第02讲 二元一次方程组（4知识点+14大考点+4拓展训练+复习提升）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

第02讲 二元一次方程组 （4知识点+14大考点+4拓展训练+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 二元一次方程的相关概念 二元一次方程概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 二元一次方程的三要素：1）有且只有两个未知数；2）含有未知数的项的次数为1；3)方程两边都是整式. 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 知识点 2 二元一次方程组的相关概念 二元一次方程组 二元一次方程组的概念：方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组. 一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错易混】 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 知识点 3 二元一次方程组的解法 1.代入消元法 定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 2）代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 【易错易混】 1）方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化为整数系数. 2）当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程(或)，求出另一个未知数的值比较简单 2.加减消元法 定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 知识点 4 用二元一次方程解决问题 用一元一次方程（组）解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； 列：根据题中相等关系，列出方程（组）； 解：解所列出的方程（组）； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 考点一：二元一次方程的相关概念 例1．下列方程中，是二元一次方程的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．据此逐一判断即可得． 【详解】解：A. ，是二元一次方程，故该选项正确，符合题意； B. ，最高次数为，不是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；      C. ，不是整式方程，不是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，最高次数为，不是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；      故选：A． 【变式1-1】已知方程是关于的二元一次方程，则的值是（   ） A．2 B．0或2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选D． 【变式1-2】二元一次方程中，当时， ． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程，把值代入二元一次方程中即可求得结果． 【详解】解：当时，，得； 故答案为：2． 【变式1-3】已知是关于，的二元一次方程组的一组解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解的定义．把代入得出m和n的值，代入即可 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程组的一组解， ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 考点二：二元一次方程组的相关概念 例2．下列方程组：①②，③，其中是二元一次方程组的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．③ 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．根据二元一次方程组的定义逐项分析判断即可，二元一次方程组：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 【详解】解：①是三元一次方程组，故不符合题意， ②中的第一个方程不是整式方程，故不符合题意， ③是二元一次方程组，故符合题意， 故选：D． 【变式2-1】若是二元一次方程组的解，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 把代入，解关于的方程组，再求解的值． 【详解】解：∵是二元一次方程组中的解 ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 【变式2-2】小亮解方程组时，得到其正确的解为，但不小心滴上的两滴墨水刚好遮住了两个数和，则这两个数分别为（　　） A．8和 B．6和4 C．2和8 D．6和 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解的定义，掌握二元一次方程组的解满足各个方程是解题的关键．直接根据方程组解的定义把代入方程求出y的值，进而求出的值，由此即可得到答案． 【详解】解：∵方程组 的解为， ∴， ∴， ∴， ∴和分别表示8和， 故选：A． 【变式2-3】如果一个关于、的一次方程可化为形如：（，都是不为0的常数）的形式，并且满足，那么我们就把这个一次方程叫做具有“2性质”的方程．如果关于、的方程是具有“2性质”的方程．且是该方程的一个解，那么，的值分别为 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据“2性质”的方程的定义得到，根据方程解的定义得到，据此建立方程组求解即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程是具有“2性质”的方程，即关于，的方程是具有“2性质”的方程， ∴， ∵是方程的一个解， ∴， 联立①②，解得． 故答案为：，． 考点三：二元一次方程组的解法 例3．解方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是熟悉二元一次方程组的解法． （1）利用加减法求解； （2）先化去第一个方程中的分母，再用加减法求解． 【详解】（1）解：， ①×2，得③， ③+②，得，解得：， 将代入①，得， 解得：， 所以方程组的解为； （2）， 由 ①，得③， ②×2，得④， ③+④，得，解得：， 将代入②，得，解得：， 所以方程组的解为． 【变式3-1】解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减法和代入法进行消元求解． （1）利用代入消元法解答本题即可； （2）利用加减消元法解答本题即可． 【详解】（1）解： 将②代入①，得： ， 解得：， 将代入②，得： ， 解得： 原方程组的解为． （2）解： ①×2，得：③， ②+③，得：， 解得：， 将代入②得： ， 解得：， 原方程组的解为． 【变式3-2】解二元一次方程组： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知加减消元法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 【变式3-3】解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，灵活选用解二元一次方程组的解法是解答本题的关键． （1）方程组运用代入法进行计算即可； （2）方程组整理后运用代入法求解即可． 【详解】（1）解：， 由①得，，③ 把代入②得，， 解得，， 把代入③得，， 所以，方程组的解为； （2）解：方程组整理为 把②代入①得，， 拟，方程组的解为． 考点四：二元一次方程组的特殊解法 例4．已知，满足方程组，则无论取何值，，恒有关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组的代入消元法，把②代入①即可得出x、y的关系． 【详解】解：， 把②代入①得：， 解得， 故选：C． 【变式4-1】已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，利用了类比的方法，弄清题中方程组解的特征是解本题的关键．利用关于的二元一次方程组的解为得到即可． 【详解】解：∵关于的二元一次方程组的解为， 把关于满足二元一次方程组可化为可看作关于和的二元一次方程组， ， ， 故选：B． 【变式4-2】观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为 ． 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．观察表格得知能使得两个方程都成立，即可得出答案． 【详解】解：通过观察表格知，与有一组公共解为， 故二元一次方程组的解为， 故答案为：． 【变式4-3】知识呈现：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：设，原方程组可变为 解方程组，得即解得 解决问题： （1）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为___________； （2）已知、满足方程组,求的值； 灵活运用： （3）已知、、满足方程组,求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题围绕“整体思想”展开，通过将复杂式子中的部分看作整体进行代换，简化计算，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）利用换元法，设，因为的解为，所以，即可求得的值； （2）设，，解关于，的二元一次方程组，即可求出的值； （3）设，，解关于，的二元一次方程组，即可求出，的值，进而可求出的值． 【详解】解：（1）设， ，即， ， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）， 设，， ， 可转化为， 解关于，的二元一次方程组，得，， ； （3）设，， 由可得，即①， 由可得，即②， ①②得， 解得， 把代入①得，， ． 考点五：构造二元一次方程组求解 例5．在等式中，当时，；当时，；当时，．则这个等式为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，代值列出三元一次方程组进行解答，即可 【详解】解：时；时；时 从而得方程组， 解得，，． ∴， 故选：A 【变式5-1】若实数，满足，则的值为（    ） A． B．8 C．2 D． 【答案】D 【分析】根据非负数的性质求出x、y，进而求解. 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴； 故选：D. 【点睛】本题考查了非负数的性质和二元一次方程组的求解，熟练掌握非负数的性质、正确求解方程组是关键. 【变式5-2】对于有理数，，我们定义新运算．其中， 是常数． 若| ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据题意列出关于的方程组，然后解方程组求出的值，然后再代入中进行计算即可解答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 解得： ∴， 故答案为：． 【变式5-3】在代数式中，当，时，它的值是7；当，时，它的值是4，试求a，b的值． 【答案】，． 【分析】根据题意得出关于a、b的二元一次方程组，解方程即可． 【详解】解：∵在代数式中，当，时，它的值是7；当，时，它的值是4， ∴ ①-②×2得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴，． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，将已知条件代入建立关于a、b的二元一次方程组是解题关键． 考点六：已知二元一次方程组的解求参数 例6．关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是（   ） A．3 B．5 C．8 D．11 【答案】C 【分析】此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解．求出，再根据解为正整数进行分析即可． 【详解】解： 由②得，③ 把③代入①，得，即， 当时，； 当时，； 当时，； 当15时，． 则所有满足条件的整数之和为8． 故选：C. 【变式6-1】已知关于的二元一次方程组，若方程组的解满足，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了根据方程组解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．将方程组的两个方程相减，可得到，代入，即可解答． 【详解】解：， 得， ， 代入，可得， 解得， 故选：A． 【变式6-2】若关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．先解二元一次方程组，再代入中求解即可． 【详解】解：解二元一次方程组得，， 将代入得， ， 解得，， 故答案为：． 【变式6-3】已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 【答案】(1)， (2) (3)整数的值为 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把看作已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值； （3）根据方程组有正整数解，根据（1）的结论代入第二个方程，确定出整数的值即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，； 当，； 即方程的正整数的解为，； （2）解：联立得， 解得， 代入得：， 解得； （3）解：∵方程组有正整数解，由（1）可得，； 代入得， 或 解得：（舍去）或 综上所述，整数的值为． 考点七：根据实际问题列二元一次方程组 例7．若6年前，甲的年龄是乙的3倍，现在甲的年龄是乙的2倍，求甲、乙现在的年龄．设甲现在的年龄为x岁，乙现在的年龄为y岁． (1)填表： 姓名 现在的年龄 6年前的年龄 甲 乙 (2)列出关于x，y的二元一次方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列二元一次方程组，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据甲现在的年龄为x岁，乙现在的年龄为y岁，得出6年前甲的年龄为岁，6年前乙的年龄为岁，即可作答． （2）结合6年前，甲的年龄是乙的3倍，现在甲的年龄是乙的2倍，列出方程组，即可作答． 【详解】（1）解：∵设甲现在的年龄为x岁，乙现在的年龄为y岁 ∴6年前甲的年龄为岁，6年前乙的年龄为岁， 填表如下： 姓名 现在的年龄 6年前的年龄 甲 乙 （2）解：∵6年前，甲的年龄是乙的3倍，现在甲的年龄是乙的2倍， ∴ 【变式7-1】根据题意列方程组： (1)刘刚买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元和2元，共用去10元．刘刚两种贺卡各买了多少张？设刘刚买了单价是1元的贺卡x张，单价是2元的贺卡y张． (2)某班有学生45人，其中男生人数比女生的2倍少9人，该班的男生、女生各有多少人？设该班的男生有x人，女生有y人． (3)某市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为，超过的部分按每千米另收费．甲说：“我乘出租车行驶了，付了17元．”乙说：“我乘出租车行驶了，付了35元．”出租车的起步价是多少元？超过后每千米收费多少元？设出租车的起步价是x元，超过后每千米收费y元． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要查了列二元一次方程组，根据题意，找到数量关系是解题的关键． （1）根据“两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元和2元，共用去10元”，列出方程组，即可求解； （2）根据“有学生45人，其中男生人数比女生的2倍少9人”，列出方程组，即可求解； （3）根据甲说：“我乘出租车行驶了，付了17元．”乙说：“我乘出租车行驶了，付了35元”，列出方程组，即可求解． 