第2章 第2讲 基本不等式-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案课件PPT（提升版）

第二章　不等式 第2讲　基本不等式 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 目录 基础知识整合 a>0，b>0 a＝b 算术平均数 几何平均数 基础知识整合 5 2．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)， 那么当______时，x＋y有_____________ ．(简记：“积定和最小”) (2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)， 那么当______时，xy有____________ ．(简记：“和定积最大”) x＝y x＝y 基础知识整合 6 基础知识整合 7 基础知识整合 8 基础知识整合 9 基础知识整合 10 基础知识整合 11 基础知识整合 12 基础知识整合 13 5．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________． 基础知识整合 14 核心考向突破 考向一　利用基本不等式求最值 核心考向突破 16 核心考向突破 17 核心考向突破 18 利用基本不等式求最值的条件和配凑方法 提醒：注意配凑过程要进行等价变形；明确目标，即配凑出和或积为定值． 核心考向突破 19 核心考向突破 20 核心考向突破 21 核心考向突破 22 核心考向突破 23 核心考向突破 24 充分不必要 核心考向突破 25 核心考向突破 26 核心考向突破 27 1 核心考向突破 28 利用消元法、换元法求最值 (1)消元法 根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解． (2)换元法 求较复杂的式子的最值时，通常利用换元法将式子恰当变形，简化式子，再利用基本不等式求解． 核心考向突破 29 1.已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是(　　) A．1 B．3 C．6 D．12 核心考向突破 30 核心考向突破 31 考向二　利用基本不等式求参数的值或取值范围 核心考向突破 32 核心考向突破 33 　利用基本不等式求参数的值或取值范围的方法 (1)根据基本不等式等号成立的条件，求参数的值或取值范围． (2)转化为求最值问题，利用基本不等式求解． 核心考向突破 34 核心考向突破 35 考向三　基本不等式的实际应用 某市近郊有一块大约500 m×500 m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其总面积为3000 m2，其中阴影部分为通道，通道宽度为2 m，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状、大小均相同)，塑胶运动场地占地面积为S m2. (1)分别写出y和S关于x的函数关系式，并给出定义域； (2)怎样设计能使S取得最大值？并求出最大值． 核心考向突破 36 核心考向突破 37 核心考向突破 38 有关函数最值的实际问题的解题技巧 (1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． (4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． 核心考向突破 39 某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为________米． 5 核心考向突破 40 课时作业 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 2．(2024·山东枣庄一模)已知a>0，b>0，则“a＋b>2”是“a2＋b2>2 ”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 8．近年来，冬季气候干燥，冷空气频繁袭来．为提高居民的取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站．已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区(　　) A．5千米处 B．6千米处 C．7千米处 D．8千米处 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 ①③ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 13．已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________． 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 16 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 16．(2024·黑龙江哈尔滨模拟)某农场发现有400平方米的农田遭遇洪涝，每平方米农田受灾造成直接损失400元，且渗水面积将以每天10平方米的速度扩散，相关部门立即组织人力进行抢修，每位抢修人员每天可抢修农田5平方米，劳务费为每人每天400元，还为每位抢修人员提供240元物资补贴．若安排x位抢修人员参与抢修，则需要t天完成抢修工作，渗水造成的总损失(总损失＝因渗水造成的直接损失＋各项支出费用)为y元． (1)写出y关于x的函数解析式； (2)应安排多少位抢修人员参与抢修，才能使总损失最小？并求出总损失． 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 　　　　　　　　　　　　　 R (ab)INCLUDEPICTURE"灰课程标准.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\559数学（一轮书（提升版\\灰课程标准.