第一章 特殊平行四边形 2 矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质-【魔力暑假A计划】2024-2025学年八年级下册数学暑假作业（北师大版）

9.如下图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB 10.如下图，在□ABCD中，BC=2AB,AB⊥ =AD,对角线AC,BD相交于点O,AC平 AC,点E,F分别在边BC,AD上且关于 分∠BAD. AC对称，连接EF,AE,CF,DE. (1)求证：四边形ABCD是菱形： (1)试判断四边形AECF (2)若AB=5,BD=2,求AC的长. 的形状，并说明理由： (2)求证：AE⊥DE. 整 ·八年级 然2矩形的性质与判定焱 第1课时 矩形的性质 AD∥BC,AD=BC,∠BAD=∠ABC=∠BCD 新知导航 =∠CDA=90°，OA=OC=OB=OD,AC=BD. 一、矩形的定义 4.矩形既是中心对称图形，又是轴对称 1.文字叙述：有一个角是直角的平行四边 图形 形叫做矩形 5.定理：直角三角形斜边上的中线等于斜 2.数学语言：如右图，在 边的一半. 口ABCD中，如果∠A=90°， 那么□ABCD是矩形. 典例导学 二、矩形的性质 【例1】如右图，矩形 1.矩形具有一般平行四边形的所有性质. ABCD的对角线相交于点 2.定理：矩形的四个角都是直角. O.若AB=2,∠AOD= 3.定理：矩形的对角线相等 120°，则BC的长为 用数学语言表示：如下图， 【分析】由矩形的性质可得△AOB为等边 ,四边形ABCD是 三角形，则可求得AC的长，再由勾股定理即可 矩形， 求得BC的长. .AB∥DC,AB=DC. 【解】2√3 62 【点拨】此题考查了矩形的性质：矩形的对 角线互相平分且相等.解答此题的关键在于数 形结合思想的应用. 【例2】如右图，在△ABC 第2避图 第3题图 中，BD,CE分别是AC,AB边上 3.如图，直线I是矩形ABCD的一条对称轴， 的高，M,N分别是BC和ED的 在直线I上有一点P.若BA=4,S△AB=6, 中点.求证：MN⊥ED. 则点P到CD的距离等于 () 【分析】，BD,CE分别是AC,AB边上的 A.3 B.4 C.5 D.7 高，∴可得△BEC,△BDC均为直角三角形，且 4.(连云港中考)如图，将矩形纸片ABCD沿 M为斜边BC的中点，可想到连接ME,MD,得 BE折叠，使点A落在对角线BD上的点A ME=MD.又，N为DE的中点，∴.根据等腰 处.若∠DBC=24°，则∠A'EB的度数为 三角形“三线合一”可得MN⊥DE. 【解】如图，连接ME,MD. A.66 B.60° C.57 D.48 BD,CE分别是AC,AB 边上的高， 服 .BD⊥AC,CE⊥AB, 第 ∴.∠BDC=∠BEC=90° 第4题图 第5题图 部 分 ,M为BC的中点， 5.如图，在矩形ABCD中，AB=2BC.在CD上 取一点E,连接AE,BE.若∠AED=30°，则 ∴ME=MD=号BC 知 ∠EBC的度数是 在△MED中，ME=MD,且N为DE A.30° B.22.5° C.15 D.10 习 的中点， 二、填空题 '.MN⊥DE 6.矩形是轴对称图形，有 条对称轴， 【点拨】此题考查了“直角三角形斜边上的 7.如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点 中线等于斜边的一半”以及等腰三角形“三线 O,M,N分别为BC,OC的中点.若MN=4, 合一”的性质 则AC的长为 达标导练 总一、选择题 L.在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点 第7题图 第8题图 O,下列说法错误的是 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边 A.AB∥DC B.AC=BD AB的中点，∠B=28°，则∠ADC的度数为 C.AC⊥BD D.OA-OC 9.如图，矩形ABCD的对角线 2.(成都武侯区期末)两个矩形按如图所示的 AC,BD交于点O,AB=6, 方式放置.若∠1=150°，则∠2等于( BC=8.过点O作OE⊥ A.15 B.30 AC,交AD于点E,过点E C.45 D.60° 第9题图 63 作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为12.如右图，在矩形ABCD中， AB=3,BC=4,E为AD的 10.如图，在矩形ABCD中，AD 中点，F为CD上一点，将 =3.将矩形ABCD绕点A △DEF沿EF折叠后，点D恰好落到BF 逆时针旋转得到矩形 上的点G处. AEFG,点B的对应点E落 (I)连接BE,求证：BE⊥EF: 在CD上，且DE=EF,则 第10题图 (2)求折痕EF的长 AB的长为 焱三、解答题 11.