【详解】（1）解：设刘刚买了单价是1元的贺卡x张，单价是2元的贺卡y张， 根据题意得：． （2）解：设该班的男生有x人，女生有y人， 根据题意得：． （3）解：设出租车的起步价是x元，超过后每千米收费y元， 根据题意得：． 【变式7-2】根据题意列二元一次方程组： (1)小明买了两种不同的笔记本共8本，单价分别是5元和3元，共花了30元．小明两种笔记本各买了多少本？设小明买了单价是5元的笔记本x本，单价是3元的笔记本y本． (2)某校七年级（1）班有学生47人，其中男生人数比女生人数的2倍少19人，该班的男生、女生各有多少人？设该班的男生有x人，女生有y人． (3)某市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为，超过的部分按每千米另收费．甲说：“我乘出租车行驶了，付了25元．”乙说：“我乘出租车行驶了，付了49元．”出租车的起步价是多少元？超过后每千米收费多少元？设出租车的起步价是x元，超过后每千米收费y元． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要查了列二元一次方程组，根据题意，找到数量关系是解题的关键． （1）根据“两种不同的笔记本共8本，单价分别是5元和3元，共花了30元”，列出方程组，即可求解； （2）根据“有学生47人，其中男生人数比女生人数的2倍少19人”，列出方程组，即可求解； （3）根据“乘出租车行驶了，付了25元；出租车行驶了，付了49元”，列出方程组，即可求解． 【详解】（1）解：设小明买了单价是5元的笔记本x本，单价是3元的笔记本y本，根据题意得： ； （2）解：设该班的男生有x人，女生有y人，根据题意得： ； （3）解：设出租车的起步价是x元，超过后每千米收费y元，根据题意得： ． 【变式7-3】甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条长的公路，甲队每天修建公路，乙队每天修建公路，一共用24天完成． (1)小明根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，小明所列方程组中，x表示_______，y表示_______；该方程组中△处的数应是_______，□处的数应是_______． (2)小方的思路是设甲工程队一共修建了公路，乙工程队一共修建了公路，请你按照小方的思路列出方程组（不用求解）． 【答案】(1)甲队修建的天数，乙队修建的天数， (2) 【分析】本题主要查了二元一次方程组的实际应用： （1）根据题意可得小明所列方程组中，x表示甲队修建的天数，y表示乙队修建的天数；该方程组中△处的数应是24，□处的数应是6000； （2）设甲工程队一共修建了公路，乙工程队一共修建了公路，根据题意，列出方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得：小明所列方程组中，x表示甲队修建的天数，y表示乙队修建的天数；该方程组中△处的数应是24，□处的数应是6000； 故答案为：甲队修建的天数，乙队修建的天数， （2）解：设甲工程队一共修建了公路，乙工程队一共修建了公路，根据题意得： 考点八：分配问题 例8．某酒店客房部有三人间和双人间两种普通客房，收费标准为三人间300元/间，双人间280元/间，为了吸引游客，酒店实行团体人住五折优惠措施，一个46人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去2620元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间? 【答案】该旅游团住了三人间普通客房10间，双人间普通客房8间 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；理解题意，设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，根据题意列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间， 依题意，得， 解这个方程组，得， 答：该旅游团住了三人间普通客房10间，双人间普通客房8间． 【变式8-1】用二元一次方程组解应用题：用若干节火车车厢运送一批货物．如果每节装35吨，还剩17吨装不下；如果每节多装5吨，则还可再装28吨．问共有几节火车车厢？这批货物共有多少吨？ 【答案】共有节火车车厢，这批货物共有吨， 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设共有节火车车厢，这批货物共有吨，根据货物的总量为定值，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设共有节火车车厢，这批货物共有吨，由题意，得： ，解得：； 答：共有节火车车厢，这批货物共有吨． 【变式8-2】某纸品加工厂制作甲（需要材料为1个正方形和4个长方形）、乙（需要材料为2个正方形和3个长方形）两种无盖的长方体小盒，利用边角料裁出正方形、长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形边长相等，现将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，分别可以做多少个？ 【答案】甲种小盒40个，乙种小盒60个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设可以做成无盖长方体小盒各x个，y个，根据将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，列出方程组求解即可． 【详解】解：设可以做成无盖长方体小盒各x个，y个， 由题意得，， 解得， 答：可以做成甲种小盒40个，乙种小盒60个． 【变式8-3】某网店用24000元的资金购进、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元． (1)网店本次购进、两种玩具的数量分别是多少？（请用二元一次方程组解答） (2)该网店的种玩具在“双十二”期间销售火爆，商家决定向厂家再次追加种玩具，厂家接到定单后，马上安排车间的68名工人加班生产种玩具．一个种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的，每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个，那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套？（请用二元一次方程组解答） 【答案】(1)购进种玩具300件，购进种玩具400件 (2)需要安排20名工人加工甲种配件，48名工人加工乙种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设购进种玩具的数量为件，购进种玩具的数量是件，因为、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元，所以列式然后解出，即可作答． （2）设加工甲部件的有人，加工乙部件的有人，依题意，列式然后解出，即可作答． 【详解】（1）解：设购进种玩具的数量为件，购进种玩具的数量是件， 根据题意得： 解得， ∴购进种玩具300件，购进种玩具400件． （2）解：设加工甲部件的有人，加工乙部件的有人， 根据题意得： 解得， 答：需要安排20名工人加工甲种配件，48名工人加工乙种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套． 考点九：行程问题 例9．周末，小明和他爸爸来到环形场跑步锻炼，绕环形场跑一圈的路程为400米．若两人同时同地反向而跑，则经过36s后首次相遇，若两人同时同地同向而跑，则经过180s后，爸爸首次从后面追上小明，问：小明和爸爸的速度各为多少？ 【答案】小明的速度为米/秒，爸爸的速度为米/秒 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设小明和爸爸的速度各为x米/秒，y米/秒，根据题意可得，再解方程组即可． 【详解】解：设小明和爸爸的速度各为x米/秒，y米/秒，则 ， 解得， 答：小明的速度为米/秒，爸爸的速度为米/秒． 【变式9-1】小强家和小勇家相距，他们各自骑自行车到对方家去．若他们同时出发，则后在路上相遇；若小强出发后小勇才出发，则小勇出发后他们在路上相遇．小强和小勇骑自行车的速度分别是多少？ 【答案】小强和小勇骑自行车的速度分别是 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键． 设小强和小勇骑自行车的速度分别是，根据题意，列出方程组求解即可． 【详解】解：设小强和小勇骑自行车的速度分别是． 根据题意，得 解得， ∴小强和小勇骑自行车的速度分别是． 【变式9-2】李明家和王方家相距，他们各自骑自行车到对方家去．若他们同时出发，则后在路上相遇；若李明出发后王方才出发，则王方出发后他们在路上相遇．李明和王方骑自行车的平均速度分别是多少？ 【答案】李明骑自行车的速度为，王方骑自行车的速度为 【分析】本题考查了二元一次 方程组的应用，解题的关键在于是否能准确地找到等量关系．设李明骑自行车的平均速度为，王方骑自行车的平均速度为，根据他们同时出发，则后在路上相遇；若李明出发后王方才出发，则王方出发后他们在路上相遇，列二元一次方程组，求出方程解即是求出答案． 【详解】解：设李明骑自行车的平均速度为，王方骑自行车的平均速度为， 根据题意：，即， 解得：， 答：李明骑自行车的速度为，王方骑自行车的速度为． 【变式9-3】一轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行6小时，逆流航行比顺流航行多用了4小时，求轮船在静水中的速度和水流速度． 【答案】轮船在静水中的速度为12千米/时，水流速度为3千米/时 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解等量关系是解题的关键． 设轮船在静水中的速度和水流速度分别为千米/时和千米/时，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设轮船在静水中的速度和水流速度分别为千米/时和千米/时． 根据题意，得 解得 答：轮船在静水中的速度为12千米/时，水流速度为3千米/时． 考点十：工程问题 例10．某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 【答案】无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务，理由见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩，根据题意列出方程组并接方程组即可． 【详解】解：设人工每小时作业面积是亩，无人机每小时作业面积是亩， 根据题意得：， 解得：， 所以无人机和人工共同作业8小时不能完成960亩的打药任务． 【变式10-1】一家商店进行装修．若请甲，乙两个装修队同时施工，8天可以完成装修；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天也可以完成装修．甲，乙两队单独完成装修各需多少天？ 【答案】甲，乙两队单独完成装修各需12天和24天． 【分析】本题考列二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 设甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，根据题意，列二元一次方程组求解． 【详解】解：设甲队的工作效率为，乙队的工作效率为． 由题意，得， 解得， 甲单独完成装修天数：（天）， 乙单独完成装修天数：（天）． 答：甲，乙两队单独完成装修各需12天和24天． 【变式10-2】玲玲家准备装修一套新住房，若甲乙两个装修公司合作，需6周完成，若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，如果从节约时间的角度考虑，应选哪家公司？ 【答案】应选甲公司 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是通过设未知数，根据工作总量=工作时间工作效率的关系列出方程组，从而求出甲乙各自的工作效率，进而得出单独完成工作所需时间． 首先设甲每周完成的工作量为，乙每周完成的工作量为．根据甲乙合作 6 周完成工作，可列出一个方程；再依据甲单独做 4 周后乙做 9 周完成工作，列出另一个方程，联立方程组求解出和的值，即得到甲乙每周的工作效率．然后根据工作时间＝工作总量工作效率，计算出甲乙单独完成工作分别需要的时间，比较两者时间长短，时间短的公司更节约时间． 【详解】设甲每周完成的工作量为，乙每周完成的工作量为， 联立方程组：    ， 解得，， 即甲单独完成需要10周，乙单独完成需要15周 因此从节约时间的角度考虑应选甲公司 【变式10-3】某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆，由于熟练工不够，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． (1)求每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘n名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，求所抽调的熟练工的人数． 【答案】(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装4辆，2辆电动汽车； (2)所抽调的熟练工的人数为人． 【分析】此题主要考查了二元一次方程（组）的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车，根据关键语句：①1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车，②名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车，列出方程组即可； （2）设需熟练工m名，根据题意可得等量关系n名新工人一年安装的电动汽车数名熟练工一年安装的电动汽车数辆，根据等量关系列出方程即可． 【详解】（1）解：每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车， 根据题意可列方程，， 解得． 答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装4、2辆电动汽车； （2）解：设需熟练工m名， 依题意有：， 整理得：． 所抽调的熟练工的人数为人． 考点十一：方案问题 例11．为降低空气污染，919公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车．计划购买型和型两种公交车（两种都需购买）其中每台的价格，年载客量如表： 型 型 价格（万元/台） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． (1)求的值； (2)如果该公司购买型和型公交车的总费用为1200万元，请你利用方程设计一个年载客最多的方案，并说明理由． 【答案】(1)的值为100，的值为150 (2)购买型公交车辆，型公交车辆时，年载客量最多，理由见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组的应用、二元一次方程的解，准确理解题意列出所需的方程组和方程是解答本题的关键． （1）根据题意列出关于的二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设购买型公交车辆，购买型公交车辆，由题意可列方程，根据，都为正整数，化简分析即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴的值为100，的值为150． （2）解：设购买型公交车辆，购买型公交车辆， 由题意可列方程， 化简得，进一步变形为 ， ∵，都为正整数， ∴只能取、、 ， 当时，，此时年载客量为（万人/年）， 当时，，此时年载客量为（万人/年）， 当时，，此时年载客量为（万人/年）， ∵， ∴购买型公交车辆，型公交车辆时，年载客量最多． 【变式11-1】已知用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货23吨；用3辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货22吨，某物流公司现有64吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆A型车和一辆B型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案； (3)若A型车每辆租金1500元/次，B型车每辆租金2000元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费． 