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\齐蔵\\PPT\\559数学（一轮书（提升版\\第二章 不等式\\灰课程标准.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\齐蔵\\PPT\\559数学（一轮书（提升版\\第二章 不等式\\灰课程标准.TIF" \* MERGEFORMATINET 1.掌握不等式≤eq \f(a＋b,2)(a>0，b>0).2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值问题． 1．基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2) (1)基本不等式成立的条件：_______________． (2)等号成立的条件：当且仅当_________时等号成立． (3)其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的____________，eq \r(ab)叫做正数a，b的______________． 最小值2eq \r(P) 最大值eq \f(S2,4) 1．常用的几个重要不等式 (1)a＋b≥2eq \r(ab)(a>0，b>0)． (2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)(a，b∈R)． (3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)≤eq \f(a2＋b2,2)(a，b∈R)． (4)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)． (5)eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)(a>0，b>0)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 2．轮换对称不等式 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a2＋b2≥2ab,a2＋c2≥2ac,b2＋c2≥2bc))vs4\al(a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立) INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\559数学（一轮书（提升版\\514SX305.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\齐蔵\\PPT\\559数学（一轮书（提升版\\第二章 不等式\\514SX305.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\齐蔵\\PPT\\559数学（一轮书（提升版\\第二章 不等式\\514SX305.TIF" \* MERGEFORMATINET 3．三元基本不等式 eq \r(3,abc)≤eq \f(a＋b＋c,3)，其中a>0，b>0，c>0，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 1．(2024·海口调研)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则eq \r(xy)的最大值为(　　) A．9 B．18 C．36 D．81 解析：因为x>0，y>0，且x＋y＝18，所以eq \r(xy)≤eq \f(x＋y,2)＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立，故eq \r(xy)的最大值为9. 2．下列命题正确的是(　　) A．若a，b∈R，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2 B．若x>0，则x＋eq \f(1,x)>2 C．若x∈R，则|sinx|＋eq \f(4,|sinx|)的最小值为4 D．若x∈R，则2x2＋eq \f(1,2x2)的最小值为2 解析：A项必须保证a，b同号；B项应含有等号，即若x>0，则x＋eq \f(1,x)≥2；C项，因为0<|sinx|≤1，y＝|sinx|＋eq \f(4,|sinx|)≥2eq \r(4)＝4，当且仅当|sinx|＝2时，等号成立，又|sinx|≠2，所以其最小值不为4.故选D. 3．(人教A必修第一册习题2.2 T1改编)若函数f(x)＝x＋eq \f(1,x－2)(x>2)在x＝a处取得最小值，则a＝(　　) A．1＋eq \r(2) B．1＋eq \r(3) C．3 D．4 解析：因为x>2，所以f(x)＝x＋eq \f(1,x－2)＝(x－2)＋eq \f(1,x－2)＋2≥2eq \r(（x－2）·\f(1,x－2))＋2＝4，当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)，即x＝3时，等号成立．故a＝3. 4．(人教A必修第一册习题2.2 T5改编)设x>0，则3－3x－eq \f(1,x)的最大值是(　　) A．3 B．3－2eq \r(2) C．－1 D．3－2eq \r(3) 解析：因为x>0，所以y＝3－3x－eq \f(1,x)＝3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x)))≤3－2eq \r(3x·\f(1,x))＝3－2eq \r(3)，当且仅当3x＝eq \f(1,x)，即x＝eq \f(\r(3),3)时，等号成立．故选D. 解析：∵xy＝1，∴x2＋2y2≥2eq \r(x2·2y2)＝2eq \r(2)·eq \r(（xy）2)＝2eq \r(2)，当且仅当x2＝2y2，且xy＝1时，等号成立． 2eq \r(2) 角度1　利用配凑法求最值 (1＋b2)INCLUDEPICTURE"灰例1.