第3章 第6讲 对数与对数函数-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案课件PPT（提升版）

第三章　函数 第6讲　对数与对数函数 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1)． 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 目录 基础知识整合 x＝logaN logaM＋logaN logaM－logaN y＝logax 基础知识整合 5 a>1 0<a<1 图象 定义域 _________ 值域 R 定点 过定点________ 单调性 __________ __________ 函数值的变化 当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0 (0，＋∞) 4．对数函数的图象与性质 (1，0) 增函数 减函数 基础知识整合 6 5.反函数 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝_______ (a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线_______ 对称． logax y＝x 基础知识整合 7 基础知识整合 8 3．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 基础知识整合 9 基础知识整合 10 基础知识整合 11 3．函数f(x)＝loga(x＋2)－2(a>0，且a≠1)的图象过定点___________． 解析：由loga1＝0(a>0，且a≠1)知，f(－1)＝loga(－1＋2)－2＝0－2＝－2，所以函数f(x)的图象过定点(－1，－2)． (－1，－2) 基础知识整合 12 4．(人教B必修第二册4.2.2练习B T3改编)求值：lg 5×lg 20＋(lg 2)2＝________． 解析：原式＝lg 5×lg (22×5)＋(lg 2)2＝lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝(lg 5)2＋2lg 2×lg 5＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝[lg (5×2)]2＝1. 1 基础知识整合 13 基础知识整合 14 核心考向突破 考向一　对数的化简与求值 核心考向突破 16 核心考向突破 17 核心考向突破 18 核心考向突破 19 对数运算的策略 核心考向突破 20 核心考向突破 21 2．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝________． 解析：由f(ln 2)f(ln 4)＝8，可得aln 2·aln 4＝8，即aln 2＋ln 4＝a3ln 2＝8，也即(aln 2)3＝23，∵a>0且a≠1，∴aln 2＝2，两边取对数得ln 2·ln a＝ln 2，解得a＝e. e 核心考向突破 22 64 核心考向突破 23 考向二　对数函数的图象及其应用 (1)若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是(　　) 核心考向突破 24 核心考向突破 25 利用对数函数的图象可求解的两类热点问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其对数型图象的函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合思想求解． 核心考向突破 26 　1.函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为(　　) 解析：由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称，画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移1个单位长度即得f(x)的图象，结合图象知选A. 核心考向突破 27 2．设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝ln x1，e－x2 ＝ln (x2＋1)，e－x3＝lg x3，则(　　) A．x1<x2<x3 B．x1<x3<x2 C．x2<x3<x1 D．x2<x1<x3 核心考向突破 28 考向三　对数函数的性质及其应用 角度1　比较对数值的大小 (1)(2025·安徽合肥模拟)已知a＝log0.62，b＝log20.6，c＝0.62，则(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b 核心考向突破 29 (2)(多选)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2，则下列关系中可能成立的是 (　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．a<c<b 解析：由loga2<logb2<logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：①1<c<b<a；②0<a<1<c<b；③0<b<a<1<c；④0<c<b<a<1.作出函数的图象(如图所示)．由图象可知B，C，D可能成立． 核心考向突破 30 比较对数值大小的方法 核心考向突破 31 核心考向突破 32 核心考向突破 33 角度2　解对数不等式 (1)(2025·福建泉州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f(lg x)<0，则x的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(1，10) C．(1，＋∞) D．(10，＋∞) 解析：根据奇函数的性质可知f(x)在R上单调递增，且f(0)＝0，因此不等式f(lg x)<0可化为f(lg x)<f(0)，即lg x<0，解得0<x<1.所以x的取值范围是(0，1)．故选A. 核心考向突破 34 核心考向突破 35 对数不等式的类型及其解法 核心考向突破 36 　1.(2025·贵阳模拟)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|logax>1，a>0，且a≠1}，若A∩B＝∅，则a的取值范围是________． 