第7章 素能培优（七） 数列中的构造问题-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案课件PPT（提升版）

第七章　数列 素能培优(七)　数列中的 构造问题 数列中的构造问题是高考的核心命题点之一，选填题、解答题均可出现．其总的思想是根据数列的递推公式，利用待定系数、配凑、取倒数等构造方法转化为特殊的数列(等差、等比或可用累加、累乘求解的数列)进行求解． 核心考向 目录 核心考向 角度1　an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0，其中a1＝a) (多选)(2025·广东珠海模拟)数列{an}是首项为1的正项数列，an＋1＝2an＋3，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　) A．a3＝13 B．数列{an＋3}是等比数列 C．an＝4n－3 D．Sn＝2n＋1－n－2 考向一 　形如an＋1＝pan＋f(n)型 核心考向 5 先把an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)转化为an＋1＋M＝p(an＋M)，再利用待定系数法求出M的值，最后用换元法转化为等比数列求解． 核心考向 6 某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列{cn}，即c1＝1200，则c10大约为(　　) (参考数据：1.18≈2.144，1.19≈2.358，1.110≈2.594，1.111≈2.853) A．1429 B．1472 C．1519 D．1571 解析：由题意可知cn＝(1＋10%)cn－1－100＝1.1cn－1－100，设cn＋k＝1.1(cn－1＋k)，解得k＝－1000，即cn－1000＝1.1(cn－1－1000)，故数列{cn－1000}是首项为c1－1000＝200，公比为1.1的等比数列，所以cn－1000＝200×1.1n－1，则cn＝200×1.1n－1＋1000，所以c10＝200×1.19＋1000≈200×2.358＋1000≈1472.故选B. 核心考向 7 角度2　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0) (2025·广东广州联考)在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，则{an}的通项公式为_________________． an＝3n－2(n－1) 核心考向 8 与角度1构造方法很相似，在构造时我们也保持跟题干一样的结构，加一项pn再构造等比数列就可以，即令an＋1＋p(n＋1)＋q＝A(an＋pn＋q)，然后与已知递推公式各项的系数对应相等，解得p，q，从而得到数列{an＋pn＋q}是公比为A的等比数列． 核心考向 9 核心考向 10 角度3　an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1) (2025·山西大同模拟)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为_______________． an＝(2n－1)·3n 核心考向 11 形如an＋1＝pan＋qn的数列，一般等式两边同除以qn＋1，转化为bn＋1＝kbn＋m(k≠0，1)的形式，利用角度1的方法求解． 核心考向 12 7 核心考向 13 考向二　相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1) 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，求数列{an}的通项公式． 核心考向 14 核心考向 15 核心考向 16 (1)形如an＋1＝pan＋qan－1(p，q为常数)的数列可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}的通项． (2)形如an＋1＝pan＋qan－1(p，q为常数)的二阶递推数列也可以用特征根法求通项an，其特征方程为x2＝px＋q，若特征方程有两异根α，β，则可令an＝c1αn－1＋c2βn－1(c1，c2为待定常数)；若特征方程有两重根α＝β，则可令an＝(c1＋nc2)αn－1(c1，c2为待定常数)，然后利用已知条件中a1，a2的值求得c1，c2，进而求得通项an. 核心考向 17 已知数列{an}满足an＋2＝4an＋1－4an(n∈N*)，且a1＝4，a2＝12，证明{an＋1－2an}是等比数列，并求{an}的通项公式． 核心考向 18 核心考向 19 核心考向 20 核心考向 21 核心考向 22 核心考向 23 核心考向 24 　　　　　　　　　　　　　 R 解析：∵an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，又a1＋3＝4≠0，∴数列{an＋3}是等比数列，∴an＋3＝4×2n－1，∴an＝2n＋1－3，∴a3＝13，∴Sn＝eq \f(4（1－2n）,1－2)－3n＝2n＋2－3n－4.故选AB. 解析：因为an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，设an＋1＋p(n＋1)＋q＝3(an＋pn＋q)，其中p，q∈R，整理可得an＋1＝3an＋2pn＋2q－p，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2p＝4，,2q－p＝－6，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＝2，,q＝－2，))所以an＋1＋2(n＋1)－2＝3(an＋2n－2)，且a1＋2×1－2＝a1＝3，所以数列{an＋2n－2}是首项为3，公比为3的等比数列，所以an＋2n－2＝3×3n－1＝3n，解得an＝3n－2(n－1)． (1,2) 　(2025·重庆模拟)已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，则an＝____________． 解析：设an＋pn＋q＝eq \f(1,2)[an－1＋p(n－1)＋q]，即an＝eq \f(1,2)an－1－eq \f(1,2)pn－eq \f(1,2)p－eq \f(1,2)q，与原式比较，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)p＝2，,－\f(1,2)p－\f(1,2)q＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＝－4，,q＝6，))a1－4＋6＝3，所以{an－4n＋6}是以3为首项，eq \f(1,2)为公比的等比数列，所以an－4n＋6＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(n－1)，所以an＝eq \f(3,2n－1)＋4n－6. eq \f(3,2n－1)＋4n－6 解析：由an＋1＝3an＋2·3n＋1，得eq \f(an＋1,3n＋1)＝eq \f(an,3n)＋2，∴eq \f(an＋1,3n＋1)－eq \f(an,3n)＝2，即数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,3n)))是首项为1，公差为2的等差数列，∴eq \f(an,3n)＝2n－1，故an＝(2n－1)·3n. 解析：由题意得an＝eq \f(1,3)an－1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(n)(n≥2)，∴3nan＝3n－1an－1＋1(n≥2)，即3nan－3n－1·an－1＝1(n≥2)．