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\559数学（一轮书（提升版\\灰例1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\齐蔵\\PPT\\559数学（一轮书（提升版\\第二章 不等式\\灰例1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\齐蔵\\PPT\\559数学（一轮书（提升版\\第二章 不等式\\灰例1.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则a的最大值为(　　) A.eq \r(7) B.eq \r(3) C．2eq \r(2) D．2 解析：因为4a2＋b2＝7，则aeq \r(1＋b2)＝eq \f(1,2)×(2a)×eq \r(1＋b2)＝eq \f(1,2) eq \r(4a2（1＋b2）)≤eq \f(1,2)×eq \f(4a2＋1＋b2,2)＝2，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝1，b＝eq \r(3)时，等号成立．故选D. (2)在下列条件下，求y＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)的最值． ①当x>eq \f(5,4)时，求最小值；②当x<eq \f(5,4)时，求最大值；③当x≥2时，求最小值． 解：①∵x>eq \f(5,4)，∴4x－5>0， ∴y＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)＝4x－5＋eq \f(1,4x－5)＋3≥2＋3＝5， 当且仅当4x－5＝eq \f(1,4x－5)，即x＝eq \f(3,2)时，等号成立． 故当x＝eq \f(3,2)时，ymin＝5. ②∵x<eq \f(5,4)，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝eq \f(1,5－4x)，即x＝1时，等号成立． 故当x＝1时，ymax＝1. ③当x≥2时，易知y＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)单调递增，∴ymin＝4×2－2＋eq \f(1,4×2－5)＝eq \f(19,3). (3x,x2＋4)INCLUDEPICTURE"灰即时训练.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\559数学（一轮书（提升版\\灰即时训练.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\齐蔵\\PPT\\559数学（一轮书（提升版\\第二章 不等式\\灰即时训练.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\齐蔵\\PPT\\559数学（一轮书（提升版\\第二章 不等式\\灰即时训练.TIF" \* MERGEFORMATINET 　1.当x＞0时，的最大值为________． 解析：当x＞0时，eq \f(3x,x2＋4)＝eq \f(3,x＋\f(4,x))≤eq \f(3,2\r(x·\f(4,x)))＝eq \f(3,4)，当且仅当x＝eq \f(4,x)，即x＝2时，等号成立，即eq \f(3x,x2＋4)的最大值为eq \f(3,4). eq \f(3,4) 2．(2025·天津南开区模拟)当x>1时，eq \f(x2＋2,x－1)的最小值为________． 解析：因为x>1，所以x－1>0，所以eq \f(x2＋2,x－1)＝eq \f(（x2－2x＋1）＋（2x－2）＋3,x－1)＝ eq \f(（x－1）2＋2（x－1）＋3,x－1)＝(x－1)＋eq \f(3,x－1)＋2≥2eq \r(3)＋2，当且仅当x－1＝eq \f(3,x－1)，即x＝eq \r(3)＋1时，等号成立，所以当x＝eq \r(3)＋1时，eq \f(x2＋2,x－1)取得最小值2eq \r(3)＋2. 2eq \r(3)＋2 角度2　利用常数代换法求最值 (x＋6y＋3,xy)INCLUDEPICTURE"灰例2.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\559数学（一轮书（提升版\\灰例2.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\齐蔵\\PPT\\559数学（一轮书（提升版\\第二章 不等式\\灰例2.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\齐蔵\\PPT\\559数学（一轮书（提升版\\第二章 不等式\\灰例2.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)(2024·山东青岛一模)已知x，y为正实数，且x＋y＝1，则的最小值为(　　) A．24 　　　　　　B．25　　　　　　C．6＋4eq \r(2)　　　　　　 D．6eq \r(2)－3 解析：因为x，y为正实数，且x＋y＝1，所以eq \f(x＋6y＋3,xy)＝eq \f(x＋6y＋3（x＋y）,xy)＝eq \f(4x＋9y,xy)＝eq \f(9,x)＋eq \f(4,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,x)＋\f(4,y)))(x＋y)＝13＋eq \f(9y,x)＋eq \f(4x,y)≥13＋2eq \r(\f(9y,x)·\f(4x,y))＝25，当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9y,x)＝\f(4x,y)，,x＋y＝1，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,5)，,y＝\f(2,5)))时，等号成立，所以eq \f(x＋6y＋3,xy)的最小值为25. (2)(2025·陕西咸阳模拟)已知a>0，b>0，且eq \f(1,a＋1)＋eq \f(2,b＋1)＝1，则a＋b的最小值为________． 