第一章 特殊平行四边形 1 菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质-【魔力暑假A计划】2024-2025学年八年级下册数学暑假作业（北师大版）

第四部分 新知预习 九年级上册 灯第●章 特殊平行四边形 总1菱形的性质与判定总 第1课时菱形的性质 别是AD,BD的中点.若EF 新知导航 =2,则菱形ABCD的周长是 一、菱形的定义 1.文字叙述：有一组邻边相等的平行四边 【分析】，E,F分别是AD,BD的中点， 形叫做菱形 ∴.AB=2EF=4. 2.数学语言：如右图，在 :四边形ABCD是菱形， □ABCD中，如果AB=AD,那么 ∴.AB=BC=CD=AD=4, 学 □ABCD是菱形. ∴.C形D=4X4=16. 八 二、菱形的性质 【解】16 年 级 1.菱形具有一般平行四边形的所有性质. 【点拨】运用三角形中位线的性质及菱形 2.定理：菱形的四条边相等 的四条边都相等即可解答， 3.定理：菱形的对角线互相垂直、互相平 【例2】如右图，在菱形AB 分，并且每条对角线平分一组对角 CD中，对角线AC与BD相交 用数学语言表示： 于点O,∠ABC与∠BAD的度 如右图.：四边形ABCD是菱形 数比为2：1，菱形ABCD的周长为24cm,则AC ∴.AB∥CD,AD∥BC, .BD= ∠BAD=∠BCD,∠ABC 【分析】在菱形ABCD中，由BC∥AD, ∠ADC,OA=OC,OB=OD. ∠ABC:∠BAD=2:1,得∠BAD=60 AB=BC=CD=DA,AC⊥BD, 由菱形的性质可得AB=AD=BC=CD=24 BD平分∠ABC,DB平分∠ADC ÷4=6(cm),AC⊥BD,OB=OD,OA=OC. AC平分∠BAD,CA平分∠BCD. ∠BAD=60°，AB=AD, 4.菱形既是轴对称图形，又是中心对称 △ABD为等边三角形， 图形 .'BD=AB=6 cm, 三、菱形面积的计算 1.菱形的面积=底×高. ∴0B=号BD=3m,0A=AB=0B 2.菱形的面积一两条对角线乘积的一半。 =√6-32=3√3(cm), 典例导学 ∴.AC=2OA=63cm. 【例1】如下图，在菱形ABCD中，E,F分 【解】63cm6cm 58 【点拨】此题考查了菱形的性质，解题的关二、填空题 键在于数形结合思想的应用， 6.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶 点A,C在x轴上，顶点B的坐标为(2.3)，那么 达标导练 顶点D的坐标为 姓一、选择题 1.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质 是 ( A.两组对边分别平行B.两组对角分别相等 C.是中心对称图形D.是轴对称图形 第6题图 2.(湘潭中考)如图，菱形ABCD中，连接AC, 7.菱形的两条对角线的长分别为6和8，则菱 BD.若∠1=20°，则∠2的度数为( 形的周长为 A.20° B.60 C.709 D.80° 8.如图，在菱形ABCD中，∠B=50°，点E在 CD上.若AE=AC,则∠BAE的度数为 C)G OA B 第2類图 第3想图 部 3.(大庆中考)将两个完全相同的菱形按如图 第8题图 第9题图 所示的方式放置.若∠BAD=a,∠CBE=3, 9.(牡丹江中考)如图，在平面直角坐标系中， 新 则3= ( 菱形ABCD的顶点A,B在x轴上，AB=2, 习 A46+20 且行+ A(1,0),∠DAB=60°.将菱形ABCD绕点 A旋转90°后，得到菱形AB1CD1,则点C C90°-20 D.oo 的坐标是 效三、解答题 4.如图，在菱形ABCD中，AB=5,AC=8,则 10.(广安中考)如下图，菱形ABCD中，E,F分 该菱形的面积为 别是AB,BC边上的点，BE=BF.求证： A.40 B.20 C.48 D.24 ∠DEF=∠DFE. 第4题国 第5题图 5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交 于点O,CE⊥AB于点E,F为线段AE上 点，连接CE.若AC=6,BD=8,AF=专E, 则线段CF的长度为 () A号 B号 c号 n.9 59 11.(长春中考)将两个完全相 (2)已知BC=6cm,当四边形AFDC是菱 同的含有30°角的直角三 形时，求AD的长 角板在同一平面内按如右 图所示位置摆放.点A,E, B,D依次在同一直线上，连接AF,CD. (1)求证：四边形AFDC是平行四边形： 第2课时 菱形的判定 【解】AC⊥BD(答案不唯一) 新知导航 数 【点拔】要判断一个平行四边形是菱形，可 菱形的判定方法 从邻边相等或对角线互相垂直着手 八 1.用定义判定：一组邻边相等的平行四边 年 【例2】如右图，在四边 级 形是菱形. 