专题09 圆-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编（辽宁专用）

专题09 圆 题型概览 题型01 圆的基本认识、垂径定理 题型02 圆心角、圆周角 题型03 点、直线、圆的位置关系 题型04 正多边形和圆、弧长和扇形面积 ( 题型01 )圆的基本认识、垂径定理 1．（2025·辽宁营口·二模）如图，的直径垂直于弦，垂足为，弦，则长为（   ） A．8 B．10 C． D． 2．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在矩形中，，点F为边上一点，，以点A为圆心，长为半径的圆交于点E，点P为上运动，则的最小值为 ． 3．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，以为直径的与交于点． (1)尺规作图：作出劣弧的中点，过点作，连接并延长，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示） 4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，为上一点，作半圆切于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若半圆的半径为，，求的长． 5．（2025·辽宁抚顺·二模）利用素材解决问题： 《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽度（如图1），称为跨度，桥面最高点到的距离，称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度，拱高． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 任务一 ①如图2，设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径．（点为圆心，，交于点，交于点D．） ②设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图3所示的平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式． 任务二 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，，通过计算，我们确定：设计成圆弧型拱桥，货船可以顺利通过．如果设计成抛物线型，货船能否顺利通过？请写出结论并说明理由． ( 题型0 2 )圆心角、圆周角 1．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，、为的半径，过点作于点，交于点，连结，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁本溪·二模）如图，在中，点是的中点，点在上，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，，是的直径，E是的中点，，的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是 ． 5．（2025·辽宁大连·二模）如图，是的直径，点在上，是的切线，，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 6．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，为的外接圆，为的直径，交边于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 7．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，以为直径的与的边交于点D，且，M是下方半圆上的一动点，连接，，与交于点N． (1)如图1，若，，求的值． (2)如图2，若N是的中点，的平分线交于点E，交于点F．求证：． 8．（2025·辽宁本溪·二模）如图，已知是的直径，是上一点，是的切线，且于点，延长交于点，连接交于点，连接，，． (1)求的长度； (2)求阴影部分的面积． ( 题型0 3 )点、直线、圆的位置关系 1．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁铁岭·二模）《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．甲乙二人俱在干地，乙东行三百二十步而立，甲南行六百步望见乙，问径几里？”意思是：如图，中，步，步，是的内切圆，切点为，，，求的直径．根据题意，的直径是（    ） A．200步 B．240步 C．280步 D．320步 3．（2025·辽宁辽阳·二模）如图，内接于，是的直径，过点C作的切线交的延长线于点D，过点O作的垂线交于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，内接于是的直径，是弧的中点，过点作的切线分别交，的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 5．（2025·辽宁丹东·二模）已知：如图，四边形是的内接四边形，是的直径，过点作的切线，交延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 6．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形中，，，平分，交于点，以为直径的经过的中点． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 7．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，为半径，点B在上，，连接交于点D，． (1)求证：是的切线； (2)若 ，求 的长． 8．（2025·辽宁沈阳·二模）数学活动课上，在学生们学习了圆的切线判定定理之后，老师提出了一个问题： 已知：如图，以线段为直径的半和延长线上一点P．你能利用尺规作过点P的半切线吗？ 向阳小组讨论出一种作切线的方法：如图， ①分别以点P和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点； ②作直线，交线段于点； ③以点为圆心，的长为半径作，与半相交于点Q； ④作直线 ∴直线即是所求作的切线． (1)根据上述作法，求证：是半的切线； (2)过点Q作于点C，若，，求的值． 9．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，点在边上，以为直径作的经过边上的点，连接，平分， (1)求证：是的切线； (2)，，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，交边于点，求图中，，，．围成的阴影部分的面积． 10．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，为的直径，是的一条弦，D为弧的中点，过点D作，垂足为的延长线上的点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)延长交的延长线于F，若，求直径的长． 