解析：由a>0，b>0，eq \f(1,a＋1)＋eq \f(2,b＋1)＝1，得a＋b＝(a＋1)＋(b＋1)－2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a＋1)＋\f(2,b＋1)))[(a＋1)＋(b＋1)]－2＝eq \f(b＋1,a＋1)＋eq \f(2（a＋1）,b＋1)＋1≥2eq \r(\f(b＋1,a＋1)·\f(2（a＋1）,b＋1))＋1＝2eq \r(2)＋1，当且仅当eq \f(b＋1,a＋1)＝eq \f(2（a＋1）,b＋1)，即a＝eq \r(2)，b＝eq \r(2)＋1时取等号，所以当a＝eq \r(2)，b＝eq \r(2)＋1时，a＋b取得最小值2eq \r(2)＋1. 2eq \r(2)＋1 (1)适用情境 有两个代数式，其中一个是整式ax＋by，另一个是分式eq \f(m,x)＋eq \f(n,y)，其中a，b，m，n为常数，通常均为正数． (2)解题通法 利用(ax＋by)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)＋\f(n,y)))＝am＋bn＋eq \f(bmy,x)＋eq \f(anx,y)≥am＋bn＋2eq \r(abmn) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当\f(bmy,x)＝\f(anx,y)时，等号成立))得到结果． (2)INCLUDEPICTURE"灰即时训练.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\559数学（一轮书（提升版\\灰即时训练.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\齐蔵\\PPT\\559数学（一轮书（提升版\\第二章 不等式\\灰即时训练.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\齐蔵\\PPT\\559数学（一轮书（提升版\\第二章 不等式\\灰即时训练.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(2025·广西南宁模拟)已知m>0，n>0，命题p：2m＋n＝mn，命题q：m＋n≥3＋2，则p是q的____________条件． 解析：因为m>0，n>0，由2m＋n＝mn，得eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)＝1，则m＋n＝(m＋n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(2,n)))＝3＋eq \f(n,m)＋eq \f(2m,n)≥3＋2eq \r(2)，当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)＝\f(2m,n)，,2m＋n＝mn，))即m＝eq \r(2)＋1，n＝2＋eq \r(2)时取等号，因此p⇒q；因为m>0，n>0，由m＋n≥3＋2eq \r(2)，可取m＝1，n＝10，则2m＋n＝12，mn＝10，此时2m＋n≠mn，因此qp，所以p是q的充分不必要条件． 角度3　利用消元法、换元法求最值 (3,2)INCLUDEPICTURE"灰例3.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\559数学（一轮书（提升版\\灰例3.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\齐蔵\\PPT\\559数学（一轮书（提升版\\第二章 不等式\\灰例3.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\齐蔵\\PPT\\559数学（一轮书（提升版\\第二章 不等式\\灰例3.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)(多选)(2024·黑龙江哈尔滨模拟)已知a>0，b>0，a＋b＝2ab－，则(　　) A．a>eq \f(3,4) B．a＋b≥3 C．ab≥eq \f(9,4) D.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(4,3) 解析：对于A，取a＝eq \f(3,4)，b＝eq \f(9,2)，满足a＋b＝2ab－eq \f(3,2)，但不满足a>eq \f(3,4)，故A错误；对于B，因为a＋b＝2ab－eq \f(3,2)，所以2ab＝a＋b＋eq \f(3,2)≤eq \f(（a＋b）2,2)，即[(a＋b)－3][(a＋b)＋1]≥0，所以a＋b≥3，当且仅当a＝b＝eq \f(3,2)时，等号成立，故B正确； 对于C，a＋b＝2ab－eq \f(3,2)≥2eq \r(ab)，令eq \r(ab)＝t(t>0)，所以4t2－4t－3≥0，即(2t＋1)(2t－3)≥0，所以t≥eq \f(3,2)，即eq \r(ab)≥eq \f(3,2)，所以ab≥eq \f(9,4)，当且仅当a＝b＝eq \f(3,2)时，等号成立，故C正确；对于D，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(2ab－\f(3,2),ab)＝2－eq \f(\f(3,2),ab)，令ab＝m，由C项可知，m≥eq \f(9,4)，而函数y＝2－eq \f(\f(3,2),m)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，＋∞))上单调递增，所以2－eq \f(\f(3,2),m)≥eq \f(4,3)，当且仅当m＝eq \f(9,4)，即a＝b＝eq \f(3,2)时，等号成立，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(4,3)，故D正确．故选BCD. (2)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq \f(xy,z)取得最大值时，eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)的最大值为________． 