【答案】(1)1辆A型车和1辆B型车装满货物一次可分别运货4吨和5吨； (2)有3种租车方案：方案一：A型车11辆，B型车4辆；方案二：A型车6辆，，B型车8辆；方案三：A型车1辆，B型车12辆； (3)最省钱的租车方案是方案一：A型车11辆，B型车4辆，最少租车费为24500元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货23吨；用3辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货22吨，进行列出二元一次方程组，再解得，即可作答． （2）结合某物流公司现有64吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，得，结合m，n均为正整数，进行作答即可； （3）由（2）得出有3种租车方案，再分别算出每种方案的费用，然后进行比较大小，即可作答． 【详解】（1）解：设1辆A型车和1辆B型车装满货物一次可分别运货x吨和y吨， 依题意，列方程组， 解得， 答：1辆A型车和1辆B型车装满货物一次可分别运货4吨和5吨； （2）解：∵计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物，且由（1）得1辆A型车和1辆B型车装满货物一次可分别运货4吨和5吨， ∴， ∴ ∵m，n均为正整数， ∴时，；时，；时，； ∴有3种租车方案： 方案一：A型车11辆，B型车4辆； 方案二：A型车6辆，，B型车8辆； 方案三：A型车1辆，B型车12辆； （3）解：由（2）得出有3种租车方案， ∵A型车每辆需租金1500元/次，B型车每辆需租金2000元/次， ∴方案一需租金：（元）， 方案二需租金：（元）， 方案三需租金：（元）， ∵， ∴最省钱的租车方案是方案一：A型车11辆，B型车4辆，最少租车费为24500元． 【变式11-2】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆型新能源汽车、3辆型新能源汽车共需85万元；购进3辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车共需90万元． (1)问、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． (3)销售1辆型汽车可获利1.8万元，销售1辆型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元 (2)共有两种购买方案：方案一：购进3辆型号的新能源汽车，购进8辆型号的新能源汽车；方案二：购进6辆型号的新能源汽车，购进4辆型号的新能源汽车 (3)第二种方案获得的利润最大，为15.6万元 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的运用，理解数量关系，正确列出方程（组）求解是关键． （1）设、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为万元和万元，根据数量关系列二元一次方程组求解即可； （2）设购进辆型号的新能源汽车，购进辆型号的新能源汽车，由数量关系列二元一次方程，根据二元一次方程的解的方法代入求值即可； （3）根据题意，分别算出方案一、二的利润即可． 【详解】（1）解：设、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为万元和万元， 根据题意可列方程组为，解得， ∴、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元． （2）解：设购进辆型号的新能源汽车，购进辆型号的新能源汽车， 根据题意得：，且，均为正整数， 或， 共有两种购买方案：方案一：购进3辆型号的新能源汽车，购进8辆型号的新能源汽车；方案二：购进6辆型号的新能源汽车，购进4辆型号的新能源汽车． （3）解：方案一：获得的利润为：（万元）， 方案二：获得的利润为：（万元）， ∴第二种方案获得的利润最大，为15.6万元． 【变式11-3】“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案，并写出所有方案； (3)若1辆A型车需租金90元/次，1辆B型车需租金100元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车和1辆B型车都载满脐橙一次可分别运送、； (2)共有三种方案：方案一：租A型车1辆，B型车8辆；方案二：租A型车5辆，B型车5辆；方案三：租A型车9辆，B型车2辆； (3)租A型车1辆，B型车8辆费用最少，最少费用为890元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设1辆A型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，根据2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走，用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，列出方程组，解方程组即可； （2）根据1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，现有脐橙，列出二元一次方程，再求出二元一次方程的正整数解即可； （3）分别求出三种方案的租车费用，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，依题意得： 解得：， 答：1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送； （2）解：依题意得：， ∵a，b均为正整数， ∴或或， ∴一共有3种租车方案： 方案一：租A型车1辆，B型车8辆； 方案二：租A型车5辆，B 型车5辆； 方案三：租A 型车 9辆，B 型车2辆． （3）解：方案一所需租金为：（元）； 方案二所需租金为：（元）； 方案三所需租金为： （元）； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为890元． 考点十二：几何问题 例12．如图所示，长方形中放置6个形状、大小都相同的小长方形，其中，求小长方形的长和宽．    【答案】小长方形的长为7，宽为2 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据大长方形的长等于三个小长方形的宽加上一个小长方形的长，以及两个小长方形的宽加等于小长方形的长加小长方形的宽，建立二元一次方程组求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可得，， 解得：， ∴小长方形的长为7，宽为2． 【变式12-1】在长方形中放入七个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求图中空白部分的面积之和． 【答案】图中空白部分的面积之和为52 【分析】本题考查二元一次方程组的几何应用，根据图形，找到边和边的关系是解答的关键．设小长方形的长为y、宽为x，用x、y表示出大长方形的长和宽，结合所给数据列方程组求得x、y，再用大长方形的面积减去7个小长方形的面积即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为y、宽为x， 从图中可以得到两个等量关系： 水平方向上：， 竖直方向上：， 联立可得：， 解之得： ∴ 答：图中空白部分的面积之和为52． 【变式12-2】数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究． (1)小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为，周长为，请求出该长方形纸片的长和宽： (2)小葵在长方形内画出边长为的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，问：小葵的判断正确吗?请说明理由． 【答案】(1)这个长方形纸片的长为，宽为 (2)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程，二元一次方程组的计算，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设该长方形纸片的长为，宽为，由周长的计算公式列式求解即可； （2）根据题意，列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：设该长方形纸片的长为，宽为， ∴， ∴， ∴， ∴这个长方形纸片的长为9，宽为6． （2）解：正确．理由如下： 根据题意，得，， 解得． ∴大正方形的面积为． 【变式12-3】根据表中的素材，完成下面的任务： 制作无盖长方体纸盒 素材1 裁剪长方形纸板 将某种规格的长方形纸板按图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板． 素材2 制作无盖长方体纸盒 4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒；3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图4所示的无盖长方体纸盒． 问题解决 任务 制作图3、图4规格的纸盒若干个 若有21张长方形纸板，且恰好能够完成制作（纸板无剩余），则能做成图3、图4规格的纸盒各多少个？ 【答案】能做成图3规格的纸盒9个，图4规格的纸盒0个 【分析】设需要图1长方形纸板张，图2长方形纸板张，则有小长方形纸板张，小正方形纸板张；再设可制作图3规格的纸盒个，图4规格的纸盒个，则需小长方形纸板张，需小正方形纸板张，根据题意列式再分析代入数值即可得到本题答案． 本题考查二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 【详解】解：设需要图1长方形纸板张，图2长方形纸板张，则有小长方形纸板张，小正方形纸板张； 再设可制作图3规格的纸盒个，图4规格的纸盒个，则需小长方形纸板张，需小正方形纸板张， 由题意得， 解得， ， ， 为整数， ， 由，得， ， 、都是正整数， 能做成图3规格的纸盒9个，图4规格的纸盒0个． 考点十三：销售问题 例13．广东以“打造低空经济产业”为目标．某商家看准商机，购进和两款无人机共45架，购进款无人机的数量是款无人机数量的2倍．求购进两款无人机的数量分别是多少架？ 【答案】购进两款无人机的数量分别是15架和30架． 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组是解题关键． 设购进两款无人机的数量分别是x架和y架，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设购进两款无人机的数量分别是x架和y架， 根据题意得：， 解得：， ∴购进两款无人机的数量分别是15架和30架． 【变式13-1】国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）．已知购买2本笔记本和3支碳素笔共需19元；购买6本笔记本和1支碳素笔共需33元．求每本笔记本和每支碳素笔的价格． 【答案】每本笔记本的价格为5元，每支碳素笔的价格为3元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程组是解题的关键．设每本笔记本的价格为元，每支碳素笔的价格为元，根据题意列出方程组，求出的值即可解答． 【详解】解：设每本笔记本的价格为元，每支碳素笔的价格为元， 由题意得，， 解得：， 答：每本笔记本的价格为5元，每支碳素笔的价格为3元． 【变式13-2】“冰雪同梦，亚洲同心”、2025年2月7日至2月14日第九届亚冬会在冰城哈尔滨隆重举行，中国队奖牌总数排名第一、黑龙江逊克北红玛瑙是独具龙江特色的纪念品，被镶嵌于本届亚冬会奖牌上．艳硕购物中心共购进A，B两种型号红玛瑙挂件100件，花费9200元、两种型号挂件进价和售价如下表． 价格 型号 进价（元/件） 售价（元/件） A型挂件 B型挂件 (1)求购进A，B两种型号挂件各多少件； (2)该购物中心在销售过程中，A型挂件以原售价销售一部分后，对剩余A型挂件按原售价打八折销售，B型挂件售价不变．若这100件两种型号挂件全部销售完共获利3600元，那么有多少件A型挂件打折销售？ 【答案】(1)购进种挂件件，种挂件件 (2)打折销售的 型挂件为 件 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程组和代数式，是解题的关键． （1）设购进种挂件件，种挂件件，根据用元一次性购进了、两种挂件共件，列出方程组进行求解即可； （2）设有件A型挂件打折销售，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设购进种挂件件，种挂件件，根据题意，得： 解得， 答：购进种挂件件，种挂件件． （2）设有件A型挂件打折销售，根据题意得， 解得： 答：打折销售的 型挂件为 件． 【变式13-3】扬州某毛绒玩具专卖店计划同时购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具，据了解，4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元． (1)求“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是多少元？ (2)若该专卖店计划恰好用4500元购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具（两种都购买），且“哪吒”的购进数量不低于30只，则专卖店共有几种采购方案？请写出具体的购买方案． 【答案】(1)“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元 (2)3种，方案一：购买“哪吒”33只、“敖丙”15只；方案二：购买“哪吒”37只、“敖丙”10只；方案三：购买“哪吒”41只、“敖丙”5只 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组，是解题的关键： （1）设“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元，根据4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买只“哪吒”精品毛绒玩具，只“敖丙”精品毛绒玩具，根据题意，列出二元一次方程，结合“哪吒”的购进数量不低于30只，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元，由题意，得： ，解得：， 答：“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是元和元； （2）设购买只“哪吒”精品毛绒玩具，只“敖丙”精品毛绒玩具，由题意，得：且； ∴， ∴或或， 故共有3种购买方案： 方案一：购买“哪吒”33只、“敖丙”15只； 方案二：购买“哪吒”37只、“敖丙”10只； 方案三：购买“哪吒”41只、“敖丙”5只． 考点十四：和差倍分问题 例14．2024年10月30日，搭载“神舟十九号”载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，将航天员蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利送入太空，“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功.某电商平台经销商看准商机，迅速推出“天宫”和“神舟”两款模型玩具，已知销售店老板从玩具生产商购进1个“天官”模型的费用比购进1个“神舟”模型的费用多20元；购进3个“天宫”模型的费用与购进4个“神舟”模型的费用相等.分别求“天宫”模型和“神舟”模型的进货单价. 【答案】“天宫”模型的进货单价为80元，“神舟”模型的进货单价为60元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设“天宫”模型的进货单价为x元，“神舟”模型的进货单价为y元，根据销售店老板从玩具生产商购进1个“天官”模型的费用比购进1个“神舟”模型的费用多20元及购进3个“天宫”模型的费用与购进4个“神舟”模型的费用相等，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设“天宫”模型的进货单价为x元，“神舟”模型的进货单价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：“天宫”模型的进货单价为80元，“神舟”模型的进货单价为60元． 【变式14-1】小明与班上同学一起到教育基地参观，该班共有50人参观了教育基地，且男生人数比女生人数的1.5倍多5．求小明班上参观教育基地的男生和女生的人数． 【答案】小明班上参观教育基地的男生人数为32，女生人数为18 【分析】考查了二元一次方程组的应用．设小明班上参观教育基地的男生人数为x，女生人数为y，根据“男生人数女生人数、男生人数女生人数”列出方程组并解答． 