11．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，为的直径，点为上一点，连接并延长至点，使连接，过点作的切线交的延长线于点，交与点． (1)求证：⟂； (2)若，，求的长． 12．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在菱形中，以为直径作与交于点E，在上取一点F，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的长． 13．（2025·辽宁沈阳·二模）已知：如图，内接于，点为上一点，连接，其中经过圆心的延长线交射线于点，若． (1)求证：是切线； (2)若，求的长． 14．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，连接交于点，以为邻边，为对角线，构造与的延长线相交于点，已知． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 15．（2025·辽宁铁岭·二模）如图1，是的直径，是 的弦，点是 的中点，连接，与交于点，点在的延长线上，满足． (1)求证：为 的切线． (2)如图2，连接，若，求的长． 16．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，中，为对角线，且，的外接圆交边于点E． (1)求证：是的切线； (2)设，当时，求的值． 17．（2025·辽宁锦州·二模）如图，内接于是的直径，射线相交于点于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 18．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在等腰三角形中，，，于点，是的外接圆，交的延长线于点． (1)判断并说明与的位置关系； (2)当，时，求弧与弦所围成的弓形面积（阴影部分）． 19．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在中，，为边上一点，，是的外接圆，为的直径，连接． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的直径． 20．（2025·辽宁营口·二模）如图，是的内接三角形，，弦，，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分面积． 21．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接，，取的中点，连接，交于点． (1)与的位置关系是_____________； (2)当点在线段上运动时，求证：； (3)若，直接写出点到直线的距离的最小值． ( 题型0 4 )正多边形和圆、弧长和扇形面积 1．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，点在边上，以为直径作的经过边上的点，连接，平分， (1)求证：是的切线； (2)，，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，交边于点，求图中，，，．围成的阴影部分的面积． 2．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，以为直径的与交于点． (1)尺规作图：作出劣弧的中点，过点作，连接并延长，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示） 3．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在等腰三角形中，，，于点，是的外接圆，交的延长线于点． (1)判断并说明与的位置关系； (2)当，时，求弧与弦所围成的弓形面积（阴影部分）． 4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形中，，，平分，交于点，以为直径的经过的中点． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 5．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，为半径，点B在上，，连接交于点D，． (1)求证：是的切线； (2)若 ，求 的长． 6．（2025·辽宁沈阳·二模）已知：如图，内接于，点为上一点，连接，其中经过圆心的延长线交射线于点，若． (1)求证：是切线； (2)若，求的长． 7．（2025·辽宁丹东·二模）已知：如图，四边形是的内接四边形，是的直径，过点作的切线，交延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 圆 题型概览 题型01 圆的基本认识、垂径定理 题型02 圆心角、圆周角 题型03 点、直线、圆的位置关系 题型04 正多边形和圆、弧长和扇形面积 ( 题型01 )圆的基本认识、垂径定理 1．（2025·辽宁营口·二模）如图，的直径垂直于弦，垂足为，弦，则长为（   ） A．8 B．10 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，垂径定理的应用，先证明，连接，结合题意，则，再利用勾股定理进一步计算即可． 【详解】解：∵的直径垂直于弦，垂足为，弦， ∴， 如图，连接， ∵，， ∴，则， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：D 2．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在矩形中，，点F为边上一点，，以点A为圆心，长为半径的圆交于点E，点P为上运动，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、圆的基本概念辨析、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，最短线段问题等知识，将求的最小值转化为求线段的长是解题关键． 在上截取，连接、、，过点K作于点H，则四边形是矩形．由勾股定理得，证明出，得到，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，在上截取，连接、、，过点K作于点H，则四边形是矩形． ，， ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ． ． ，， ． 故的最小值为． 故答案为：． 3．