解析：∵正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，∴z＝x2－3xy＋4y2，∴eq \f(xy,z)＝eq \f(xy,x2－3xy＋4y2)＝eq \f(1,\f(x,y)＋\f(4y,x)－3)≤eq \f(1,2\r(\f(x,y)·\f(4y,x))－3)＝1，当且仅当x＝2y时取等号，此时z＝2y2，∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)＝eq \f(2,2y)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,2y2)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1)) eq \s\up12(2)＋1≤1，当且仅当y＝1时取等号，所以eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)的最大值是1. 解析：∵x2＋2xy－3＝0，∴y＝eq \f(3－x2,2x)，∴2x＋y＝2x＋eq \f(3－x2,2x)＝eq \f(3x2＋3,2x)＝eq \f(3x,2)＋eq \f(3,2x)≥2eq \r(\f(3x,2)·\f(3,2x))＝3，当且仅当eq \f(3x,2)＝eq \f(3,2x)，即x＝1时取等号．故选B. 2．(2025·辽宁沈阳模拟)已知a，b均是正实数，则eq \f(a,a＋2b)＋eq \f(b,a＋b)的最小值为________． 解析：设a＋2b＝x，a＋b＝y，则a＝2y－x，b＝x－y，且x，y均为正实数，所以eq \f(a,a＋2b)＋eq \f(b,a＋b)＝eq \f(2y－x,x)＋eq \f(x－y,y)＝eq \f(2y,x)＋eq \f(x,y)－2≥2eq \r(\f(2y,x)·\f(x,y))－2＝2eq \r(2)－2，当且仅当eq \f(2y,x)＝eq \f(x,y)，即x＝eq \r(2)y时，等号成立，所以eq \f(a,a＋2b)＋eq \f(b,a＋b)的最小值为2eq \r(2)－2. 2eq \r(2)－2 (a2＋b2,2)INCLUDEPICTURE"灰例4.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\559数学（一轮书（提升版\\灰例4.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\齐蔵\\PPT\\559数学（一轮书（提升版\\第二章 不等式\\灰例4.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\齐蔵\\PPT\\559数学（一轮书（提升版\\第二章 不等式\\灰例4.TIF" \* MERGEFORMATINET (2025·江西南昌模拟)若不等式＋3≥x(a＋b)对任意正数a，b恒成立，则实数x的最大值为(　　) A.eq \r(2) B．2 C.eq \r(3) D．1 解析：由题意不等式eq \f(a2＋b2,2)＋3≥x(a＋b)对任意正数a，b恒成立，即x≤eq \f(a2＋b2＋6,2（a＋b）)恒成立，又a2＋b2≥2ab，∴a2＋b2≥eq \f(（a＋b）2,2)，当且仅当a＝b时，等号成立，则eq \f(a2＋b2＋6,2（a＋b）)≥eq \f(\f(（a＋b）2,2)＋6,2（a＋b）)＝eq \f(a＋b,4)＋eq \f(3,a＋b)≥2eq \r(\f(a＋b,4)·\f(3,a＋b))＝eq \r(3)，当且仅当a＝b＝eq \r(3)时，等号成立，故x≤eq \r(3)，即实数x的最大值为eq \r(3).故选C. (4x,a)INCLUDEPICTURE"灰即时训练.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\559数学（一轮书（提升版\\灰即时训练.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\齐蔵\\PPT\\559数学（一轮书（提升版\\第二章 不等式\\灰即时训练.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\齐蔵\\PPT\\559数学（一轮书（提升版\\第二章 不等式\\灰即时训练.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(2025·江苏徐州模拟)若关于x的不等式＋eq \f(1,x－2)≥4对任意x>2恒成立，则正实数a的取值范围为(　　) A．[1，4] B．(0，4) C．(0，4] D．(1，4] 解析：由题意可得eq \f(4（x－2）,a)＋eq \f(1,x－2)≥4－eq \f(8,a)对任意x>2恒成立，由a>0，x－2>0，可得eq \f(4（x－2）,a)＋eq \f(1,x－2)≥2eq \r(\f(4（x－2）,a)·\f(1,x－2))＝eq \f(4,\r(a))，当且仅当eq \f(4（x－2）,a)＝eq \f(1,x－2)，即x＝2＋eq \f(\r(a),2)时取等号，则4－eq \f(8,a)≤eq \f(4,\r(a))，解得0<a≤4.故选C. 解：(1)由已知，得xy＝3000， ∴y＝eq \f(3000,x)，其定义域是(6，500)． S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a， ∵2a＋6＝y，∴a＝eq \f(y,2)－3＝eq \f(1500,x)－3， ∴S＝(2x－10)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1500,x)－3))＝3030－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15000,x)＋6x))，其定义域是(6，500)． (2)S＝3030－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15000,x)＋6x))≤3030－2eq \r(6x·\f(15000,x))＝3030－2×300＝2430，当且仅当eq \f(15000,x)＝6x，即x＝50∈(6，500)时，上述不等式等号成立，此时y＝60，Smax＝2430. ∴当x＝50，y＝60时，运动场地面积最大，最大面积为2430 m2. 