19.1.1（第2课时）函数（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

19.1.1(第2课时) 函数 第19章 一次函数 国庆黄金周天气晴朗，果果一家开着车去杭州小姨家作客，途中加油时的数字引起了果果的兴趣，她将记录的数据整理成下表，请你帮忙完成. 油量（升） 金额（元） 0 0 2 16.64 4 66.56 12 266.24 果果在收音机里听到新中国成立以来，我国已经进行了七次人口普查，她将我国七次人口普查的人口数做成了统计表. 年份 人口数(亿) 1953 6.02 1964 7.23 1982 10.32 1990 11.60 2000 12.95 2010 13.71 2020 14.12 (1)在这一变化过程中，有几个变量？分别是什么？ (2)在这一变化过程中，两个变量之间有什么关系？ 随着 的变化而变化. 人口数 年份 对于 的每一个值， 都有唯一的值与它对应. 年份 人口数 姨父说最近村子里有黄鼠狼，果果准备帮助姨父用一段20m长的栅栏围一个长方形鸡舍…… （1）当长方形的宽为2m时，长为 ____ m； （2）当长方形的宽为4m时，长为 ____ m； （3）当长方形的宽为b m时，长为 ______ m. 8 6 （10-b） （4）长方形的长是宽的函数吗？为什么？ （5）长方形的宽是长的函数吗？为什么？ （6）长方形的面积是宽的函数吗？为什么？ 水位/m 106 120 133 135 … 蓄水/m3 2.30×107 7.09×107 1.18×108 1.23×108 … 你能从他制作的表格中获得哪些信息？ 水位高低与水库容量有什么关系？ 果果的小姨邻居小明的爸爸是某市水库管理员，他将水库的水位变化与水库蓄水量变化情况列成下表： 从表中可以看到，水库蓄水量随着水位的升高而增大，随着水位的下降而减小，当水位稳定时，蓄水量也稳定不变. 时间t(时) 8 10 2 4 6 12 14 16 18 20 22 24 0 温度T(C) 2 4 6 8 -2 -4 0 果果想着寒假也来小姨这里玩，也是上网查阅了杭州冬季一天的气温变化曲线. 随着 的变化而变化. 任意给出这天中的某一时刻t，你能说出这一时刻的气温T吗？ 对于 的每一个值， 都有唯一的值与它对应. 在这一变化过程中，两个变量之间有什么关系？ 温度 时间 时间 温度       思考： 同学们,你们能从刚才的几个变化过程中找到它们的共同之处吗？ 对于 的每一个值， 有_____值与之对应. 金额与油量 两 唯一 随之变化 人口数与年份 温度与时间 每个变化过程中都有___个变量， 其中 变化时， 也___________； x 和 y 一个变量 另一个变量 其中一个变量 另一个变量 鸡舍的长和宽 水位高低与水库容量 函数 一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. function 莱布尼兹 （德国） 李善兰 （清代） 凡此变数函彼变数，则此为彼之函数 . （这里的“函”有包含的意思.） 函数 翻译 函数一语，起用于公元 1692 年，最早见自德国数 学家莱布尼兹的著作. 他 是德国最重要的自然科学 家、数学家、物理学家、 历史学家和哲学家，一个 举世罕见的科学天才，和 牛顿同为微积分的创建人. 他博览群书，涉猎百科， 对丰富人类的科学知识 宝库做出了不可磨灭的贡献. 例1 例2 已知函数 (1)求当x=2，3，-3时，函数的值； (2)求当x取什么值时，函数的值为0. 解：（1）当x=2时，y= ; 当x=3时，y= ; 当x=-3时，y=7. （2）令 解得x= 即当x= 时，y=0. 例3 下列关于变量x ，y 的关系式： y =5x-9； y =-x2+32； y =6|x|-1； ④ ； ⑤y2-6x=100，其中表示y 是x 的函数关系的是 ．  一个x值有两个y 值与它对应 判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应. 例4 (1)若每吨民用自来水的价格为2.8元，所交水费金额为y（元）， 使用自来水的数量为x（吨）， 则 y 是 x 的函数吗？为什么？ (2)底边为6(m)的三角形面积为s(㎡),高为h (m)， s是h的函数吗？为什么？ 6n+2 s=6n+2 …… …… 8 14 20 n 火柴的根数（s） 小鱼条数（n） 2 1 3 …… …… （3）根据小鱼的条数与所需火柴棒的根数的关系，s是n的函数吗？ 为什么？ y=2.8x s=3h 例5 气温的摄氏度数x与华氏度数y之间可用数学式子 进行转化，华氏度数y是不是摄氏度数x的函数？为什么？ 解：在把摄氏度转化为华氏度的过程中，华氏度y随着摄氏度x的变化而变化； 例如下表： 摄氏度数x(℃) … -10 0 25 35 100 … 华氏度数y(℉) … 　 　 　 　 …　 14 32 77 95 212 所以y是x的函数. 