解析：由已知可得A＝{x|－1≤x≤3}，若a>1，则B＝{x|x>a}，由A∩B＝∅，得a≥3；若0<a<1，则B＝{x|0<x<a}，此时A∩B＝B≠∅，不符合题意．综上可得，a的取值范围是[3，＋∞)． [3，＋∞) 核心考向突破 37 2．若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是________． 核心考向突破 38 角度3　对数函数性质的综合应用 (1)(2025·深圳红岭教育集团统考)已知函数f(x)＝loga[x(a－x)](a>0，且a≠1)在(1，2)上单调递增，则a的取值范围为(　　) A．(1，2] B．(1，4] C．[2，＋∞) D．[4，＋∞) 核心考向突破 39 (2)已知函数f(x)＝3＋log2x，x∈[1，16]，若函数g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)，则函数g(x)的最大值为________． 39 核心考向突破 40 解对数函数综合问题的三个关注点 (1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论． (2)底数与1的大小关系． (3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用． 核心考向突破 41 核心考向突破 42 核心考向突破 43 2．已知函数f(x)＝|ln x－a|＋a(a>0)在[1，e2]上的最小值为1，则a的值为________． 1 核心考向突破 44 课时作业 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 5．苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier，1550～1617)发明的对数及对数表(如下表)，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间．即若是任何一个正实数N可以表示成N＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)，则lg N＝n＋lg a(0≤lg a<1)，这样我们可以知道N的位数．已知正整数M31是35位数，则M的值为(　　) A.3 　　　　　　　B．12 　　　　　　　C．13　　　　　　　 D．14 N 2 3 4 5 11 12 13 14 15 lg N 0.30 0.48 0.60 0.70 1.04 1.08 1.11 1.15 1.18 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 7．已知a＝log75，b＝log97，c＝log119，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<b<a 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 二、多项选择题 9.函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　) A．a＞1 B．0＜c＜1 C．0＜a＜1 D．c＞1 解析：由图象可知0＜a＜1，令y＝0，得loga(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0＜1－c＜1，故0＜c＜1.故选BC. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 11．已知函数f(x)＝log2(1＋4x)－x，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)是偶函数 　B．函数f(x)是奇函数 C．函数f(x)在(－∞，0]上为增函数 　D．函数f(x)的值域为[1，＋∞) 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 ln 2 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 13．已知函数f(x)＝log2(x2－2ax＋3)．若函数f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是__________；若函数f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是________________________． 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 14．如图，已知过原点O的直线与函数y＝log8x的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C，D两点，若BC∥x轴，则梯形ABDC的面积为________． 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 　　　　　　　　　　　　　 R 1．对数的定义 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的运算法则 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么 (1)loga(MN)＝______________； (2)logaeq \f(M,N)＝_________________； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 3．对数函数的定义 函数__________ (a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量． 1．对数的性质(a＞0，且a≠1) (1)loga1＝0.(2)logaa＝1.(3)alogaN＝N. 2．换底公式及其推论 (1)logab＝eq \f(logcb,logca)(a，c均大于0且不等于1，b＞0)． (2)logab·logba＝1，即logab＝eq \f(1,logba)(a，b均大于0且不等于1)． (3)logab·logbc·logcd＝logad. (4)logambn＝eq \f(n,m)logab. 