专题五 构造三角形中位线的常用方法-【魔力暑假A计划】2024-2025学年八年级下册数学暑假作业（北师大版）

分专题五之 构造三角形中位线的常用方法 类型1 连接两点构造三角形的中位线 3.如下图，AC,BD是四边形ABCD的对角线， E,F分别是AD,BC的中点，M,N分别是 1.如下图，在△ABC中，D,E,F分别是AB, BD,AC的中点.求证：EF与MN互相 AC,BC的中点.求证：AF与DE互相平分. 平分. ·第二部 4.如下图，B为AC上一点，分别以AB,BC为 2.如下图所示，△ABC的中线BD,CE相交于 边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三 专题突 点O,F,G分别是BO,CO的中点， 角形BCE,P,M,N分别为AC,AD,CE的 求证：EF∥DG,且EF=DG. 中点。 (1)求证：PM=PN: (2)求∠MPN的度数. 49 类型2 利用角平分线十垂直构造三角 类型3 倍长法构造三角形的中位线 形的中位线 7.如下图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA 5.如下图，在△ABC中，AD是中线，AE是 BC,△BEF为等腰直角三角形，∠BEF= ∠BAC的平分线，CF⊥AE于点F,连接 90°，M为AF的中点，连接ME,CF.求证： DF.已知AB=10,AC=6,求DF的长. ME-CF. 整 8.(北京中考)在△ABC中，∠B=∠C=a(0° 八年级 <a<45°)，AM⊥BC于点M,D是线段MC 上的动点（不与点M,C重合），将线段DM 绕点D顺时针旋转2a得到线段DE. 6.如下图，在△ABC中，M为BC的中点，AD 为△ABC外角的平分线，且AD⊥BD.若 AB=12,AC=18,求DM的长. 图① (1)如图①，当点E在线段AC上时，求证：D 是MC的中点； (2)如图②，若在线段BM上存在点F(不与 点B,M重合)满足DF=DC,连接AE,EF, AF,写出∠AEF的度数，并说明理由. 50 类型4 已知一边中点，取另一边中点构 11.如下图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥ BD,且AC=4,BD=8.E,F分别是边AB, 造三角形的中位线 CD的中点，求EF的长 9.如右图，在△ABC中，AB AC,AD⊥BC于点D,P为AD 的中点，连接BP并延长交AC 于点N.求证：AN=号AC ·第二部 类型5 已知两边中点，取第三边中点构 12.如下图，在四边形ABCD中，AB=CD,E, 造三角形的中位线 F分别是BC,AD的中点，BA,CD的延长 专 10.如下图，在四边形ABCD中，M,N分别是 线分别与EF的延长线交于点M,N AD,BC的中点.若AB=10,CD=8,求 破 求证：∠BME=∠CNE. MN长度的取值范围. 516.解;(1)原式=ax(r-16)=ar(r+4)(r-4) 专题 构造三角形中位线的常用方法 (2)原式-4(n-1)-9(m-1)=(m-1)(4n-9)-(n 1.证明:如图,连接DF,EF. 1)(2n+3)(2n-3). 'D.E.F分别是AB,AC,BC的中点: (3原式--3r(-8+16)--3r(-4)--3 '.DF/AC,EF//AB. (x+2)(x-2). '.四边形ADFE是平行四边形. 7.解;(1)原式-[3(m+n)+(n-n)[[3(m+n)-(m-n)] '.AF与DE互相平分. (4m+2n)(2m+4n)-4(2m+n)(m+2n). 2.证明:如图,连接DE,FG. (2)原式-(2r+y-x-2y)(2x十y十x+2y)=(x-y(3r “.BD.CE是△ABC的中线 十3y)-3(x-y)(x+y). .E.D分别是AB,AC的中点. (3原式-(a+2b)+3(-2)-[4(-)-16( 则DE是△ABC的中位线, )。 8.解:(1)原式-(m+1+2m)(n+1-2m)-(m+1)(m- .DE/BC,DE-BC. ). 同理可得FG/BC,FG- 1BC. (2)原式=(n+4+4mn)(+4-4mn)=(m+ 2)(nn-2)*. ·DE//FG.DE-FG. 9.解;(1)原式-+4c+4-(x+2). '.四边形DEFG是平行四边形: (2)原式-4xy-4r-=-(4r-4xy+y)=-(2r- '.FF/DG,且EF-DG. y). 3.证明:如图,连接EM.EN,FM,FN. 10.解:(1)原式-(3r+4)(3x-4)-(x+3)(3x+4)-(3x十 .E为AD的中点,N为AC的中点. .EN为△ACD的中位线. 4)(2r-7). # (2)原式-(a-2b)-2(a-2b)-(a-2b)(a-2b-2). .EN/CD.EN-cD. 11.解:原式=abe}+abd+cda”+cdb-(abe{+cda”)十 (abd+cd?)