解析：设长方体蓄水池的长为y米，宽为x米，高为h米，每平方米池侧壁的造价为a，蓄水池的总造价为W，则由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝20，,xyh＝500，))∴W＝2a(xh＋yh)＋2axy＝2ah(x＋y)＋2axy＝40ah＋eq \f(500×2a,h)，∴W≥2eq \r(40ah×\f(500×2a,h))＝400a，当且仅当h＝5时等号成立，即W取得最小值时，蓄水池的高应该为5米． 一、单项选择题 1．(2024·吉林长春第五中学检测)eq \r(（3－a）（a＋6）)(－6≤a≤3)的最大值为(　　) A．9 　　　　B.eq \f(9,2) 　　　　　　C．3 　　　　　　D.eq \f(3\r(2),2) 解析：当a＝－6或a＝3时，eq \r(（3－a）（a＋6）)＝0；当－6＜a＜3时，eq \r(（3－a）（a＋6）)≤eq \f(3－a＋a＋6,2)＝eq \f(9,2)，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－eq \f(3,2)时取等号．综上，eq \r(（3－a）（a＋6）)的最大值为eq \f(9,2). 解析：若a>0，b>0，a＋b>2，则a2＋b2≥eq \f(1,2)(a＋b)2>2，充分性成立；若a2＋b2>2，可能a＝eq \r(2)，b＝0.1，此时a＋b<2，所以必要性不成立．综上所述，“a＋b>2”是“a2＋b2>2”的充分不必要条件．故选A. 3．(2025·河南信阳模拟)函数f(x)＝eq \f(x2－4x＋5,x－2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≥\f(5,2)))有(　　) A．最大值eq \f(5,2) B．最小值eq \f(5,2) C．最大值2 D．最小值2 解析：解法一：因为x≥eq \f(5,2)，所以x－2≥eq \f(1,2)>0，则eq \f(x2－4x＋5,x－2)＝eq \f(（x－2）2＋1,x－2)＝(x－2)＋eq \f(1,x－2)≥2，当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)，即x＝3时，等号成立，所以函数f(x)有最小值，为2. 解法二：令x－2＝t，则t≥eq \f(1,2)，x＝t＋2，则原函数可化为y＝eq \f(（t＋2）2－4（t＋2）＋5,t)＝eq \f(t2＋1,t)＝t＋eq \f(1,t)≥2eq \r(t·\f(1,t))＝2，当且仅当t＝eq \f(1,t)，即t＝1时，等号成立，此时x＝3，所以函数f(x)有最小值，为2. 4．已知x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4，则x＋y的最小值是(　　) A．1 B．4 C．7 D．3＋eq \r(17) 解析：∵x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4，∴x＋y＝(x－2)＋(y－1)＋3≥2eq \r(（x－2）（y－1）)＋3＝7，当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝3))时，等号成立． 5．若a，b∈(0，＋∞)，且eq \r(a)＋eq \f(4,b)＝9，则b＋eq \f(\r(a),a)的最小值为(　　) A．9 B．3 C．1 D.eq \f(1,3) 解析：∵a，b∈(0，＋∞)，且eq \r(a)＋eq \f(4,b)＝9，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(\r(a),a)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a)＋\f(4,b)))＝beq \r(a)＋4＋1＋eq \f(4,b\r(a))＝5＋beq \r(a)＋eq \f(4,b\r(a))≥5＋2eq \r(b\r(a)·\f(4,b\r(a)))＝9，当且仅当beq \r(a)＝eq \f(4,b\r(a))时，等号成立，∴9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(\r(a),a)))≥9，故b＋eq \f(\r(a),a)≥1，即b＋eq \f(\r(a),a)的最小值为1.故选C. 6.(2025·山西太原模拟)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这 种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公 理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示， C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作 半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A.eq \f(a＋b,2)≤eq \r(ab)(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C.eq \r(ab)≥eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))(a>0，b>0) D.eq \f(a2＋b2,2)≥eq \f(a＋b,2)(a>0，b>0) 解析：根据图形，利用射影定理得CD2＝DE·OD，又OD＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)(a＋b)，CD2＝AC·CB＝ab，所以DE＝eq \f(CD2,OD)＝eq \f(ab,\f(a＋b,2)).