由 　　　　　，当x取一个值时，y的值也随之唯一确定， 例6 下列变化过程中，两个变量之间是否存在确定的依赖关系？其中一个变量是另一个变量的函数吗？ 近年来上海市区的环境绿化不断得到改善，下表是上海市区人均绿化面积变化的一些统计数据： 解：两个变量是年份和人均绿化面积. 由表可知，随着所列年份的变化，上海市区人均绿化面积也在变化；对于所列的每一个年份，在表格中都可以找到这一年人均绿化面积的数值. 所以人均绿化面积是年份的函数. 年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005 人均绿化面积(㎡） 4.5 5.5 7.0 9.4 10.0 11.0 例7 请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系： （1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t（单位：h），行驶的路程为 s（单位：km）； （2）多边形的边数为 n，内角和的度数为 y． 问题（1）中，t 取－2 有实际意义吗？ 问题（2）中，n 取2 有意义吗？ 思考： 函数自变量的取值范围 　　根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取任意值吗？ 　　在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围． 例8 下列函数中自变量x的取值范围是什么？ . 0 . -1 . -2 -2 x取全体实数 例10 例9 例11 例12 解：根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，可知 2x+y=180°, 有 y=180°-2x. 由于等腰三角形的底角只能是锐角，所以自变量的取值范围是 0＜x＜90°. y x 等腰三角形顶角的度数y是底角度数x的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量x的取值范围. 函数自变量的取值范围 ① 函数表达式有意义 ②要符合实际 4.表达式是复合式时，自变量的取值是使各式成立的公共解. 3.表达式是偶次根式时，自变量的取值必须使被开方数为非负数.表达式是奇次根式时，自变量取全体实数； 1.表达式是整式时，自变量取全体实数； 2.表达式是分式时，自变量的取值要使分母不为0； 例13 例13 例14 例14 例14 例14 概念 函数值 自变量的 取值范围 函数在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么x是自变量，y是x的函数. 1.使函数解析式有意义 2.符合实际意义 函数 C C A 4.设路程为s，时间为t，速度为v，当v=60时，路程和时间的关系式为 ，这个关系式中， 是常量， 是变量， 是 的函数. 60 s=60t t和s s t 5.油箱中有油30kg,油从管道中匀速流出，1h流完，则油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（min）之间的函数关系式是 ，自变量t的取值范围是 . 6.分别写出下列各问题中的函数关系及自变量的取值范围： （1）某地民用电费标准为每度电 0.50 元，电费 y（元）是用电度数 x 的函数； y = 0.5x (x ≥ 0) （2）已知等腰三角形的面积为 20 cm2，设它的底边长为 x (cm)，底边上的高 y (cm) 是 x的函数； (x > 0) （3）在一个半径为 10 cm 的圆形纸片中剪去一个半径为 r（cm）的同心圆， 得到一个圆环，设圆环的面积为 S（cm2），S 是 r 的函数. S = π(100 - r2)(0 < r < 10) 7.为了加强居民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过部分按每吨1.8元收费，该市某户居民5月份用水x吨(x>10)，应交水费y元.请求出y和x的表达式，并判断y是否为x的函数. y =12+1.8(x-10) =1.8x-6 解： y是x的函数. 8.求下列函数中自变量 x 可以取值的范围： （1）y=3x-2； x 取任意实数； x≥1； （2）y＝； （3）y=； （4）y＝ . x≠－ x＜ 9.一个三角形的周长为y cm，三边长分别为 7cm，3cm和 xcm. (1) 求y关于x的函数关系式； y=x+10 (2) 求自变量x的取值范围. 4<x<10 分析：三角形的三边关系应满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.即7-3<x<7+3 . y=x+10 (4<x<10) y关于x的函数关系式： $$