于选项，没有说明，故不正确； 对于选项，在等式两边同时乘以，得到，故正确； 对于选项，在等式两边同时乘以5得到，故正确； 故选：. 2．下列等式中，属于恒等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，时，，故A错误； 对于B，取，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，取,可得,与无意义，故D错误. 故选:C. 3．设，下列命题中为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：对于A，若，两边平分可得，故A为真命题； 对于B，， 所以，故B为真命题； 对于C，当时，无意义，故C为假命题； 对于D，若，由等式的性质可得，故D为真命题. 故选：C. 4．利用等式的基本性质，在横线上填上适当的数.若，则 ， . 【答案】 【详解】根据等式的性质3，等式两边同减，得， 再根据等式的性质5，等式两边同除以3，得． 故答案为：， 5．设a、b、c、d是实数，判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，则或； (4)若，且，则. 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)真命题 (4)真命题 【详解】（1）若，则，假命题； （2）由，且，所以，真命题； （3）若，则或，真命题； （4）设，则， 所以，又，所以，真命题. 【题型2 因式分解】 6．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，应该是，故A错误     对于B，应该是，故B错误； 对于C，，故C 错误；     对于D，，故D正确. 故选：D. 7．将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） （2） （3） 8．十字相乘法分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以. 9．把下列各式进行因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【详解】（1）； （2）； （3）； （4） . 【题型3 一元二次方程的解集】 10．方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方程的解为, 所以方程的解集是， 故选:C. 11．方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为， 解得或(舍)， 由，解得或， 所以原方程的解集为. 故选：C. 12．方程的解集是，则的值是 . 【答案】0 【详解】由题意可知方程的两个根分别为和2， 所以，解得， 所以， 故答案为：0 13．求下列关于的方程（方程组）的解集： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由方程，即， 解得或，即方程的解集为. （2）由方程，即 解得或，即方程的解集为. （3）由方程，即，解得或（舍去），即， 所以方程的解集为 14．求一元二次方程的解集． 【答案】 【详解】原方程因式分解为． 又因为，所以解集为． 【题型4 一元二次方程中根与系数的关系】 15．对于下列结论： ①方程的两根之和为，两根之积为； ②方程的两根之和为，两根之积为； ③方程的两根之和为，两根之积为； ④方程的两根之和为，两根之积为． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于①，方程的判别式， 由一元二次方程根与系数的关系可知，这个方程的两根之和为， 两根之积为，①对； 对于②，方程的判别式为，这个方程无实解，②错； 对于③，方程的判别式为， 这方程的两根之和为，两根之积为，③对； 对于④，方程的判别式为， 这个方程的两根之和为，两根之积为，④错. 故选：B. 16．若关于的方程的两个实数根的平方和等于11，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【详解】设方程的两个实数根为， 则，即， 且， 由题意，得， 则，解得（舍去）或. 故选：C. 17．设常数，已知关于的一元二次方程的两个实根分别为、，若，则 ． 【答案】 【详解】因为关于的一元二次方程的两个实根分别为、， 则，解得， 所以，， 又，即，解得或（舍去）； 故答案为： 18．已知方程4的两根为，则 【答案】0 【详解】由题设，且，即， 由. 故答案为：0 19．已知、是关于的方程的两个实数根，根据下列条件，分别求出的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由题意可得，解得. （2）由题意可知，解得， 由韦达定理可得，所以、的符号相同，且均不为零， 由，则，故，故，则， 此时方程由两个不等的正根， 故，解得. 20．若方程的两根满足一正一负，求出实数的取值范围． 【答案】 【详解】设两根为，由题意，得 ，即,故,解得． 故实数的取值范围为． 21．已知是关于方程的两个根，且都大于1．若，求实数的值． 【答案】 【详解】根据题意得, ∵ ∴， ∴ ∴ 整理得 ,解得 当时,原方程为,解得 (不符合条件舍去)， 当时,原方程为,解得 符合题意； ∴k的值为7. 【题型5 方程组的解集】 22．小张、小胡两位同学解关于的方程，小张同学写错了常数，得到的根为或，小胡同学写错了常数，得到的根为或，则的值为（   ） A．17 B．7 C． D． 【答案】D 【详解】由题意：；. 所以. 故选：D 23．关于x，y的方程组的解集，不正确的说法是（    ） A．可能是空集 B．可能是无限集 C．可能是单元集 D．可能是 【答案】A 【详解】由得从而得，即 若，则可取任意实数，此时解有无数个，故B正确， 若,则，故CD正确， 解集不可能是空集，所以A错误， 故选：A 24．方程组的解集为 . 【答案】 【详解】由， 所以方程组的解集为， 故答案为：. 25．方程组的解集是 . 【答案】 【详解】由方程，可得， 将代入方程，可得， 整理得，解得或， 当，可得；当时，可得 所以不等式的解集为. 故答案为：. 26．设，求关于与的二元一次方程组的解集． 【答案】答案见解析 【详解】因为，两式相减，得到， 当时，，代入方程组中的第一式，得到，此时，原方程组的解集为， 当时，方程无解，从而原方程组无解，其解集为空集. 27．求三元一次方程组的解集. 【答案】 【详解】给两边同乘以3，得，再与相加， 得， 由，得， 把代入中，解得， 所以原方程组的解集为. 