1．(人教A必修第一册习题4.3 T5改编)设alog34＝2，则4－a＝(　　) A.eq \f(1,16) B.eq \f(1,9) C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,6) 解析：由alog34＝2可得log34a＝2，所以4a＝9，所以4－a＝eq \f(1,9).故选B. 2．设a＝log20.3，b＝logeq \s\do7(\f(1,2))0.4，c＝0.40.3，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．a<c<b 解析：因为log20.3<log21＝0，所以a<0.因为logeq \s\do7(\f(1,2))0.4>logeq \s\do7(\f(1,2))eq \f(1,2)＝1，所以b>1.因为0<0.40.3<0.40＝1，所以0<c<1，所以a<c<b. 5．(人教A必修第一册习题4.4 T1(2)改编)函数y＝5(\f(2,3))eq \r(log\s\do9()（2x－1）) 的定义域是________． 解析：由logeq \s\do10(\f(2,3))(2x－1)≥0，得logeq \s\do10(\f(2,3))(2x－1)≥logeq \s\do10(\f(2,3))1，所以0<2x－1≤1，解得eq \f(1,2)<x≤1.故函数y＝5(\f(2,3))eq \r(log\s\do9()（2x－1）) 的定义域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)). eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) A．2logeq \s\do15(\f(1,5))10＋logeq \s\do15(\f(1,5))0.25＝2 B．log427×log258×log95＝eq \f(8,9) C．lg 2＋lg 50＝10 D．log(2＋eq \r(3))(2－eq \r(3))－(log2eq \r(2))2＝－eq \f(5,4) 解析：对于A，2logeq \s\do15(\f(1,5))10＋logeq \s\do15(\f(1,5))0.25＝logeq \s\do15(\f(1,5))(102×0.25)＝logeq \s\do15(\f(1,5))52＝－2，A错误；对于B，log427×log258×log95＝eq \f(lg 33,lg 22)×eq \f(lg 23,lg 52)×eq \f(lg 5,lg 32)＝eq \f(3×3,2×2×2)＝eq \f(9,8)，B错误；对于C，lg 2＋lg 50＝lg 100＝2，C错误；对于D，log(2＋eq \r(3))(2－eq \r(3))－(log2eq \r(2))2＝－1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(2)＝－eq \f(5,4)，D正确． (2)(2025·四川宜宾模拟)设函数f(x)＝15(\f(1,2))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log（2－x），x<1，,3x＋1，x≥1，)) 则f(－2)＋f(log38)＝(　　) A．8 B．9 C．22 D．26 解析：f(－2)＝logeq \s\do15(\f(1,2))[2－(－2)]＝－2，因为log38>1，所以f(log38)＝3log38＋1＝ 3log38＋log33＝3log324＝24，所以f(－2)＋f(log38)＝－2＋24＝22.故选C. (3)(多选)已知a＝lg 2，b＝lg 3，则(　　) A．102a＋b＝7 B．2a＋b＝lg 12 C.eq \f(1,a＋2b)＝log1810 D．log365＝eq \f(1－a,2a＋2b) 解析：因为a＝lg 2，b＝lg 3，所以10a＝2，10b＝3，所以102a＋b＝(10a)2×10b＝4×3＝12，A错误；2a＋b＝lg 4＋lg 3＝lg 12，B正确；eq \f(1,a＋2b)＝eq \f(1,lg 2＋2lg 3)＝eq \f(1,lg 18)＝log1810，C正确；log365＝eq \f(lg 5,lg （4×9）)＝eq \f(1－lg 2,2lg 2＋2lg 3)＝eq \f(1－a,2a＋2b)，D正确．故选BCD. (x＋b,b)INCLUDEPICTURE"灰即时训练.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../杨楠/课件/559数学（一轮书（提升版/灰即时训练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "灰即时训练.TIF" \* MERGEFORMAT 　1.(2025·福建莆田模拟)已知函数f(x)＝aln ，其中a，b均为正数．若f(8b)－f(3b)＝2，则e－eq \s\up7(\f(1,a))＝________． 解析：f(8b)－f(3b)＝aln 9－aln 4＝2，故a＝eq \f(2,ln 9－ln 4)＝eq \f(2,ln \f(9,4))，故e－eq \s\up7(\f(1,a))＝e－eq \f(ln \f(9,4),2)＝eln eq \s\up7(\f(2,3))＝eq \f(2,3). eq \f(2,3) 3．(2024·全国甲卷)已知a>1，eq \f(1,log8a)－eq \f(1,loga4)＝－eq \f(5,2)，则a＝________． 解析：由eq \f(1,log8a)－eq \f(1,loga4)＝eq \f(3,log2a)－eq \f(1,2)log2a＝－eq \f(5,2)，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0，解得log2a＝－1或log2a＝6，又a>1，所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64. 解析：由于f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝k－1－1＝0，k＝2，因为f(x)＝ax－eq \f(1,ax)为减函数，所以0<a<1，所以g(x)＝loga(x＋2)，x>－2，g(x)为(－2，＋∞)上的减函数，g(－1)＝0，排除B，C，D，故选A. (2)若方程4x＝logax在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内有解，则实数a的取值范围为________． 