第3章 第5讲 指数与指数函数-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案课件PPT（提升版）

第三章　函数 第5讲　指数与指数函数 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 目录 基础知识整合 xn＝a 正数 负数 两个 相反数 基础知识整合 5 ar＋s ars arbr 基础知识整合 6 4．指数函数的概念 函数__________________叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数． 说明：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0，a>0，且a≠1)的函数叫做指数型函数． y＝ax(a>0，且a≠1) 基础知识整合 7 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 _____________ 定点 过定点_________ ，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 单调性 _________ _________ 对称性 y＝ax与y＝ 的图象关于y轴对称 (0，＋∞) 5．指数函数的图象和性质 (0，1) 增函数 减函数 基础知识整合 8 基础知识整合 9 基础知识整合 10 基础知识整合 11 3．(人教A必修第一册习题4.2 T6改编)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c 解析：因为指数函数y＝1.01x是增函数，又0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，故b>a.因为幂函数y＝x0.5是增函数，又1.01>0.6，所以1.010.5>0.60.5，故a>c.所以b>a>c.故选D. 基础知识整合 12 4．函数f(x)＝ax－2026＋2026(a＞0，且a≠1)的图象过定点A，则点A的坐标为_____________． 解析：令x－2026＝0，得x＝2026，又f(2026)＝2027，故点A的坐标为(2026，2027)． (2026，2027) 基础知识整合 13 基础知识整合 14 核心考向突破 考向一　指数幂的运算 核心考向突破 16 核心考向突破 17 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一． 核心考向突破 18 a4 核心考向突破 19 核心考向突破 20 核心考向突破 21 核心考向突破 22 考向二　指数函数的图象及其应用 (1)(多选)已知实数a，b满足等式2025a＝2026b，则下列关系式有可能成立的是(　　) A．0<b<a B．a<b<0 C．0<a<b D．a＝b 解析：在同一坐标系下画出y＝2025x与y＝2026x的大致图象，结合图象可知A，B，D可能成立．故选ABD. 核心考向突破 23 (2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________． 核心考向突破 24 处理指数图象问题的策略 (1)抓住特殊点 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，与直线x＝1的交点坐标为(1，a)． (2)巧用图象变换 常见的变换有：①函数y＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图象可由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度得到； ②函数y＝ax＋b的图象可由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到； ③函数y＝a|x|的图象关于y轴对称，当x≥0时，其图象与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在 [0，＋∞)上的图象相同；当x<0时，其图象与x≥0时的图象关于y轴对称． 核心考向突破 25 　1.(2025·吉林长春模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x-b) (a＞b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(　　) 解析：由图象可知，b＜－1，0＜a＜1，所以函数g(x)＝ax＋b是减函数，g(0)＝1＋b＜0，所以A符合．故选A. 核心考向突破 26 解析：如图是函数y＝2|x|在值域为[1，2]上的图象．使函数y＝2|x|的值域为[1，2]的定义域区间中，长度最小的区间为[－1，0]或[0，1]，长度最大的区间为[－1，1]，从而由定义可知区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为2－1＝1.故选B. 核心考向突破 27 考向三　指数函数的性质及其应用 核心考向突破 28 (2)(2025·辽宁沈阳模拟)若p：0<a<b；q：4a－4b<5－a－5－b，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：设f(x)＝4x－5－x，则函数f(x)为增函数，则由4a－4b<5－a－5－b，即4a－5－a<4b－5－b可得a<b，所以0<a<b是4a－4b<5－a－5－b的充分不必要条件．故选A. 核心考向突破 29 比较指数式大小的方法 比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指． (1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小． (2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小，或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小． (3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较． 核心考向突破 30 核心考向突破 31 核心考向突破 32 核心考向突破 33 核心考向突破 34 1．解指数方程的依据 af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)⇔f(x)＝g(x)． 2．解指数不等式的思路方法 对于形如ax>ab(a>0，且a≠1)的不等式，需借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1与0<a<1两种情况讨论；而对于形如ax>b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解． 核心考向突破 35 核心考向突破 36 2．方程4x＋|1－2x|＝11的解为________． x＝log23 核心考向突破 37 核心考向突破 38 核心考向突破 39 [－2，＋∞) 0 核心考向突破 40 指数函数综合问题的处理策略 (1)涉及最值(或值域)的问题，通常要先对函数解析式进行变形，然后逐步求函数的最值． (2)涉及单调性的问题，一方面要注意底数对指数函数单调性的影响；另一方面要注意借助“同增异减”这一性质分析判断． 