【详解】解：设小明班上参观教育基地的男生人数为x，女生人数为y．根据题意，得： ， 解得， 故小明班上参观教育基地的男生人数为32，女生人数为18． 【变式14-2】某电器公司计划装运甲、乙两种家电到农村销售(规定每辆汽车按规定满载，且每辆汽车只能装同一种家电)，下表为每辆汽车装运甲、乙两种家电的台数．若用8辆汽车装运甲、乙两种家电300台到A地销售，问装运甲、乙两种家电的汽车各有多少辆？（用二元一次方程组解决） 家电种类 甲 乙 每辆汽车能装满的台数 30 40 【答案】装运甲家电的汽车有2辆，装运乙家电的汽车有6辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系．设装运甲家电的汽车有x辆，装运乙家电的汽车有y辆．根据题目中的等量关系列出方程组，求解即可． 【详解】设装运甲家电的汽车有x辆，装运乙家电的汽车有y辆． 根据题意，得 解得 . 答：装运甲家电的汽车有2辆，装运乙家电的汽车有6辆． 【变式14-3】某日，小明去商店购买生活用品．已知1个A型商品和1个B型商品的总价为30元，3个A型商品和2个B型商品的总价为70元，求A型商品和B型商品的单价．． 【答案】A型商品和B型商品的单价分别为10元，20元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设A型商品和B型商品的单价分别为x元，y元，根据1个A型商品和1个B型商品的总价为30元，3个A型商品和2个B型商品的总价为70元列出方程组求解即可． 【详解】解：设A型商品和B型商品的单价分别为x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：A型商品和B型商品的单价分别为10元，20元． 拓展训练一：二元一次方程组的含参问题 1．已知为正整数，且方程组的解，均为整数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 解出、，再根据解的情况求出的值即可． 【详解】解：解方程组，得， 为正整数， 必为正整数， 又、均为整数， 为和的公约数， 或， 解得：（舍去）或， ， 故答案为：． 2．若关于，的方程组有无数个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，熟知二元一次方程组有无数组解时，方程组的两个方程是同一个方程是解题的关键． 根据题意可知方程和方程是同一个方程，据此求解a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于，的方程组有无数组解， ∴方程和方程是同一个方程， ∴， ∴，则 故答案为：． 3．已知关于，的方程组． (1)方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________． (2)若方程组的解满足，求的值； (3)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的解等知识，熟练掌握二元一次方程的解的定义是关键． （1）求出二元一次方程的正整数解即可； （2）解得到，再代入即可求出答案； （3）无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，与的取值无关，则，即可求出这个解． 【详解】（1）解：一个正整数解为， 故答案为： （2）由题知， 解得， 将代入， 解得 （3）∵无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解， ∴与的取值无关，则， 则 ∴ 故答案为． 4．综合与探究 明明为了探究关于x，y的二元一次方程解的规律，把x和y的部分值分别填入下表： x 4 0 2 8 y 10 7 p 1 初步探究： （1）求p的值． 深入探究： （2）下列方程中，与组成方程组，在范围内有解的是________．（填序号） ①；②；③． 探究应用： （3）已知关于x，y的二元一次方程的部分解如下表： x 0 8 y q 13 求方程组的解． 【答案】（1）；（2）③；（3） 【分析】本题考查二元一次方程的解和解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入消元法． （1）先根据表格中的值，建立关于a、b的二元一次方程组，解方程组得到a、b的值，即可求出二元一次方程，再将代入方程即可求得答案； （2）依次将三个选项与原方程组成方程组，求出方程组的解进行判断即可； （3）根据表格的数据，建立关于c、d的二元一次方程组，解方程组得到c、d的值，即可得到原方程组，再解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时，， 当，时，， ∴ 解方程组得， ∴二元一次方程为， 当时，， 故； （2）解：∵方程为：， ∴①当方程为时， 方程组为：， 解方程组得：， ∵不在范围内， 故①不符合题意； ②当方程为时， 方程组为：， 解方程组得：， ∵不在范围内， 故②不符合题意； ③当方程为时， 方程组为：， 解方程组得：， ∵在范围内， 故③符合题意； （3）解：二元一次方程中，当，时，方程为； 当，，方程为； ∴， 解方程组得， 则方程为，即， ∴方程组为：， 解方程组得． 拓展训练二：方案问题 1．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价比笔记本贵5元，购买60个笔记本和30支钢笔的所花的钱一样多． 素材2 某学校花费350元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数． 素材3 学校花费350元后，文具店赠送m张兑换券（如图），笔记本与钢笔数量相同．                问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案． 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式． 【答案】任务1：钢笔的单价是10元，笔记本的单价是5元；任务2：共有2种购买方案， 方案1：购买25支钢笔，20本笔记本；方案2：购买20支钢笔，30本笔记本；任务3：用3张兑换钢笔，1张兑换笔记（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据等量关系，列出方程组，是解题的关键． 任务1：设钢笔的单价是x元，笔记本的单价是y元，根据“钢笔的单价比笔记本贵5元，购买60个笔记本和30支钢笔的所花的钱一样多”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务2：设购买a支钢笔，b本笔记本，利用总价单价数量，可列出关于a，b的二元一次方程，结合“a为不少于20的整数，b为不少于20且为10的倍数的整数”，即可得出各购买方案； 任务3：设用其中的n张兑换钢笔，则用张兑换笔记本，根据兑换后笔记本与钢笔数量相同，可列出关于m，n的二元一次方程，结合“，，且m，n均为整数”，可得出各兑换方案，任取其一即可得出结论． 【详解】解：任务1：设钢笔的单价是x元，笔记本的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：钢笔的单价是10元，笔记本的单价是5元； 任务2：设购买a支钢笔，b本笔记本， 根据题意得：， ∴， 又∵a为不少于20的整数，b为不少于20且为10的倍数的整数， ∴或， ∴共有2种购买方案， 方案1：购买25支钢笔，20本笔记本； 方案2：购买20支钢笔，30本笔记本； 任务3：设用其中的n张兑换钢笔，则用张兑换笔记本， 根据题意得：或， 整理得：或， ∵，，m，n均为整数， ∴或， ∴共有两种兑换方案， 方案1：用3张兑换钢笔，1张兑换笔记本； 方案2：用5张兑换钢笔，2张兑换笔记本． 答：用3张兑换钢笔，1张兑换笔记（答案不唯一）． 2．字水中学十分重视培养学生的综合素质，组织七年级学生参加研学活动，需租用两种不同型号的客车，每辆座位如下表：若租用型客车5辆和型客车2辆，则需要租金2500元；若租用型客车1辆和型客车5辆，则需要租金2800元． 客车型号 人数/辆 30 45 (1)求租用、两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？ (2)现有七年级师生450人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，有几种租车方案？为节约成本，则租用A型客车和B型客车各多少辆，需要花费多少钱？ 【答案】(1)租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元 (2)租用A型客车辆，租用B型客车辆，需要花费元 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系． （1）设租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元，根据“租用A型客车5辆和B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用A型客车1辆和B型客车5辆，则需要租金2800元”列方程求解即可； （2）设租用A型客车辆，租用B型客车辆，，得到关于、的二元一次方程，求出正整数解，可得方案． 【详解】（1）解：设租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元， 由题意得：，解得：， 答：租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元； （2）解：设租用A型客车辆，租用B型客车辆， 则， 则， 、都是正整数， 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； 当时，，此时租车费用为（元）； 则为了节约成本，则租用A型客车辆，租用B型客车辆，需要花费元． 3．项目式学习 【项目主题】绿色校园，资源再生 【项目背景】某校七年级为响应“低碳生活”号召，开展“废品重生计划”实践活动，号召学生将可回收物分类收集，兑换学习用品和环保工具，培养节约习惯．某班45人全部参与，活动持续三周． 【活动步骤】 第一步：每周收集易拉罐和旧报纸； 第二步：每周五根据兑换表将回收物兑换为笔记本或大环保袋； 第三步：生活委员记录每周收集和兑换数据． 【统计数据】 数量 第一周 第二周 第三周 易拉罐/个 旧报纸/张 总数 兑换表 5个易拉罐或4张旧报纸换1本笔记本； 25个易拉罐或20张旧报纸换1个大环保袋 【解决问题】 (1)若该班第一周将收集到的所有易拉罐和旧报纸全部兑换笔记本，则可兑换多少本？ (2)若该班第二周将收集到的所有易拉罐和旧报纸全部兑换笔记本（易拉罐和报纸总数可整除且无剩余），共兑换了36本．求第二周收集的易拉罐和旧报纸的数量． (3)在（1）和（2）的基础上，若该班第三周先用部分易拉罐兑换笔记本，剩余回收物（两种回收物都有）恰好兑换了5个大环保袋，三周兑换的笔记本平均分给全班的同学，每人恰好分2本，求第三周收集的易拉罐和旧报纸的可能数量（直接写出所有整数解）． 【答案】(1)46本 (2)第二周收集的易拉罐为100个，旧报纸为64张 (3)见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，二元一次方程（组）的应用，根据题意列出方程组是解题的关键； （1）根据题意列式计算，即可求解； （2）设第二周收集的易拉罐为个，旧报纸为张，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （3）先计算第三周先用个易拉罐兑换笔记本，设剩余易拉罐为个、旧报纸为张，根据且，，取整数解，即可求解． 【详解】（1）解： （本）． 答：第一周将收集到的所有易拉罐和旧报纸全部兑换笔记本，可兑换46本． （2）设第二周收集的易拉罐为个，旧报纸为张． 由题得， 解得 答：第二周收集的易拉罐为100个，旧报纸为64张． （3）人本/人 本．前两周已兑换本，第三周需兑换本．该班第三周先用部分易拉罐兑换笔记本，则需要个易拉罐 剩余回收物需兑换个大环保袋，设剩余易拉罐为个、旧报纸为张（且，）． 第一种：当时，第三周收集易拉罐140个，旧报纸20张． 第二种：当时，第三周收集易拉罐115个，旧报纸40张． 第三种：当时，第三周收集易拉罐90个，旧报纸60张． 第四种：当时，第三周收集易拉罐65个，旧报纸80张． 4．2023年组织七年级学生参加研学活动，租用两种不同型号的客车，每辆座位如下表： 客车型号 A B 人数/辆 30 45 若租用A型客车5辆和B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用A型客车1辆和B型客车5辆．则需要租金2800元． (1)求租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？ (2)现有七年级10个班级的学生450人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，为节约成本，学校准备租用A型客车12辆，B型客车2辆，需要花费多少钱？ 【答案】(1)租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元； (2)4600元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系． （1）设租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元，根据“租用A型客车5辆和B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用A型客车1辆和B型客车5辆，则需要租金2800元”列方程求解即可； （2）根据（1）所求分别求出租用A型客车和B型客车的费用，二者求和即可得到答案． 【详解】（1）解：设租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元， 由题意得：， 解得：， 答：租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是、元； （2）解：（元）； 答：需要花费4600元。 拓展训练三：销售利润问题 1．某超市购进A、B型两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表： 类型 进价（元/袋） 售价（元/袋） A型大米 20 30 B型大米 30 45 (1)该超市在6月份购进A、B型两种大米共90袋，进货款恰好为2200元，求这两种大米各购进多少袋？ (2)为刺激销量，超市决定在进货款仍为2200元的情况下，7月份增加购进C型大米作为赠品，进价为每袋10元，并出台了“买3袋A型大米送1袋C型大米，买3袋B型大米送2袋C型大米”的促销方案，若7月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进3种大米各多少袋？ 【答案】(1)A型大米购进50袋，B型大米购进40袋 (2)购进A型大米33袋，B型大米39袋，C型大米37袋；或购进A型大米66袋，B型大米18袋，C型大米34袋 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设A型大米购进袋，B型大米购进袋，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设7月份该超市购进A型大米袋，B型大米袋，则购进C型大米袋，根据题意列出二元一次方程，整理得到，然后根据均为正整数求解即可． 【详解】（1）解：设A型大米购进袋，B型大米购进袋， 依题意得， 解得． 答：A型大米购进50袋，B型大米购进40袋． （2）设7月份该超市购进A型大米袋，B型大米袋，则购进C型大米袋， 依题意得， 化简得 ． 又均为正整数， 既是3的倍数，又是11的倍数，是3的倍数， 或． 当时，；当时，． 答：购进A型大米33袋，B型大米39袋，C型大米37袋；或购进A型大米66袋，B型大米18袋，C型大米34袋． 2．如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连．这家工厂从A地购买每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路的运价为1.5元／（吨·），铁路的运价为1.0元／（吨·）．设这批原料有吨，生产成的产品有吨． (1)完成下列表格的填写： A地 B地 公路运费／元 _________ 铁路运费／元 _________ (2)这批原料从A地运回，到生产成产品运到B地，若两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元，问这批原料有多少吨？ (3)已知生产这批产品，其它成本费为100000元，每吨的生产费为3000元，若这批产品的毛利润为元，直接写出的值．