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，以为直径的与交于点． (1)尺规作图：作出劣弧的中点，过点作，连接并延长，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示） 【答案】(1)见解析；(2) 【难度】0.65 【知识点】作已知线段的垂直平分线、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、求弓形面积 【分析】（1）作的垂直平分线交于一点，即为点E，再过点A作一个等于的角，然后连接并延长，交于点M，即可作答． （2）先由垂径定理得，根据圆周角定理得出，再结合勾股定理得出，算出，然后根据代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，作图如图所示． ； （2）解：由（1），得， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴． ∴， ∴． 如图，连接，过点O作于点H． 则， ∴， ， ∴， ， ， 则． 【点睛】本题考查了作一个已知角以及圆周角定理，垂径定理，扇形面积，勾股定理，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，为上一点，作半圆切于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若半圆的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质证明、利用垂径定理求值、切线的性质定理、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查平行线的判定、切线的性质、等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉圆的性质和相似三角形的性质． （1）连结，则，即可得，有，结合半径相等得，即可得结论； （2）作于得，由平行得，即可判定，则，即可解得． 【详解】（1）解：证明：如图连接， ∵与相切于点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）如图1，过点作于， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得， 即长为． 5．（2025·辽宁抚顺·二模）利用素材解决问题： 《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽度（如图1），称为跨度，桥面最高点到的距离，称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度，拱高． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 任务一 ①如图2，设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径．（点为圆心，，交于点，交于点D．） ②设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图3所示的平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式． 任务二 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，，通过计算，我们确定：设计成圆弧型拱桥，货船可以顺利通过．如果设计成抛物线型，货船能否顺利通过？请写出结论并说明理由． 【答案】任务一：①圆弧所在圆的半径为；②抛物线的解析式为； 任务二：货船不能顺利通过抛物线型拱桥，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数)、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理的应用，掌握建模的数学思想是解题关键． 任务一：①，设的半径为，利用垂径定理，可得，然后在中利用勾股定理求出即可；②设抛物线的解析式为，代入 点和点即可求出抛物线式； 任务二：在抛物线型拱桥中，把代入，利用求出的值即可判断． 【详解】解：任务一：①设计成圆弧形，设的半径为， ，交于点，交于点 ， 在中， ， 解得：． 答：圆弧所在圆的半径为. ②设计成抛物线型 设抛物线的解析式为， 抛物线经过点和点 解得 抛物线的解析式为. 任务二：货船不能顺利通过抛物线型拱桥．在抛物线型拱桥中 当时，， 货船不能顺利通过抛物线型拱桥. ( 题型0 2 )圆心角、圆周角 1．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，、为的半径，过点作于点，交于点，连结，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了圆周角定理．由圆周角定理求得，再利用余角的性质求解即可． 【详解】解：∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（2025·辽宁本溪·二模）如图，在中，点是的中点，点在上，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、圆周角定理 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，弧，弦，圆心角之间的关系，先证明，再结合点是的中点，进一步可得答案. 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； 故选：B 3．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，，是的直径，E是的中点，，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】三线合一、利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆周角定理 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三线合一性质，弧与圆心角之间的关系，先由三线合一得到，再证明得到，则由圆周角定理可得． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、垂径定理的推论、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题主要考查了垂径定理的推理，弧与弦之间的关系，勾股定理和三角形中位线定理，根据，得到，则由，证明为的中位线，得到，则可求出，利用勾股定理求出，即可利用勾股定理求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，点M为的中点， ∵点O为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵的半径是6， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 5．（2025·辽宁大连·二模）如图，是的直径，点在上，是的切线，，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)；(2) 【难度】0.65 【知识点】特殊三角形的三角函数、切线的性质和判定的综合应用、同弧或等弧所对的圆周角相等、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查切线的性质，弧、弦、圆心角的关系，弧长公式等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接,证明，得，由可得，由可得，从而可证，即可得出结论； （2）作，垂足为，证明四边形为矩形，得出，再求出，最后根据弧长公式求出的长即可． 