9.1 函数 同步课堂讲义2024-2025学年人教版数学八年级下册

19.1 函数 知识点目录 【知识点1】常量和变量 2 【知识点2】函数的定义 3 【知识点3】函数自变量的取值范围 5 【知识点4】 函数解析式及函数值 7 【知识点5】函数的图象 9 知识图谱 知识点1 知识点 【知识点1】常量和变量 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量． 典型例题 例1： 【典例1】　（2025春•方城县期中）如图所示的是加油站加油机上的数据显示牌．在金额、加油量、单价三个量中，下列说法正确的是　　 A．金额、单价是变量，加油量是常量 B．金额、单价、加油量都是变量 C．加油量、单价是变量，金额是常量 D．金额、加油量是变量，单价是常量 【答案】 【分析】根据常量与变量的定义判断即可． 【解答】解：在金额、加油量、单价三个量中，金额、加油量是变量，单价是常量．故选：． 【典例2】　（2025春•曲周县期中）小文去水果店买西瓜，如图是称西瓜所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是　　 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】 【解答】解：由题意可得，金额单价数量，单价不变，数量与金额是变化的量，单价常量，数量与金额是变量，故选：． 【典例3】　（2025春•衡阳期中）对于圆的周长公式，下列说法正确的是　　 A．，是变量，，2是常量 B．是变量，，是常量 C．是变量，，是常量 D．，是变量，2，是常量 【答案】 【解答】解：对于圆的周长公式，和为变量，2和为常量． 故选：． 方法点拨 （1）变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变，例如，在s=vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，而t为常量． （2）“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量． （3）变量、常量与字母的指数没有关系，如S=πr2中，变量是“S”和“r”，常量是“π”． （4）判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化． 知识点2 知识点 【知识点2】函数的定义 典型例题 例1： 【典例4】　（2025春•和平区校级期中）下列图象中，表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，则称是的函数，其中是自变量”逐项判断即可． 【解答】解：根据函数的定义，选项中的图象是的函数． 故选：． 【典例5】　（2025春•房山区期中）下列曲线中．表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，则称是的函数，其中是自变量”逐项判断即可． 【解答】解：根据函数的定义，选项中的图象表示是的函数． 故选：． 【典例6】　（2025春•南宁期中）下列图形中的曲线不能表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，那么我们称是的函数”判断即可． 【解答】解：根据函数的定义，选项图形中的曲线不能表示是的函数． 故选：． 方法点拨 判断一个关系是不是函数关系的方法： 第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化过程中是不是有两个变量；第三要看其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应． 知识点3 知识点 【知识点3】函数自变量的取值范围 使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围． 当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义． 典型例题 例1： 【典例7】　（2025春•魏都区校级期中）函数中自变量的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式以及分式有意义的条件列出关于的不等式组求解即可得出答案． 【解答】解：根据二次根式以及分式有意义的条件可知： ，且， 解得：， 故选：． 【典例8】　（2025春•科左后旗期中）在函数中，自变量的取值范围是　　 A．且 B． C．且 D．且 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件计算即可． 【解答】解：在函数中， 函数的自变量有意义的条件是，，解得且， 即自变量的取值范围是且，故选：． 【典例9】　（2025•江阳区模拟）函数的自变量的取值范围是　　 A． B．，且 C． D． 【答案】 【分析】根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案． 【解答】解：由题意，得 且，解得且，故选：． 方法点拨 函数关系式中有分式、二次根式、零指数幂等情况综合时，自变量的取值范围一定要满足每一种情况，不要出现遗漏． 知识点4 知识点 【知识点4】 函数解析式及函数值 1．函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式． （1）函数解析式是等式． （2）函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数． （3）函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数． （4）用数学式子表示函数的方法叫做解析式法． 2．