（规定：每月的毛利润=销售额原料费其它成本费生产费运输费） 【答案】(1)； (2)500吨 (3)790500元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）利用从A地到工厂的铁路运费=铁路的运价×从A地到工厂的铁路长度×这批原料的质量，可用含x的代数式表示出从A地到工厂的铁路运费；利用从工厂到B地的公路运费=公路的运价×从工厂到B地的公路长度×生产成的产品的质量，可用含y的代数式表示出从工厂到B地的公路运费； （2）根据“两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）利用这批产品的毛利润=销售额原料费其它成本费生产费运输费，即可求出w的值． 【详解】（1）解：∵公路的运价为1.5元/（吨•），铁路的运价为1.0元/（吨•），这批原料有x吨，生产成的产品有y吨， ∴从A地到工厂的铁路运费为（元），从工厂到B地的公路运费为（元）． 故答案为：；． （2）解：根据题意得： ， 解得：， 答：这批原料有500吨． （3）解：根据题意得： ． 答：w的值为790500元． 3．【问题情境】 4月8日至18日，由郑州市园林局主办的郑州市第十五届牡丹芍药花展在郑州植物园举行，花展以“国色添香不负韶华”为主题．在花展举行前，如图所示，园艺师张叔叔准备在6长的围栏边摆放种好牡丹的花盆，现有A，B两种型号的花盆，分别长和，宽和高均相等． 【探究学习】 （1）已知购买2个A型花盆和3个B型花盆共需84元，购买3个A型花盆比购买5个B型花盆少花45元．则A，B两种型号的花盆的单价分别是多少元？ （2）如果将这两种型号的花盆按长边顺次相接，个A型花盆，个B型花盆正好摆满围栏边，求正整数的值； 【灵活应用】 （3）在（1）和（2）的条件下，某供货商提供了两种优惠方案： 方案一：购买A型花盆6个以上，赠送一把铲子； 方案二：购买B型花盆6个以上，总费用打九折． 张叔叔想要购买一些花盆（花盆正好摆满围栏边）和一把铲子（铲子的单价是25元），怎样购买花盆更划算？ 【答案】（1）两种型号的花盆的单价分别是15元，18元，（2）或（3）张叔叔购买5个型花盆，8个型花盆更划算 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的整数解等知识，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是关键． （1）设两种型号的花盆的单价分别是元，元．购买2个A型花盆和3个B型花盆共需84元，购买3个A型花盆比购买5个B型花盆少花45元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）个A型花盆，个B型花盆正好摆满围栏边，得．求出整数解即可； （3）分别求出两种方案的费用并比较后即可得到答案． 【详解】解：（1）设两种型号的花盆的单价分别是元，元． 依题意，得 解得 答：两种型号的花盆的单价分别是15元，18元． （2）． 依题意，得． ∴． ∵均为正整数， ∴或． （3）由（1）（2）得，当购买10个型花盆，4个型花盆时，可以选方案一，所需费用为 （元）． 当购买5个型花盆，8个型花盆时，可以选方案二，所需费用为 （元）． ∵， ∴张叔叔购买5个型花盆，8个型花盆更划算． 4．根据以下素材，探索完成任务． 背景 在母亲节来临之际，“新希望”花店为表达对母亲的感激和敬爱之情，推出两种款式的康乃馨． 素材1 买10株款不升级康乃馨，30株款不升级康乃馨共需750元；买30株款不升级康乃馨，20株款不升级康乃馨共需850元． 款 款 不升级 升级版 不升级 升级版             素材2 为了满足市场需求，花店推出每株康乃馨加5元的瓶装升级服务．顾客在选完款式后可以自主选择升级或者不升级．某公司准备花1650元购买款（不升级与升级），款（不升级与升级）共四种，其中款升级的康乃馨数量比款不升级的康乃馨数量多了2株． 素材3 节日当天，花店推出消费满200元送一张兑换券．公司花费1650元后，把花店赠送的兑换券（如图）全部兑换．已知兑换前，款不升级的康乃馨有30株，兑换后款康乃馨总数与款康乃馨总数相同．    问题解决 任务1 问款不升级康乃馨和款不升级康乃馨的销售单价各是多少元？ 任务2 求公司一共购买了多少株康乃馨？ 任务3 在素材2的条件下，请确定有几张兑换券用于兑换款升级的康乃馨． 【答案】任务1：A款不升级单价15元，B款不升级单价20元；任务2：82；株任务3：有4张兑换券用于兑换A款升级． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用． 任务1：设A款不升级单价为x元，B款不升级单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解； 任务2：设A款不升级为m株，A款升级与B款不升级的总数为n株，B款升级为 株，根据题意列出一元一次方程，即可求解； 任务3：设A款升级有a株，则B款不升级有株，有b张兑换A款升级，根据题意列式计算即可求解． 【详解】解：任务1：设A款不升级单价为x元，B款不升级单价为y元， 由题意得： 解得： 答：A款不升级单价15元，B款不升级单价20元 任务2：设A款不升级为m株，A款升级与B款不升级的总数为n株，B款升级为 株， 由题意可得：， 解得， ∴共有株； 任务3：1650元最多可兑换8张兑换券， A款不升级与B款升级的总株数为：株， 设A款升级有a株，则B款不升级有株，有b张兑换A款升级， 张兑换B款升级， 由题意可得： ， ∴， ∴， ∵a，b为自然数且b是2的倍数 ∴(舍去)，(舍去)，． ∴有4张兑换券用于兑换A款升级． 拓展训练四：二元一次方程组的新定义问题 1．定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 【答案】(1) (2)m的值为405，n的值为405 【分析】（1）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是； （2）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是，结合二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值． 本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据“对称二元一次方程”的定义，找出给定二元一次方程的“对称二元一次方程”是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：二元一次方程的“对称二元一次方程”是． 故答案为：； （2）解：二元一次方程的“对称二元一次方程”是， ∵二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为， ∴， 解得：． 答：m的值为405，n的值为405． 2．【定义】我们把关于、的两个二元一次方程与叫作“对称”二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”． 【理解】 （1）方程的“对称二元一次方程”是___________； （2）若关于、的方程组为“对称二元一次方程组”，则___________．___________． 【探究】 （3）解下列方程组（直接写出方程组的解）： ①的解为___________； ②的解为___________， ③的解为___________； （4）根据你的发现，直接写出方程组的解为___________； 【拓展】 （5）若关于、的方程组的解是，那么关于、的方程组的解为___________ 【答案】（1）； （2）；； （3）①；②；③； （4）； （5）． 【分析】（1）根据题中的对称二元一次方程定义即可得解； （2）根据题中的对称二元一次方程定义得出后即可得解； （3）①根据题意，通过加减消元法解方程组即可得解； ②根据题意，通过加减消元法解方程组即可得解； ③根据题意，通过加减消元法解方程组即可得解； （4）由（3）总结出规律：关于、的“对称二元一次方程组”的解为，从而可以判断得解； （5）根据题意，方程可以化为，结合关于、的方程组的解是，即可得解． 【详解】解：（1）根据题意得，方程的“对称二元一次方程”是． 故答案为：． （2）为“对称二元一次方程组”， ， 解得． 故答案为：；． （3）①， 两式相加得，， 则， ，， 即的解为； ②，同理可得； ③，同理可得； 故答案为：①；②；③． （4）由（3）得，关于、的“对称二元一次方程组”的解为， 方程组的解为． 故答案为：． （5）， ， 又关于、的方程组的解是， ， 即， 方程组的解为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是解三元一次方程组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组，解题关键是理解题意． 3．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”．如：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”______； (2)二元一次方程的解又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出、的值； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了新定义、解二元一次方程组等知识点，理解“反对称二元一次方程”的定义成为解题的关键． （1）根据“反对称二元一次方程”的定义即可解答； （2）先根据“反对称二元一次方程”的定义求得二元一次方程的得反对称二元一次方程，得到二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：由“反对称二元一次方程”的定义可得：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为． 由题意可得： 故答案为：． （2）解：由“反对称二元一次方程”的定义可得：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， 由题意可得：，解得：． 所以，． 4．我们规定，关于，的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程______“最佳”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于，的二元一次方程是“最佳”方程，求的值． (3)若是关于，的“最佳”方程组的解，求的值． 【答案】(1)是 (2) (3)5 【分析】本题考查二元一次方程的解，解二元一次方程组，掌握“最佳”方程的定义是解题的关键． （1）根据“最佳”方程的定义进行判断即可； （2）根据“最佳”方程的定义，进行求解即可； （3）先根据“最佳”方程组的定义求出，的值，再根据方程组的解的定义，得到关于，的方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：中，， 方程是最佳方程， 故答案为：是； （2）解：∵关于，的二元一次方程是“最佳”方程， ，解得； （3）解：方程组是“最佳”方程组， ，， ，， 原方程组为， 是方程组的解， ， 解得， ． 1．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于，的方程组的解为，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，将代入求出x的值，再将x和y的值代入即可求解． 【详解】解： 将代入，得：， 解得， 将，代入，得：， 故选A． 2．（2025·浙江嘉兴·二模）我国古代数学著作《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去量长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问长木多少尺？设木长尺，绳长尺，四位同学根据题意列出以下方程，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 假设出未知数，根据两种情况找出等量关系列出方程，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、根据用一根绳子去量长木，绳子还剩余尺，可得此方程，该选项正确，不符合题意； B、根据将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可列，该选项错误，故符合题意； C、根据和，可得，该选项正确，不符合题意； D、 根据和，可得，该选项正确，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程组的解与整体思想，整体思想的运用是解题关键． 将变形为，观察两个方程组可得：由第一个方程组到第二个方程组就是换成，换成，代入数据即可求解． 【详解】解：变形为 由题意得：， 解得： 故选：B 4．（24-25七年级下·浙江·期中）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中，正确的是（    ） ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则． A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查的是解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． 根据相反数的定义，得到，得出，将方程组加减消元，得到，求解得到的值，即可判断①结论；将代入方程组，求得，再将代入，求出，即可判断②结论；利用加减消得到，即可判断③结论；将变形，即可判断④结论． 【详解】解： ， 当这个方程组的解的值互为相反数时，则， 则， 得： ， ∴， ∴结论①正确； 当时，， 解得：， 将代入中，得：， 解得： ， ∴方程组的解不是方程的解，②结论错误； 得，， ， 解得：， ∴无论取什么实数，的值始终不变，③结论正确； ， ∴，④结论正确； 综上所述，正确的结论有①③④， 故选：D． 5．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，理解题意和图形、正确列出方程是解题关键． 设小长方形的长为，宽为，大长方形的另一边长为，根据题意和图形建立方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的另一边长为， 根据题意，得：， ， ， 将①代入，得：， 解得：， 经检验，是方程的解， 大长方形的周长为． 故选：D． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）用图①中的长方形木板和正方形木板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖木箱．现仓库里有块长方形木板和块正方形木板，经过工人组装发现，正方形木板恰好用完，而长方形木板余下块，则，的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组，设竖式纸盒个，横式纸盒个，由题意列出方程组可求解．根据题意列出正确的方程组是本题的关键． 【详解】解：设竖式纸盒个，横式纸盒个， 依题意，得：， ∴， 即， ∴是的倍数， A．，此时不是的倍数，故此选项不符合题意； B．，此时不是的倍数，故此选项不符合题意； C．，此时是的倍数，故此选项符合题意； D．，此时不是的倍数，故此选项不符合题意． 故选：C． 7．（2025·浙江杭州·二模）已知二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，将方程组的两个方程相加即可得到结果． 【详解】解：， ，得：， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·浙江温州·期中）《增删算法统宗》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙说得甲九只，两家之数相当.二人闲坐恼心肠，画地算了半晌.”这个题目的意思是甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍.”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家羊的数量就一样多.”设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出二元一次方程组为 . 【答案】 【分析】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答此题的关键是弄清题意，设出未知数，再根据数量关系列出方程组解决问题．设甲有只羊，乙有只羊，根据甲对乙说：可得，乙对甲说：可得：，即可列出相应的方程组． 【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊， 由题意得，， 故答案为： 9．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若方程组解为则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，设，则方程组变为，再根据二元一次方程组的解的定义得出，继而得出，从而得到，即可求出的值，观察方程组的系数特点并准确计算是解题的关键． 