【详解】（1）解：连接，如图， 是的切线， ， ． ，垂足为， ， ． ， ， ， ， ， ， ． ， ． ． （2）解：作，垂足为． ． 四边形为矩形． ． 在中，， ． 的长为． 6．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，为的外接圆，为的直径，交边于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析；(2) 【难度】0.65 【知识点】公式法解一元二次方程、等边对等角、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）连接、，根据同弧所对的圆周角相等，得到，再根据等边对等角的性质，得到，进而得到，再根据圆周角定理证明即可； （2）设的半径为，则，由（1）可得，，根据相似三角形对应边成比例，得到关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接、， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ， （2）解：设的半径为，则，， ，， ，， 由（1）可知，，， ，， ， ， 整理得：， 解得：或（舍）， 即的半径为． 7．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，以为直径的与的边交于点D，且，M是下方半圆上的一动点，连接，，与交于点N． (1)如图1，若，，求的值． (2)如图2，若N是的中点，的平分线交于点E，交于点F．求证：． 【答案】(1)；(2)见解析 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90度可得出，即可得出，结合已知条件可得出，根据勾股定理得出，由等弧所对的圆周角相等可得出，再根据正切的定义求解即可． （2）过点作于点．由垂径定理进一步证明，由相似三角形的性质得出，再证明，进一步即可得出． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点． ∵是的中点，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ， ． ， 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角等于90度，等弧所对的圆周角相等，正切的定义，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 8．（2025·辽宁本溪·二模）如图，已知是的直径，是上一点，是的切线，且于点，延长交于点，连接交于点，连接，，． (1)求的长度； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1)；(2) 【难度】0.4 【知识点】解直角三角形的相关计算、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】（1）先由圆周角定理求出相关圆周角与圆心角度数，再由圆的性质得到是等边三角形，从而得到，，再结合切线性质、垂直定义得到相关角度，在中，由含的直角三角形性质得到，在中，解直角三角形即可得到答案； （2）在中，由直角三角形两锐角互余得到，进而判断是等边三角形，再由两个三角形全等的判定与性质得到，从而得到，由扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，则， ， 是等边三角形， ，， 是的切线， ， ， ， ， ， 在中，，，， ， 是的直径， ， 在中，， ， ； （2）解：在中，，，则， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 如图所示： ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及圆周角定理、圆的基本性质、等边三角形的判定与性质、切线性质、含的直角三角形性质、直角三角形两锐角互余、解直角三角形、两个三角形全等的判定与性质、扇形面积公式等知识．熟练掌握相关几何性质是解决问题的关键． ( 题型0 3 )点、直线、圆的位置关系 1．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，由圆内接四边形性质得，即可求解；掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形为的内接四边形， ， ， 故选：A． 2．（2025·辽宁铁岭·二模）《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．甲乙二人俱在干地，乙东行三百二十步而立，甲南行六百步望见乙，问径几里？”意思是：如图，中，步，步，是的内切圆，切点为，，，求的直径．根据题意，的直径是（    ） A．200步 B．240步 C．280步 D．320步 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】本题主要考查了三角形内切圆、勾股定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握三角形内切圆的性质是解题关键．首先根据勾股定理解得，设内切圆的半径为，根据三角形面积公式求得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵中，步，步，， ∴步， 设内切圆的半径为， ∵， ∴， 解得， ∴内切圆的直径是240步． 故选：B． 3．（2025·辽宁辽阳·二模）如图，内接于，是的直径，过点C作的切线交的延长线于点D，过点O作的垂线交于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、圆周角定理、切线的性质定理、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，利用切线的性质可得，即可证明，即可解答； （2）证明，则可得，再解直角三角形求得半径，利用弧长公式即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，弧长公式等知识点，熟练根据切线，作出辅助线是解题的关键． 4．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，内接于是的直径，是弧的中点，过点作的切线分别交，的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接．证明是等腰直角三角形得．由是的切线得，求出，然后证明可得即可证明结论； （2）证明得，证明得，求出，再求出，代入比例式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵是的中点， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵ ∴ （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键． 