第2章 第3讲 一元二次不等式的解法-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案课件PPT（提升版）

第二章　不等式 第3讲　一元二次不等式 的解法 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.2.了解一元二次不等式的现实意义.3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 4.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 目录 基础知识整合 1．三个“二次”之间的关系 两相异 两相等 没有 基础知识整合 5 x<x1，或 x>x2 R x1<x<x2 ∅ ∅ 基础知识整合 6 f(x)g(x)>0(<0) 2.分式不等式与整式不等式的关系 基础知识整合 7 一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)． (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)． 基础知识整合 8 基础知识整合 9 基础知识整合 10 基础知识整合 11 －14 基础知识整合 12 5．不等式mx2＋mx＋1>0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_______． [0，4) 基础知识整合 13 核心考向突破 考向一　一元二次不等式的解法 角度1　不含参数的一元二次不等式 解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)9x2－6x＋1>0；(4)x2<6x－10. 核心考向突破 15 核心考向突破 16 核心考向突破 17 解一元二次不等式的一般方法和步骤 核心考向突破 18 解下列不等式： 核心考向突破 19 核心考向突破 20 角度2　含参数的一元二次不等式 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)． 核心考向突破 21 核心考向突破 22 核心考向突破 23 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法 (1)当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系． (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． 核心考向突破 24 解关于x的不等式：x2－(a2＋a)x＋a3>0. 核心考向突破 25 角度3　可化为一元二次不等式的分式不等式 核心考向突破 26 核心考向突破 27 分式不等式的求解策略 核心考向突破 28 核心考向突破 29 考向二　三个“二次”之间的关系 核心考向突破 30 核心考向突破 31 (2)已知关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a＜0(a＜0)的解集是(x1，x2)(x1＜x2)，且x2－x1＝10，则a＝_______． －16 核心考向突破 32 (1)一元二次方程的根就是对应一元二次函数的零点，也是对应一元二次不等式解集的端点值． (2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了对应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用根或根与系数的关系求待定系数． 核心考向突破 33 (2025·山西临汾模拟)已知二次函数y＝ x2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式bx2－cx＋3≤0的解 集为_____________________． 解析：根据二次函数y＝x2＋bx＋c的图象可知，－1，2为方程x2＋bx＋c＝0的两根，故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2，则bx2－cx＋3≤0，即－x2＋2x＋3≤0，即x2－2x－3≥0，也即(x－3)(x＋1)≥0，解得x≥3或x≤－1.故原不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (－∞，－1]∪[3，＋∞) 核心考向突破 34 考向三　一元二次不等式恒(能)成立问题 角度1　在R上的恒成立问题 1 已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(　　) A．[0，1] B．(0，1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 核心考向突破 35 核心考向突破 36 一元二次不等式在R上恒成立的条件 不等式类型 恒成立条件 ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0 ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0 ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0 ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0 核心考向突破 37 若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，－2) C．(－2，2) D．(－2，2] 核心考向突破 38 角度2　在给定区间上的恒成立问题 (1)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　) A．[－1，3] B．(－∞，－1] C．[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 核心考向突破 39 (2)若对于x∈[1，3]，mx2－mx＋m－6<0(m≠0)恒成立，则m的取值范围是 __________________． 核心考向突破 40 核心考向突破 41 在给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)． (2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a. (3)对于以下两种题型，可以利用二次函数在端点m，n处的取值特点确定不等式求范围． ①ax2＋bx＋c<0(a>0)对x∈[m，n]恒成立； ②ax2＋bx＋c>0(a<0)对x∈[m，n]恒成立． 核心考向突破 42 提醒：一般地，知道谁的范围，就选谁当主元；求谁的范围，谁就是参数．如本例(1)中建立关于p的函数，x为参数，本例(2)中建立关于x的函数，m为参数． 核心考向突破 43 核心考向突破 44 2．