由于OD≥CD，所以eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(a>0，b>0)．由于CD≥DE，所以eq \r(ab)≥eq \f(2ab,a＋b)＝eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))(a>0，b>0)． 7．(2025·广东佛山一中模拟)若不等式eq \f(1,x)＋eq \f(1,1－4x)－m≥0对x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))恒成立，则实数m的最大值为(　　) A．7 　　　　　　B．8 　　　　　　C．9 　　　　　　D．10 解析：将不等式化为eq \f(1,x)＋eq \f(1,1－4x)≥m，只需当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))时，m≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,1－4x))) eq \s\do7(min)即可．由eq \f(1,x)＋eq \f(1,1－4x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,1－4x)))[4x＋(1－4x)]＝4＋eq \f(1－4x,x)＋eq \f(4x,1－4x)＋1≥5＋2eq \r(\f(1－4x,x)·\f(4x,1－4x))＝5＋4＝9，当且仅当x＝eq \f(1,6)时，等号成立，故m≤9.所以实数m的最大值为9.故选C. 解析：设供热站应建在离社区x千米处，则自然消费y1＝eq \f(k1,x)，供热费y2＝k2x，由题意得，当x＝20时，y1＝0.5，y2＝8，所以k1＝xy1＝10，k2＝eq \f(y2,x)＝eq \f(2,5)，所以y1＝eq \f(10,x)，y2＝eq \f(2,5)x.所以两项费用之和为y1＋y2＝eq \f(10,x)＋eq \f(2x,5)≥2eq \r(\f(10,x)·\f(2x,5))＝4，当且仅当eq \f(10,x)＝eq \f(2x,5)，即x＝5时，等号成立，所以要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区5千米处．故选A. 二、多项选择题 9．(2025·河北衡水模拟)三元均值不等式：“当a，b，c均为正实数时，eq \f(a＋b＋c,3)≥eq \r(3,abc)，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．”利用上面结论，判断下列说法正确的是(　　) A．若x>0，则x2＋eq \f(2,x)≥3 B．若0<x<1，则x2(1－x)≤eq \f(1,9) C．若x>0，则2x＋eq \f(1,x2)≥3 D．若0<x<1，则x(1－x)2≤eq \f(1,9) 解析：对于A，x>0，x2＋eq \f(2,x)＝x2＋eq \f(1,x)＋eq \f(1,x)≥3eq \r(3,x2·\f(1,x)·\f(1,x))＝3，故A正确；对于B，∵0<x<1，∴1－x>0，x2(1－x)＝eq \f(1,2)x·x·(2－2x)≤eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x＋2－2x,3))) eq \s\up12(3)＝eq \f(4,27)，故B错误；对于C，x>0，2x＋eq \f(1,x2)＝x＋x＋eq \f(1,x2)≥3eq \r(3,x·x·\f(1,x2))＝3，故C正确；对于D，∵0<x<1，∴1－x>0，x(1－x)2＝eq \f(1,2)×2x(1－x)(1－x)≤eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1－x＋1－x,3)))3＝eq \f(4,27)，故D错误．故选AC. 10．(2025·广东广州模拟)已知a<b<c(a，b，c∈R)，且a＋2b＋3c＝0，则下列结论正确的是(　　) A．a＋c<0 B.eq \f(c,a)＋eq \f(a,c)<－2 C．存在a，c，使得a2－25c2＝0 D.eq \f(b＋2c,a＋c)<－eq \f(1,2) 解析：对于A，由a<b<c及a＋2b＋3c＝0，得3a＋3c<a＋2b＋3c＝0，所以a＋c<0，A正确；对于B，由a<b<c及a＋2b＋3c＝0，得6a<a＋2b＋3c＝0，所以a<0，同理可得c>0，又a＋c<0，所以eq \f(c,a)≠－1，所以eq \f(c,a)＋eq \f(a,c)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(c,a)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,c)))))<－2，B正确；对于C，由a<b<c及a＋2b＋3c＝0，得a＋2c＋3c>0，所以a＋5c>0，得c>－eq \f(a,5)>0，所以c2>eq \f(a2,25)，得a2－25c2<0，C错误；对于D，由a＋2b＋3c＝0，得a＋c＝－2(b＋c)，所以eq \f(b＋2c,a＋c)＝eq \f(b＋c＋c,a＋c)＝eq \f(b＋c,a＋c)＋eq \f(c,a＋c)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(c,a＋c).因为a＋c<0，c>0，所以eq \f(c,a＋c)<0，所以eq \f(b＋2c,a＋c)<－eq \f(1,2)，D正确．故选ABD. 11．(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 　　　B．x＋y≥－2　　　C．x2＋y2≤2　　　　D．