第一章 特殊平行四边形 2 矩形的性质与判定 第2课时矩形的判定-【魔力暑假A计划】2024-2025学年八年级下册数学暑假作业（北师大版）

作EF BD,垂足为F,则OE十EF的值为 12.如右图,在矩形ABCD中, AB-3,BC-4,E为AD的 10.如图,在矩形ABCD中,AD 中点,F为CD上一点,将 一3.将矩形ABCD绕点A ADEF沿EF折叠后,点D恰好落到BF 逆时针旋转得到矩形 上的点G处. AEFG,点B的对应点E落 (1)连接BE,求证:BE IEF; C 在CD上,且DE=EF,则 。 第10题图 (2)求折痕EF的长 AB的长为 三、解答题 11.如右图,在矩形ABCD中; 点E在边AB上,点F在边 BC上,且 BE=CF,EF DF.求证:BF=CD 壮·二度 第2课时 矩形的判定 新知导航 '.四边形ABCD是矩形 (3)在○ABCD中, 矩形的判定方法 “.AC-BD. 1.用定义判定;有一个角是直角的平行四 ..ABCD是矩形. 边形是矩形 典例导学 2.判定定理1:有三个角是直角的四边形 G 是矩形. 【例1】如右图,GE/HF. E 3.判定定理2:对角线相等的平行四边形 直线AB与GE交于点A,与 是矩形. HF交于点B,AC,BC,BD,f 4.用数学语言表示:如下图 AD分别是 EAB,FBA,ABH,/GAB (1)在□ABCD中. 的平分线,求证:四边形ADBC是矩形 “ ABC-90*. 【分析】利用已知条件,证明四边形ADBC .ABCD是矩形 有三个角是直角即可. (2)在四边形ABCD中. 【解】:GE/HF. “ABC=BCD=/CDA-90*. '. GAB+ ABH-180{* 64 .AD,BD分别是 GAB,ABH的平 达标导练 分线. 一、选择题 1.如图,要使ABCD成为矩形,需要添加的 条件是 C ~ A. A+ B-180* ×180-90. B.B+C-180* C.A-B “. ADB-180*-(1+4)-90*。 D.B-D 第1题图 同理可得 ACB-90*。 2.下列给出的条件中,不能判定四边形是矩形 又.ABH+ FBA-180*, 的是 ( ) A.一组对边平行且相等,有一个角是直角 B.有三个角是直角 C.两组对边分别平行,且对角线相等 BS·回 D.一组对边平行,另一组对边相等,且两条 对角线相等 ..四边形ADBC是矩形. 3.判断一个门框是否是矩形,可用的方法是 ( 【点拨】矩形的判定方法和矩形的性质是 A.测量两组对边是否相等 相辅相成的,要注意它们的区别和联系. B.检查门框的三个角是否是直角 【例2】如右图,在□ABCD C.测量两条对角线是否互相平分 中,对角线AC与BD相交于点 D.测量两条对角线是否互相垂直平分 O.△ABO是等边三角形,求证:B 4.在ABCD中,AC,BD是它的两条对角线 四边形ABCD是矩形. 下列条件中,能判断这个平行四边形为矩形 的是 C 【分析】利用已知条件,证明ABCD的对 ) A. BAC- DCA 角线相等即可 B. BAC= DAC 【解】:四边形ABCD是平行四边形, C. BAC= ABD D. BAC- ADB$$ 二、填空题 5.如图,木工师傅要做一个矩形木框,做好以后测 ·△ABO是等边三角形; 量得长AB-CD=80 cm,宽AD=BC-60 c m .OA-OB. 若对角线AC的长为1m,则这个木框 (填“合格”或“不合格”),判定的依 ..AC-BD. 据是 '.ABCD是矩形. (填矩形的判定定理). 【点拨】本题考查了等边三角形的性质以 及矩形的判定,在证明一个四边形是矩形时, 若题干中的条件与平行四边形的对角线有关, D ( 可以考虑证平行四边形的对角线相等, 第5题图 65 6.如图,在Rt△ABC中, (2)连接AE交CD于点F,连接BF.若 BAC=90*,且 BA=3, ABC=60{*,CE-2,求BF的长 AC-4.D是斜边BC上的 一个动点,过点D分别作 第6题图 DM |AB于点M,DN | AC于点N,连接 MN,则线段MN的最小值为 三、解答题 7.