已知函数f(x)＝x2－4x－4.若f(x)<1在区间(m－1，－2m)上恒成立，则实数m的取值范围是________． 核心考向突破 45 角度3　不等式能成立或有解问题 已知关于x的不等式ax2－2x＋3a<0在(0，2]上有解，则实数a的取值范围是(　　) 核心考向突破 46 核心考向突破 47 核心考向突破 48 解决不等式能成立问题的策略一般是转化为函数最值，即a>f(x)能成立⇒a>f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max. 核心考向突破 49 若存在x∈[0，1]，使x2＋(1－a)x＋3－a>0成立，则实数a的取值范围是__________． (－∞，3) 核心考向突破 50 课时作业 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 3．(2025·福建泉州模拟)设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　) A．{x|x<－n，或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m，或x>n} D．{x|－m<x<n} 解析：不等式(m－x)(n＋x)>0可化为(x－m)·(x＋n)<0，因为m＋n>0，所以m>－n，所以原不等式的解集为{x|－n<x<m}．故选B. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 5．(2024·广东佛山模拟)已知a，b，c∈R且a≠0，则“ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x≠1}”是“a＋b＋c＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 7．(2024·广西南宁一模)若关于x的不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，5) B．(5，＋∞) C．(－4，＋∞) D．(－∞，4) 解析：设f(x)＝x2－4x－a，则f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，所以要使不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解，只要f(5)＞0即可，即25－20－a＞0，得a＜5，所以实数a的取值范围为(－∞，5)． 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 三、填空题 12．不等式2x2－3|x|－35>0的解集为_________________． {x|x<－5，或x>5} 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 13．(2025·四川绵阳模拟)若关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是___________________． [－3，－2)∪(6，7] 解析：不等式x2－(m＋2)x＋2m＜0，即(x－2)(x－m)＜0，当m＞2时，不等式的解集为(2，m)，此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是3，4，5，6，故6＜m≤7；当m＝2时，不等式的解集为∅，此时不符合题意；当m＜2时，不等式的解集为(m，2)，此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是－2，－1，0，1，故－3≤m＜－2，故实数m的取值范围是[－3，－2)∪(6，7]． 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 100 [60，100] 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 73 四、解答题 15．某企业用1960万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋x(x≥8)层，每层2800平方米的楼房，经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为565＋70x(单位：元)． (1)若该楼房每平方米的平均综合费用不超过2000元，则该楼房最多建多少层？ (2)当该楼房建多少层时，每平方米的平均综合费用最少？最少为多少元？ 注：综合费用＝建筑费用＋购地费用． 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 74 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 75 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 76 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 77 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 78 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 79 　　　　　　　　　　　　　 R 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有 实根x1，x2(x1<x2) 有 实根x1＝x2＝－eq \f(b,2a) 实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x| } eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1( ,_______)))) ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x| } x≠－eq \f(b,2a) (1)eq \f(f（x）,g（x）)>0(<0)⇔ ． (2)eq \f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)⇔ ． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）g（x）≥0（≤0），,g（x）≠0)) 1．不等式4x2＋4x＋1≤0的解集为(　　) A．∅ B．R C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2))))) D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2))))) 解析：因为4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2，所以4x2＋4x＋1≤0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2))))). 