13 平面向量与三角中的新文化，新定义题型聚焦-《中学生数理化》高一数学2025年6月刊

■王海燕1 李 倩2 聚焦一:利用向量的夹角与三角变换测 量距离 例1 人脸识别技术应用在各行各业, 改变着人们的生活,而所谓人脸识别,就是利 用计算机分析人脸视频或者图像,并从中提 取出有效的识别信息,最终判别人脸对象的 身份。在人脸识别中,为了检测样本之间的 相似度主要应用距离的测试,常用的测量距 离的方式有曼哈顿距离和余弦距离。假设二 维空间中有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),O 为坐标原点,余弦相似度为向量OA→,OB→ 夹 角的余弦值,记作cos(A,B),余弦距离为 1-cos(A,B)。已 知 点 P(cosα,sinα), Q(cosβ,sinβ),R(cosα,-sinα),若P,Q 的 余弦距离为 1 3 ,tanα·tanβ= 1 7 ,则Q,R 的 余弦距离为( )。 A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 7 解:由OP→=(cosα,sinα),OQ→=(cosβ, sinβ),OR →=(cosα,-sinα),可得cos(P,Q) = OP→·OQ→ |OP→|·|OQ→| =cosαcosβ+sinαsinβ= cos(α-β),cos(Q,R)= OQ→·OR→ |OQ→|·|OR→| = cosαcosβ-sinαsinβ=cos(α+β)。 由题设得1-cos(α-β)= 1 3 ,所以cos(α -β)=cosαcosβ+sinαsinβ= 2 3 。 ① 已知tanαtanβ= sinαsinβ cosαcosβ = 1 7 。 ② 由①②解得sinαsinβ= 1 12 ,cosαcosβ= 7 12 。 所以Q,R 的余弦距离为1-cos(α+β) =1-cosαcosβ+sinαsinβ=1- 7 12+ 1 12= 1 2 。应选A。 揭秘:依据人脸识别中为了检测样本之 间的相似度,借助余弦距离、向量的夹角及三 角变换构建方程组求解。 聚焦二:利用三角形的四心确定欧拉线 恒过定点 例2 瑞士数学家欧拉是数学史上最多 产的数 学 家,被 誉 为“数 学 之 王”,欧 拉 在 1765年发表了令人赞美的欧拉线定理:三角 形的重心,垂心和外心共线,这条直线被称为 欧拉线。已知P,M,N,O 为△ABC 所在平 面上的点,且满足 OP→=OA→+λ AB → |AB→| + AC→ |AC→| ,|MA→|=|MB→|=|MC→|,NA→+ NB→+NC→=0,OA→·OB→=OB→·OC→=OC→· OA→,则欧拉线一定过点( )。 A.M,N,P B.M,O,P C.M,N,O D.N,O,P 解:根据向量等式的含义及向量的运算, 分别说明 M,O,N,P 为△ABC 的外心,垂 心,重心,内心,再根据欧拉线定理可得结论。 由题意知|MA→|=|MB→|=|MC→|,所以 M 为 △ABC 的外心。由 NA→+NB→+NC→=0,可 知 N 为 △ABC 的 重 心。由 OA→·OB→= OB→·OC→=OC→·OA→,可得OA→·OB→-OB→· OC→=0,所以OB→·(OA→-OC→)=0,即OB→· CA→=0,所以OB⊥AC。同理得OA⊥BC, OC⊥AB,所 以 O 为 △ABC 的 垂 心。由 OP→,OA→ 为两个共起点的向量,可得 OP→- OA→=AP→,所以AP→=λ AB → |AB→| + AC→ |AC→| 。令 AB→ |AB→| + AC→ |AC→| =AM→,则 AM→ 是以 A 为起 点,向量 AB → |AB→| 与 AC→ |AC→| 所在线段为邻边的菱 形的 对 角 线 所 对 应 的 向 量,所 以 AM→ 在 ∠BAC 的平分线上。因为AP→=λAM→,所以 AP→,AM→ 共线,所以点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的内心。由欧拉线定理知,欧拉线一 52 数学文化与赏析 高一数学 2025年6月 定过点 M,N,O。应选C。 揭秘:三角形的重心,垂心和外心共线, 这条直线被称为欧拉线。解答本题的关键在 于充分挖掘三角形的外心、重心、垂心、内心 与对应向量的关系,从而得解。 聚焦三:借助向量与解三角及奔驰定理 探究系数和的最值 例3 “奔驰定理”因其几何表示酷似奔 驰车的标志而来,是平面向量中一个非常优 美的结论,奔驰定理与三角形的四心(重心、 内心、外心、垂心)有着美丽的邂逅。它的具 体内容是:如图1所示,若P 是△ABC 内一 点,△BPC,△APC,△APB 的面积分别为 SA,SB,SC,则有SA·PA→+SB·PB→+SC· PC→=0。已 知 O 为 △ABC 的 内 心,且 cos∠BAC= 1 3 ,若 AO→=mAB→+nAC→,则 m+n的最大值为 。 图1 解:因为△ABC 的内心O 到该三角形的 三边的距离相等,所以SA∶SB∶SC=a∶ b∶c。 由SA·OA→+SB·OB→+SC·OC→=0,可 得a·OA→+b·OB→+c·OC→=0,所以AO→= b aOB →+caOC →。 因为AO→=mAB→+nAC→=m(OB→-OA→)+ n(OC→-OA→),所 以 AO→ = m1-(m+n)OB → + n 1-(m+n)OC →,所以 m 1-(m+n)= b a , n 1-(m+n)= c a 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 两式相加得 m+n 1-(m+n)= b+c a ,化简整 理得m+n= b+c a+b+c 。 由cos∠BAC= 1 3 ,结 合 余 弦 定 理 得 a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2- 2 3bc 。 由基本不等式得a2=(b+c)2- 8 3bc≥ (b+c)2- 8 3 · (b+c)2 4 = (b+c)2 3 ,当且仅当 b=c时等号成立,所以a2≥ (b+c)2 3 ,即a≥ 3 3 (b+c),也即 a b+c≥ 3 3 。所以 m+n= b+c a+b+c= 1 1+ a b+c ≤ 1 1+ 3 3 = 3 3+ 3 = 3- 3 2 ,即m+n的最大值为 3- 3 2 。 揭秘:解答本题的关键是利用奔驰定理 得到m+n= b+c a+b+c ,再结合余弦定理和基 本不等式得到a≥ 3 3 (b+c),最后可得m+n 的最大值。 赵爽是我国古代数学家,大约在公元 222年,他为《周髀算经》一书作序时,介绍了 “勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边长 得到的正方形由4个全等的直角三角形再加 上中间的一个小正方形组成)。类比“赵爽弦 图”,可构造如图2所示的图形,它是由3个 全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成 的一个较大的等边三角形,设 AD→=λAB→+ μAC →,若AD→=4AF→,则λ+2μ的值为 。 图2 提示:λ+2μ= 8 7 (解法略)。 作者单位:1.山东省滨州市邹平市体育学校 2.山东省滨州市邹平市第二中学 (责任编辑 王琼霞) 62 数学文化与赏析 高一数学 2025年6月