解析：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax.当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数的大致图象，如图所示．可知，只需两图象在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有交点即可，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≥geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，即2≥logaeq \f(1,2)，则0<a≤eq \f(\r(2),2)，所以实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))). eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) 解析：画出函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e))) eq \s\up12(x)，y＝ln x，y＝ln (x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示，由图象知x2<x1<x3. 解析：c＝0.62>0，b＝log20.6<0，且b＝log20.6>log20.5＝－1，即b∈(－1，0)．a＝log0.62＝eq \f(1,log20.6)＝eq \f(1,b)∈(－∞，－1)，所以c>b>a.故选C. A．ln 3 B．ln (ln 3) C.eq \f(1,ln 3) D．(ln 3)2 解析：因为ln e<ln 3<ln e2，即1<ln 3<2，所以ln (ln 3)<ln 2<1，eq \f(1,ln 3)<1，故B，C不满足题意；又(ln 3)2－ln 3＝(ln 3－1)ln 3>0，所以(ln 3)2>ln 3.故选D. 2．(2025·安徽江淮十校第一次联考)若a＝ln eq \r(10)，b＝eq \r(ln 2×ln 5)，c＝ln eq \r(4e)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c<a<b B．a<b<c C．c<b<a D．b<a<c 解析：c＝ln eq \r(4e)＝eq \f(ln 4e,2)>eq \f(ln 10,2)＝ln eq \r(10)＝a，而a＝ln eq \r(10)＝eq \f(ln 10,2)＝eq \f(ln 2＋ln 5,2)>eq \r(ln 2×ln 5)＝b，所以b<a<c.故选D. (2)设函数f(x)＝1,2))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,log\s\do9()（－x），x<0.)) 若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1) 解析：由题意可得do15(\f(1,2))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,log2a>loga)) 或do15(\f(1,2))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,log（－a）>log2（－a），)) 解得－1<a<0或a>1.故选C. 解析：由题意得a>0，且a≠1，故必有a2＋1>2a，又loga(a2＋1)<loga2a<0，所以0<a<1，同时2a>1，所以a>eq \f(1,2).综上，a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)). eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) 解析：若0<a<1，则x(a－x)<0在(1，2)上恒成立，不符合条件；若a>1，由f(x)在(1，2)上单调递增，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>1，,\f(a,2)≥2，))解得a≥4.综上，a的取值范围为[4，＋∞)．故选D. 解析：函数g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1≤x≤16，,1≤x2≤16，))解得1≤x≤4，即函数g(x)的定义域为[1，4]．g(x)＝[f(x)]2＋2f(x2)＝(3＋log2x)2＋6＋2log2x2＝(log2x)2＋10log2x＋15＝(log2x＋5)2－10，因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，所以当log2x＝2时，g(x)取得最大值39. (2x＋1,2x－1)INCLUDEPICTURE"灰即时训练.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../杨楠/课件/559数学（一轮书（提升版/灰即时训练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "灰即时训练.TIF" \* MERGEFORMAT 　1.(多选)已知函数f(x)＝ln ，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递减 D．