-ac(bc+ad)+bd(ad+bc)-(be+ad)(ac十 同理可得MF/CD.MF-CD. ). '.EN/MF,EN-MF. 12.解:原式=十+-=(+号)-=(十r+ '.四边形EMFN为平行四边形, .EF与MN互相平分. 士)(-+士). 4.解:(1)证明:如图,连接CD.AE 13.解:设9-6v-y. 由三角形中位线定理可得PM一 原式-(y+3)(y-1)+4 CD.PN-AE. 一-+2y+1 .*△ABD和△BCE是等边三 -(y十1) 角形, -(9-6r十1)] -(3x-1. '$AB-DB,BE-BC. ABD- CBE-60$. '. ABD 十DBE=CBE 十 DBE,即 ABE 14.解:(1)令r-y-M. -_DBC. 则原式-1-2M+M-(1-M .△ABE△DBC(SAS). 将“M”还原,得原式一(1一x十y)③. .AF-DC...PM-PN (2)令-2n-N. (2)如图,设AE交PM于点F,CD交PN于点G,AE交CD 则原式-(N-3)(N+5)+16-N+2N+1-(N+1) 于点H. 将“N”还原,得原式-(n*-2n+1)-(n-1)。 由(1)可知,△ABE△DBC. 15.解;(1)原式-1.23X(51-49)-1.23×(51+49)x(51 '. BAE-BDC -49)-1.23×100×2-246 .AHD- ABD-60. (2)原式-5.76$116+5.76$184+5.76$(-300)-57 '. FHG-120”。 ×(116+184-300)-0. 由三角形中位线定理可得PM/CD.PN/AE. (3)原式-2024-2x2025x2024+2025-(2024- 2025)-1. '.四边形PFHG为平行四边形. '. MPN- FHG-120”. 16.解;这两个数分别为63和65. 5.解;如图,延长CF交AB于点G,交AD于点H 17.解:(1)-y+4.1-y-4. :AE平分乙BAC. *.原式-2(-2y+y)-25-2(-)-25-2$4$ 25-7. . GAF-CAF. :AF1CG..AFG- AFC-90” (2)”:ab-2.a-b-. 在△AFG和△AFC中. *原式=-a(a-2ab+)--(ab)(a-b)-2 乙GAF-CAF. ()--1. AF-AF, AFG- AFC BS版·参考答案 '.AFGAFC(ASA) './B= /ACH.AB-AC ..AG-AC,GF-CF. 设DM-DE-m.CD-n.则CH-2m,CM-m+n. 又.D是BC的中点. $DF=CD-n.'FM-DF-DM=a-m. .DF是△CBG的中位线. .AMIBC. $DF-BG-(ABB-AG)-(AB-AC)-$(1$$$$ '.BM-CM-m+n. $BF=BM-FM-m+n-(n-m)-2m, -6)-2. '.CH-BF. 6.解:如图,延长BD,CA,两者相交于点N. [AB-AC. ·AD为△ABC外角的平分线, 在△ABF和△ACH中,乙B=乙ACH; .NAD-乙BAD. BF-CH. 又:AD BD. '.△ABF△ACH(SAS)..'.AF=AH. . ADN- ADB-90”. ·FE-EH..$AE1FH,即 AEF-90{ 在△AND和△ABD中, 9.证明:如图,取NC的中点H,连接DH,过 NAD- BAD. 点H作HE/AD,交BN的延长线于 AD-AD. 点E. ADN- ADB. :AB-AC.AD1BC. '.△AND△ABD(ASA)..'.DN=DB,AN-AB .D为BC的中点. .M为BC的中点. 又.H为NC的中点. *.DM是△BCN的中位线 '.HN一HC,DH为△BNC的中位线. $.DM-NC-(AN+AC)- 1(AB+AC)-15. '.DH/BN. .HE/AD. 7.证明:如图,延长FE至点N,使EN 2.四边形PDHE是平行四边形,PAN一 EHN. EF,连接BN.AN. .M为AF的中点. 'HF-PD .ME-AN. 又:P为AD的中点. 'AP-PD.'AP-HE "EF-EN. BEF-90*. 又: ANP- HNE,△APN△HEN(AAS).'AN $.BF-BN.. BNF- BFN -HN. , .△BEF为等腰直角三角形. 又·HN-HC. .. BFN-45* $AN-HN-HC.AN-AC. '.BNF-45*. 10.解;如图,连接BD,取BD的中点P,连 ## '. FBN-90*. 接PM.PN. 即 FBA+ABN-90° .M是AD的中点. 又 ABC- FBA+ CBF-90{* '.PM是△ABD的中位线 ..CBF-ABN. .PM-AB-5. 在△BCF和△BAN中. BF-BN. 同理可得PN--CD-4. 乙CBF-乙ABN. BC-BA. 在△PMN中,.PM-PN<MN<PM+PN. .1MN9. $△BCF△BAN(SAS)...CF-AN.'