2．(人教A必修第一册习题2.3 T3改编)已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,x＋2)≤0))))，B＝{x|x2－3x<0}，则A∪B＝(　　) A．{x|x≤2，或x≥3} B．{x|－2<x<3} C．{x|0<x≤2} D．{x|x≤－2，或x≥3} 解析： eq \f(x－2,x＋2)≤0，则(x－2)(x＋2)≤0，且x＋2≠0，解得－2<x≤2，则A＝{x|－2<x≤2}，B＝{x|x(x－3)<0}＝{x|0<x<3}，则A∪B＝{x|－2<x<3}．故选B. 3．若0<t<1，则关于x的不等式(t－x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,t)))>0的解集为(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)<x<t)))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,t)，或x<t)))) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,t)，或x>t)))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(t<x<\f(1,t))))) 解析：因为0<t<1，所以t<eq \f(1,t)，所以(t－x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,t)))>0⇔(x－t)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,t)))<0，解得t<x<eq \f(1,t).故选D. 4．(人教B必修第一册习题2－2B T7改编)不等式ax2＋bx＋2>0的解集是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,3)))，则a＋b的值是________． 解析：由题意知－eq \f(1,2)，eq \f(1,3)是ax2＋bx＋2＝0的两根，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,3)＝－\f(b,a)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×\f(1,3)＝\f(2,a)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－12，,b＝－2，))所以a＋b＝－14. 解析：当m＝0时，显然成立；当m≠0时，由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m>0，,Δ＝m2－4m<0，))解得0<m<4.综上，实数m的取值范围是[0，4)． 解：(1)∵Δ＝49>0，∴方程2x2＋5x－3＝0有两个实数根， 解得x1＝－3，x2＝eq \f(1,2)，画出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示． 由图可得原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－3<x<\f(1,2))))). (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0. ∵Δ＝12>0， ∴方程3x2－6x＋2＝0有两个实数根，解得x1＝eq \f(3－\r(3),3)，x2＝eq \f(3＋\r(3),3)，画出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤\f(3－\r(3),3)，或x≥\f(3＋\r(3),3))))). (3)∵Δ＝0，∴方程9x2－6x＋1＝0有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝eq \f(1,3)，画出函数y＝9x2－6x＋1的图象如图③所示．由图可得原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(1,3))))). 　 (4)原不等式等价于x2－6x＋10<0，∵Δ＝－4<0，∴方程x2－6x＋10＝0无实数根，画出函数y＝x2－6x＋10的图象如图④所示，由图象可得原不等式的解集为∅. (1)－x2＋2x－eq \f(2,3)>0；(2)－1<x2＋2x－1≤2. 解：(1)两边都乘以－3，得3x2－6x＋2<0， 因为3>0，且方程3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－eq \f(\r(3),3)，x2＝1＋eq \f(\r(3),3)， 所以原不等式的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(3),3)<x<1＋\f(\r(3),3))))). (2)原不等式等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－1>－1，,x2＋2x－1≤2，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x>0，　　 ①,x2＋2x－3≤0，　②)) 由①得x(x＋2)>0，所以x<－2或x>0； 由②得(x＋3)(x－1)≤0，所以－3≤x≤1. 画出数轴，如图， 可得原不等式的解集为{x|－3≤x<－2，或0<x≤1}． 解：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0， 即(ax－2)(x＋1)≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. ②当a>0时，原不等式化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x＋1)≥0，解得x≥eq \f(2,a)或x≤－1. ③当a<0时，原不等式化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x＋1)≤0. 当eq \f(2,a)>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤eq \f(2,a)； 当eq \f(2,a)＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意； 当eq \f(2,a)<－1，即－2<a<0时，解得eq \f(2,a)≤x≤－1. 