核心考向突破 41 　1.(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) 核心考向突破 42 2．已知函数f(x)＝4x－2x＋2－1，x∈[0，3]，则其值域为___________． 解析：令t＝2x，∵x∈[0，3]，∴1≤t≤8，∴g(t)＝t2－4t－1＝(t－2)2－5，t∈[1，8]，又y＝g(t)的图象关于直线t＝2对称，开口向上，∴g(t)在[1，2)上单调递减，在(2，8]上单调递增，且|8－2|>|2－1|，∴当t＝2时，函数取得最小值，即g(t)min＝－5，当t＝8时，函数取得最大值，即g(t)max＝31，∴f(x)的值域为[－5，31]． [－5，31] 核心考向突破 43 课时作业 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 11．(2024·湖北武汉质量评估)若实数a，b满足2a＋3a＝3b＋2b，则下列关系式中可能成立的是(　　) A．0<a<b<1 B．b<a<0 C．1<a<b D．a＝b 解析：设f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x，f(x)和g(x)在(－∞，＋∞)上均为增函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)．当x∈(－∞，0)时，f(x)<g(x)；当x∈(0，1)时，f(x)>g(x)；当x∈(1，＋∞)时，f(x)<g(x)．由函数f(x)与g(x)的图象可知(图略)，若f(a)＝2a＋3a＝3b＋2b＝g(b)，则b<a<0或0<a<b<1或1＜b＜a或a＝b.故选ABD. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 (－∞，－1] 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 13．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为__________，f(－4)与f(1)的大小关系是____________． 解析：因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)>f(－3)＝f(1)． (1，＋∞) f(－4)>f(1) 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 14．已知函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，则m的取值范围为____________． (－∞，－18] 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 　　　　　　　　　　　　　 R f(m,n))INCLUDEPICTURE"灰课程标准.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../杨楠/课件/559数学（一轮书（提升版/灰课程标准.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "灰课程标准.TIF" \* MERGEFORMAT 1.通过对有理数指数幂a (a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 1．根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果_________，那么x叫做a的n次方根 — n>1，且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个_______，负数的n次方根是一个_______ eq \r(n,a) 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有_______，它们互为_________ ±eq \r(n,a)(a＞0) 负数没有偶次方根 2.分数指数幂 (1)aeq \s\up7(\f(m,n))＝_________(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)a－eq \s\up7(\f(m,n))＝_______＝________ (a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝________ (a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝________ (a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝________ (a>0，b>0，r∈Q)． eq \r(n,am) f(m,n))eq \f(1,a) eq \f(1,\r(n,am)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))) eq \s\up12(x) 1．(eq \r(n,a))n＝a(n∈N*且n>1)． 2.eq \r(n,an)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数且n>1，,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0，))n为偶数且n>1.)) 3．底数对函数y＝ax(a>0，且a≠1)的函数值的影响如图 (a1>a2>a3>a4)，不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数 越大，函数图象越高． 1．(人教A必修第一册习题4.1 T1改编)化简eq \r(4,16x8y4)(x<0，y<0)得(　　) A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y 解析：因为x<0，y<0，所以eq \r(4,16x8y4)＝eq \r(4,24·（x2）4y4)＝|2x2y|＝－2x2y. 2．(人教A必修第一册习题4.1 T7(1)改编)已知5m＝10，5n＝2，则5eq \s\up7(\f(3m-2n,2))＝(　　) A．2eq \r(10) B．3eq \r(10) C．20 D．5eq \r(10) 解析：5eq \s\up7(\f(3m-2n,2))＝eq \r(\f(53m,52n))＝eq \r(\f(（5m）3,（5n）2))＝eq \r(\f(103,22))＝eq \r(52×10)＝5eq \r(10). 5．已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大eq \f(a,2)，则a的值为________． 解析：当0＜a＜1时，a－a2＝eq \f(a,2)，∴a＝eq \f(1,2)；当a＞1时，a2－a＝eq \f(a,2)，∴a＝eq \f(3,2).