依托统计与概率，巧妙独立性检验-《中学生数理化》高考数学2025年6月刊

■山西省吕梁市艺术学校 刘芳芳 统计与概率知识模块的考查方式往往以 现实生活应用为背景,通过知识点的交汇与 融合来创新设置,全面考查多个数学基础知 识点及其应用。而依托统计与概率场景,独 立性检验的考查方式,往往离不开统计与概 率的基础知识与基本应用,成为高考数学试 卷命题中的一个重要考点。借助统计与概率 的场景与知识交汇来合理考查独立性检验, 可以更加全面细致地考查同学们的“四基”与 “四能”。 一、独立性检验与统计的交汇 借助统计知识的交汇与融合,巧妙设置 与独立性检验相关的实际应用问题,全面考 查独立性检验与统计的交汇与应用。 例 1 某大型社区“关爱老年人志愿组 织”为了初步了解并调查65岁及以上的老年 人的生活状况,就这些老年人是否需要接受 志愿者提供帮助进行调查问卷,通过简单随 机抽样入户进行随机调查,从中随机抽取 500份调查问卷与数据信息,对这些老年人 是否需要志愿者提供帮助的调查数据进行统 计,得到表1: 表1 男女类别 男 女 需要志愿者提供帮助的人数 40 30 不需要志愿者提供帮助的人数 160 270 (1)根据以上的统计数据作为该社区的 近似数据,试估计该社区的65岁及以上的老 年人中需要接受志愿者提供帮助的大致比例 是多少。 (2)根据小概率值α=0.005的独立性检 验,能否认为该社区的65岁及以上的老年人 是否需要接受志愿者提供帮助与男女性别有 关? 附:χ2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) , 其中n=a+b+c+d。 表2 α 0.1 0.05 0.01 0.005 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 解析:(1)根据数据分析可知,在随机调 查的65岁及以上的老年人中,需要接受志愿 者提供帮助的共有40+30=70(人),因此所 求比例的估计值为 70 500=0.14 。 (2)由题得完整的2×2 列联表,如表3 所示: 表3 志愿者 性别 男 女 合计 需要 40 30 70 不需要 160 270 430 合计 200 300 500 零假设为 H0:该社区的65岁及以上的 老年人是否需要志愿者提供帮助与男女性别 无关。 由表3得χ2= 500×(40×270-30×160)2 70×430×200×300 = 3 000 301 ≈9.967>7.879=x0.005 。 基于小概率值α=0.005 的独立性检验, 可以合理推断 H0 不成立,进而可以认为该社 区的65岁及以上的老年人是否需要接受志 愿者提供帮助与男女性别有关,该推断犯错 12 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年6月 误的概率不超过0.005。 点评:对于独立性检验应用问题,往往 从以下三 个 基 本 步 骤 来 处 理:①准 确 分 析 条 件 中 提 供 的 数 据,绘 制2×2列 联 表,并 提 出 零 假 设 H0。②准 确 计 算 χ2 的 值。 ③将χ2 的 值 与 临 界 值 xα 进 行 对 比,当 χ2≥xα 时,推 断 H0 不 成 立,即“有 关”;当 χ2<xα 时,没 有 充 分 的 证 据 判 断 H0 不 成 立,即“无关”。 二、独立性检验与概率的交汇 借助概率知识的交汇与融合,巧妙设置 与独立性检验相关的实际应用问题,全面考 查独立性检验与概率的交汇与应用。 例 2 对于成功申遗后的首个春节, 2025年春节必将吸引众多的外国旅游者的 青睐与打卡。为此,四川省南充市某调查机 构随机对200名外国旅游者(其中男性120 名,女性80名)进行系列的调查与问卷。现 将外国旅游者是否有兴趣购买唐装的反馈数 据加以汇总,统计数据如表4: 表4 旅游者 购买唐装 有兴趣 无兴趣 合计 男性 80 40 120 女性 40 40 80 合计 120 80 200 (1)依据小概率值α=0.01的独立性检 验,能否认为外国旅游者对购买唐装感兴趣 与性别有关? (2)按分层随机抽样的方法抽取6名对 购买唐装感兴趣的旅游者,再从中任意抽取 3名旅游者作进一步采访,记3名旅游者中 男性有X 名,求X 的分布列与均值。 附:χ2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) , 其中n=a+b+c+d。 表5 α 0.1 0.05 0.01 0.005 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 解析:(1)零假设为 H0: 外国旅游者对 购买唐装感兴趣与性别无关。 由表4得χ2= 200×(80×40-40×40)2 120×80×120×80 = 50 9≈5.556<6.635=x0.01 。 依据小概率值α=0.01 的独立性检验, 可知没有充分证据推断 H0 不成立,因此可以 认为 H0 成立,即认为外国旅游者对购买唐装 感兴趣与性别无关。 (2)由题意知,X 的所有可能取值为1, 2,3,则P(X=1)= C14C22 C36 = 1 5 ,P(X=2)= C24C12 C36 = 3 5 ,P(X=3)= C34 C36 = 1 5 。 所以随机变量X 的分布列如表6: 表6 X 1 2 3 P 1 5 3 5 1 5 故E(X)=1× 1 5+2× 3 5+3× 1 5=2 。 点评:解决此类涉及独立性检验与概率 综合问题的思路与策略为:首先,收集数据列 出2×2列联表,并按照公式求得χ2 的值后 进行比较;其次,按照随机变量满足的概率模 型求解。 三、独立性检验与统计、概率的综合交汇 借助统计、概率知识,巧妙设置与独立性 检验相关的实际应用问题,全面考查独立性检 验与统计、概率的综合交汇与应用。 例 3 根据市场已有的统计数据汇总 与分析,初步确定电动汽车销售量y(单位: 万台)与年份x 之间的关系近似地接近线性 回归方程ŷ=4.7x-9 495.2。同时,根据统 计数据汇总,可知电动汽车销售量y 与年份 x 的方差分别为s2y=50,s2x=2。 (1)试确定电动汽车销售量y(单位:万 台)与年份x 的样本相关系数r,由此能否加 以正确判断线性相关程度的强弱。 (2)对于男女不同性别对购车种类(非电 动汽车与电动汽车)的区别,某调研机构随机 调查了100位购车者,具体的性别、购车种类 所对应的数据如表7: 22 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年6月 表7 类型 性别 购买 非电动汽车 购买 电动汽车 合计 男 30 20 50 女 15 35 50 合计 45 55 100 依据小概率值α=0.005的独立性检验, 能否合理判断购买电动汽车与车主的性别有 关。 (3)在购买电动汽车的车主中,按照性别 进行分层随机抽11位车主,再从这11位车 主中采用简单随机抽样方法抽取4人,记其 中男性购车者的人数为X,求X 的分布列和 数学期望。 附:χ2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) , 其中n=a+b+c+d。 表8 α 0.1 0.05 0.01 0.005 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 经验回归方程 ŷ =̂bx+â,其中 b̂= ∑ n i=1 (xi -x)(yi -y) ∑ n i=1 (xi -x)2 ,̂a=y-̂bx。 样 本 相 关 系 数 : r = ∑ n i=1 (xi -x)(yi -y) ∑ n i=1 (xi -x)2∑ n i=1 (yi -y)2 ,若对应系数r> 0.9,则可判断两者之间的线性相关强度较强。 解析:(1)依题意,由对应的数据信息与 公式,可得r= ∑ n i=1 (xi -x)(yi -y) ∑ n i=1 (xi -x)2∑ n i=1 (yi -y)2 = ∑ n i=1 (xi -x)(yi -y) ∑ n i=1 (xi -x)2 · ∑ n i=1 (xi -x)2 ∑ n i=1 (yi -y)2 = b̂ s2x s2y =4.7× 2 50=4.7× 1 5=0.94>0.9 , 由此可判断两者之间的线性相关强度较强。 (2)零假设为 H0:购买电动汽车与车主 的性别无关。 由表7得χ2= 100×(30×35-20×15)2 50×50×45×55 ≈ 9.091>7.879=x0.005。 依据小概率值α=0.005 的独立性检验, 可以合理推断零假设 H0 不成立,即认为购买 电动汽车与车主的性别有关,此判断犯错误 的概率不大于0.005。 (3)根据分层随机抽样的基本性质,可知 随机抽取11人中,男性车主有11× 20 55= 4(人),女性车主有11× 35 55=7 (人)。 所以X 的所有可能取值为0,1,2,3,4。 故P(X=0)= C47 C411 = 7 66 ,P(X=1)= C14C37 C411 = 14 33 ,P(X=2)= C24C27 C411 = 21 55 ,P(X=3) = C34C17 C411 = 14 165 ,P(X=4)= C44 C411 = 1 330 。 故随机变量X 的分布列为表9: 表9 X 0 1 2 3 4 P 7 66 14 33 21 55 14 165 1 330 所以E(X)=0× 7 66+1× 14 33+2× 21 55+ 3× 14 165+4× 1 330= 16 11 。 点评:此类将独立性检验巧妙融入统计 与概率的实际应用中去,同时又合理考查统 计与概率的相关知识,成为知识融合、能力交 汇的一个重要场景,很好地突出高考的基础 性、创新性与应用性。 总之,依托统计与概率场景下的独立性 检验及其应用的综合问题,其设问的起伏比 较大,能够很好地考查同学们的基础与能力, 备受各方关注,成为新高考数学试卷中的一 个特色与亮点,在复习备考时同学们要加以 高度关注。 (责任编辑 王福华) 32 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2025年6月