f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞) 解析：f(x)＝ln eq \f(2x＋1,2x－1)，令eq \f(2x＋1,2x－1)＞0，解得x＞eq \f(1,2)或x＜－eq \f(1,2)，∴f(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，又f(－x)＝ln eq \f(－2x＋1,－2x－1)＝ln eq \f(2x－1,2x＋1)＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1,2x－1))) eq \s\up12(－1)＝－ln eq \f(2x＋1,2x－1)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故A正确，B错误；又f(x)＝ln eq \f(2x＋1,2x－1)＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,2x－1)))，令t＝1＋eq \f(2,2x－1)，t＞0且t≠1，∴y＝ln t，又t＝1＋eq \f(2,2x－1)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递减，且y＝ln t为增函数，∴f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递减，故C正确；f(x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确． 解析：由题意得ln x∈[0，2]，当a≥2时，f(x)＝2a－ln x在[1，e2]上单调递减，∴f(x)的最小值为f(e2)＝2a－2＝1，a＝eq \f(3,2)<2，不符合题意；当0<a<2时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－ln x，x∈[1，ea），,ln x，x∈[ea，e2]，))f(x)在[1，ea]上单调递减，在[ea，e2]上单调递增，∴f(x)的最小值为f(ea)＝a＝1，符合题意．综上，a＝1. 一、单项选择题 1．已知x，y为正实数，则(　　) A．lg (x2y)＝(lg x)2＋lg y B．lg (xeq \r(y))＝lg x＋eq \f(1,2)lg y C．eln x＋ln y＝x＋y D．eln x－ln y＝xy 解析：x，y为正实数，lg (x2y)＝lg x2＋lg y＝2lg x＋lg y，故A错误；lg (xeq \r(y))＝lg x＋lg eq \r(y)＝lg x＋eq \f(1,2)lg y，故B正确；eln x＋ln y＝eln x·eln y＝xy，故C，D错误．故选B. 2．已知f(x5)＝lg x，则f(2)＝(　　) A．lg 2 B．lg 32 C．lg eq \f(1,32) D.eq \f(1,5)lg 2 解析：令x5＝t，则x＝teq \s\up7(\f(1,5))(t>0)，∴f(t)＝lg teq \s\up7(\f(1,5))＝eq \f(1,5)lg t，∴f(2)＝eq \f(1,5)lg 2.故选D. 3．(2025·山东泰安模拟)在同一直角坐标系中，函数y＝eq \f(1,ax)，y＝logaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) 解析：函数y＝eq \f(1,ax)，y＝logaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))的图象过的定点分别是(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，当a>1时，由复合函数单调性可知y＝eq \f(1,ax)，y＝logaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))分别单调递减、单调递增；当0<a<1时，由复合函数单调性可知y＝eq \f(1,ax)，y＝logaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))分别单调递增、单调递减，对比选项可知，只有B符合题意．故选B. 4．若logaeq \f(2,3)<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))∪(1，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))∪(1，＋∞) 解析：因为logaeq \f(2,3)<1，所以logaeq \f(2,3)<logaa.若a>1，则上式显然成立；若0<a<1，则应满足0＜a＜eq \f(2,3).所以实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))∪(1，＋∞)．故选D. 解析：因为N＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)，则lg N＝n＋lg a(0≤lg a<1)，所以1034≤M31<1035，两边取常用对数得34≤31lg M<35，于是eq \f(34,31)≤lg M<eq \f(35,31)，即1.10<lg M<1.13，所以M＝13.故选C. 6．若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－ln （－x），a≤x<0，,－x2＋2x，0≤x≤3))的值域为[－3，＋∞)，则a的取值范围是(　　) A．[－e3，0) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－e3，－\f(1,e))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－e3，－\f(1,e))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－e3，－\f(1,e))) 解析：当0≤x≤3时，f(x)＝－x2＋2x∈[－3，1]，当a≤x＜0时，f(x)＝－ln (－x)≥－ln (－a)，因为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－ln （－x），a≤x<0，,－x2＋2x，0≤x≤3))的值域为[－3，＋∞)，所以－3≤－ln (－a) ≤1，故－1≤ln (－a)≤3，解得－e3≤a≤－eq \f(1,e).故选C. 