综上所述，a＝eq \f(1,2)或eq \f(3,2). eq \f(1,2)或eq \f(3,2) (1)8eq \s\up7(\f(2,3))×100－eq \s\up7(\f(1,2))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up12(－3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,81)))－eq \s\up7(\f(3,4))； (2)2,3))eq \f(（ab－1）－eq \s\up7(\f(1,2))a－eq \s\up7(\f(1,2))beq \s\up7(\f(1,3)),\r(6,ab5)) (a>0，b>0)； (3)9,2))eq \r(3,a\r(a－3)) ÷eq \r(\r(3,a-7)\r(3,a13))(a>0)； (4)已知a>0，aeq \s\up7(\f(1,2))＋a－eq \s\up7(\f(1,2))＝3，求eq \f(a2＋a－2＋1,a＋a－1＋1)的值． 解：(1)原式＝(23)eq \s\up7(\f(2,3))×(102)－eq \s\up7(\f(1,2))×(2－2)－3×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(4)))－eq \s\up7(\f(3,4))＝22×10－1×26×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(－3)＝eq \f(432,5). (2)原式＝1,3))eq \f(a－beq \s\up7(\f(1,2))a－eq \s\up7(\f(1,2))beq \s\up7(\f(1,3)),aeq \s\up7(\f(1,6))beq \s\up7(\f(5,6))) ＝a－eq \s\up7(\f(1,3))－eq \s\up7(\f(1,2))－eq \s\up7(\f(1,6))beq \s\up7(\f(1,2))+eq \s\up7(\f(1,3))－eq \s\up7(\f(5,6))＝eq \f(1,a). (3)原式＝(aeq \s\up7(\f(9,2))a－eq \s\up7(\f(3,2)))eq \s\up7(\f(1,3))÷(a－eq \s\up7(\f(7,3))aeq \s\up7(\f(13,3)))eq \s\up7(\f(1,2))＝(a3)eq \s\up7(\f(1,3))÷(a2) eq \s\up7(\f(1,2))＝a÷a＝1. (4)将aeq \s\up7(\f(1,2))＋a－eq \s\up7(\f(1,2))＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，所以a＋a－1＝7. 将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49， 所以a2＋a－2＝47， 所以eq \f(a2＋a－2＋1,a＋a－1＋1)＝eq \f(47＋1,7＋1)＝6. \lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,\r(6,a9)))) eq \s\up12(4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6,\r(3,a9)))) eq \s\up12(4)INCLUDEPICTURE"灰即时训练.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../杨楠/课件/559数学（一轮书（提升版/灰即时训练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "灰即时训练.TIF" \* MERGEFORMAT 　1.＝________． 解析：原式＝[(aeq \s\up7(\f(9,6)))eq \s\up7(\f(1,3))]4[(aeq \s\up7(\f(9,3)))eq \s\up7(\f(1,6))]4＝a2·a2＝a4. 2．已知3a＋2b＝1，则eq \f(9a·3b,\r(3a))＝________． 解析：因为3a＋2b＝1，所以eq \f(3,2)a＋b＝eq \f(1,2)，所以原式＝1,2))eq \f(（32）a·3b,（3a）) ＝32a＋b－eq \s\up7(\f(1,2))a＝3eq \s\up7(\f(3,2))a＋b＝3eq \s\up7(\f(1,2))＝eq \r(3). eq \r(3) 3．计算：0.027－eq \s\up7(\f(1,3))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7))) eq \s\up12(－2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9)))eq \s\up7(\f(1,2))－(eq \r(2)－1)0. 解：原式＝(0.33) －eq \s\up7(\f(1,3))－72＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,9)))eq \s\up7(\f(1,2))－1＝eq \f(10,3)－49＋eq \f(5,3)－1＝－45. 4．化简：1,4))eq \f(\r(a3b2\r(3,ab2)),（abeq \s\up7(\f(1,2))）4a－eq \s\up7(\f(1,3))beq \s\up7(\f(1,3))) (a>0，b>0)． 解：原式＝1,3))eq \f(（a3b2abeq \s\up7(\f(2,3))）eq \s\up7(\f(1,2)),ab2a－eq \s\up7(\f(1,3))beq \s\up7(\f(1,3))) ＝aeq \s\up7(\f(3,2))+eq \s\up7(\f(1,6))－1+eq \s\up7(\f(1,3))·b1+eq \s\up7(\f(1,3))－2－eq \s\up7(\f(1,3))＝ab－1＝eq \f(a,b). 解析：①当0<a<1时，y＝|ax－1|的图象如图1.因为y＝2a与y＝|ax－1|的图象有两个交点，所以0<2a<1，所以0<a<eq \f(1,2)；②当a>1时，y＝|ax－1|的图象如图2，而此时直线y＝2a不可能与y＝|ax－1|的图象有两个交点．综上，a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))). eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) 2．定义区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为(　　) A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．2 角度1　比较指数式的大小 f(4,3))INCLUDEPICTURE"灰例3.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../杨楠/课件/559数学（一轮书（提升版/灰例3.