【详解】解：设， 则方程组为， ∵方程组解为， ， ， ，， ，， ， ， ∴方程组的解为， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·浙江·期中）小张计划花20元购买了铅笔和记号笔，铅笔每支3元，记号笔每支2元，并且购买的记号笔数量超过了铅笔的数量，若剩余3元，则小张购买的铅笔可能有 支． 【答案】1或3 【分析】本题考查二元一次方程正整数解及数量比较关系，解题关键是根据总价列出方程并结合正整数条件和数量大小关系确定解． 设小张购买了铅笔x支，记号笔y支，根据花费列出二元一次方程，根据x，y 为正整数和记号笔数量超过铅笔数量，得到正整数解即可． 【详解】解：设小张购买了铅笔x支，记号笔y支，根据题意得 ∵x，y都应为正整数， ∴的正整数解为： 或或 ∵购买的记号笔数量超过了铅笔的数量， ∴或 ∴小张购买的铅笔可能有1或3支． 11．（2024·浙江温州·模拟预测）如图1所示的长方形是一种小礼盒的俯视图，其长为4，宽为1．现将若干个小礼盒如图2所示摆放到一个俯视图为正方形的大礼盒中，若留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的，则大正方形边长最小是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了列代数、整式的运算、配方法、二元一次方程的解等知识点，掌握二元一次方程的解成为解题的关键．设下方竖着放的有a个（），上方竖着放的有b个（），则正方形的边长为，一共摆了个礼盒；然后根据留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的得到，然后运用列举法确定a的值成为解题的关键． 【详解】解:设下方竖着放的有a个（），上方竖着放的有b个（），则正方形的边长为，一共摆了个礼盒 这些礼盒的面积为， ∴阴影部分的面积为：， ∵留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴当时，不是整数，不符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； ∴正方形的边长为． 故答案为：10． 12．（2023·浙江·模拟预测）实数满足．则 ． 【答案】 【分析】由得：，，由得：，从而得到，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∴， 由得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，三元一次方程组，根据题意得到，是解题的关键． 13．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键． （1）运用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）运用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， ①②得， 解得， 把代入①得， ∴方程组的解为； （2）解：， ①②得， 解得， 把代入①得， ∴方程组的解为； 14．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法． （1）利用加减消元法进行求解即可； （2）利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解： 得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得， 得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴原方程组的解为． 15．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)无论m取何值，方程总有一个公共解，你能求出这个方程的公共解吗？ 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解． （1）根据二元一次方程解的定义以及整数解的意义进行计算即可； （2）解方程组，得到x、y的值，再代入方程即可求解； （3）把方程变形为：，结合无论实数m取何值，方程总有一个公共解，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程的正整数解为或； （2）解：由题意，解方程组，得， 把代入方程，得 ， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵无论实数m取何值，总有一个公共解， ∴， 解得 ∴方程的公共解为． 16．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务． 如何合理搭配消费券？ 素材一 某市在今年发放了如图所示的超市购物消费券，规定每人可领取一套消费券（共5张）：包含型消费券（满50减20元）2张，型消费券（满100减30元）2张，型消费券（满300减100元）1张． 素材二 在此次活动中，小明一家4人各领到了一套消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了480元． 解决问题 任务一 若小明一家用了2张型消费券，2张型消费券，则用了___________张型消费券，此时实际消费最少为___________元． 任务二 若小明一家此次消费共用了11张消费券，其中型比型的消费券多4张，求型的消费券各用了多少张． 任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费，请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小，并求出此时的实际最小消费金额． 【答案】任务一：8；1020；任务二：型的消费券6张，型的消费券2张，则型的消费券3张；任务三：使用4张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小，最小金额为920元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． 任务一：根据消费券规则求解； 任务一：根据“小明一家在超市使用消费券共减了元”列方程求解； 任务一：先分类讨论，列关系式，再根据二元一次方程的整数解即可求解． 【详解】解：任务一：用型的消费券数量为： ， 满减前至少消费（元）， 实际消费最少为（元）． 任务二：设型的消费券张，则型的消费券张，型的消费券张， 由题意可得：， 解得． 型的消费券6张，型的消费券2张，则型的消费券3张； 任务三：设小明一家共使用型的消费券张，型的消费券张，型的消费券张，则，，都是正整数，，，， ①、型：． ， ，都是正整数，，， 无解； ②、型：， ， ，都是正整数，，， ． 实际消费金额：，（元）； ③、型：， ， ，都是正整数，，， ． 实际消费金额：，（元）； 综上所述，使用4张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小． 17．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到型长方形纸板和型正方形纸板为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得张型长方形纸板或张型正方形纸板，如图所示．（单位：） (1)每张原材料板材可以裁得型纸板______张或裁得型纸板______张； (2)现有张原材料板材全部裁剪每张原材料板材只能一种裁法得到型与型纸板当侧面和底面，做成如图所示的竖式无盖长方体纸盒和横式无盖长方体纸盒，若横式无盖长方体纸盒个数为竖式无盖长方体纸盒个数的两倍，问：怎样裁剪才能使剪出的，型纸板恰好用完，两种纸盒各做多少个？ 【答案】(1)， (2)180个；360个 【分析】（）由题意得每张原材料板材可裁得张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得张型长方形纸板或张型正方形纸板，进而即可求解； （）设用张原材料板材裁剪型纸板，则用张原材料板材裁剪型纸板，设竖式无盖长方体纸盒个，横式无盖长方体纸盒个，根据题意列出方程组即可求解； 本题考查了有理数乘法的实际应用，二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，每张原材料板材可裁得张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得张型长方形纸板或张型正方形纸板， ∴每张原材料板材可以裁得型纸板张，每张原材料板材可以裁得型纸板张， 故答案为：，； （2）解：设用张原材料板材裁剪型纸板，则用张原材料板材裁剪型纸板，设竖式无盖长方体纸盒个，横式无盖长方体纸盒个， 根据题意得，  ， 解得，   ，， 答：用张原材料板材裁剪型纸板，用张原材料板材裁剪型纸板，能做竖式无盖长方体纸盒个，横式无盖长方体纸盒个． 18．（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践． 【素材1】某工厂计划日生产件零件． 【素材2】现有初级工、高级工两种工人可安排参与生产，生产能力和薪酬如下： 工种 初级工 高级工 日生产量（件/人） 日薪酬（元/人） 【素材3】为了便于调配，工厂安排的工人恰好可以完成生产计划． 【问题】 (1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排多少名初级工？ (2)该工厂每日计划支付薪酬元，那么需要安排初级工、高级工各多少人？ (3)为了保证生产质量，该工厂计划每4名初级工生产时需1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），请为工厂设计一个成本最低（支出工人的总日薪酬最低）的工人安排方案． 【答案】(1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排名初级工 (2)需要安排初级工5人，高级工人 (3)应安排初级工名，高级工8名 【分析】本题考查了二元一次方程组得应用，二元一次方程的应用以及一元一次方程的应用．找准等量关系，列出正确的等式是解题的关键． （1）设需要安排名初级工，根据需要日生产件零件，可列出关于的一员一次方程，解之即可； （2）设需要安排初级工x人，高级工y人，根据日生产件零件且该工厂每日支付薪酬元，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可； （3）设需要安排参与生产的初级工人，高级工人，根据日生产件零件，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，可得出各安排方案，结合每4名初级工生产时需要1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），可列表得出具体安排方案，再求出选择各方案需支出工人的总日薪酬，比较后即可得出答案． 【详解】（1）解：设需要安排名初级工， 根据题意得：， 解得：， 答：若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排名初级工． （2）解：设安排初级工x人，高级工y人 ，解得 答：需要安排初级工5人，高级工人． （3）解：设参与生产的初级工人，高级工人 则，化简得， 则为5的倍数，可列表如下： 0 5 5 参与指导的高级工人数 8 6 4 2 高级工人数 8 费用 ∴应安排初级工29名，高级工8名． 19．（24-25七年级下·浙江台州·期中）阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为． 运用以上知识解决下列问题： (1)求方程组的解． (2)关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． (3)举一反三：方程组的解为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查给新信息的阅读材料题目，关键在于运用题目所给定义解决问题，本题所给信息是换元法，适当换元可使得运算简便． （1）设，，将原方程组可化为，解二元一次方程求得，从而可求得原方程组的解； （2）由已知得，求解即可得答案； （3）利用换元思想设，，然后解方程组即可得到未知数的值． 【详解】（1）解：（1）设m，n，则原方程组可化为， 解得，， 即， 解得，； （2）解：根据题意得， 解得，； （3）设，，则原方程组可化为， 解得，， ∴， 解得，． 20．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知关于，的方程组（是常数）． (1)当时，则方程组可化为． ①请直接写出方程的所有非负整数解． ②若该方程组的解也满足方程，求的值． (2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①，② (2)或0 【分析】（1）①根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解；②先解方程组，然后将，的值代入方程中即可获得答案； （2）将代入原方程组，利用加减消元法得到，再根据方程组有整数解，且为整数，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：①∵，为非负整数， ∴方程的所有非负整数解为 ，； ②∵根据题意可得， 解得， 将代入中， 解得 ； （2）当时，原方程组可化为， 由，可得 ， 整理可得， ∵方程组由整数解，且为整数， ∴或， 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）； 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）． 综上所述，整数的值为或0． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定的值是解题关键． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二元一次方程组 （4知识点+14大考点+4拓展训练+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 二元一次方程的相关概念 二元一次方程概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 二元一次方程的三要素：1）有且只有两个未知数；2）含有未知数的项的次数为1；3)方程两边都是整式. 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 知识点 2 二元一次方程组的相关概念 二元一次方程组 二元一次方程组的概念：方程组有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程叫做二元一次方程组. 一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错易混】 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 知识点 3 二元一次方程组的解法 1.代入消元法 定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 2）代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 【易错易混】 1）方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化为整数系数. 2）当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程(或)，求出另一个未知数的值比较简单 2.加减消元法 定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 知识点 4 用二元一次方程解决问题 用一元一次方程（组）解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； 列：根据题中相等关系，列出方程（组）； 解：解所列出的方程（组）； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 考点一：二元一次方程的相关概念 例1．下列方程中，是二元一次方程的是(   ) A． B． C． D． 【变式1-1】已知方程是关于的二元一次方程，则的值是（   ） A．2 B．0或2 C．1 D．0 【变式1-2】二元一次方程中，当时， ． 【变式1-3】已知是关于，的二元一次方程组的一组解，则的值为 ． 考点二：二元一次方程组的相关概念 例2．下列方程组：①②，③，其中是二元一次方程组的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．