形ABCD中，对角线AC与 2.判定定理1：对角线互相垂直的平行四 BD相交于点O,OA=OC 边形是菱形 12,OB=OD=5,AB=13. 3.判定定理2：四边相等的四边形是菱形 4.用数学语言表示：如下图 求证：四边形ABCD是菱形. (1)在□ABCD中，.AB=BC, 【分析】首先由OA=OC,OB=OD证得四 .□ABCD是菱形. 边形ABCD为平行四边形，再根据勾股定理的 (2)在口ABCD中，，AC⊥BD 逆定理证得△AOB为直角三角形，从而证得对 ∴.□ABCD是菱形 角线AC⊥BD,即可推出四边形ABCD是 (3)在四边形ABCD中，，AB=BC=CD 菱形 =DA,.四边形ABCD是菱形. 【解】.OA=OC,OB=OD, 典例导学 .四边形ABCD为平行四边形. 在△AOB中，.OA=12,OB=5,AB= 【例1】如右图，□ABCD的 D 13,而122+5=13”，即OA2+OB=AB2, 对角线AC,BD相交于点O.请 ·△AOB为直角三角形，∠AOB=90°， 你添加一个适当的条件 使其成为菱形. .AC⊥BD, 【分析】根据对角线互相垂直的平行四边 .四边形ABCD是菱形 形是菱形，可添加条件AC⊥BD:根据邻边相 【点拔】此题考查了菱形的判定，选择合适 等的平行四边形是菱形，可添加条件AB=BC. 的判定方法是解此类题的关键， 60原式一# ' AED=DAE..DE-AD-2 3.解:原式-#)3 ##3--- 同理可得GC-BC-2. 'AD-2EG-2..$EG-1. -1. *.CD-DE+EG+GC-5. 4.解:原式-[]#△# $.□ABCD的周长-2(AD+CD)-14; ②当点G在点E左侧时,如图③所示. 2f 同理可得DE-GC-2.GE-1. '$CD-DE+GC-GE=3. -_*-2ab+.ab *.□ABCD的周长-2(AD+CD)=10. b(a+b)-# 综上所述,二ABCD的周长为14或10. 图③ #-)#} ab(a+)'a-b 5.B 第四部分 _# 新知预习 5.解:方程两边都乘x-2,得1-a十2=x-2. 九年级上册 解得x-5-a. 第章 特殊平行四边形 由题意可知,5-a0,解得a<5. 当x-5-a-2,即a-3时,方程的根为增根,不符合题意 1 菱形的性质与判定 应舍去. 第1课时 菱形的性质 故a5且a3. 1.D 2.C 3.D 4. D 5. D 6.(2.-3) 7.20 8.115* 6.解:(1)去分母,得2(r-1)=x十1,解得r-3. 9.(1-3,3或(1+3.-3) 经检验,r一3是原方程的根, 10.证明;.四边形ABCD是葵形; '.原方程的解为x-3. $AB-BC=CD=AD. A- C (2)去分母,得(2十x)-16--(4-r”),解得x-2. .BE-BF. 经检验,一2是原分式方程的增根,..原方程无解。 *.AB-BE-BC-BF. 第章 平行四边形 .AE-CE 1.B 2.C 在△DAE和△DCF中. 3.解:说法不正确. DA-DC. 反例:如图,作一个□ABCD(乙A是锐角). /A-C. 以点C为圆心,CB的长为半径画孤,交AB的延长线于点 AE-CF. E,连接CE,则CD/AE,AD-CE. .△DAE△DCF(SAS). 显然四边形AECD虽满足题意,但它不是平行四边形,故说 .DE-DF. 法不正确. . DEF-/DFE. #)## 11.解:(1)证明:由题意可知△ACB△DFE 'AC-DF,CAB- FDE-30”.*AC/DF. *.四边形AFDC是平行四边形。 (2)如题图:在RtACB中,ACB-90.CAB=30*. 4.解:(1)证明:如图①.·四边形ABCD是平行四边形, BC-6cm. '.AB/CD.DAB- DCB. .AE平分DAB,CF平分/DCB. *AB-2BC-12cm.ABC-60 .:四边形AFDC是菱形. '.DAE-EAB- 乙DAB. .DA平分CDF. 图① ./CDA-/FDA-30”。 .ABC-CDA+BCD. . /FAB=/DCF * BCD-ABC-CDA-60*-30*-30. .AB//CD.'.DEA-EAB. . BCD- CDA..BC-BD-6cm. .DEA-DCF. *AD-AB+BD-18cm. .AE/CF. 第2课时 菱形的判定 C.四边形AECF是平行四边形 (2)分以下两种情况讨论: ①当点G在点E右侧时,如图②所示. 8.解:(1)证明;.四边形ABCD是平行四边形. “·四边形ABCD是平行四边形. .AF/BE. *AB/CD.BC-AD-2. .AF-BE. .AE平分乙DAB. '.四边形ABEF是平行四边形 .DAE-EAB. ② .BA-BE. .AB//CD.../DEA-/EAB '.四边形ABEF是萎形 92 数学·/年级