综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a>0时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\f(2,a)，或x≤－1))))； 当－2<a<0时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)≤x≤－1))))； 当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当a<－2时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤\f(2,a))))). 解：原不等式化为(x－a)(x－a2)>0. ①当a2－a>0，即a>1或a<0时，解不等式，得x>a2或x<a； ②当a2－a<0，即0<a<1时，解不等式，得x<a2或x>a； ③当a2－a＝0，即a＝0或a＝1时，解不等式，得x≠a. 综上，当a>1或a<0时，原不等式的解集为{x|x>a2，或x<a}； 当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2，或x>a}； 当a＝0或a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠a}． 解关于x的不等式eq \f(ax,x－1)<1(a>0)． 解：eq \f(ax,x－1)<1⇔eq \f(（a－1）x＋1,x－1)<0⇔[(a－1)x＋1](x－1)<0. ①当a＝1时，容易解得x<1； ②当a>1时，原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a－1)))(x－1)<0，解得eq \f(1,1－a)<x<1； ③当0<a<1时，eq \f(1,1－a)－1＝eq \f(a,1－a)>0，所以eq \f(1,1－a)>1， 原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,1－a)))(x－1)>0，解得x<1或x>eq \f(1,1－a). 综上，当0<a<1时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<1，或x>\f(1,1－a)))))； 当a＝1时，原不等式的解集为{x|x<1}； 当a>1时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,1－a)<x<1)))). (1)分式不等式的求解思路是把分式不等式转化为整式不等式，对于形如eq \f(f（x）,g（x）)>m的分式不等式，一般应遵循“移项—通分—化乘积”的原则进行求解． (2)解不等式eq \f(f（x）,g（x）)>m时，不要直接在不等式两边同乘以分母g(x)，以达到去分母化为整式不等式f(x)>mg(x)的形式进行求解，因为g(x)的符号不确定，这种变形是不等价的． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))∪(2，3] (2025·陕西商洛模拟)不等式eq \f(x－1,（x－2）2)≥2的解集是____________． 解析：原不等式可化为eq \f(（x－1）－2（x－2）2,（x－2）2)＝eq \f(（－2x＋3）（x－3）,（x－2）2)≥0，有(－2x＋3)(x－3)≥0且x－2≠0，解得eq \f(3,2)≤x≤3且x≠2，故原不等式的解集为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))∪(2，3]． (1)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列说法中正确的是(　　) A．a＞0 B．不等式bx＋c＞0的解集是{x|x＜－6} C．a＋b＋c＞0 D．不等式cx2－bx＋a＜0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) 解析：∵关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a＞0，A正确；易知－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2＋3＝－\f(b,a)，,－2×3＝\f(c,a)，))则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a＜0，C错误；不等式bx＋c＞0即为－ax－6a＞0，解得x＜－6，B正确；不等式cx2－bx＋a＜0即为－6ax2＋ax＋a＜0，即6x2－x－1＞0，解得x＜－eq \f(1,3)或x＞eq \f(1,2)，D正确． 解析：因为关于x的不等式(x＋2)(x－4)＋a＜0(a＜0)的解集是(x1，x2)(x1＜x2)，所以x1，x2是一元二次方程x2－2x－8＋a＝0的两个根，所以x1＋x2＝2，x1x2＝a－8，所以x2－x1＝eq \r(（x2＋x1）2－4x1x2)＝2eq \r(9－a)＝10，解得a＝－16. 解析：当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0可化为8≥0，其恒成立；当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，只需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k>0，,Δ＝36k2－4k（k＋8）≤0，))解得0<k≤1.综上，k的取值范围是[0，1]． 解析：当a＝2时，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0可化为－4<0，恒成立；当a≠2时，要使关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0恒成立，只需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<2，,4（a－2）2－4（a－2）×（－4）<0，))解得－2<a<2.综上，实数a的取值范围是(－2，2]．故选D. 解析：不等式x2＋px>4x＋p－3可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（0）＝x2－4x＋3>0，,f（4）＝4（x－1）＋x2－4x＋3>0，))解得x<－1或x>3. 解析：由已知得，meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)m－6＜0(m≠0)在x∈[1，3]上恒成立． 解法一：令g(x)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)m－6(m≠0)，x∈[1，3]．当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0，所以m＜eq \f(6,7)，则0＜m＜eq \f(6,7).