解析：因为log75－log97＝eq \f(lg 5,lg 7)－eq \f(lg 7,lg 9)＝eq \f(lg 5×lg 9－（lg 7）2,lg 7×lg 9)，又因为lg 5×lg 9≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 5＋lg 9,2))) eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 45,2))) eq \s\up12(2)<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 49,2))) eq \s\up12(2)＝(lg 7)2，所以log75－log97<0，即a<b；因为log97－log119＝eq \f(lg 7,lg 9)－eq \f(lg 9,lg 11)＝eq \f(lg 7×lg 11－（lg 9）2,lg 11×lg 9)，又因为lg 7×lg 11≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 7＋lg 11,2))) eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 77,2))) eq \s\up12(2)<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 81,2))) eq \s\up12(2)＝(lg 9)2，所以log97－log119<0，即b<c，所以a<b<c.故选A. 8．(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝(x＋a)·ln (x＋b)，若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为(　　) A.eq \f(1,8) 　　　　　　　B.eq \f(1,4) 　　　　　　　C.eq \f(1,2) 　　　　　　　D．1 解析：解法一：由题意可知，f(x)的定义域为(－b，＋∞)，令x＋a＝0，得x＝－a；令ln (x＋b)＝0，得x＝1－b.若－a≤－b，当x∈(－b，1－b)时，可知x＋a>0，ln (x＋b)<0，此时f(x)<0，不符合题意；若－b<－a<1－b，当x∈(－a，1－b)时，可知x＋a>0，ln (x＋b)<0，此时f(x)<0，不符合题意；若－a＝1－b，当x∈(－b，1－b)时，可知x＋a<0，ln (x＋b)<0，此时f(x)>0，当x∈[1－b，＋∞)时，可知x＋a≥0，ln (x＋b)≥0，此时f(x)≥0，可知－a＝1－b符合题意；若－a>1－b，当x∈(1－b，－a)时，可知x＋a<0，ln (x＋b)>0，此时f(x)<0，不符合题意．综上所述，－a＝1－b，即b＝a＋1，则a2＋b2＝a2＋(a＋1)2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(1,2)≥eq \f(1,2)，当且仅当a＝－eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,2)时，等号成立，所以a2＋b2的最小值为eq \f(1,2).故选C. 解法二：由题意可知，f(x)的定义域为(－b，＋∞)，令x＋a＝0，得x＝－a；令ln (x＋b)＝0，得x＝1－b，则当x∈(－b，1－b)时，ln (x＋b)<0，故x＋a≤0，所以1－b＋a≤0；当x∈(1－b，＋∞)时，ln (x＋b)>0，故x＋a≥0，所以1－b＋a≥0，故1－b＋a＝0，则a2＋b2＝a2＋(a＋1)2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(1,2)≥eq \f(1,2)，当且仅当a＝ －eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,2)时，等号成立，所以a2＋b2的最小值为eq \f(1,2).故选C. 10．(2024·重庆模拟)已知3a＝5b＝15，则下列结论正确的是(　　) A．lg a>lg b B．a＋b＝ab C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(a)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(b) D．a＋b>4 解析：由题意，得a＝log315>log31>0，b＝log515>log51＝0，eq \f(1,a)＝log153>0，eq \f(1,b)＝log155>0，则0<eq \f(1,a)<eq \f(1,b)，则a>b>0.对于A，根据对数函数y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，则lg a>lg b，故A正确；对于B，因为eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝log153＋log155＝1，即eq \f(a＋b,ab)＝1，则a＋b＝ab，故B正确； 对于C，因为a>b>0，根据指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)在R上单调递减，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(a)<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(b)，故C错误；对于D，因为a>b>0，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，所以a＋b＝(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，当且仅当a＝b时，等号成立，而显然a≠b，则a＋b>4，故D正确．故选ABD. 解析：根据题意，函数f(x)＝log2(1＋4x)－x，定义域为R，有f(－x)＝log2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4x)))＋x＝log2(1＋4x)－x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，A正确，B错误；对于C， f(－1)＝log2eq \f(5,2)>1＝f(0)，f(x)在(－∞，0]上不是增函数，C错误；对于D，f(x)＝log2(1＋4x)－x＝log2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x)＋2x))，设t＝eq \f(1,2x)＋2x≥2，当且仅当x＝0时等号成立，则t的最小值为2，故f(x)≥log22＝1，即函数f(x)的值域为[1，＋∞)，D正确．故选AD. 三、填空题 12．