如下图,在CABCD中,点E,F分别在BC. AD上,BE=DF,AC=EF.求证:四边形 AECF是矩形. ### ·二墩 9.如下图,已知E是○ABCD中BC边的中 点,连接AE并延长交DC的延长线于点F (1)求证:△ABE2FCE (2)连接AC,BF.若AEC=2ABC,求 8.(北京石景山区一模)如下图,在ABCL 证:四边形ABFC是矩形 中, /ACB=90{*,过点D作DE |BC交BC 的延长线于点E (1)求证:四边形ACED是矩形; 66(2)如图，点P即为所求 2矩形的性质与判定 F D 第1课时矩形的性质 1.C2.B3.A4.C 5.C【解析】，四边形ABCD是矩形， 9.解：(1)证明：AB∥CD .∠D=∠ABC=90°，AD=BC,DC∥AB .∠OAB=∠ACD. ∠AED=30°，.AE=2AD :AC平分∠BAD AB-2BC.AEAB. ∴.∠OAB=∠CAD, :DC∥AB,∠EAB=∠DEA=30 .∠ACD=∠CAD,.CD=AD. :AE=AB,∠ABE=∠AEB=(180-∠EAB)=75 又，AB=AD,AB=CD, ∠ABC=90°. ,.四边形ABCD是平行四边形. .∠EBC=90°-75=15 又CD=AD. ,四边形ABCD是菱形. 6.27.168.569.号10.3回 (2)四边形ABCD是菱形， 11.证明：：四边形ABCD是矩形，·∠B=∠C=90. .OA=OC,BD⊥AC ,EFL DF,∴.∠EFD=90°，∴.∠EFB+∠CFD=90 BD-2.:OB-BD-1. ,∠EFB+∠BEF=90°，.∠BEF=∠CFD. ∠BEF=∠CFD, 在R1△AOB中，根据勾股定理，得OA=AB一OB= 在△BEF和△CFD中， BE=CF, √(W5)2-1P=2.∴0C=OA=2, ∠B=∠C, ,.AC=4. .△BEF≌△CFD(ASA)..BF=CD 10.解：(1)四边形AECF是菱形.理由 12.解：(1)证明：E为AD的中点， 如下： .AE=ED=2.由折叠可得∠EGF=∠D=90°，∠DEF= 设AC,EF交于点O,如图所示. ∠GEF,ED=EG. :四边形ABCD是平行四边形， ∴∠EGB=g0=∠A.EG=AE又BE=BE, .AD∥BC, .RI△EGB≌Rt△EAB(HL), ∴∠OAF=∠OE. ∴·∠GEB=∠AEB.:∠DEF+∠GEF+∠GEB+∠AEB :点E与点F关于AC对称， =180°， ..AE=AF.CE=CF.OE=OF. .∠GEB+∠GEF=90°，即∠BEF=90°， 在△AOF和△COE中， BE⊥EF ∠OAF=∠(OCE. (2)由△EGB2△EAB,可得BG=AB=3. ∠AOF=∠COE, 在R1△BCF中，FC=DC-DF=3-DF,BF=BG+FG= OF=OE, 3+DF, .△AOFa△COE(AAS). 由勾股定理，得FC十BC=BF, .AF=CE. ∴.AE=AF=CE=CF, 即(3-DF)+=(3+DF),解得DF=青， .四边形AECF是菱形. ·EF-VED+DF2E (2)证明：AB⊥AC.,∠BAC=90 3 .∠BAE+∠EAC=∠B+∠ACB=90 第2课时矩形的判定 由(I)知AE=EC.·∠EAC=∠ACB, 1.C2.D3.B4.C .∠BAE=∠B, 5.合格有一个角是直角的平行四边形是矩形 AE=BE,BE=EC=是BC 6.号【解析】如图，连接AD.:∠BAC=90,且BA=3,AC 又BC=2AB, =4, ..AB=BE=EC=AE. ∴BC=VBA+AC=5. .△ABE是等边三角形， DM⊥AB,DN⊥AC, .∠B=∠AEB=60, .∠DMA=∠DNA=∠BAC=90 .∠AEC=120. .四边形DMAN是矩形， ,四边形ABCD是平行四边形， MN=AD. .AB∥CD,AB=CD, ∴.