.ME--CF 11.解;如图,取BC的中点G,连接EG,FG. 8.解:(1)证明:由旋转的性质,得DM-DE, MDE-2a. .E.F分别是边AB,CD的中点, 'C=aDEC- MDE- C= ..EG.FG分别是△ABC,△BCD的中 '.C- DEC...DE-DC. ·.DM-DC,即D是MC的中点 (2)乙AEF-90{,理由如下: 如图,延长FE到点H,使FE一EH,连 又.ACIBD...EG1 FG. 接CH.AH. .DF-DC. $EF-FG+FG- 2+4-V20-2 12.证明;如图,连接BD,取BD的中点G,连接GE.GF. 'DE是△FCH的中位线 在△ABD中,F,G分别是AD,BD的中点, '.DE/CH.CH-2DE. .GF-ABGF/ M. 由旋转的性质,得DM-DE, MDE-2a. '.FCH-2. 同理可得GE--CD,GE/CN B- BCA-。. '.ACH-a.△ABC是等腰三角形, .AB-CD..'.GF-GE 90 数学·/年级 '. /GEF- /GFE $.2<a<8,其中能使8“为非负整数的a的值为2.5.8. 'GF/BM.' GFE- BME :GE//CN...GEF=CNE. '.满足题意的所有整数a的和是2十5十8-15 .BME-CNE 6.解:解不等式2x-a>0.得x>号. 第三部分 易错易混 解不等式3x一b<0,得1. 第 章 三角形的证明 .不等式组的整数解仅有2和3. 1.D .1<2,3<4.解得2<a<4.9<<12. 2.证明:'AB-AC,D是BC的中点..'.AD1BC. ..AD垂直平分BC...BO-CO. .a.b均为整数,',当a-3时,b-9,10,11; .OE是AC的垂直平分线, 当a-4时,h-9,10,11. .AO-CO...BO-AO. 故满足这个不等式组的整数a,b组成的有序数对(a,b)共有 '点O在AB的垂直平分线上 6对. 3.证明:PD OA.PE1OB. 第章 图形的平移与旋转 ./PDF= /PFG-90 1.D 在Rt△PFD和Rt△PGE中. 2.2或3或2/5-2【解析】'A,B的坐标分别为(4.0),(0,2). PF-PG.DF-EG. $R△PFD-Rt△PGE(HL)..'.PD-PE. 'OA-4.0B-2..AB-25 ·P是OC上一点,PD1OA,PE1OB. .线段AB是由AB向上平移n个单位得到的 '.OC是AOB的平分线 .A'B'-2/5. 4.解:(1)证明::C- D-90*. “△OA'B'为等腰三角形, '.AACB和△BDA都是直角三角形 $①当OB$-A'B$-25时,m-BB-25-2; [BC-AD. 在Rt△ACB和Rt△BDA中. ②当OA'-A'B'-25时,m-AA'-2; AB-BA. ③当0B-A0-2+n时,2+nv4+w,解得n3 '.R△ACBRt△BDA(HL). (2)20* 综上所述,m的值为2或3或2v5-2. 5.C 6.5cm 3.D 4.B 5.D 6.C 7.A 第(章 第章 一元一次不等式 因式分解 1.C 2.B 与一元一次不等式组 1.A 2.C 3.解:(1)原式--4xy+4y+8ry=r+4xy+4y-(+ 3.解:(1)去分母,得30-2(2-3.x)<5(1+x). 2):. 去括号,得30-4+6.r5+5x. (2)原式-r(m-a)-y(m-n)-(m-n)(r-y)-(n- (r十y)(r-y). 移项,得6x-5x5+4-30. 合并同类项,得x-21. (3)原式=[(+4)+4][(x*+4)-4]=(x+4x+ (2)去分母,得4(r+2)>7(x-1)-6. 4)(-4r+4)-(r+2)(r-2). 去括号,得4r+87x-7-6. (4)原式=(r-4)=(x+2x)(r-2y)*. 移项,得4-7x-7-6-8. (5)原式-a+2ab++ac+be-(a+b)ì+c(a+b)-(a十 合并同类项,得一3x>-21. b)(a十b+c). 两边都除以一3,得x<7 4.D 5.+6x或-1或8或-9- 6.(1)-2(2)10 4.解;解不等式①,得x3,解不等式②,得x一2.*.原不等 7.解;2xy-ry=ry(2r-)=(xy)(2-y). 式组的解集是一2<x<3.将解集在数轴上表示如图 ---3. 5-4-3-2-1012345 .3一9. 5.解:解不等式寸(2x+5)>x+1.得r<2. 第章 分式与分式方程 解不等式l(x+3)<r十a,得x→3-2a. 1.-1 --)十-)1) ..该不等式组的解集为3-2ax<2. 2-(r十1) 2.解:原式= 2--1 又,原不等式组至少有3个整数解, '3-2a-1,解得a2. -1 解关于y的方程2-(a+y)-2(y-3),得y-8-. :要使分式有意义, “:方程的解为非负整数 :x-1,0.1. .8-→0,解得a<8. 又,整数x满足-1<x<2. .-2. BS版·参考答案