复数的代数形式与运算 培优讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

复数的代数形式与运算 1． 主要知识 1.复数的代数形式. 复数：（），其中为实部，为虚部.记作：表示的实部，表示的虚部. 2.复数相等的条件. 代数形式下，两个非零复数相等，当且仅当实部相等且虚部相等.三角形式下，两个非零复数相等，当且仅当它们的模与幅角主值分别相等. 3.共轭复数.（）它的共轭复数为，显然. 下面梳理共轭复数的重要性质. （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）为实数的充要条件为，为虚数的充要条件为. 3.代数形式下复数的运算：关于代数形式下复数的运算是高考必考内容，相对简单，大家练得都比较熟练，我们在此处就不再赘述. 4.几个重要的性质： （1） （2）；. （3）虚数单位的周期性. 二．典例分析 1.代数形式下复数的基本运算 例1. 已知复数满足，则复数在复平面内的点到原点的距离为_______. 例2.已知复数满足，求 例3. 若复数满足，则的最大值为_________ 例4.设复数.则的最小值为___. 例5 .复数，则________. 2.共轭复数及其应用 例6. 证明：虚数成对定理，即设虚数是实系数方程的根，则也是这个实系数方程的根. 例7.已知，，，求. 例8. 已知复数满足，求的值. 例9.复数满足且，则（ ） A. B. C. D. 3.综合应用（培优） 例10.已知虚数满足，则_______. 例11.已知复数满足，当取最小值时，求复数的值. 解析：依题可得：，利 例12．复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复数的代数形式与运算 1． 主要知识 1.复数的代数形式. 复数：（），其中为实部，为虚部.记作：表示的实部，表示的虚部. 2.复数相等的条件. 代数形式下，两个非零复数相等，当且仅当实部相等且虚部相等.三角形式下，两个非零复数相等，当且仅当它们的模与幅角主值分别相等. 3.共轭复数.（）它的共轭复数为，显然. 下面梳理共轭复数的重要性质. （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）为实数的充要条件为，为虚数的充要条件为. 3.代数形式下复数的运算：关于代数形式下复数的运算是高考必考内容，相对简单，大家练得都比较熟练，我们在此处就不再赘述. 4.几个重要的性质： （1） （2）；. （3）虚数单位的周期性. 二．典例分析 1.代数形式下复数的基本运算 例1. 已知复数满足，则复数在复平面内的点到原点的距离为_______. 解析：由，得，故该复数在复平面内的点的坐标为，其到原点的距离为． 例2.已知复数满足，求 解析：设，，所以，，解得：，或者. 例3. 若复数满足，则的最大值为_________ 解析：设，则， 故，其中. 当时，. 例4.设复数.则的最小值为___. 解析：令，则，且此时有. 故. 当，即时，的最小值为2. 例5 .复数，则________. 解析：由得，所以，或者. 因此可得： 或. 2.共轭复数及其应用 例6. 证明：虚数成对定理，即设虚数是实系数方程的根，则也是这个实系数方程的根. 证明：因为是方程的根，所以，两边同时取共轭得： ，即. 因此也是这个实系数方程的根. 例7.已知，，，求. 解析：由 下面将等式两边同乘，有，由于， 故 解得. 例8. 已知复数满足，求的值. 解析：由于，故可得：，于是我们将可进一步表示为：. 那么，. 例9.复数满足且，则（ ） A. B. C. D. 解析：，所以，整理可得，解得或者.由于，进一步可得：. 3.综合应用（培优） 例11.已知虚数满足，则_______. 解析：由三次方程因式分解可知：，整理可得：. 例12.已知复数满足，当取最小值时，求复数的值. 解析：依题可得：，利用完全平方公式得： 等号成立时，. 例13．复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：设，因为，所以，所以将代入方程整理，因为关于的方程有实根， 所以，所以当时，解得，此时关于的方程为或，易知方程无实数根，故舍去，所以；当时，解得，，所以，所以，此时方程有实数根，满足条件.综上，或.故这样的复数的个数为个. 学科网（北京）股份有限公司 $$