5．（2025·辽宁丹东·二模）已知：如图，四边形是的内接四边形，是的直径，过点作的切线，交延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【难度】0.65 【知识点】切线的性质定理、已知圆内接四边形求角度、求弧长 【分析】（1）根据等边对等角和平行线的性质，推出，求得根据切线性质知道，据此即可证明； （2）设，根据平行线的性质，求得，再根据三角形内角和，推出，根据圆内接四边形的性质，推出，据此列式，求得，再根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴的长． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角、弧、弦三者的关系，圆周角的定理及推论，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆的内接四边形的性质，弧长公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 6．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形中，，，平分，交于点，以为直径的经过的中点． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、求弧长 【分析】对于（1），连接，先说明，再根据线段垂直平分线的性质得，然后根据平行线的性质和角平分线的定义得，可得，再根据说明，即可得出答案； 对于（2），连接，根据中位线的性质得，根据平行线的性质求出，最后根据弧长公式得出答案. 【详解】（1）证明：如图，连接， 为直径， ， . 为的中点, ， ， . 平分， ， ， ， ， . ， ， ， . 为直径, 与相切. （2）解：如图，连接， 为的中点，为的中点， ，. ， . ， . ， ， ， ， . 【点睛】本题主要考查了切线的证明，平行线的性质，中位线的性质，弧长公式，线段垂直平分线的性质等，准确作出辅助线是解题的关键. 7．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，为半径，点B在上，，连接交于点D，． (1)求证：是的切线； (2)若 ，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、证明某直线是圆的切线、求弧长 【分析】（1）根据等边对等角得出，结合已知和圆周角定理可得，根据三角形内角和定理可求出，，根据平行线的性质可得，最后根据切线的判定即可得证； （2）根据等边对等角和平行线的性质可得出，结合由（1）中，可求出，根据圆周角定理求出，在中，根据勾股定理可求出，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，弧长公式等知识，明确题意，添加合适辅助线，求出是解题的关键． 8．（2025·辽宁沈阳·二模）数学活动课上，在学生们学习了圆的切线判定定理之后，老师提出了一个问题： 已知：如图，以线段为直径的半和延长线上一点P．你能利用尺规作过点P的半切线吗？ 向阳小组讨论出一种作切线的方法：如图， ①分别以点P和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点； ②作直线，交线段于点； ③以点为圆心，的长为半径作，与半相交于点Q； ④作直线 ∴直线即是所求作的切线． (1)根据上述作法，求证：是半的切线； (2)过点Q作于点C，若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）根据圆周角定理得到，即，根据切线的判定定理得到结论； （2）由（1）知，根据勾股定理求出，根据等积法求出，根据勾股定理求出，求出，，得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）知， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，三角形面积计算，掌握切线的判定是解题的关键． 9．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，点在边上，以为直径作的经过边上的点，连接，平分， (1)求证：是的切线； (2)，，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，交边于点，求图中，，，．围成的阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质证明、证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积 【分析】本题主要考查了切线的判定，求不规则图形面积，角平分线的定义和等边对等角，熟知圆的相关知识是解题的关键。 （1）连接，由角平分线的定义和等边对等角可证明，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）求出，根据题意可得扇形和扇形的面积之和等于圆心角度数为90度，半径为2的扇形面积，再根据列式计算即可。 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的半切线； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 由题意得，扇形和扇形的半径相同，且， ∴扇形和扇形的面积之和等于圆心角度数为90度，半径为2的扇形面积， ∴。 10．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，为的直径，是的一条弦，D为弧的中点，过点D作，垂足为的延长线上的点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)延长交的延长线于F，若，求直径的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【难度】0.65 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，根据等边对等角得出，根据D 是弧的中点，可得，等量代换得出，推出，结合得出，即可证明是的切线； （2）先利用三角函数和勾股定理解求出，再证，求出． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵D 是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：在 中，∵，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角函数解直角三角形、勾股定理等，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 11．