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "灰例3.TIF" \* MERGEFORMAT (1)已知a＝2，b＝4eq \s\up7(\f(2,5))，c＝25eq \s\up7(\f(1,3))，则(　　) A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 解析：因为a＝2eq \s\up7(\f(4,3))＝4eq \s\up7(\f(2,3))＞4eq \s\up7(\f(2,5))＝b，c＝25eq \s\up7(\f(1,3))＝5eq \s\up7(\f(2,3))＞4eq \s\up7(\f(2,3))＝a，所以b<a<c. A．1.72.5>1.73 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(2,3))<2－eq \s\up7(\f(4,3)) C．1.70.3<0.93.1 D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up7(\f(3,4))<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up7(\f(2,3)) 解析：∵y＝1.7x为增函数，∴1.72.5<1.73，故A不正确；∵2－eq \s\up7(\f(4,3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(4,3))，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)为减函数，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(2,3))>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up7(\f(4,3))＝2－eq \s\up7(\f(4,3))，故B不正确；∵1.70.3>1，而0.93.1∈(0，1)，∴1.70.3>0.93.1，故C不正确；∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(x)为减函数，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up7(\f(3,4))<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up7(\f(2,3))，又y＝xeq \s\up7(\f(2,3))在(0，＋∞)上单调递增，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up7(\f(2,3))<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up7(\f(2,3))，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up7(\f(3,4))<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up7(\f(2,3))<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up7(\f(2,3))，故D正确． 2．设eq \f(1,2)<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(b)<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(a)<1，那么(　　) A．aa<ab<ba B．aa<ba<ab C．ab<aa<ba D．ab<ba<aa 解析：∵eq \f(1,2)<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(b)<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(a)<1且y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)在R上是减函数，∴0<a<b<1，∴指数函数y＝ax在R上是减函数，∴ab<aa，∴幂函数y＝xa在R上是增函数，∴aa<ba， ∴ab<aa<ba.故选C. 角度2　解简单的指数方程或不等式 \lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up12(x－2)INCLUDEPICTURE"灰例4.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../杨楠/课件/559数学（一轮书（提升版/灰例4.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "灰例4.TIF" \* MERGEFORMAT (1)若x满足不等式2x2＋1≤，则函数y＝2x的值域是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,8))) D．[2，＋∞) 解析：将2 x2＋1≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up12(x－2)化为x2＋1≤－2(x－2)，即x2＋2x－3≤0，解得x∈[－3，1]，所以2－3≤2x≤21，所以函数y＝2x的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，2)). (2)已知实数a≠1，函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,2a－x，x<0，))若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________． 解析：①当a<1时，由f(1－a)＝f(a－1)，得41－a＝2a－(a－1)，即22－2a＝2，所以2－2a＝1，解得a＝eq \f(1,2)；②当a>1时，由f(1－a)＝f(a－1)，得2a－(1－a)＝4a－1，即22a－1＝22a－2，所以2a－1＝2a－2，无解．综上可知，a＝eq \f(1,2). eq \f(1,2) A．∅ B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2))))) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>－\f(1,2))))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x≤1)))) 解析：因为x2≥0，所以－x2＋1≤1，所以A＝{y|y≤1}，又因为9－x<3⇒3－2x<3⇒－2x<1⇒x>－eq \f(1,2)，所以B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>－\f(1,2)))))，所以A∩B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x≤1)))).故选D. 解析：当x≥0时，原方程化为4x＋2x－12＝0，即(2x)2＋2x－12＝0，∴(2x－3)(2x＋4)＝0，∴2x＝3，即x＝log23；当x<0时，原方程化为4x－2x－10＝0，令t＝2x，则t2－t－10＝0(0<t<1)，由求根公式，得t＝eq \f(1±\r(41),2)，均不符合题意，故当x<0时，方程无解．