专题13 几何综合题-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编（辽宁专用）

专题13 几何综合题 题型概览 题型01 三角形与四边形 题型02 圆 ( 题型01 )三角形与四边形 1．（2025·辽宁盘锦·二模）发现问题 （1）如图1，在中，，点为线段上的点，，则和的数量关系是_______； 应用问题 （2）在中，，点在线段上，点在的延长线上，点，点在线段同侧，，将线段绕点旋转使点的对应点落在线段上，且． ①如图2，若，求证：； ②如图3，若，，点，点为直线，上的两个动点，，点为的中点，直接写出线段的最小值． 2．（2025·辽宁铁岭·二模）【问题探究】轴对称和旋转是平面几何中图形变化中最重要的两种方式，运用作轴对称图形和旋转的方法可以十分便利的解决一些较困难的几何问题，小智和小慧在学习完这两个部分内容后分别利用不同的方法轻松的解决了一道“网红题”，题目如下：如图①，是等腰直角三角形，，，，求证：； 小智是这样思考的，如图②把沿折叠至，连接，易证，所以，，，在中由勾股定理得：，所以有． 小慧是这样思考的，如图③把绕点A旋转至，连接，易证，所以，，，在中由勾股定理得：，所以有． 【问题迁移】 的直角顶点在菱形的对角线上运动，斜边交于点，且； ①如图1，当，，，则的值为 ．如图2，当，，，则的值为 ． 【问题拓展】 ②如图3，在矩形中，，当时，求证：； ③如图4，在矩形中，，请直接写出线段、、的数量关系． 3．（2025·辽宁铁岭·二模）综合与实践 问题提出 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板，）的一个顶点放在正方形中心处，并绕点逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）． 操作发现 （1）如图1，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为_____；当与垂直时，重叠部分的面积为_____；一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为_____； 类比探究 （2）若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，，分别与正方形的边相交于点M，N． ①如图2，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由； ②如图3，当时，求重叠部分四边形的面积（结果保留根号：）； 拓展应用 （3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心处，该锐角记为（设） 将绕点逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为，请直接写出图2和图3情况下的阴影面积（分别用含的式子表示）． 4．（2025·辽宁沈阳·二模）【问题初探】 如图1，在矩形中，是对角线，平分，交边于点，作，垂足为点，交边于点，交对角线于点． （1）①判断的形状并说明理由； ②求的长； 【问题再探】 （2）如图2，将沿着点到点的方向平移，点，点，点的对应点分别为点，点，点，当点落在边上时，求的长； 【问题拓展】 （3）如图3，在问题（2）中，当点落在边上时，将绕着点旋转一周，点，点的对应点为点，点，当与对角线垂直时，连接，求的面积．（如果只有一种情况，请写出完整过程．如果不只是一种情况，请任选一种情况写出完整过程，其他情况直接写出结果．） 5．（2025·辽宁沈阳·二模）【初步探究】 （1）如图1，中，，点是边上一点，连接，当时，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【变式应用】 （2）如图2，在中，，点是边的中点，过点作的平行线与射线交于点，点在线段上，，点在的延长线上，若，， ①求的长； ②求的度数； 【拓展创新】 （3）如图3，在中，是钝角，过点作交边于点，点为线段的中点，连接，，当，时，请直接写出线段的长． 6．（2025·辽宁沈阳·二模）已知：如图1，，点为射线上一点，连接，将沿翻折得到，作的角平分线，过点作，交于点，直线交于点． (1)如图2，当点与重合时，求四边形的面积； (2)求证：； (3)如图3，点在线段上，，将线段绕点顺时针旋转，点旋转至点，连接，交于点． ①求的长； ②请直接写出的长． 7．（2025·辽宁沈阳·二模）综合与实践 【问题情境】如图1，小明将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F． 【问题解决】（1）当， ①如图2，当点与点D重合时，求的长； ②如图3，若，求的长； 【问题探究】（2）如图4，连接，设与交于点O，当时，求证：平行； 【深入探究】（3）在（2）的情形下，设与交于点P，求三条线段，，之间满足的等量关系． 8．（2025·辽宁本溪·二模）在中，，点D是边的中点，过点D作，过点C作，与交于点E，连接交于点G． (1)如图1，当时，，求证：； (2)如图2，当时，点F是上一点（不与C，D重合），连接，且，连接，若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，当B，F两点之间距离最短时，直接写出的面积． 9．（2025·辽宁葫芦岛·二模）【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师提出如下问题：如图1，在正方形中，E是边上一点（不与点C，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接，求的度数： ①小明同学给出的解题思路是：如图2，在上截取，连接，……； ②小亮同学给出如下解题思路是：如图3，过点F作，交的延长线于点H，……： 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程： 【类比分析】 （2）王老师发现两名同学都是根据图形的特点运用了构造全等的方法，体现了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，王老师提出了下面的问题，请你解答．如图4，在菱形中，，E是边上一点（不与点C，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，作射线交的延长线于点G．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图5，在（2）的条件下，连接交于点M，若，，求的长． 10．（2025·辽宁铁岭·二模）在中，，点在直线上，连接，作．连接，． (1)如图1，若，求证：．小明同学的想法是：在上截取．，连接，通过证明三角形全等，得到对应边相等，即可得出结论．请你按照小明的思路进行证明； (2)若，． ①如图，点在线段上（不包含，两点），求的度数； ②若点在直线上运动，直线，相交于点，当时，求的长． 11．（2025·辽宁铁岭·二模）【问题初探】 （1）如图①，在中，，，点在上（且不与点，重合），在的外部作，使，连接，过点作的平行线交的延长线于点，连接．根据以上操作，判断：四边形的形是___________，___________． 