【题型6 已知解集求参数】 28．若关于x，y的方程组与的解集相等，则a、b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意联立方程为：，解得， 把代入得，解得. 故选：B 29．关于x，y的方程组的解集为，则（    ） A．1 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】由题意，将代入方程组得， 则，故. 故选：D. 30．关于 的方程组的解集为，则 . 【答案】4 【详解】因为关于 的方程组的解集为， 所以，解得， 故答案为：4. 31．若关于x、y的二元一次方程组的解集为，则实数 ． 【答案】2 【详解】解：由题意得，即， 关于，的二元一次方程组的解集为， 关于的方程的无解， ，即， 故答案为：2． 32．若方程组的解满足，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由方程组 解得 ， 因为方程组的解满足， 所以， 解得， 故答案为； 33．已知集合，其中x，y∈Z，则整数m的取值个数为 个． 【答案】4 【详解】 得 解得 把代入①得 解得 解为整数， 时，为整数， 解得或3或0或4或或6 当或3或0或4时，也为整数． 的个数有4个 故答案为：4 34．已知关于x，y的方程组，甲因看错了a，求得解集为. (1)求b的值； (2)甲把a错看成了什么？ 【答案】(1)3 (2)1 【详解】（1）将代入方程组中②式中可得 ， （2）将代入得 故甲把a错看成了1. 一、单选题 1．已知等式，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于A，满足，但无意义，故错误； 对于B，两边同时加上2，该等式仍然成立，故正确； 对于C，当，，满足，但得不到，故错误； 对于D，当时，无法得到，故错误； 故选：B 2．方程组解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方程组，解得或， 所以方程组解集是. 故选：C 3．下列关于方程的解的说法中正确的是（    ）． A．该方程一定有唯一解 B．该方程没有解 C．时，方程有无数解 D．时，方程有唯一解 【答案】D 【详解】由题意得，， 即， 当时，不成立，方程组无解； 当时，，方程组有唯一解. 故选：D. 4．若是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为（    ） A． B．3 C．或3 D．1或 【答案】A 【详解】因为是一元二次方程的两个实数根， 所以， 因为，所以，解得或（舍）. 故选：A 5．下列关于方程的解的说法中正确的是（    ）． A．该方程一定有唯一解 B．该方程没有解 C．时，方程有无数解 D．时，方程有唯一解 【答案】D 【详解】由题意得，， 即， 当时，不成立，方程组无解； 当时，，方程组有唯一解. 故选：D. 6．已知方程组的解集为，且，则（    ） A．1或 B．或 C．或 D．2或 【答案】B 【详解】由题设，则，且， 所以，， 而，即， 整理得，可得. 故选：B 二、多选题 7．已知关于的方程，则下列结论正确的是（    ） A．当时，方程有两个相等实根 B．是方程有实根的必要不充分条件 C．该方程不可能有两个不等正根 D．该方程不可能有两个不等负根 【答案】AC 【详解】对于A选项，当时，方程为，则， 因此，当时，方程有两个相等实根，A对； 对于B选项，若关于的方程有实根， 则，解得或， 因为是或的真子集， 所以，是方程有实根的充分不必要条件，B错； 对于CD选项，若方程有两个不等的实根， 则，解得或， 设关于的方程的两个不等实根分别为、， 若方程有两个不等正根，则，无解，C对； 若方程有两个不等负根，则，解得，则， 所以，方程可能有两个不等负根，D错. 故选：AC. 8．若，是关于x的一元二次方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由，或， 因此有：、、，所以选项BCD正确， 显然当时，或，因此选项A不正确， 故选：BCD 三、填空题 9．已知方程的两个根为，则= . 【答案】3 【详解】由题意结合韦达定理有，所以. 故答案为：3. 10．设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为 . 【答案】且 【详解】因为方程组的解集为， 所以消元后无解， 所以且， 解得且. 故答案为：且 11．已知不全相等的三个实数、、，满足，，，则 ． 【答案】 【详解】先证明、、均不为，若否，不妨设，由可得， 再由可得，从而有，与题设条件矛盾， 所以，、、均不为， 将三个等式，，全加可得， 因为、、是不全相等的三个实数，且满足，，， 所以，，， 将上述三个等式全部相乘得， 因为，所以， 即， 因为，所以， 因为，则，，， 所以，即， 因为， 所以， 因为，故. 故答案为：. 四、解答题 12．设为实数，求关于的方程的解集. 【答案】答案见解析 【详解】解：方程可化为， 时，， 若，则方程为，显然不成立，方程无解； 若，则方程为，方程的解为； 若时，解方程得. 综上，时，方程的解集为； 时，方程的解集为； 时，方程的解集为. 13．解关于x，y的方程组． 【答案】答案见解析 【详解】当时无解； 当时，两式相减，解得, 综上所得，当时无解；当时，解集为 14．已知，是方程的两个实数根，且． (1)求k的取值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知，，， 则， 解得，所以的值为； （2）由， 得， 由（1）知，当时，，则. 所以的值为50. 15．已知关于的一元二次方程. (1)若方程有实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两实根，，且满足，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵方程有实数根， ∴，∴. （2）∵方程有两实根，， ∴，∴， 且，， ∴， ，， ∴，或， ∵，∴. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习06 等式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：等式的性质 (1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立； (2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 注：用符号语言和量词表示上述等式的性质： (1)如果，则对任意c，都有； (2)如果，则对任意不为零的c，都有. 