当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，所以m＜6，所以m＜0.综上所述，m的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m<0，或0<m<\f(6,7))))). eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m<0，或0<m<\f(6,7))))) 解法二：因为x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)＞0，又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜eq \f(6,x2－x＋1).因为函数y＝eq \f(6,x2－x＋1)＝eq \f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))在[1，3]上的最小值为eq \f(6,7)，所以只需m＜eq \f(6,7)即可．因为m≠0，所以m的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m<0，或0<m<\f(6,7))))). 1.(2025·湖北武汉模拟)若命题“∃a∈[1，3]，ax2＋(a－2)x－2>0”是假命题，则x不可能等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．eq \f(2,3) 解析：根据题意，知原命题的否定“∀a∈[1，3]，ax2＋(a－2)x－2≤0”为真命题．令f(a)＝(x2＋x)a－2x－2，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）＝x2－x－2≤0，,f（3）＝3x2＋x－2≤0，))解得－1≤x≤eq \f(2,3).故选C. 解析：∵f(x)＝x2－4x－4且f(x)<1，即x2－4x－5<0，解得－1<x<5，即x∈(－1，5)．∵f(x)<1在区间(m－1，－2m)上恒成立，∴(m－1，－2m)⊆(－1，5)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤m－1，,m－1<－2m，,－2m≤5，))解得0≤m<eq \f(1,3)，即实数m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))). eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(\r(3),3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,7))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)，＋∞)) 解析：解法一：当x∈(0，2]时，不等式可化为ax＋eq \f(3a,x)<2.当a＝0时，不等式为0<2，满足题意；当a>0时，不等式化为x＋eq \f(3,x)<eq \f(2,a)，要使x＋eq \f(3,x)<eq \f(2,a)有解，只需eq \f(2,a)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,x)))eq \s\do7(min)即可，因为x＋eq \f(3,x)≥2eq \r(x·\f(3,x))＝2eq \r(3)，当且仅当x＝eq \r(3)时取等号，所以eq \f(2,a)>2eq \r(3)，a<eq \f(\r(3),3)，故0<a<eq \f(\r(3),3)；当a<0时，x＋eq \f(3,x)>eq \f(2,a)恒成立．综上所述，实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(\r(3),3))).故选A. 解法二：设g(x)＝ax2－2x＋3a，x∈(0，2]．当a＝0时，g(x)＝－2x<0，满足题意；当a<0时，函数y＝g(x)图象的对称轴为直线x＝eq \f(1,a)，又eq \f(1,a)<0，所以g(x)在(0，2]上为减函数，又g(0)＝3a<0，所以g(x)<0，满足题意；当a>0时，应满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<2，,g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝\f(1,a)－\f(2,a)＋3a<0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)≥2，,g（2）＝4a－4＋3a<0))即可，解得eq \f(1,2)<a<eq \f(\r(3),3)或0<a≤eq \f(1,2).综上可得，实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(\r(3),3))).故选A. 解析：将原不等式参数分离可得a<eq \f(x2＋x＋3,x＋1)，设f(x)＝eq \f(x2＋x＋3,x＋1)，已知存在x∈[0，1]，使x2＋(1－a)x＋3－a>0成立，则a<f(x)max，令t＝x＋1，则g(t)＝eq \f(（t－1）2＋t－1＋3,t)＝eq \f(t2－t＋3,t)＝t＋eq \f(3,t)－1，t∈[1，2]，由对勾函数知g(t)在[1，eq \r(3))上单调递减，在(eq \r(3)，2]上单调递增，g(1)＝1＋eq \f(3,1)－1＝3，g(2)＝2＋eq \f(3,2)－1＝eq \f(5,2)，所以f(x)max＝3，即a<3. 一、单项选择题 1．下列不等式中解集为R的是(　　) A．－x2＋2x＋1≥0 B．x2－2eq \r(5)x＋eq \r(5)>0 C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<0 解析：在C中，对于方程x2＋6x＋10＝0，因为Δ＝36－40＝－4<0，所以不等式x2＋6x＋10>0的解集为R. 2．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－6,6x－1)≤0))))，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(|6－x|>\f(1,6)))))，则A∪B＝(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(37,6))) B．(－∞，6]∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(37,6)，＋∞)) C．