x2＋y2≥1 解析：因为ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)≤eq \f(a2＋b2,2)(a，b∈R)，由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2))) eq \s\up12(2)，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以A错误，B正确；由x2＋y2－xy＝1变形可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(y,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)y2＝1，设x－eq \f(y,2)＝cosθ，eq \f(\r(3),2)y＝sinθ，所以x＝cosθ＋eq \f(1,\r(3))sinθ，y＝eq \f(2,\r(3))sinθ，因此x2＋y2＝cos2θ＋eq \f(5,3)sin2θ＋eq \f(2,\r(3))sinθcosθ＝1＋eq \f(1,\r(3))sin2θ－eq \f(1,3)cos2θ＋eq \f(1,3)＝eq \f(4,3)＋eq \f(2,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))，即eq \f(2,3)≤x2＋y2≤2，当且仅当x＝eq \f(\r(3),3)，y＝－eq \f(\r(3),3)或x＝－eq \f(\r(3),3)，y＝eq \f(\r(3),3)时，x2＋y2＝eq \f(2,3)，当且仅当x＝y＝±1时，x2＋y2＝2，所以C正确，D错误．故选BC. 三、填空题 12．(2025·湖南株洲模拟)一个矩形的周长为l，面积为S，给出下列实数对：①(1，4)；②(6，8)；③(7，12)；④eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,2)))，其中可作为数对(S，l)的是________(填序号)． 解析：设矩形的长、宽分别为x，y(x，y>0)，则x＋y＝eq \f(l,2)，S＝xy，因为x＋y≥2eq \r(xy)，当且仅当x＝y时，等号成立，所以eq \f(l,2)≥2eq \r(S)，即l2≥16S.将四组实数对逐个代入检验可知，可作为数对(S，l)的为①(1，4)，③(7，12)． eq \f(4,5) 解析：∵5x2y2＋y4＝1，∴y≠0且x2＝eq \f(1－y4,5y2).∴x2＋y2＝eq \f(1－y4,5y2)＋y2＝eq \f(1,5y2)＋eq \f(4y2,5)≥2eq \r(\f(1,5y2)·\f(4y2,5))＝eq \f(4,5)，当且仅当eq \f(1,5y2)＝eq \f(4y2,5)，即x2＝eq \f(3,10)，y2＝eq \f(1,2)时取等号，∴x2＋y2的最小值为eq \f(4,5). 14．设a>2b>0，那么eq \f(a4＋1,b（a－2b）)的最小值是________． 解析：因为b(a－2b)＝eq \f(1,2)·2b(a－2b)≤eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2b＋a－2b,2))) eq \s\up12(2)＝eq \f(a2,8)，当且仅当2b＝a－2b，即b＝eq \f(1,4)a时取等号，所以eq \f(a4＋1,b（a－2b）)≥eq \f(a4＋1,\f(a2,8))＝8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,a2)))≥8×2eq \r(a2×\f(1,a2))＝16，当且仅当a2＝eq \f(1,a2)，即a＝1时取等号，故当a＝1，b＝eq \f(1,4)时，eq \f(a4＋1,b（a－2b）)取得最小值16. 四、解答题 15．(1)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝1，证明：ab＋bc＋ac≤eq \f(1,3)； (2)求满足方程(x2＋2)(y2＋8)＝16xy的实数x，y的值． 解：(1)证明：由a，b，c∈R，a＋b＋c＝1， 可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝eq \f(1,2)(a2＋b2)＋eq \f(1,2)(b2＋c2)＋eq \f(1,2)(c2＋a2)＋2ab＋2bc＋2ac≥ab＋bc＋ac＋2ab＋2bc＋2ac＝3(ab＋bc＋ac)， 所以ab＋bc＋ac≤eq \f(1,3)，当且仅当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时取等号． (2)(x2＋2)(y2＋8)＝16xy＞0， 当x＞0，y＞0时，由x2＋2≥2eq \r(2)x，y2＋8≥4eq \r(2)y，可得(x2＋2)(y2＋8)≥16xy，当且仅当x＝eq \r(2)，y＝2eq \r(2)时取等号． 同理可得，当x＜0，y＜0时，(x2＋2)(y2＋8)≥16xy也成立，当且仅当x＝－eq \r(2)，y＝－2eq \r(2)时取等号． 所以原方程的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)，,y＝2\r(2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(2)，,y＝－2\r(2).)) 解：(1)因为每位抢修人员每天可抢修农田5平方米，需要t天完成抢修工作， 所以可得400＋10t＝5xt，即t＝eq \f(80,x－2)，显然x－2>0，即x>2，且x∈N*， 因为总损失＝因渗水造成的直接损失＋各项支出费用， 所以y＝(400＋10t)·400＋400xt＋240x， 将t＝eq \f(80,x－2)代入上式，得y＝240x＋eq \f(384000,x－2)＋192000(x>2，x∈N*)． 高考科学复习创新方案 数学 (2)y＝240x＋eq \f(384000,x－2)＋192000 ＝240(x－2)＋eq \f(384000,x－2)＋192480 ≥2eq \r(240（x－2）·\f(384000,x－2))＋192480 ＝211680， 当且仅当240(x－2)＝eq \f(384000,x－2)，即x＝42时，等号成立， 所以应安排42位抢修人员参与抢修，才能使总损失最小，此时总损失为211680元． 1 $$