综上，原方程的解为x＝log23. 角度3　指数函数性质的综合应用 (2,2x－1)INCLUDEPICTURE"灰例5.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../杨楠/课件/559数学（一轮书（提升版/灰例5.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "灰例5.TIF" \* MERGEFORMAT (1)(多选)(2025·山东临沂模拟)已知函数f(x)＝＋a(a∈R)，则(　　) A．f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) B．f(x)的值域为R C．当a＝1时，f(x)为奇函数 D．当a＝2时，f(－x)＋f(x)＝2 解析：对于函数f(x)＝eq \f(2,2x－1)＋a(a∈R)，令2x－1≠0，解得x≠0，所以f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故A正确；因为2x>0，当2x－1>0时，eq \f(2,2x－1)>0，所以eq \f(2,2x－1)＋a>a，当－1<2x－1<0时，eq \f(2,2x－1)<－2，所以eq \f(2,2x－1)＋a<－2＋a.综上可得，f(x)的值域为 (－∞，－2＋a)∪(a，＋∞)，故B错误；当a＝1时，f(x)＝eq \f(2,2x－1)＋1＝eq \f(2x＋1,2x－1)，则f(－x)＝eq \f(2－x＋1,2－x－1)＝－eq \f(2x＋1,2x－1)＝－f(x)，所以f(x)＝eq \f(2,2x－1)＋1为奇函数，故C正确；当a＝2时，f(x)＝eq \f(2,2x－1)＋2＝eq \f(2x＋1,2x－1)＋1，则f(－x)＋f(x)＝eq \f(2x＋1,2x－1)＋1＋eq \f(2－x＋1,2－x－1)＋1＝2，故D正确．故选ACD. (2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(ax2－4x＋3)(a∈R)．若a＝－1，则函数f(x)的单调递增区间为____________；若f(x)的值域是(0，＋∞)，则a＝________． 解析：当a＝－1时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(－x2－4x＋3)，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2]上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(t)在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2]上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是[－2，＋∞)．令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(h（x）)，由指数函数的性质知，要使f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(h（x）)的值域为(0，＋∞)，应使h(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，因此只能a＝0(因为若a≠0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R)，故f(x)的值域为(0，＋∞)时，a的值为0. 解析：函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则函数y＝x(x－a)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2))) eq \s\up12(2)－eq \f(a2,4)在区间(0，1)上单调递减，因此eq \f(a,2)≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．故选D. 一、单项选择题 1．化简eq \f(2c,3a) eq \r(4,\f(81a5b2,16c4))(a>0，c<0)的结果为(　　) A．±eq \r(4,ab2) B．－eq \r(4,ab2) C．－eq \r(ab2) D.eq \r(ab2) 解析：原式＝eq \f(2c,3a) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(81a5b2,16c4)))eq \s\up7(\f(1,4))＝eq \f(2c,3a) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(34a5b2,24c4)))eq \s\up7(\f(1,4))＝eq \f(2c,3a)·1,4))eq \f(3a（ab2）,－2c) ＝－eq \r(4,ab2).故选B. 2．(2025·陕西商洛模拟)已知集合A＝{x|1<2x－1<eq \r(2)}，B＝{x|y＝eq \r(－x2＋3x－2)}，则A∪B＝(　　) A．{x|1≤x≤2} B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1≤x<\f(3,2))))) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)<x≤2)))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1<x<\f(3,2))))) 解析：因为A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<x－1<\f(1,2)))))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1<x<\f(3,2)))))，B＝{x|－x2＋3x－2≥0}＝{x|1≤x≤2}，所以A∪B＝{x|1≤x≤2}．故选A. 3．函数y＝eq \f(x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x),|x|)的图象大致是(　　) 解析：因为y＝eq \f(x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x),|x|)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)，x>0，,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)，x<0))在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，所以D正确．故选D. 4．(2024·安徽滁州模拟)函数f(x)＝xa－2与g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a))) eq \s\up12(－x)在(0，＋∞)上均单调递减的一个充分不必要条件是(　　) A．