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，为的直径，点为上一点，连接并延长至点，使连接，过点作的切线交的延长线于点，交与点． (1)求证：⟂； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，切线的性质，中位线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接，根据中位线的性质可得，根据切线的性质得出，即可得证； （2）连接，解，得出，进而得出，证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接 ∵， ∴ ∵是的切线 ∴ ∴ （2）解：如图，连接， ∵是直径， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴即 解得： 12．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在菱形中，以为直径作与交于点E，在上取一点F，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、根据菱形的性质与判定求线段长、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90度可得出，进而可得出，由菱形的性质得出，再证明，由全等三角形的性质得出，再利用菱形的性质得出，进一步即可得证明是的切线． （2）由全等三角形的性质得出，由菱形的性质设，则，根据勾股定理求出，再由菱形的性质得出，再根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接，， ∵是的直径， ， ∵四边形为菱形， ∴平分， ． ， ∵四边形为菱形， ， ， ， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）知：， ， ， ． ∵四边形为菱形， ， 设，则， ， ． ∴． ∵四边形为菱形， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角等于90度，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证明某直线是圆的切线，勾股定理等知识，掌握这些判定定理和性质是解题的关键． 13．（2025·辽宁沈阳·二模）已知：如图，内接于，点为上一点，连接，其中经过圆心的延长线交射线于点，若． (1)求证：是切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的判定和性质、圆周角定理、证明某直线是圆的切线、求弧长 【分析】（1）连接，根据是的直径，得出，直角三角形两锐角互余得出，根据等边对等角可得出，由等弧所对的圆周角相等得出，等量代换可进一步得出，进一步即可得出答案． （2）求出，证明为等边三边形，得到，根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解： ∵， ∴， ， 为等边三边形，， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，弧长公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． 14．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，连接交于点，以为邻边，为对角线，构造与的延长线相交于点，已知． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、由平行截线求相关线段的长或比值、已知正切值求边长 【分析】本题主要考查了圆的切线的证明、正切的定义、平行四边形的判定与性质、平行等分线段定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图，连接．由圆周角定理可得，再根据邻补角的定义以及等边对等角可得，然后根据平行线四边形的性质以及三角形内角和定理可得即可证明结论； （2）由已知条件易得，进而得到、，再根据圆的相关定义可得．由平行线的性质可得，由平行线等分线段定理可得， 解得，即；再根据平行四边形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． 是的直径， ． ． ， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 是的半径， 是的切线． （2）解：， ． 在中，， ， ， ． 四边形是平行四边形 ， ， ， ， ． 四边形是平行四边形， ． 15．（2025·辽宁铁岭·二模）如图1，是的直径，是 的弦，点是 的中点，连接，与交于点，点在的延长线上，满足． (1)求证：为 的切线． (2)如图2，连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接，，根据等腰三角形的性质得到，，再根据，可得，于是得到结论； （2）连接，，设的半径为，根据勾股定理可得，即，在证得，可得，在根据勾股定理可求得的值． 【详解】（1）证明：连接，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴为 的切线． （2）解：连接，， ∵，， ∴， ∵为 的切线， ∴， 设的半径为， 在中，，即， 解得：， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 在中，，即， 解得：（负值舍去）． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线，熟练应用以上性质和定理是解题的关键． 16．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，中，为对角线，且，的外接圆交边于点E． (1)求证：是的切线； (2)设，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接并延长交于点，连接，易得垂直平分，根据平行四边形的性质，得到，进而得到，即可得证； （2）等边对等角求出的度数，平行线的性质，推出，等边对等角，求出的度数，圆内接四边形的内对角互补，求出的度数，进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接，则：， ∵， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线 （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 作平分交于点，作于点，则：， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 17．