③ 【变式2-1】若是二元一次方程组的解，则的值为（  ） A． B． C． D． 【变式2-2】小亮解方程组时，得到其正确的解为，但不小心滴上的两滴墨水刚好遮住了两个数和，则这两个数分别为（　　） A．8和 B．6和4 C．2和8 D．6和 【变式2-3】如果一个关于、的一次方程可化为形如：（，都是不为0的常数）的形式，并且满足，那么我们就把这个一次方程叫做具有“2性质”的方程．如果关于、的方程是具有“2性质”的方程．且是该方程的一个解，那么，的值分别为 ． 考点三：二元一次方程组的解法 例3．解方程组： (1)； (2) 【变式3-1】解方程组： (1) (2) 【变式3-2】解二元一次方程组： (1) (2)． 【变式3-3】解方程组 (1) (2) 考点四：二元一次方程组的特殊解法 例4．已知，满足方程组，则无论取何值，，恒有关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式4-2】观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为 ． 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … 【变式4-3】知识呈现：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：设，原方程组可变为 解方程组，得即解得 解决问题： （1）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为___________； （2）已知、满足方程组,求的值； 灵活运用： （3）已知、、满足方程组,求的值． 考点五：构造二元一次方程组求解 例5．在等式中，当时，；当时，；当时，．则这个等式为(    ) A． B． C． D． 【变式5-1】若实数，满足，则的值为（    ） A． B．8 C．2 D． 【变式5-2】对于有理数，，我们定义新运算．其中， 是常数． 若| ，则 ． 【变式5-3】在代数式中，当，时，它的值是7；当，时，它的值是4，试求a，b的值． 考点六：已知二元一次方程组的解求参数 例6．关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是（   ） A．3 B．5 C．8 D．11 【变式6-1】已知关于的二元一次方程组，若方程组的解满足，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6-2】若关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则 ． 【变式6-3】已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 考点七：根据实际问题列二元一次方程组 例7．若6年前，甲的年龄是乙的3倍，现在甲的年龄是乙的2倍，求甲、乙现在的年龄．设甲现在的年龄为x岁，乙现在的年龄为y岁． (1)填表： 姓名 现在的年龄 6年前的年龄 甲 乙 (2)列出关于x，y的二元一次方程组． 【变式7-1】根据题意列方程组： (1)刘刚买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元和2元，共用去10元．刘刚两种贺卡各买了多少张？设刘刚买了单价是1元的贺卡x张，单价是2元的贺卡y张． (2)某班有学生45人，其中男生人数比女生的2倍少9人，该班的男生、女生各有多少人？设该班的男生有x人，女生有y人． (3)某市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为，超过的部分按每千米另收费．甲说：“我乘出租车行驶了，付了17元．”乙说：“我乘出租车行驶了，付了35元．”出租车的起步价是多少元？超过后每千米收费多少元？设出租车的起步价是x元，超过后每千米收费y元． 【变式7-2】根据题意列二元一次方程组： (1)小明买了两种不同的笔记本共8本，单价分别是5元和3元，共花了30元．小明两种笔记本各买了多少本？设小明买了单价是5元的笔记本x本，单价是3元的笔记本y本． (2)某校七年级（1）班有学生47人，其中男生人数比女生人数的2倍少19人，该班的男生、女生各有多少人？设该班的男生有x人，女生有y人． (3)某市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为，超过的部分按每千米另收费．甲说：“我乘出租车行驶了，付了25元．”乙说：“我乘出租车行驶了，付了49元．”出租车的起步价是多少元？超过后每千米收费多少元？设出租车的起步价是x元，超过后每千米收费y元． 【变式7-3】甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条长的公路，甲队每天修建公路，乙队每天修建公路，一共用24天完成． (1)小明根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，小明所列方程组中，x表示_______，y表示_______；该方程组中△处的数应是_______，□处的数应是_______． (2)小方的思路是设甲工程队一共修建了公路，乙工程队一共修建了公路，请你按照小方的思路列出方程组（不用求解）． 考点八：分配问题 例8．某酒店客房部有三人间和双人间两种普通客房，收费标准为三人间300元/间，双人间280元/间，为了吸引游客，酒店实行团体人住五折优惠措施，一个46人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去2620元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间? 【变式8-1】用二元一次方程组解应用题：用若干节火车车厢运送一批货物．如果每节装35吨，还剩17吨装不下；如果每节多装5吨，则还可再装28吨．问共有几节火车车厢？这批货物共有多少吨？ 【变式8-2】某纸品加工厂制作甲（需要材料为1个正方形和4个长方形）、乙（需要材料为2个正方形和3个长方形）两种无盖的长方体小盒，利用边角料裁出正方形、长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形边长相等，现将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，分别可以做多少个？ 【变式8-3】某网店用24000元的资金购进、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元． (1)网店本次购进、两种玩具的数量分别是多少？（请用二元一次方程组解答） (2)该网店的种玩具在“双十二”期间销售火爆，商家决定向厂家再次追加种玩具，厂家接到定单后，马上安排车间的68名工人加班生产种玩具．一个种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的，每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个，那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套？（请用二元一次方程组解答） 考点九：行程问题 例9．周末，小明和他爸爸来到环形场跑步锻炼，绕环形场跑一圈的路程为400米．若两人同时同地反向而跑，则经过36s后首次相遇，若两人同时同地同向而跑，则经过180s后，爸爸首次从后面追上小明，问：小明和爸爸的速度各为多少？ 【变式9-1】小强家和小勇家相距，他们各自骑自行车到对方家去．若他们同时出发，则后在路上相遇；若小强出发后小勇才出发，则小勇出发后他们在路上相遇．小强和小勇骑自行车的速度分别是多少？ 【变式9-2】李明家和王方家相距，他们各自骑自行车到对方家去．若他们同时出发，则后在路上相遇；若李明出发后王方才出发，则王方出发后他们在路上相遇．李明和王方骑自行车的平均速度分别是多少？ 【变式9-3】一轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行6小时，逆流航行比顺流航行多用了4小时，求轮船在静水中的速度和水流速度． 考点十：工程问题 例10．某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作8小时，共完成了340亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的6倍．请问一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成960亩的打药任务，并说明理由． 【变式10-1】一家商店进行装修．若请甲，乙两个装修队同时施工，8天可以完成装修；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天也可以完成装修．甲，乙两队单独完成装修各需多少天？ 【变式10-2】玲玲家准备装修一套新住房，若甲乙两个装修公司合作，需6周完成，若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，如果从节约时间的角度考虑，应选哪家公司？ 【变式10-3】某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆，由于熟练工不够，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． (1)求每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘n名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，求所抽调的熟练工的人数． 考点十一：方案问题 例11．为降低空气污染，919公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车．计划购买型和型两种公交车（两种都需购买）其中每台的价格，年载客量如表： 型 型 价格（万元/台） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． (1)求的值； (2)如果该公司购买型和型公交车的总费用为1200万元，请你利用方程设计一个年载客最多的方案，并说明理由． 【变式11-1】已知用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货23吨；用3辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货22吨，某物流公司现有64吨货物，计划同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆A型车和一辆B型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案； (3)若A型车每辆租金1500元/次，B型车每辆租金2000元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费． 【变式11-2】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆型新能源汽车、3辆型新能源汽车共需85万元；购进3辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车共需90万元． (1)问、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． (3)销售1辆型汽车可获利1.8万元，销售1辆型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【变式11-3】“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案，并写出所有方案； (3)若1辆A型车需租金90元/次，1辆B型车需租金100元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 考点十二：几何问题 例12．如图所示，长方形中放置6个形状、大小都相同的小长方形，其中，求小长方形的长和宽．    【变式12-1】在长方形中放入七个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求图中空白部分的面积之和． 【变式12-2】数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究． (1)小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为，周长为，请求出该长方形纸片的长和宽： (2)小葵在长方形内画出边长为的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，问：小葵的判断正确吗?请说明理由． 【变式12-3】根据表中的素材，完成下面的任务： 制作无盖长方体纸盒 素材1 裁剪长方形纸板 将某种规格的长方形纸板按图1、图2所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板． 素材2 制作无盖长方体纸盒 4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图3所示的无盖长方体纸盒；3块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板可做成图4所示的无盖长方体纸盒． 问题解决 任务 制作图3、图4规格的纸盒若干个 若有21张长方形纸板，且恰好能够完成制作（纸板无剩余），则能做成图3、图4规格的纸盒各多少个？ 考点十三：销售问题 例13．广东以“打造低空经济产业”为目标．某商家看准商机，购进和两款无人机共45架，购进款无人机的数量是款无人机数量的2倍．求购进两款无人机的数量分别是多少架？ 【变式13-1】国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）．已知购买2本笔记本和3支碳素笔共需19元；购买6本笔记本和1支碳素笔共需33元．求每本笔记本和每支碳素笔的价格． 【变式13-2】“冰雪同梦，亚洲同心”、2025年2月7日至2月14日第九届亚冬会在冰城哈尔滨隆重举行，中国队奖牌总数排名第一、黑龙江逊克北红玛瑙是独具龙江特色的纪念品，被镶嵌于本届亚冬会奖牌上．艳硕购物中心共购进A，B两种型号红玛瑙挂件100件，花费9200元、两种型号挂件进价和售价如下表． 价格 型号 进价（元/件） 售价（元/件） A型挂件 B型挂件 (1)求购进A，B两种型号挂件各多少件； (2)该购物中心在销售过程中，A型挂件以原售价销售一部分后，对剩余A型挂件按原售价打八折销售，B型挂件售价不变．若这100件两种型号挂件全部销售完共获利3600元，那么有多少件A型挂件打折销售？ 【变式13-3】扬州某毛绒玩具专卖店计划同时购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具，据了解，4只“哪吒”和5只“敖丙”的进价共计800元；2只“哪吒”和6只“敖丙”的进价共计680元． (1)求“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具每只进价分别是多少元？ (2)若该专卖店计划恰好用4500元购进“哪吒”和“敖丙”两种精品毛绒玩具（两种都购买），且“哪吒”的购进数量不低于30只，则专卖店共有几种采购方案？请写出具体的购买方案． 考点十四：和差倍分问题 例14．2024年10月30日，搭载“神舟十九号”载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，将航天员蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利送入太空，“神舟十九号”载人飞船发射取得圆满成功.某电商平台经销商看准商机，迅速推出“天宫”和“神舟”两款模型玩具，已知销售店老板从玩具生产商购进1个“天官”模型的费用比购进1个“神舟”模型的费用多20元；购进3个“天宫”模型的费用与购进4个“神舟”模型的费用相等.分别求“天宫”模型和“神舟”模型的进货单价. 【变式14-1】小明与班上同学一起到教育基地参观，该班共有50人参观了教育基地，且男生人数比女生人数的1.5倍多5．求小明班上参观教育基地的男生和女生的人数． 【变式14-2】某电器公司计划装运甲、乙两种家电到农村销售(规定每辆汽车按规定满载，且每辆汽车只能装同一种家电)，下表为每辆汽车装运甲、乙两种家电的台数．若用8辆汽车装运甲、乙两种家电300台到A地销售，问装运甲、乙两种家电的汽车各有多少辆？（用二元一次方程组解决） 家电种类 甲 乙 每辆汽车能装满的台数 30 40 【变式14-3】某日，小明去商店购买生活用品．已知1个A型商品和1个B型商品的总价为30元，3个A型商品和2个B型商品的总价为70元，求A型商品和B型商品的单价．． 拓展训练一：二元一次方程组的含参问题 1．已知为正整数，且方程组的解，均为整数，则的值是 ． 2．若关于，的方程组有无数个解，则的值为 ． 