函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值． 典型例题 例1： 【典例10】　（2024秋•滑县期末）某运输公司计划运输500吨货物，如果用表示运输的天数，用表示每天运输的吨数，则下列式子可表示与的关系的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据运输的天数，进行求解即可． 【解答】解：与的关系的是，故选：． 【典例11】　（2025春•莒县期中）变量与之间的关系式是，当自变量时，因变量的值是　　 A． B． C．2 D．1 【答案】 【分析】直接把代入中进行求解即可． 【解答】解：在中，当时，， 故选：． 【典例12】　（2025•揭阳一模）对于函数，自变量分别取，，0，1中哪个时，函数值最大　　 A． B． C．0 D．1 【答案】 【分析】直接把选项的自变量的值代入进行计算，即可作答． 【解答】解：依题意，把分别代入， 得； 把分别代入， 得； 把分别代入， 得； 把分别代入， 得； ， 在四个选项中，当时，函数值最大；故选：． 方法点拨 （1）要正确理解函数与函数值：函数是一个关系式，是一种对应关系，是对变量而言的；函数值是对具体数值而言的． （2）一个函数的函数值一般是随着自变量的变化而变化的． （3）求函数值的方法：将自变量的取值代入函数解析式进行运算即可． 知识点5 知识点 【知识点5】函数的图象 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 典型例题 例1： 【典例13】　（2025•瑶海区三模）小明在游乐场坐过山车，在某一段60秒时间内，过山车的高度（米与时间（秒之间的函数关系图象如图所示，下列结论正确的是　　 A．当时， B．这60秒内过山车有3段下行路线 C．当时，高度（米随时间（秒的增大而增大 D．在范围内，当过山车高度是70米时，的值有4个 【答案】 【分析】根据某一分钟内过山车高度（米与时间（秒之间的函数图象逐项分析判断即可求解． 【解答】解：．结合图象，当时，，故该选项说法错误，不符合题意； ．结合图象，这60秒内过山车有2段下行路线，故该选项说法错误，不符合题意； ．当时，过山车的高度在不断下降，故该选项说法错误，不符合题意； ．在范围内，当过山车高度是80米时，的值有4个，故该选项说法正确，符合题意． 故选：． 【典例14】　（2025•南关区二模）如图是某蓄水池横截面的示意图，现将满池的水匀速全部放出．能刻画蓄水池中水的高度（米与放水时间（时的函数关系的图象大致是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由于蓄水池不规则，上面宽，下面窄，因此在相同时间内上半部分下降缓慢，图象比较平稳．下半部分下降快，图象比较陡，据此即可解答． 【解答】解：由图知蓄水池上宽下窄，深度和放水时间的比不一样，前者慢后者快，即前者随时间的增加减少较慢，后者随时间的增加减少较快，分析各选项，只有符合题意． 故选：． 【典例15】　（2025•洪山区模拟）如图，空容器可以从底部小孔匀速注水，直到注满．在注水过程中，不考虑水量变化对压力的影响，容器内水面高度随时间变化的大致图象是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】容器内水面高度随时间变化而分两个阶段． 【解答】解：底层的容器底面半径较大，容器内水面高度随时间的增大而增长缓慢，用时较长；上层容器底面半径较小，容器内水面高度随时间的增大而增长较快． 故选：． 方法点拨 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ （1）函数图象上的任意点（x，y）中的x，y满足函数解析式． （2）满足函数解析式的任意一对（x，y）的值，所对应的点一定在函数的图象上． （3）利用函数国象可以求方程的解、不等式的解集、方程组的解，还可以预测变量的变化趋势． 小试牛刀 一、选择题（共2小题） 1．（2024春•东营期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度（单位：与所挂的物体的质量（单位：（不超过间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 则下列说法不正确的是　　 A．与都是变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度增加 D．当所挂物体质量为时，弹簧的长度为 2．（2024秋•让胡路区校级期中）已知蓄水池有水现匀速放水，池中水量和放水时间的关系如表所示，则放水后，池中水量为　　 放水时间 0 1 2 3 4 池中水量 50 48 46 44 42 A． B． C． D． 二、填空题（共8小题） 3．（2024春•涞源县期末）函数中，自变量的取值范围是 　　． 4．（2024春•余江区期中）要围一个长方形菜园．菜园的一边利用足够长的墙，用24米长的篱笆围成的另外三边，如图所示的矩形，为了方便进出，在边上留了一个1米宽的小门．设边的长为米，边的长为米，则与之间的关系式是 　　． 5．（2023秋•富锦市校级期末）函数的自变量的取值范围是 　　． 6．（2024•西安校级开学）小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程（米与时间（分的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行 　　米． 7．（2024春•汉中期末）某水库的水位在某段时间内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度米与时间小时的函数关系式为 　　． 8．（2024春•娄星区期末）已知变量与的关系式是，则当时，　　． 