若f(x)＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1－x)))＋b是奇函数，则a＝________，b＝________． －eq \f(1,2) 解析：因为函数f(x)＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1－x)))＋b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由a＋eq \f(1,1－x)≠0可得，(1－x)(a＋1－ax)≠0，所以eq \f(a＋1,a)＝－1，解得a＝－eq \f(1,2)，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，再由f(0)＝0可得，b＝ln 2.即f(x)＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,1－x)))＋ln 2＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,1－x)))，在定义域内满足f(－x)＝－f(x)，符合题意． (－eq \r(3)，eq \r(3)) 解析：由函数f(x)的定义域为R，得x2－2ax＋3>0恒成立，所以Δ＝4a2－12<0，解得－eq \r(3)<a<eq \r(3).设A为y＝x2－2ax＋3的值域，则A＝[3－a2，＋∞)，若f(x)的值域为R，则(0，＋∞)⊆A，所以3－a2≤0，解得a≤－eq \r(3)或a≥eq \r(3). (－∞，－eq \r(3)]∪[eq \r(3)，＋∞) eq \f(4\r(3),3)log23 解析：设点A，B的横坐标分别为x1，x2，由题设，知x1＞1，x2＞1，则点A，B的纵坐标分别为log8x1，log8x2.∵A，B在过点O的直线上，∴eq \f(log8x1,x1)＝eq \f(log8x2,x2)，点C，D的坐标分别为(x1，log2x1)，(x2，log2x2)．由BC平行于x轴，知log2x1＝log8x2，即log2x1＝eq \f(1,3)log2x2，∴x2＝xeq \o\al(3,1)，代入x2log8x1＝x1log8x2，得xeq \o\al(3,1)log8x1＝3x1log8x1.由x1＞1知log8x1≠0，∴xeq \o\al(3,1)＝3x1，又x1＞1，解得x1＝eq \r(3).于是点A的坐标为(eq \r(3)，log8eq \r(3))，即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,6)log23))，∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(3)，\f(1,2)log23))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,2)log23))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(3)，\f(3,2)log23))，∴梯形ABDC的面积为S＝eq \f(1,2)(AC＋BD)·BC＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)log23＋log23))×2eq \r(3)＝eq \f(4\r(3),3)log23. 四、解答题 15．已知函数f(x)＝9x－28×3x＋1＋243，g(x)＝log2eq \f(x2,8)·log2eq \f(\r(x),2). (1)设集合A＝{x∈R|f(x)≤0}，求集合A； (2)当x∈A时，求g(x)的最大值和最小值． 解：(1)由f(x)＝9x－28×3x＋1＋243≤0， 得(3x)2－84×3x＋243≤0， 即(3x－3)(3x－81)≤0，则3≤3x≤81， 解得1≤x≤4，∴A＝{x|1≤x≤4}． (2)g(x)＝log2eq \f(x2,8)·log2eq \f(\r(x),2) ＝(2log2x－3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)log2x－1)) ＝(log2x)2－eq \f(7,2)log2x＋3 ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2x－\f(7,4))) eq \s\up12(2)－eq \f(1,16). ∵x∈[1，4]，∴log2x∈[0，2]，∴当log2x＝0时，g(x)max＝3； 当log2x＝eq \f(7,4)时，g(x)min＝－eq \f(1,16). 故g(x)的最大值为3，最小值为－eq \f(1,16). 16．函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[m，n]⊆D使f(x)在[m，n]上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，\f(n,2)))，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”．若函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，求t的取值范围． 解：∵函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a>0，且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R， 当a>1时，z＝ax＋t2在R上单调递增，y＝logaz在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)为R上的增函数；当0＜a＜1时，f(x)仍为R上的增函数，∴f(x)在定义域R上为增函数， ∴方程loga(ax＋t2)＝eq \f(1,2)x有两个不同的根，∴ax＋t2＝aeq \s\up7(\f(1,2))x，即ax－aeq \s\up7(\f(1,2))x＋t2＝0， 令u＝aeq \s\up7(\f(1,2))x，u>0，即关于u的方程u2－u＋t2＝0有两个不同的正数根，可得1－4t2>0，且t2>0， 解得t∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))， ∴t的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))). $$