第2章 素能培优（一） 基本不等式的综合应用-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案课件PPT（提升版）

第二章　不等式 素能培优(一)　基本不等式的综合应用 基本不等式是高考的高频考点，通常与基本初等函数、解三角形、立体几何、解析几何等知识综合考查，出现在选填题或解答题的解题过程中.2022年新高考Ⅰ卷出现在第18题，考查了用正弦定理边角互化与基本不等式的综合，难度中等；2021年新高考Ⅰ卷出现在第5题，考查了椭圆的定义与基本不等式的综合，较容易． 核心考向 目录 核心考向 考向一 　基本不等式与向量、解三角形、数列的综合 核心考向 5 核心考向 6 核心考向 7 1.已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项和为Tn，若不等式nlog2(Tn＋4)－λ(n＋1)＋2≥3n对一切正整数n恒成立，则实数λ的取值范围为(　　) A．[3，4] B．(－∞，2] C．[2，3] D．(－∞，1] 核心考向 8 核心考向 9 核心考向 10 考向二　基本不等式与立体几何的综合 核心考向 11 核心考向 12 基本不等式与立体几何综合考查时，通常围绕空间几何体表面积和体积的计算公式出题． 核心考向 13 已知某长方体的上底面周长为16，与该长方体等体积的一个圆柱的轴截面是面积为16的正方形，则该长方体高的取值范围是(　　) A．(0，π] B．(0，4π] C．[π，＋∞) D．[4π，＋∞) 核心考向 14 考向三　基本不等式与解析几何的综合 4 核心考向 15 核心考向 16 基本不等式与解析几何综合考查时，通常涉及直线平行、垂直的判断方法；直线与圆锥曲线相切；椭圆的定义；直线与圆锥曲线的综合中有关弦长、夹角或图形面积最值的问题． 核心考向 17 核心考向 18 核心考向 19 　　　　　　　　　　　　　 R (1)在△ABC中，E为AC上一点，eq \o(AC,\s\up16(→))＝3eq \o(AE,\s\up16(→))，P为BE上任一点，若eq \o(AP,\s\up16(→))＝meq \o(AB,\s\up16(→))＋neq \o(AC,\s\up16(→))(m>0，n>0)，则eq \f(3,m)＋eq \f(1,n)的最小值是(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 解析：由题意可知eq \o(AP,\s\up16(→))＝meq \o(AB,\s\up16(→))＋neq \o(AC,\s\up16(→))＝meq \o(AB,\s\up16(→))＋3neq \o(AE,\s\up16(→))，因为P，B，E三点共线，则m＋3n＝1，所以eq \f(3,m)＋eq \f(1,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,m)＋\f(1,n)))(m＋3n)＝6＋eq \f(9n,m)＋eq \f(m,n)≥6＋2eq \r(\f(9n,m)·\f(m,n))＝12，当且仅当m＝eq \f(1,2)，n＝eq \f(1,6)时，等号成立．所以eq \f(3,m)＋eq \f(1,n)的最小值是12. (2)(2024·广东肇庆一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则角C的最大值为(　　) A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(5π,12) 解析：∵a2＋b2≥2ab，a2＋b2＝2c2，∴由余弦定理，得cosC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)≥eq \f(a2＋b2－c2,a2＋b2)＝eq \f(2c2－c2,2c2)＝eq \f(1,2)，∵C为三角形的内角，∴角C的最大值为eq \f(π,3).故选C. 基本不等式与向量、解三角形、数列综合考查时，通常涉及以下知识点：向量共线、垂直的坐标表示；三点共线的充要条件：P，Q，M三点共线⇔eq \o(OP,\s\up16(→))＝meq \o(OQ,\s\up16(→))＋neq \o(OM,\s\up16(→))(m＋n＝1)；正、余弦定理；数列的通项公式与前n项和等． 解析：因为an＝2n＋1，所以Tn＝eq \f(4（2n－1）,2－1)＝2n＋2－4.不等式nlog2(Tn＋4)－λ(n＋1)＋2≥3n化为n2－n＋2≥λ(n＋1)，所以λ≤eq \f(n2－n＋2,n＋1)对一切正整数n恒成立，因为eq \f(n2－n＋2,n＋1)＝eq \f(（n＋1）2－3（n＋1）＋4,n＋1)＝(n＋1)＋eq \f(4,n＋1)－3≥2eq \r(（n＋1）·\f(4,n＋1))－3＝1，当且仅当n＋1＝eq \f(4,n＋1)，即n＝1时，等号成立，所以λ≤1.故选D. 2．在△ABC中，若C＝eq \f(π,2)，则sinAsinB的最大值是________． 