9．（2021春•渠县期末）每个同学购买一本课本，课本的单价是4.5元，总金额为（元，学生数为（个，则变量是 　　，常量是 　　． 10．（2022春•香坊区校级期中）在函数中，当时，　 　． 参考答案 一、选择题（共2小题） 1．【答案】 【分析】根据给出的表格中的数据进行分析，可以确定自变量和因变量以及弹簧伸长的长度，得到答案． 【解答】解：．与都是变量，说法正确，故不符合题意； ．弹簧不挂重物时的长度为，原说法错误，故符合题意； ．物体质量每增加，弹簧长度增加，说法正确，故不符合题意； ．当所挂物体质量为时，弹簧的长度为，说法正确，故不符合题意； 故选：． 2．【答案】 【分析】依据题意，通过水池中的水量和放水时间的关系表，分析出水池中水量每分钟减少，从而可得函数关系式，最后可求出当放水时水池中的水量． 【解答】解：由题意知，水池中水量每分钟减少， 设水池中剩余水量为 ，放水时间为 ， ． 当时，． 即当放水时，水池中有水． 故选：． 二、填空题（共8小题） 3．【答案】． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 4．【答案】． 【分析】根据题意和图形可以得到与的函数关系式，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， ， 故答案为：． 5．【答案】且． 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组，求解即可． 【解答】解：由题意可得：且， 解得且． 自变量的取值范围是且． 故答案为：且． 6． 【分析】根据图象分析出小明家距学校的路程为800米，步行回家的时间是（分，接下来根据路程、时间、速度的关系进行计算，即可使问题得解，试试吧． 【解答】解：小明家距学校800米，小明从学校步行回家的时间是：（分， 所以小明回家的速度是每分钟：（米． 故答案为：80． 7．【答案】． 【分析】根据高度等于速度乘以时间列出关系式解答即可． 【解答】解：因为初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升， 所以，， 根据题意可得：， 故答案为：． 8． 【分析】将代入与的关系式中求解即可． 【解答】解：将代入， 可得：． 故答案为：． 9． 【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题． 【解答】解：单价固定， 常量是4.5， 总金额为（元随着学生数为（个的变化而变化， ，是变量， 故答案为，；4.5． 10．【分析】把直接代入函数关系式即可． 【解答】解：将代入函数可得： ． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． $$ 19.1 函数 知识点目录 【知识点1】常量和变量 2 【知识点2】函数的定义 3 【知识点3】函数自变量的取值范围 4 【知识点4】 函数解析式及函数值 5 【知识点5】函数的图象 7 知识图谱 知识点1 知识点 【知识点1】常量和变量 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量． 典型例题 例1： 【典例1】　（2025春•方城县期中）如图所示的是加油站加油机上的数据显示牌．在金额、加油量、单价三个量中，下列说法正确的是　　 A．金额、单价是变量，加油量是常量 B．金额、单价、加油量都是变量 C．加油量、单价是变量，金额是常量 D．金额、加油量是变量，单价是常量 【典例2】　（2025春•曲周县期中）小文去水果店买西瓜，如图是称西瓜所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是　　 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【典例3】　（2025春•衡阳期中）对于圆的周长公式，下列说法正确的是　　 A．，是变量，，2是常量 B．是变量，，是常量 C．是变量，，是常量 D．，是变量，2，是常量 方法点拨 （1）变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变，例如，在s=vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，而t为常量． （2）“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量． （3）变量、常量与字母的指数没有关系，如S=πr2中，变量是“S”和“r”，常量是“π”． （4）判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化． 知识点2 知识点 【知识点2】函数的定义 典型例题 例1： 【典例4】　（2025春•和平区校级期中）下列图象中，表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 【典例5】　（2025春•房山区期中）下列曲线中．表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 【典例6】　（2025春•南宁期中）下列图形中的曲线不能表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 方法点拨 判断一个关系是不是函数关系的方法： 第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化过程中是不是有两个变量；第三要看其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应． 