a∈(0，2) B．a∈[0，1) C．a∈[1，2) D．a∈(1，2] 解析：函数f(x)＝xa－2在(0，＋∞)上单调递减，可得a－2<0，即a<2；函数g(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a))) eq \s\up12(－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4))) eq \s\up12(x)在(0，＋∞)上单调递减，可得0<eq \f(a,4)<1，解得0<a<4，若函数f(x)＝xa－2与g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a))) eq \s\up12(－x)均单调递减，可得0<a<2，由题意可得所求区间真包含于(0，2)，结合选项，函数f(x)＝xa－2与g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a))) eq \s\up12(－x)均单调递减的一个充分不必要条件是a∈[1，2)．故选C. 5．草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力．草莓味甘、性凉，有润肺生津、健脾养胃等功效，受到众人的喜爱．根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为4个等级，其等级x(x＝1，2，3，4)与其对应等级的市场销售单价y(单位：元/千克)近似满足函数关系式y＝eax＋b.若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为24元/千克，则3级草莓的市场销售单价最接近(参考数据：eq \r(3,2)≈1.26，eq \r(3,4)≈1.59)(　　) A．30.24元/千克 B．33.84元/千克 C．38.16元/千克 D．42.64元/千克 解析：由题意可知eq \f(e4a＋b,ea＋b)＝e3a＝2，ea＝eq \r(3,2)，由ea＋b＝24，则e3a＋b＝ea＋b·e2a＝24e2a＝24×eq \r(3,4)≈38.16.故选C. 6．设函数f(x)＝3x＋b，函数f(x)的图象经过第一、三、四象限，则g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范围为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,9))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,9))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) 解析：由函数f(x)＝3x＋b的图象经过第一、三、四象限，可得b<－1，所以g(b)＝f(b)－f(b－1)＝3b－3b－1＝3b·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq \f(2,3)·3b<eq \f(2,3)×3－1＝eq \f(2,9)，又因为eq \f(2,3)·3b>0，所以g(b)＝f(b)－f(b－1)的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,9))).故选A. 7．已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))，b＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))，c＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))，则(　　) A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 解析：函数f(x)＝e－(x－1)2是由函数y＝eu和u＝－(x－1)2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以c＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(6),2)))，又eq \f(\r(2),2)＜2－eq \f(\r(6),2)＜eq \f(\r(3),2)＜1，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(6),2)))＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))，所以b＞c＞a.故选A. 8．当0＜x＜eq \f(1,2)时，方程ax＝eq \f(1,x)(a＞0，且a≠1)有解，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(4，＋∞) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) 解析：依题意，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))时，y＝ax与y＝eq \f(1,x)的图象有交点，作出y＝eq \f(1,x)，0<x<eq \f(1,2)的图象，如图，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>1，,a\f(1,2)>2，))解得a＞4.故选B. 二、多项选择题 9．已知函数f(x)＝a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(|x|)＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是(　　) A．a＋b＝0 B．若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＋y＝0 C．若x＜y＜0，则f(x)＜f(y) D．f(x)的值域为[0，2) 解析：∵f(x)＝a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(|x|)＋b的图象过原点，∴a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(0)＋b＝0，∴a＋b＝0，故A正确；由f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则b＝2，又a＋b＝0，则a＝－2，则f(x)＝－2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(|x|)＋2，其定义域为R，∵f(－x)＝－2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(|x|)＋2＝f(x)，则f(x)是偶函数，∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0)上为减函数，∴若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＝－y，x＋y＝0，故B正确；∵f(x)在(－∞，0)上为减函数，∴当x＜y＜0时，f(x)＞f(y)，故C错误；∵0<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(|x|)≤1，∴－2≤－2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(|x|)<0，∴0≤－2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(|x|)＋2＜2，∴f(x)的值域为[0，2)，故D正确．