(－∞，6)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(37,6)，＋∞)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，\f(35,6))) 解析：因为A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x－6,6x－1)≤0))))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)<x≤6))))，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(|6－x|>\f(1,6)))))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(35,6)，或x>\f(37,6)))))，所以A∪B＝(－∞，6]∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(37,6)，＋∞)).故选B. 4．(2025·甘肃张掖模拟)不等式eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x2－3x))<2－2x的解集是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(5－\r(17),2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5－\r(17),2)，\f(1,2))) 解析：当x2－3x≥0，即x≥3或x≤0时，不等式|x2－3x|<2－2x等价于x2－3x<2－2x，即x2－x－2<0，解得－1<x<2，所以－1<x≤0；当x2－3x<0，即0<x<3时，不等式|x2－3x|<2－2x等价于3x－x2<2－2x，即x2－5x＋2>0，解得x>eq \f(5＋\r(17),2)或x<eq \f(5－\r(17),2)，所以0<x<eq \f(5－\r(17),2).综上，不等式|x2－3x|<2－2x的解集是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(5－\r(17),2))).故选C. 解析：由题意，二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x≠1}，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,－\f(b,2a)＝1，,Δ＝b2－4ac＝0，))即a＝c>0，b＝－2a，即a＋b＋c＝0；当a＋b＋c＝0时，不能推出a＝c>0，b＝－2a，所以“ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x≠1}”是“a＋b＋c＝0”的充分不必要条件．故选A. 6．(2025·安徽芜湖模拟)已知关于x的不等式(m2－4)x2－(m－2)x＋eq \f(1,m＋2)>0对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．[2，6] B．[2，6)∪{－2} C．{2} D．[2，6) 解析：若m2－4＝0，则m＝±2，若m＝2，原不等式可化为eq \f(1,4)>0，恒成立，若m＝－2，无意义，舍去；当m2－4≠0时，要使得原不等式恒成立，只需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－4>0，,Δ＝[－（m－2）]2－4×（m2－4）×\f(1,m＋2)<0，))解得2<m<6.综上，实数m的取值范围是[2，6)．故选D. 8．对于问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1，2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c＞0”，给出如下一种解法： 解：由ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1，2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c＞0的解集为 (－2，1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为(－2，1)． 参考上述解法，若关于x的不等式eq \f(k,x＋a)＋eq \f(x＋b,x＋c)<0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，则关于x的不等式eq \f(kx,ax＋1)＋eq \f(bx＋1,cx＋1)＜0的解集为(　　) A．(－2，－1)∪(1，3) B．(－3，－1)∪(1，2) C．(－3，－2)∪(－1，1) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) 解析：若关于x的不等式eq \f(k,x＋a)＋eq \f(x＋b,x＋c)<0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，则关于x的不等式eq \f(kx,ax＋1)＋eq \f(bx＋1,cx＋1)<0可看成前者不等式中的x用eq \f(1,x)代替所得，则eq \f(1,x)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，则x∈(－3，－1)∪(1，2)．故选B. 二、多项选择题 9．已知关于x的一元二次不等式ax2－(2a－1)x－2>0，其中a<0，则该不等式的解集可能是(　　) A．∅ B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,a))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,a)))∪(2，＋∞) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，2)) 解析：不等式变形为(x－2)(ax＋1)>0，又a<0，所以(x－2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))<0.当a＝－eq \f(1,2)时，该不等式的解集为∅；当a<－eq \f(1,2)时，该不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)<x<2))))；当－eq \f(1,2)<a<0时，该不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2<x<－\f(1,a))))).故选ABD. 10．(2025·广东深圳模拟)下列说法正确的是(　　) A．不等式4x2－5x＋1>0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,4)，或x<1)))) B．