∠DCE=180°-∠B=120°，CD=EC '当ADLBC时，AD的值最小，此时Sr=AB·AC ÷∠CED-∠CDE-7180-120)-30 =号BC·AD, ,∴.∠AED=120°-30°=90°， AE⊥DE. AD=B以C=号，即MN的最小值为号 BC BS版·参考答案 93 7.证明：四边形ABCD是平行四边形 =72°=∠B, AD=BC,AD∥BC. ∴，CD=CB,即△BCD是等腰三角形. BE=DF...AF=EC, 14.解：由①，得x≤2， ,四边形AECF是平行四边形 由②，得2x+6>x+4,解得x>一2 AC=EF, .不等式组的解集为一2<x≤2 ,平行四边形AECF是矩形， 在数轴上表示其解集如图. 8.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ,AD∥BC, .∠CAD=∠ACB-90 -3-2-10123 又∠ACB=90°，DEL⊥BC 15.解：：AB=AC,AD是∠CAB的平分线， .∠ACE=∠DEC=90°， .AD⊥BC .四边形ACED是矩形. ∠CAD=20°..∠ACD=70 (2)四边形ACED是矩形， :EF垂直平分AC,.AM=CM, AD=CE=2.AF=EF.AE=CD. ∴.∠ACM=∠CAD=20, :四边形ABCD是平行四边形， ∴∠MCD=50. ..BC=AD=2.AB=CD. 16.解：原式 [动]（售到 ..AB=AE. 又：∠ABC=60°， =「--4÷x x(x-2)x(x-2)」 △ABE是等边三角形， 4一x ÷∠BFE=90,BE=4,EF=2AE=2 r(x-27‘4- 在R△BFE中，BF-√BE-EF产=F-2-2√3. (x-2) 9.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形， 解不等式2红5<一3得>4， .AB∥DF, ∴.∠ABE=∠FCE. 则不等式的最小整数解为r=5. 又，E为BC的中点， 当x=5时，原式=合 ∴，BE=CE 17.解：(1)如图①，直角三角形ABD即为所求（答案不唯一）. ∠ABE=∠FCE (2)如图②，∠ACE的平分线CF即为所求（画法不唯一）. 在△ABE和△FCE中，BE=CE, ∠AEB=∠FEC, ∴.△ABE≌△FCE(ASA). (2):△ABE2△FCE. 图① ..AB=FC.BE=CE.AE=FE. 又AB∥CF, 18.解：(D:AE⊥BD, .∠AE)=90 ,四边形ABFC是平行四边形 ∠AOE=50, 又：∠AEC=2∠ABC,∠AEC是△ABE的外角， .∠EAO=40 .∠AEC=∠ABC+∠EAB, :AC平分∠DAE, ∴.∠ABC=∠EAB, .∠DAC=∠EAO=40° ..AE=BE, ..AE+EF=BE+EC.AF=BC, 四边形ABCD是平行四边形， .四边形ABFC是矩形. .AD∥BC, 第五部分 .∠ACB=∠DAC=40 综合测评 (2)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 综合测评卷一 ∴.OA=(0C 1.A2.C3.A4.B5.C6.C CF⊥BD 7.y(x+1)28.a,b都不为09.(2，-3) ÷.∠CFO=∠AEO=90 10.6<m≤711.102°12.(2.4)或(0,4)或(2√6,4) 又∠AOE=∠COF, 13.解：(1)3(1-x)>2-4x去括号，得3-3.r>2-4x .△AEO≌△CFOCAAS), 移项，得一3x十4x>2一3，合并同类项，得x>一1. .AE=CF. (2)证明：在△ABC中，AB=AC,∠A=36°， 19.解：(1)1.25x (2)更新设备后每天生产125件产品. ·∠B=∠ACB=2(180-∠A)=72, :(D平分∠ACB, ·∠DCB=7∠ACB=36,∠BDC=180'-∠B-∠DCB 数学·八年级