知识点3 知识点 【知识点3】函数自变量的取值范围 使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围． 当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义． 典型例题 例1： 【典例7】　（2025春•魏都区校级期中）函数中自变量的取值范围是　　 A． B． C． D． 【典例8】　（2025春•科左后旗期中）在函数中，自变量的取值范围是　　 A．且 B． C．且 D．且 【典例9】　（2025•江阳区模拟）函数的自变量的取值范围是　　 A． B．，且 C． D． 方法点拨 函数关系式中有分式、二次根式、零指数幂等情况综合时，自变量的取值范围一定要满足每一种情况，不要出现遗漏． 知识点4 知识点 【知识点4】 函数解析式及函数值 1．函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式． （1）函数解析式是等式． （2）函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数． （3）函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数． （4）用数学式子表示函数的方法叫做解析式法． 2．函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值． 典型例题 例1： 【典例10】　（2024秋•滑县期末）某运输公司计划运输500吨货物，如果用表示运输的天数，用表示每天运输的吨数，则下列式子可表示与的关系的是　　 A． B． C． D． 【典例11】　（2025春•莒县期中）变量与之间的关系式是，当自变量时，因变量的值是　　 A． B． C．2 D．1 【典例12】　（2025•揭阳一模）对于函数，自变量分别取，，0，1中哪个时，函数值最大　　 A． B． C．0 D．1 方法点拨 （1）要正确理解函数与函数值：函数是一个关系式，是一种对应关系，是对变量而言的；函数值是对具体数值而言的． （2）一个函数的函数值一般是随着自变量的变化而变化的． （3）求函数值的方法：将自变量的取值代入函数解析式进行运算即可． 知识点5 知识点 【知识点5】函数的图象 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 典型例题 例1： 【典例13】　（2025•瑶海区三模）小明在游乐场坐过山车，在某一段60秒时间内，过山车的高度（米与时间（秒之间的函数关系图象如图所示，下列结论正确的是　　 A．当时， B．这60秒内过山车有3段下行路线 C．当时，高度（米随时间（秒的增大而增大 D．在范围内，当过山车高度是70米时，的值有4个 【典例14】　（2025•南关区二模）如图是某蓄水池横截面的示意图，现将满池的水匀速全部放出．能刻画蓄水池中水的高度（米与放水时间（时的函数关系的图象大致是　　 A． B． C． D． 【典例15】　（2025•洪山区模拟）如图，空容器可以从底部小孔匀速注水，直到注满．在注水过程中，不考虑水量变化对压力的影响，容器内水面高度随时间变化的大致图象是　　 A． B． C． D． 方法点拨 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ （1）函数图象上的任意点（x，y）中的x，y满足函数解析式． （2）满足函数解析式的任意一对（x，y）的值，所对应的点一定在函数的图象上． （3）利用函数国象可以求方程的解、不等式的解集、方程组的解，还可以预测变量的变化趋势． 小试牛刀 一、选择题（共2小题） 1．（2024春•东营期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度（单位：与所挂的物体的质量（单位：（不超过间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 则下列说法不正确的是　　 A．与都是变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度增加 D．当所挂物体质量为时，弹簧的长度为 2．（2024秋•让胡路区校级期中）已知蓄水池有水现匀速放水，池中水量和放水时间的关系如表所示，则放水后，池中水量为　　 放水时间 0 1 2 3 4 池中水量 50 48 46 44 42 A． B． C． D． 二、填空题（共8小题） 3．（2024春•涞源县期末）函数中，自变量的取值范围是 　　． 4．（2024春•余江区期中）要围一个长方形菜园．菜园的一边利用足够长的墙，用24米长的篱笆围成的另外三边，如图所示的矩形，为了方便进出，在边上留了一个1米宽的小门．设边的长为米，边的长为米，则与之间的关系式是 　　． 5．（2023秋•富锦市校级期末）函数的自变量的取值范围是 　　． 6．（2024•西安校级开学）小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程（米与时间（分的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行 　　米． 7．（2024春•汉中期末）某水库的水位在某段时间内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度米与时间小时的函数关系式为 　　． 8．（2024春•娄星区期末）已知变量与的关系式是，则当时，　　． 9．（2021春•渠县期末）每个同学购买一本课本，课本的单价是4.5元，总金额为（元，学生数为（个，则变量是 　　，常量是 　　． 10．（2022春•香坊区校级期中）在函数中，当时，　 　． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． $$