3．已知关于，的方程组． (1)方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________． (2)若方程组的解满足，求的值； (3)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________． 4．综合与探究 明明为了探究关于x，y的二元一次方程解的规律，把x和y的部分值分别填入下表： x 4 0 2 8 y 10 7 p 1 初步探究： （1）求p的值． 深入探究： （2）下列方程中，与组成方程组，在范围内有解的是________．（填序号） ①；②；③． 探究应用： （3）已知关于x，y的二元一次方程的部分解如下表： x 0 8 y q 13 求方程组的解． 拓展训练二：方案问题 1．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价比笔记本贵5元，购买60个笔记本和30支钢笔的所花的钱一样多． 素材2 某学校花费350元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数． 素材3 学校花费350元后，文具店赠送m张兑换券（如图），笔记本与钢笔数量相同．                问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案． 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式． 2．字水中学十分重视培养学生的综合素质，组织七年级学生参加研学活动，需租用两种不同型号的客车，每辆座位如下表：若租用型客车5辆和型客车2辆，则需要租金2500元；若租用型客车1辆和型客车5辆，则需要租金2800元． 客车型号 人数/辆 30 45 (1)求租用、两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？ (2)现有七年级师生450人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，有几种租车方案？为节约成本，则租用A型客车和B型客车各多少辆，需要花费多少钱？ 3．项目式学习 【项目主题】绿色校园，资源再生 【项目背景】某校七年级为响应“低碳生活”号召，开展“废品重生计划”实践活动，号召学生将可回收物分类收集，兑换学习用品和环保工具，培养节约习惯．某班45人全部参与，活动持续三周． 【活动步骤】 第一步：每周收集易拉罐和旧报纸； 第二步：每周五根据兑换表将回收物兑换为笔记本或大环保袋； 第三步：生活委员记录每周收集和兑换数据． 【统计数据】 数量 第一周 第二周 第三周 易拉罐/个 旧报纸/张 总数 兑换表 5个易拉罐或4张旧报纸换1本笔记本； 25个易拉罐或20张旧报纸换1个大环保袋 【解决问题】 (1)若该班第一周将收集到的所有易拉罐和旧报纸全部兑换笔记本，则可兑换多少本？ (2)若该班第二周将收集到的所有易拉罐和旧报纸全部兑换笔记本（易拉罐和报纸总数可整除且无剩余），共兑换了36本．求第二周收集的易拉罐和旧报纸的数量． (3)在（1）和（2）的基础上，若该班第三周先用部分易拉罐兑换笔记本，剩余回收物（两种回收物都有）恰好兑换了5个大环保袋，三周兑换的笔记本平均分给全班的同学，每人恰好分2本，求第三周收集的易拉罐和旧报纸的可能数量（直接写出所有整数解）． 4．2023年组织七年级学生参加研学活动，租用两种不同型号的客车，每辆座位如下表： 客车型号 A B 人数/辆 30 45 若租用A型客车5辆和B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用A型客车1辆和B型客车5辆．则需要租金2800元． (1)求租用A、B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？ (2)现有七年级10个班级的学生450人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，为节约成本，学校准备租用A型客车12辆，B型客车2辆，需要花费多少钱？ 拓展训练三：销售利润问题 1．某超市购进A、B型两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表： 类型 进价（元/袋） 售价（元/袋） A型大米 20 30 B型大米 30 45 (1)该超市在6月份购进A、B型两种大米共90袋，进货款恰好为2200元，求这两种大米各购进多少袋？ (2)为刺激销量，超市决定在进货款仍为2200元的情况下，7月份增加购进C型大米作为赠品，进价为每袋10元，并出台了“买3袋A型大米送1袋C型大米，买3袋B型大米送2袋C型大米”的促销方案，若7月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进3种大米各多少袋？ 2．如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连．这家工厂从A地购买每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路的运价为1.5元／（吨·），铁路的运价为1.0元／（吨·）．设这批原料有吨，生产成的产品有吨． (1)完成下列表格的填写： A地 B地 公路运费／元 _________ 铁路运费／元 _________ (2)这批原料从A地运回，到生产成产品运到B地，若两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元，问这批原料有多少吨？ (3)已知生产这批产品，其它成本费为100000元，每吨的生产费为3000元，若这批产品的毛利润为元，直接写出的值．（规定：每月的毛利润=销售额原料费其它成本费生产费运输费） 3．【问题情境】 4月8日至18日，由郑州市园林局主办的郑州市第十五届牡丹芍药花展在郑州植物园举行，花展以“国色添香不负韶华”为主题．在花展举行前，如图所示，园艺师张叔叔准备在6长的围栏边摆放种好牡丹的花盆，现有A，B两种型号的花盆，分别长和，宽和高均相等． 【探究学习】 （1）已知购买2个A型花盆和3个B型花盆共需84元，购买3个A型花盆比购买5个B型花盆少花45元．则A，B两种型号的花盆的单价分别是多少元？ （2）如果将这两种型号的花盆按长边顺次相接，个A型花盆，个B型花盆正好摆满围栏边，求正整数的值； 【灵活应用】 （3）在（1）和（2）的条件下，某供货商提供了两种优惠方案： 方案一：购买A型花盆6个以上，赠送一把铲子； 方案二：购买B型花盆6个以上，总费用打九折． 张叔叔想要购买一些花盆（花盆正好摆满围栏边）和一把铲子（铲子的单价是25元），怎样购买花盆更划算？ 4．根据以下素材，探索完成任务． 背景 在母亲节来临之际，“新希望”花店为表达对母亲的感激和敬爱之情，推出两种款式的康乃馨． 素材1 买10株款不升级康乃馨，30株款不升级康乃馨共需750元；买30株款不升级康乃馨，20株款不升级康乃馨共需850元． 款 款 不升级 升级版 不升级 升级版             素材2 为了满足市场需求，花店推出每株康乃馨加5元的瓶装升级服务．顾客在选完款式后可以自主选择升级或者不升级．某公司准备花1650元购买款（不升级与升级），款（不升级与升级）共四种，其中款升级的康乃馨数量比款不升级的康乃馨数量多了2株． 素材3 节日当天，花店推出消费满200元送一张兑换券．公司花费1650元后，把花店赠送的兑换券（如图）全部兑换．已知兑换前，款不升级的康乃馨有30株，兑换后款康乃馨总数与款康乃馨总数相同．    问题解决 任务1 问款不升级康乃馨和款不升级康乃馨的销售单价各是多少元？ 任务2 求公司一共购买了多少株康乃馨？ 任务3 在素材2的条件下，请确定有几张兑换券用于兑换款升级的康乃馨． 拓展训练四：二元一次方程组的新定义问题 1．定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 2．【定义】我们把关于、的两个二元一次方程与叫作“对称”二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”． 【理解】 （1）方程的“对称二元一次方程”是___________； （2）若关于、的方程组为“对称二元一次方程组”，则___________．___________． 【探究】 （3）解下列方程组（直接写出方程组的解）： ①的解为___________； ②的解为___________， ③的解为___________； （4）根据你的发现，直接写出方程组的解为___________； 【拓展】 （5）若关于、的方程组的解是，那么关于、的方程组的解为___________ 3．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”．如：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”______； (2)二元一次方程的解又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出、的值； 4．我们规定，关于，的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“最佳”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“最佳”方程，把两个“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程______“最佳”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于，的二元一次方程是“最佳”方程，求的值． (3)若是关于，的“最佳”方程组的解，求的值． 1．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于，的方程组的解为，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 2．（2025·浙江嘉兴·二模）我国古代数学著作《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去量长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问长木多少尺？设木长尺，绳长尺，四位同学根据题意列出以下方程，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江·期中）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中，正确的是（    ） ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则． A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 5．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）用图①中的长方形木板和正方形木板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖木箱．现仓库里有块长方形木板和块正方形木板，经过工人组装发现，正方形木板恰好用完，而长方形木板余下块，则，的值可以是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·浙江杭州·二模）已知二元一次方程组，则的值为 ． 8．（24-25七年级下·浙江温州·期中）《增删算法统宗》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙说得甲九只，两家之数相当.二人闲坐恼心肠，画地算了半晌.”这个题目的意思是甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍.”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家羊的数量就一样多.”设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出二元一次方程组为 . 9．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若方程组解为则方程组的解为 ． 10．（24-25七年级下·浙江·期中）小张计划花20元购买了铅笔和记号笔，铅笔每支3元，记号笔每支2元，并且购买的记号笔数量超过了铅笔的数量，若剩余3元，则小张购买的铅笔可能有 支． 11．（2024·浙江温州·模拟预测）如图1所示的长方形是一种小礼盒的俯视图，其长为4，宽为1．现将若干个小礼盒如图2所示摆放到一个俯视图为正方形的大礼盒中，若留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的，则大正方形边长最小是 ． 12．（2023·浙江·模拟预测）实数满足．则 ． 13．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）解下列方程组： (1) (2) 14．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）解下列方程组： (1) (2) 15．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)无论m取何值，方程总有一个公共解，你能求出这个方程的公共解吗？ 16．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务． 如何合理搭配消费券？ 素材一 某市在今年发放了如图所示的超市购物消费券，规定每人可领取一套消费券（共5张）：包含型消费券（满50减20元）2张，型消费券（满100减30元）2张，型消费券（满300减100元）1张． 素材二 在此次活动中，小明一家4人各领到了一套消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了480元． 解决问题 任务一 若小明一家用了2张型消费券，2张型消费券，则用了___________张型消费券，此时实际消费最少为___________元． 任务二 若小明一家此次消费共用了11张消费券，其中型比型的消费券多4张，求型的消费券各用了多少张． 任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费，请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小，并求出此时的实际最小消费金额． 17．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到型长方形纸板和型正方形纸板为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得张型长方形纸板或张型正方形纸板，如图所示．（单位：） (1)每张原材料板材可以裁得型纸板______张或裁得型纸板______张； (2)现有张原材料板材全部裁剪每张原材料板材只能一种裁法得到型与型纸板当侧面和底面，做成如图所示的竖式无盖长方体纸盒和横式无盖长方体纸盒，若横式无盖长方体纸盒个数为竖式无盖长方体纸盒个数的两倍，问：怎样裁剪才能使剪出的，型纸板恰好用完，两种纸盒各做多少个？ 18．（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践． 【素材1】某工厂计划日生产件零件． 【素材2】现有初级工、高级工两种工人可安排参与生产，生产能力和薪酬如下： 工种 初级工 高级工 日生产量（件/人） 日薪酬（元/人） 【素材3】为了便于调配，工厂安排的工人恰好可以完成生产计划． 【问题】 (1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排多少名初级工？ (2)该工厂每日计划支付薪酬元，那么需要安排初级工、高级工各多少人？ (3)为了保证生产质量，该工厂计划每4名初级工生产时需1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），请为工厂设计一个成本最低（支出工人的总日薪酬最低）的工人安排方案． 19．（24-25七年级下·浙江台州·期中）阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为． 运用以上知识解决下列问题： (1)求方程组的解． (2)关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． (3)举一反三：方程组的解为 ． 20．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知关于，的方程组（是常数）． (1)当时，则方程组可化为． ①请直接写出方程的所有非负整数解． ②若该方程组的解也满足方程，求的值． (2)当时，如果方程组有整数解，求整数的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$