知识点 2 ：恒等式 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 注：常见的代数恒等式 （1）， （2） （3）， （4）， 知识点 3 ：十字相乘法 对于，将二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到v，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上图中上一行，位于下一行． 注：运用进行因式分解时需满足的条件：①分解因式的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和． 知识点 4 ：一元二次方程的解集 一元二次方程，其判别式. (1)当时，方程的解集为； (2)当时，方程的解集为； (3)当时，方程的解集为. 知识点 5 ：一元二次方程根与系数的关系 当一元二次方程的解不是空集时，这个方程的解可以记为，则有 知识点 6 ：方程组的解集 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集． 注意：（1）解方程组常用的方法：消元法． （2）当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来． 【题型1 等式的性质与应用】 1．下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．下列等式中，属于恒等式的是（    ） A． B． C． D． 3．设，下列命题中为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．利用等式的基本性质，在横线上填上适当的数.若，则 ， . 5．设a、b、c、d是实数，判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，则或； (4)若，且，则. 【题型2 因式分解】 6．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 7．将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3). 8．十字相乘法分解因式： (1) (2) 9．把下列各式进行因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型3 一元二次方程的解集】 10．方程的解集是（    ） A． B． C． D． 11．方程的解集是（    ） A． B． C． D． 12．方程的解集是，则的值是 . 13．求下列关于的方程（方程组）的解集： (1)； (2)； (3)； 14．求一元二次方程的解集． 【题型4 一元二次方程中根与系数的关系】 15．对于下列结论： ①方程的两根之和为，两根之积为； ②方程的两根之和为，两根之积为； ③方程的两根之和为，两根之积为； ④方程的两根之和为，两根之积为． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 16．若关于的方程的两个实数根的平方和等于11，则等于（    ） A．或 B． C． D． 17．设常数，已知关于的一元二次方程的两个实根分别为、，若，则 ． 18．已知方程4的两根为，则 19．已知、是关于的方程的两个实数根，根据下列条件，分别求出的值： (1)； (2)． 20．若方程的两根满足一正一负，求出实数的取值范围． 21．已知是关于方程的两个根，且都大于1．若，求实数的值． 【题型5 方程组的解集】 22．小张、小胡两位同学解关于的方程，小张同学写错了常数，得到的根为或，小胡同学写错了常数，得到的根为或，则的值为（   ） A．17 B．7 C． D． 23．关于x，y的方程组的解集，不正确的说法是（    ） A．可能是空集 B．可能是无限集 C．可能是单元集 D．可能是 24．方程组的解集为 . 25．方程组的解集是 . 26．设，求关于与的二元一次方程组的解集． 27．求三元一次方程组的解集. 【题型6 已知解集求参数】 28．若关于x，y的方程组与的解集相等，则a、b的值为（    ） A． B． C． D． 29．关于x，y的方程组的解集为，则（    ） A．1 B．5 C．6 D．7 30．关于 的方程组的解集为，则 . 31．若关于x、y的二元一次方程组的解集为，则实数 ． 32．若方程组的解满足，则实数a的取值范围是 ． 33．已知集合，其中x，y∈Z，则整数m的取值个数为 个． 34．已知关于x，y的方程组，甲因看错了a，求得解集为. (1)求b的值； (2)甲把a错看成了什么？ 一、单选题 1．已知等式，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．方程组解集是（    ） A． B． C． D． 3．下列关于方程的解的说法中正确的是（    ）． A．该方程一定有唯一解 B．该方程没有解 C．时，方程有无数解 D．时，方程有唯一解 4．若是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为（    ） A． B．3 C．或3 D．1或 5．下列关于方程的解的说法中正确的是（    ）． A．该方程一定有唯一解 B．该方程没有解 C．时，方程有无数解 D．时，方程有唯一解 6．已知方程组的解集为，且，则（    ） A．1或 B．或 C．或 D．2或 二、多选题 7．已知关于的方程，则下列结论正确的是（    ） A．当时，方程有两个相等实根 B．是方程有实根的必要不充分条件 C．该方程不可能有两个不等正根 D．该方程不可能有两个不等负根 8．若，是关于x的一元二次方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知方程的两个根为，则= . 10．设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为 . 11．已知不全相等的三个实数、、，满足，，，则 ． 四、解答题 12．设为实数，求关于的方程的解集. 13．解关于x，y的方程组． 14．已知，是方程的两个实数根，且． (1)求k的取值． (2)求的值． 15．已知关于的一元二次方程. (1)若方程有实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两实根，，且满足，求实数的值. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$