（2025·辽宁锦州·二模）如图，内接于是的直径，射线相交于点于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】圆周角定理、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接并延长交于点H，由题意得点O在垂直平分线上，易证，推出，结合，推出，即可证明； （2）连接，证明，求出，再证明，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点H， ∵内接于， ∴点O在垂直平分线上， ∴，， ∴，即， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵是的直径， ∴，即， 由（1）知，即， ∴， 由（1）知， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查切线的判定定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确作辅助线，构造三角形相似，熟练运用所学知识． 18．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在等腰三角形中，，，于点，是的外接圆，交的延长线于点． (1)判断并说明与的位置关系； (2)当，时，求弧与弦所围成的弓形面积（阴影部分）． 【答案】(1)直线与的位置关系是相切，理由见解析； (2)． 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的判定和性质、圆周角定理、证明某直线是圆的切线、求弓形面积 【分析】（）连接，由等腰三角形三合一定理可得，故有，所以为的直径，从而得到是中位线，则，得到，最后由切线的判定即可求证； （）连接，过作于点，证明是等边三角形，则有，，，然后根据直角三角形的性质可得，，，，最后通过弓形面积为即可求解． 【详解】（1）解：直线与的位置关系是相切，理由： 连接， ∵，， ∴， ∴， ∴为的直径， ∴， ∴是中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2）解：如图，连接，过作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴弓形面积为 ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，扇形面积，等边三角形的判定与性质，切线的判定，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 19．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在中，，为边上一点，，是的外接圆，为的直径，连接． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定及其性质、勾股定理的应用，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握所学知识并正确作辅助线构造三角形． （1）根据等腰三角形的性质以及圆周角定理可得，即可求证； （2）作于点，根据等腰三角形的性质可得，．然后根据勾股定理可得，的长，然后根据，即可求解． 【详解】（1）证明：， ． ， ． ． ， ． 是的直径， ． ． ． 即， 又是的半径， 是的切线． （2）解：作于点， ，． ，， ， ∴，． 在中，， 根据勾股定理得：， ． ，， ． ． 即， ． 20．（2025·辽宁营口·二模）如图，是的内接三角形，，弦，，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.4 【知识点】圆周角定理、证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，先证明，，可得，结合，，证明，进一步可得结论； （2）过点作于点，证明，求解，证明是等边三角形，结合是的中位线，可得，求解，，，结合阴影部分面积，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 为半径， 是的切线． （2）解：过点作于点， ， ， 是的直径， ， ， 是等边三角形， ，， ， 是的中点， 是中点， 是的中位线， ， 在中，， ， ， ， ，， ， ， ， 阴影部分面积 ； 阴影部分面积． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，弧，弦，圆心角之间的关系，圆的内接四边形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，求解扇形的面积，作出合适的辅助线是解本题的关键． 21．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接，，取的中点，连接，交于点． (1)与的位置关系是_____________； (2)当点在线段上运动时，求证：； (3)若，直接写出点到直线的距离的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.15 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由等腰直角三角形性质、结合旋转性质得到相关角度、线段关系，再由两个三角形全等的判定与性质即可得证； （2）延长到点，使，连接，如图所示，先由全等三角形的判定定理得到，进而由全等性质及平行性质得到边与角的关系，从而由两个三角形全等的判定定理得到，再由全等三角形性质及两角互余即可得证； （3）取的中点，过点作垂足为，作垂足为，如图所示，先判断，进而得到四边形为矩形，在和中，解直角三角形求出，结合点在以为直径的上，当点在线段上时，点到直线的距离最小，求出即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，，， ， 将绕点逆时针旋转得到线段， ，， ，， ， 在和中， ， ，则， ， 故答案为：； （2）证明：延长到点，使，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：取的中点，过点作垂足为，作垂足为，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴ 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵长度不变， ∴点在以为直径的上，当点在线段上时，点到直线的距离最小，此时， ∴点到直线的距离的最小值为． 【点睛】本题考查几何综合，综合性强、难度较大，涉及等腰直角三角形性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质、平行线判定与性质、直角三角形的判定、矩形的判定与性质、解直角三角形、动点最值问题-辅助圆等知识，熟记相关几何判定与性质、全等三角形的判定与性质及动点最值问题-辅助圆问题的解法是解决问题的关键． ( 题型0 4 )正多边形和圆、弧长和扇形面积 1．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，点在边上，以为直径作的经过边上的点，连接，平分， (1)求证：是的切线； (2)，，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，交边于点，求图中，，，．围成的阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了切线的判定，求不规则图形面积，角平分线的定义和等边对等角，熟知圆的相关知识是解题的关键。 （1）连接，由角平分线的定义和等边对等角可证明，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）求出，根据题意可得扇形和扇形的面积之和等于圆心角度数为90度，半径为2的扇形面积，再根据列式计算即可。 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的半切线； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 由题意得，扇形和扇形的半径相同，且， ∴扇形和扇形的面积之和等于圆心角度数为90度，半径为2的扇形面积， ∴。 2．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，以为直径的与交于点． (1)尺规作图：作出劣弧的中点，过点作，连接并延长，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用垂径定理求值、求弓形面积、作已知线段的垂直平分线、用勾股定理解三角形 【分析】（1）作的垂直平分线交于一点，即为点E，再过点A作一个等于的角，然后连接并延长，交于点M，即可作答． （2）先由垂径定理得，根据圆周角定理得出，再结合勾股定理得出，算出，然后根据代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，作图如图所示． ； （2）解：由（1），得， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴． ∴， ∴． 如图，连接，过点O作于点H． 则， ∴， ， ∴， ， ， 则． 【点睛】本题考查了作一个已知角以及圆周角定理，垂径定理，扇形面积，勾股定理，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在等腰三角形中，，，于点，是的外接圆，交的延长线于点． (1)判断并说明与的位置关系； (2)当，时，求弧与弦所围成的弓形面积（阴影部分）． 【答案】(1)直线与的位置关系是相切，理由见解析； (2)． 【难度】0.65 【知识点】证明某直线是圆的切线、求弓形面积、等边三角形的判定和性质、圆周角定理 【分析】（）连接，由等腰三角形三合一定理可得，故有，所以为的直径，从而得到是中位线，则，得到，最后由切线的判定即可求证； （）连接，过作于点，证明是等边三角形，则有，，，然后根据直角三角形的性质可得，，，，最后通过弓形面积为即可求解． 【详解】（1）解：直线与的位置关系是相切，理由： 连接， ∵，， ∴， ∴， ∴为的直径， ∴， ∴是中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2）解：如图，连接，过作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴弓形面积为 ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，扇形面积，等边三角形的判定与性质，切线的判定，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，四边形中，，，平分，交于点，以为直径的经过的中点． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明某直线是圆的切线、求弧长、与三角形中位线有关的求解问题、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】对于（1），连接，先说明，再根据线段垂直平分线的性质得，然后根据平行线的性质和角平分线的定义得，可得，再根据说明，即可得出答案； 对于（2），连接，根据中位线的性质得，根据平行线的性质求出，最后根据弧长公式得出答案. 【详解】（1）证明：如图，连接， 为直径， ， . 为的中点, ， ， . 平分， ， ， ， ， . ， ， ， . 为直径, 与相切. （2）解：如图，连接， 为的中点，为的中点， ，. ， . ， . ， ， ， ， . 【点睛】本题主要考查了切线的证明，平行线的性质，中位线的性质，弧长公式，线段垂直平分线的性质等，准确作出辅助线是解题的关键. 5．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，为半径，点B在上，，连接交于点D，． (1)求证：是的切线； (2)若 ，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】圆周角定理、证明某直线是圆的切线、用勾股定理解三角形、求弧长 【分析】（1）根据等边对等角得出，结合已知和圆周角定理可得，根据三角形内角和定理可求出，，根据平行线的性质可得，最后根据切线的判定即可得证； （2）根据等边对等角和平行线的性质可得出，结合由（1）中，可求出，根据圆周角定理求出，在中，根据勾股定理可求出，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，弧长公式等知识，明确题意，添加合适辅助线，求出是解题的关键． 6．（2025·辽宁沈阳·二模）已知：如图，内接于，点为上一点，连接，其中经过圆心的延长线交射线于点，若． (1)求证：是切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【难度】0.65 【知识点】圆周角定理、证明某直线是圆的切线、等边三角形的判定和性质、求弧长 【分析】（1）连接，根据是的直径，得出，直角三角形两锐角互余得出，根据等边对等角可得出，由等弧所对的圆周角相等得出，等量代换可进一步得出，进一步即可得出答案． （2）求出，证明为等边三边形，得到，根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解： ∵， ∴， ， 为等边三边形，， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，弧长公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． 7．（2025·辽宁丹东·二模）已知：如图，四边形是的内接四边形，是的直径，过点作的切线，交延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【难度】0.65 【知识点】切线的性质定理、求弧长、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）根据等边对等角和平行线的性质，推出，求得根据切线性质知道，据此即可证明； （2）设，根据平行线的性质，求得，再根据三角形内角和，推出，根据圆内接四边形的性质，推出，据此列式，求得，再根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴的长． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角、弧、弦三者的关系，圆周角的定理及推论，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆的内接四边形的性质，弧长公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$