故选ABD. 10．(2025·吉林长春模拟)已知函数f(x)＝eq \f(2x,2x－1＋1)，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)单调递增 B．函数f(x)的值域为(0，2) C．函数f(x)的图象关于点(0，1)对称 D．函数f(x)的图象关于点(1，1)对称 解析：f(x)＝eq \f(2x,2x－1＋1)＝eq \f(2x＋2－2,2x－1＋1)＝2－eq \f(2,2x－1＋1)，函数y＝2－eq \f(2,t)，t＝2x－1＋1，则t>1，又内层函数t＝2x－1＋1在R上单调递增，外层函数y＝2－eq \f(2,t)在(1，＋∞)上单调递增，所以根据复合函数单调性的法则可知，函数f(x)单调递增，故A正确；因为2x－1＋1>1，所以0<eq \f(2,2x－1＋1)<2，则0<2－eq \f(2,2x－1＋1)<2，所以函数f(x)的值域为(0，2)，故B正确；f(2－x)＝eq \f(22－x,21－x＋1)＝eq \f(4,2＋2x)＝eq \f(2,2x－1＋1)，f(2－x)＋f(x)＝2，所以函数f(x)的图象关于点(1，1)对称，故C错误，D正确．故选ABD. 三、填空题 12．函数f(x)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)－2)的定义域是____________． 解析：若使函数f(x)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)－2)有意义，自变量x须满足eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)－2≥0，解得x∈(－∞，－1]，故函数f(x)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)－2)的定义域为(－∞，－1]． 解析：设t＝3x，则y＝9x＋m·3x－3＝t2＋mt－3.因为x∈[－2，2]，所以t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，9)).又函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，即y＝t2＋mt－3在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，9))上单调递减，故有－eq \f(m,2)≥9，解得m≤－18.所以m的取值范围为(－∞，－18]． 四、解答题 15．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))x3(a>0，且a≠1)． (1)讨论函数f(x)的奇偶性； (2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立． 解：(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0， ∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， 对于定义域内任意x，有 f(－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－x－1)＋\f(1,2)))(－x)3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ax,1－ax)＋\f(1,2)))(－x)3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))(－x)3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))x3＝f(x)， ∴函数f(x)为偶函数． (2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需讨论x>0时的情况． 当x>0时，要使f(x)>0，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ax－1)＋\f(1,2)))x3>0， 即eq \f(1,ax－1)＋eq \f(1,2)>0，即eq \f(ax＋1,2（ax－1）)>0，则ax>1. 又x>0， ∴a>1. ∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)>0在定义域上恒成立． 16．(2025·广东肇庆模拟)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1，b≠0)的图象经过点A(1，10)，B(2，50)． (1)求a，b的值； (2)若关于x的不等式bx－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))) eq \s\up12(x)≥m＋3在[－2，2]上有解，求m的取值范围． 解：(1)由函数f(x)＝b·ax的图象经过点A(1，10)，B(2，50)， 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b·a＝10，,b·a2＝50，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝2.)) (2)由(1)知a＝5，b＝2， 因为函数y＝bx＝2x在[－2，2]上单调递增，函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))) eq \s\up12(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5))) eq \s\up12(x)在[－2，2]上单调递减， 所以g(x)＝bx－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))) eq \s\up12(x)在[－2，2]上单调递增， 所以g(x)在[－2，2]上的最大值为g(2)＝22－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5))) eq \s\up12(2)＝eq \f(99,25)， 因为关于x的不等式bx－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))) eq \s\up12(x)≥m＋3在[－2，2]上有解， 所以m＋3≤eq \f(99,25)，解得m≤eq \f(24,25)， 即m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(24,25))). $$