解析：在△ABC中，C＝eq \f(π,2)，则sinA>0，sinB>0，由基本不等式得sinAsinB≤eq \f(sin2A＋sin2B,2)，∵A＋B＝eq \f(π,2)，∴sinB＝cosA，∴sinAsinB≤eq \f(sin2A＋sin2B,2)＝eq \f(sin2A＋cos2A,2)＝eq \f(1,2)，当且仅当sinA＝sinB＝eq \f(\r(2),2)时，等号成立，则sinAsinB的最大值是eq \f(1,2). eq \f(1,2) 在三棱锥A－BCD中，AC⊥平面BCD，BD⊥CD.若AB＝3，BD＝1，则三棱锥A－BCD体积的最大值为(　　) A．2 B.eq \f(4,3) C．1 D.eq \f(2,3) 解析：如图，因为AC⊥平面BCD，BD，CD⊂平面BCD，所以AC⊥BD，AC⊥CD.又BD⊥CD，AC∩CD＝C，AC，CD⊂平面ACD，所以BD⊥平面ACD.因为AD⊂平面ACD，所以BD⊥AD.在Rt△ABD中，AD＝eq \r(AB2－BD2)＝eq \r(32－12)＝2eq \r(2)，所以AC2＋CD2＝AD2＝8，所以S△ACD＝eq \f(1,2)AC·CD＝eq \f(1,4)·2AC·CD≤eq \f(1,4)(AC2＋CD2)＝2，当且仅当AC＝CD＝2时，等号成立．所以VA－BCD＝eq \f(1,3)S△ACD·BD≤eq \f(2,3).故选D. 解析：不妨设该长方体底面的长和宽分别为a，b，高为h，则a＋b＝8，轴截面是面积为16的正方形的圆柱，其底面圆的半径为2，高为4，体积为4×22π＝16π＝abh，则h＝eq \f(16π,ab)，又因为0<ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)＝16，所以eq \f(1,ab)≥eq \f(1,16)，故h≥16π×eq \f(1,16)＝π.故选C. 若直线l：y＝kx＋m与椭圆C：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1有两个不同的交点A，B，且m2＝4(k2＋1)，则弦AB长度的最大值为________． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,16)＋\f(y2,4)＝1，))消去y，整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－16)＝16(16k2＋4－m2)，又m2＝4(k2＋1)，所以Δ＝16(16k2＋4－4k2－4)＝192k2>0，可知k≠0，于是|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)·eq \f(\r(192k2),1＋4k2)＝eq \f(8\r(3)|k|\r(1＋k2),1＋4k2)≤eq \f(8×\f(3k2＋1＋k2,2),1＋4k2)＝4，当且仅当k＝±eq \f(\r(2),2)时，等号成立，所以弦AB长度的最大值为4. 　1.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13 B．12 C．9 D．6 解析：由椭圆的定义可知，|MF1|＋|MF2|＝2a＝6.由基本不等式可得|MF1|·|MF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|MF1|＋|MF2|,2))) eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2))) eq \s\up12(2)＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立．故选C. 2．(2025·河北衡水模拟)若直线l：ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为________． 解析：直线l：ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，即圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心(－1，2)在直线ax－by＋2＝0上，可得－a－2b＋2＝0，即a＋2b＝2，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,2)(a＋2b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq \f(3,2)＋eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2b,a)＋\f(a,b)))≥eq \f(3,2)＋eq \r(\f(2b,a)·\f(a,b))＝eq \f(3,2)＋eq \r(2)，当且仅当eq \f(2b,a)＝eq \f(a,b)，即a＝2eq \r(2)－2，b＝2－eq \r(2)时，等号成立，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为eq \f(3,2)＋eq \r(2). eq \f(3,2)＋eq \r(2) $$