又a1＝1，∴31a1＝3，∴数列{3nan}是以3为首项，1为公差的等差数列，∴3nan＝3＋(n－1)×1＝n＋2，∴an＝eq \f(n＋2,3n)(n∈N*)．由eq \f(n＋2,3n)＝eq \f(1,243)，得n＝7. (1,3) 　在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(n＋1)(n∈N*)，则an＝________，eq \f(1,243)是这个数列的第________项． eq \f(n＋2,3n) 解：解法一：因为an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)， 设bn＝an＋1＋an， 所以eq \f(bn,bn－1)＝eq \f(an＋1＋an,an＋an－1)＝eq \f(3（an＋an－1）,an＋an－1)＝3， 又因为b1＝a2＋a1＝3， 所以数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列． 所以bn＝an＋1＋an＝3×3n－1＝3n，从而eq \f(an＋1,3n＋1)＋eq \f(1,3)·eq \f(an,3n)＝eq \f(1,3)， 不妨令cn＝eq \f(an,3n)，即cn＋1＋eq \f(1,3)cn＝eq \f(1,3)，故cn＋1－eq \f(1,4)＝－eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cn－\f(1,4)))， 即eq \f(cn＋1－\f(1,4),cn－\f(1,4))＝－eq \f(1,3)，又因为c1－eq \f(1,4)＝eq \f(a1,3)－eq \f(1,4)＝eq \f(1,12)， 所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(cn－\f(1,4)))是首项为eq \f(1,12)，公比为－eq \f(1,3)的等比数列， 故cn－eq \f(1,4)＝eq \f(1,12)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))) eq \s\up12(n－1)＝eq \f(an,3n)－eq \f(1,4)，从而an＝eq \f(3n－（－1）n,4). 解法二：由题意可得该数列的特征方程为x2＝2x＋3，因为方程x2＝2x＋3的两根为－1，3， 故可设an＝c1·(－1)n－1＋c2·3n－1， 由a1＝1，a2＝2，解得c1＝eq \f(1,4)，c2＝eq \f(3,4)， 所以an＝eq \f(3n－（－1）n,4). 解：解法一：由an＋2＝4an＋1－4an， 得an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)， ∵a1＝4，a2＝12，∴a2－2a1＝12－8＝4， ∴eq \f(an＋2－2an＋1,an＋1－2an)＝2， 则数列{an＋1－2an}是首项为4，公比为2的等比数列， ∴an＋1－2an＝4×2n－1＝2n＋1， ∴eq \f(an＋1,2n＋1)－eq \f(an,2n)＝1， 即数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))是首项为2，公差为1的等差数列， ∴eq \f(an,2n)＝2＋1×(n－1)＝n＋1， 则an＝(n＋1)·2n. 解法二：由题意可得该数列的特征方程为x2＝4x－4， 即x2－4x＋4＝0，因为该特征方程有两重根2， 故可设an＝(c1＋nc2)·2n－1， 由a1＝4，a2＝12，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c1＋c2＝4，,（c1＋2c2）·2＝12，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c1＝2，,c2＝2.)) 故an＝(2＋2n)·2n－1＝(n＋1)·2n. eq \f(1,100) 考向三　倒数为特殊数列(形如an＋1＝eq \f(pan,ran＋s)型) (an,3an＋1) (1)(2025·广东湛江模拟)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则a34＝________． 解析：因为a1＝1，an＋1＝eq \f(an,3an＋1)，所以eq \f(1,an＋1)＝eq \f(3an＋1,an)＝3＋eq \f(1,an)，即eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝3，所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1为首项，3为公差的等差数列，所以eq \f(1,an)＝1＋3(n－1)＝3n－2，则an＝eq \f(1,3n－2)，所以a34＝eq \f(1,3×34－2)＝eq \f(1,100). (2)(2025·云南昆明一中模拟)在数列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝eq \f(bn,3bn＋2)，n∈N*，则数列{bn}的通项公式为bn＝________． 解析：递推公式bn＋1＝eq \f(bn,3bn＋2)两边同时取倒数，得eq \f(1,bn＋1)＝eq \f(3bn＋2,bn)，即eq \f(1,bn＋1)＝2·eq \f(1,bn)＋3，因此eq \f(1,bn＋1)＋3＝2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)＋3))，又eq \f(1,b1)＋3＝2，故数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)＋3))是以2为首项，2为公比的等比数列，所以eq \f(1,bn)＋3＝2n，可得bn＝eq \f(1,2n－3). eq \f(1,2n－3) 　先将an＋1＝eq \f(pan,ran＋s)两边同时取倒数转化为eq \f(1,an＋1)＝eq \f(s,p)·eq \f(1,an)＋eq \f(r,p)的形式，即考向一中角度1的类型，进而求出eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的通项公式，得到{an}的通项公式． 解析：由an＋1＝eq \f(3an,an＋2)，a1＝3，可知an≠0，所以eq \f(1,an＋1)＝eq \f(an＋2,3an)＝eq \f(2,3)·eq \f(1,an)＋eq \f(1,3)，则1－eq \f(1,an＋1)＝eq \f(2,3)－eq \f(2,3)·eq \f(1,an)＝eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,an)))，又1－eq \f(1,a1)＝eq \f(2,3)，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,an)))是首项为eq \f(2,3)，公比为eq \f(2,3)的等比数列，所以1－eq \f(1,an)＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(n－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(n)，所以an＝eq \f(1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(n))＝eq \f(3n,3n－2n). eq \f(3n,3n－2n) (3an,an＋2) 　(2025·八省联考改编)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝，则数列{an}的通项公式为an＝________． $$