如右图，在矩形ABCD中， 点E在边AB上，点F在边E BC上，且BE=CF,EF⊥B DF,求证：BF=CD. 擎 ·八年级 第2课时 矩形的判定 .四边形ABCD是矩形. 新知导航 (3)在□ABCD中， 矩形的判定方法 AC=BD, 1.用定义判定：有一个角是直角的平行四 .□ABCD是矩形. 边形是矩形 2.判定定理1：有三个角是直角的四边形 典例导学 是矩形 【例1】如右图，GE∥HF,G 3.判定定理2：对角线相等的平行四边形 直线AB与GE交于点A,与 是矩形 HF交于点B,AC,BC,BD,H 4.用数学语言表示：如下图. AD分别是∠EAB,∠FBA,∠ABH,∠GAB (1)在□ABCD中， 的平分线.求证：四边形ADBC是矩形 ∠ABC=90°， 【分析】利用已知条件，证明四边形ADBC ∴.□ABCD是矩形. 有三个角是直角即可 (2)在四边形ABCD中， 【解】：GE∥HF, ,∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°， .∠GAB+∠ABH=180°. 64(2)如图，点P即为所求 2矩形的性质与判定 F D 第1课时矩形的性质 1.C2.B3.A4.C 5.C【解析】，四边形ABCD是矩形， 9.解：(1)证明：AB∥CD .∠D=∠ABC=90°，AD=BC,DC∥AB .∠OAB=∠ACD. ∠AED=30°，.AE=2AD :AC平分∠BAD AB-2BC.AEAB. ∴.∠OAB=∠CAD, :DC∥AB,∠EAB=∠DEA=30 .∠ACD=∠CAD,.CD=AD. :AE=AB,∠ABE=∠AEB=(180-∠EAB)=75 又，AB=AD,AB=CD, ∠ABC=90°. ,.四边形ABCD是平行四边形. .∠EBC=90°-75=15 又CD=AD. ,四边形ABCD是菱形. 6.27.168.569.号10.3回 (2)四边形ABCD是菱形， 11.证明：：四边形ABCD是矩形，·∠B=∠C=90. .OA=OC,BD⊥AC ,EFL DF,∴.∠EFD=90°，∴.∠EFB+∠CFD=90 BD-2.:OB-BD-1. ,∠EFB+∠BEF=90°，.∠BEF=∠CFD. ∠BEF=∠CFD, 在R1△AOB中，根据勾股定理，得OA=AB一OB= 在△BEF和△CFD中， BE=CF, √(W5)2-1P=2.∴0C=OA=2, ∠B=∠C, ,.AC=4. .△BEF≌△CFD(ASA)..BF=CD 10.解：(1)四边形AECF是菱形.理由 12.解：(1)证明：E为AD的中点， 如下： .AE=ED=2.由折叠可得∠EGF=∠D=90°，∠DEF= 设AC,EF交于点O,如图所示. ∠GEF,ED=EG. :四边形ABCD是平行四边形， ∴∠EGB=g0=∠A.EG=AE又BE=BE, .AD∥BC, .RI△EGB≌Rt△EAB(HL), ∴∠OAF=∠OE. ∴·∠GEB=∠AEB.:∠DEF+∠GEF+∠GEB+∠AEB :点E与点F关于AC对称， =180°， ..AE=AF.CE=CF.OE=OF. .∠GEB+∠GEF=90°，即∠BEF=90°， 在△AOF和△COE中， BE⊥EF ∠OAF=∠(OCE. (2)由△EGB2△EAB,可得BG=AB=3. ∠AOF=∠COE, 在R1△BCF中，FC=DC-DF=3-DF,BF=BG+FG= OF=OE, 3+DF, .△AOFa△COE(AAS). 由勾股定理，得FC十BC=BF, .AF=CE. ∴.AE=AF=CE=CF, 即(3-DF)+=(3+DF),解得DF=青， .四边形AECF是菱形. ·EF-VED+DF2E (2)证明：AB⊥AC.,∠BAC=90 3 .∠BAE+∠EAC=∠B+∠ACB=90 第2课时矩形的判定 由(I)知AE=EC.·∠EAC=∠ACB, 1.C2.D3.B4.C .∠BAE=∠B, 5.合格有一个角是直角的平行四边形是矩形 AE=BE,BE=EC=是BC 6.号【解析】如图，连接AD.:∠BAC=90,且BA=3,AC 又BC=2AB, =4, ..AB=BE=EC=AE. ∴BC=VBA+AC=5. .△ABE是等边三角形， DM⊥AB,DN⊥AC, .∠B=∠AEB=60, .∠DMA=∠DNA=∠BAC=90 .∠AEC=120. .四边形DMAN是矩形， ,四边形ABCD是平行四边形， MN=AD. .AB∥CD,AB=CD, ∴.∠DCE=180°-∠B=120°，CD=EC '当ADLBC时，AD的值最小，此时Sr=AB·AC ÷∠CED-∠CDE-7180-120)-30 =号BC·AD, ,∴.∠AED=120°-30°=90°， AE⊥DE. AD=B以C=号，即MN的最小值为号 BC BS版·参考答案 93