不等式2x2－x－6≤0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(3,2)，或x≥2)))) C．若关于x的不等式ax2＋8ax＋21<0在R上恒成立，则a的取值范围是∅ D．若关于x的不等式2x2＋px－3<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－eq \f(1,2) 解析：对于A，4x2－5x＋1>0⇔(x－1)(4x－1)>0⇔x<eq \f(1,4)或x>1，故A错误；对于B，2x2－x－6≤0⇔(x－2)(2x＋3)≤0⇔－eq \f(3,2)≤x≤2，故B错误；对于C，若关于x的不等式ax2＋8ax＋21<0恒成立，当a＝0时，21<0是不可能成立的，所以只能eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ＝64a2－84a<0，))该不等式组无解，故C正确；对于D，由题意得q，1是一元二次方程2x2＋px－3＝0的两根，从而eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(q×1＝\f(－3,2)，,2＋p－3＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(p＝1，,q＝－\f(3,2)，))所以p＋q的值为－eq \f(1,2)，故D正确．故选CD. 11．(2025·福建福州模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c－1<0的解集为{x|α<x<β}，且β－α<1，若x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个不等实根，则下列关系式正确的是(　　) A．a<0 B．β－x1＝x2－α C．|x1－x2|<1 D．|β2－xeq \o\al(2,2)|>|α2－xeq \o\al(2,1)| 解析：由题意得a>0，A错误；因为将二次函数y＝ax2＋bx＋c－1的图象上的所有点向上平移1个单位长度，得到二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，所以α＋β＝x1＋x2＝－eq \f(b,a)，即β－x1＝x2－α，B正确；如图，因为0<β－α<1，所以|x1－x2|<|β－α|<1，C正确；当α<β<0，x1<x2<0时，|β－x2|＝|α－x1|， |β＋x2|<|α＋x1|，所以|β2－xeq \o\al(2,2)|＝|(β－x2)·(β＋x2)|<|(α－x1)(α＋ x1)|＝|α2－xeq \o\al(2,1)|，D错误．故选BC. 解析：2x2－3|x|－35>0⇔2|x|2－3|x|－35>0⇔(|x|－5) (2|x|＋7)>0⇔|x|>5或|x|<－eq \f(7,2)(舍去)⇔x<－5或x>5. 14．某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－k＋\f(4500,x))) L，其中k为常数．若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，则k＝_____，欲使每小时的油耗不超过9 L，则x的取值范围为__________． 解析：记每小时的油耗为y，则根据题意，得y＝eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－k＋\f(4500,x)))，则当x＝120时，y＝eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(120－k＋\f(4500,120)))＝11.5，解得k＝100，所以y＝eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－100＋\f(4500,x)))，当y≤9时，即eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－100＋\f(4500,x)))≤9，解得45≤x≤100，又因为60≤x≤120，所以x的取值范围为[60，100]． 解：(1)设该楼房每平方米的平均综合费用为y元， 则y＝eq \f(1960×104,2800x)＋565＋70x＝eq \f(7000,x)＋70x＋565. 因为eq \f(7000,x)＋70x＋565≤2000，结合x≥8，得2x2－41x＋200≤0，即(2x－25)(x－8)≤0，解得8≤x≤12.5. 因为x∈Z，所以该楼房最多建12层． (2)由(1)可知，该楼房每平方米的平均综合费用y＝eq \f(7000,x)＋70x＋565， 因为eq \f(7000,x)＋70x≥2×700＝1400，当且仅当eq \f(7000,x)＝70x，即x＝10时，等号成立，所以当该楼房建10层时，每平方米的平均综合费用最少，为1400＋565＝1965元． 16．(2025·河北石家庄模拟)已知函数f(x)＝ax2＋x＋2－4a(a≠0)，且对任意的x∈R，f(x)≥2x恒成立． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若对任意的x∈[－1，1]，不等式f(x＋t)<feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))恒成立，求实数t的取值范围． 解：(1)由题意，得ax2－x＋2－4a≥0(a≠0)对任意x∈R恒成立， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝1－4a（2－4a）≤0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,（4a－1）2≤0，)) 解得a＝eq \f(1,4)，所以f(x)＝eq \f(1,4)x2＋x＋1. (2)由f(x＋t)<feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))，得eq \f(1,4)(x＋t)2＋(x＋t)＋1<eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(x,2)＋1，即3x2＋(8t＋8)x＋4t2＋16t<0， 所以对任意的x∈[－1，1]，不等式3x2＋(8t＋8)x＋4t2＋16t<0恒成立． 令m(x)＝3x2＋(8t＋8)x＋4t2＋16t，x∈[－1，1]， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m（－1）＝4t2＋8t－5<0，,m（1）＝4t2＋24t＋11<0，))解得－eq \f(5,2)<t<－eq \f(1,2)， 所以实数t的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(1,2))). $$