【变换探究】 （2）如图②，将图①中的绕点逆时针旋转，使点落在边上，过点作的平行线，过点作的平行线，它们相交于点，连接，若，求的长． 勤奋小组通过第（1）问的解题经验，尝试连接，猜想为特殊的三角形； 创思小组在勤奋小组的提示下，成功地证明出一对三角形全等，进而求得的长度．请结合两个小组的解题思路，写出解题过程． 【迁移拓展】 （3）如图③博文小组在第（2）问的基础上进行了如下创新，将图①中的绕点顺时针旋转，使点在的右侧，过点作的平行线，过点作的平行线，它们相交于点，连接，并尝试连接．他们发现：若，当四边形为菱形时，可求得的长度．请完成以下问题： ①求的长； ②当点在左侧时，请直接写出的长． 12．（2025·辽宁铁岭·二模）在 中，， ，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，过点作的垂线，交于点，交直线于点，连接． (1)如图1，当时， ①说明线段与的数量关系，并证明； ②探究线段，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，当，时，求线段的长． (3)在线段旋转的过程中，当 时， 的面积为，求线段的长． 13．（2025·辽宁鞍山·二模）如图1，矩形中，，点E是边上一点，连接，以为对称轴将翻折，若点B的对称点是对角线的中点. (1)求n的值； (2)将沿射线的方向平移到，以为对称轴，将四边形沿翻折，点A，B的对称点分别为，. ①如图2，若，点M是边中点，求的长； ②如图3，点N在延长线上，点M在边上，且，与交于点F，判断，的数量关系，并证明. 14．（2025·辽宁丹东·二模）已知，在中，，，将绕点逆时针方向旋转得到，使点的对应点落在边上，射线交于点，连接． 问题初探： （1）如图1，当时，求证：点是的中点； （2）小明在（1）问的条件下继续探究，发现所在直线是的垂直平分线，从而求出的度数，进而得到的度数，因此他说，请你写出小明结论的具体证明过程； 实践探究： （3）如图2，当时，判断，，之间的数量关系，并说明理由；小明认为在的条件下，，也可以写成，所以猜想当时，也成立；小丽在上截取，连接，如图3，通过证明，从而得到小明的结论是正确的． 请你帮助小丽完成证明过程； 问题解决：班级的数学活动小组对上述问题进行研究之后，在原有条件不变的情况下，提出了下面这个问题： （4）若，，直接写出的长．请你直接写出正确答案． 15．（2025·辽宁阜新·二模）【方法初探】 （1）如图，在中，，点，分别在边，上，连接，，，，过点分别作，，，为垂足． ①如图1，当点在边上（点，重合）时，请直接写出的度数； ②如图2，当点在内部时，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在四边形中，，对角线，交于点，，，． ①求证：； ②若，求的长． 16．（2025·辽宁大连·二模）综合与实践 【了解定义】 如图1，在和中，，点在底的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做同位等腰三角形．在同位等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线．图1中和是腰角，线段是轴线． 【探究性质】 小明通过测量、折纸的方法猜想同位等腰三角形有以下性质：同位等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边． 小明利用图1给出已知、求证，请帮助小明完成证明． （1）已知：如图1，和是同位等腰三角形，连接．求证：，直线是线段的垂直平分线． 【辨析理解】 （2）如图2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与相交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是同位等腰三角形． 【拓展应用】 （3）如图3，和是同位等腰三角形，，点在的延长线上，且的延长线与分别交于点，点在上，．若，，求的长． 17．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，点O在上，连接，并延长至点D，使得，，连接，，E是上的一点，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形． (2)如图2，将沿折叠，使点D的对应点F落在上，若，猜想与的数量关系，并加以证明． (3)如图3，将沿折叠，点D的对应点F落在的延长线上，与交于点G． ①求证：． 18．（2022·河南郑州·二模）已知，在中，，点是的中点，点是边上一动点（点不与，，重合），连接，过点、点分别作直线的垂线，垂足分别为点和点，连接，． (1)如图1，当时， ①求证：； ②猜想线段和之间的数量关系和位置关系，并直接写出． (2)如图2，当时，判断上述（1）②中结论线段和之间的数量关系和位置关系是否成立，请证明成立的关系． (3)如图3，当，若，，且是等腰三角形，请直接写出线段的长． 19．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接，，取的中点，连接，交于点． (1)与的位置关系是_____________； (2)当点在线段上运动时，求证：； (3)若，直接写出点到直线的距离的最小值． 20．（2025·辽宁锦州·二模）图形的平移、旋转、轴对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解轴对称的本质，某校《几何原本》社团在一次活动中，以正方形折叠为素材从轴对称的角度进行了如下探究： 在正方形中，为边的中点，为上的两个动点（点在点的左侧），将沿折叠得到，使点的对应点落在线段上． 【初步探究】 （1）如图1，若点在边上， ①探究线段和线段之间的关系，并说明理由； ②连接，当时，求的长； 【拓展应用】 （2）如图2，若点，在射线上，连接，过点作交于点，连接，若，求的面积． ( 题型02 )圆 1．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，内接于是的直径，是弧的中点，过点作的切线分别交，的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，点在边上，以为直径作的经过边上的点，连接，平分， (1)求证：是的切线； (2)，，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，交边于点，求图中，，，．围成的阴影部分的面积． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，为的直径，是的一条弦，D为弧的中点，过点D作，垂足为的延长线上的点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)延长交的延长线于F，若，求直径的长． 4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，连接交于点，以为邻边，为对角线，构造与的延长线相交于点，已知． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 5．（2025·辽宁铁岭·二模）如图1，是的直径，是 的弦，点是 的中点，连接，与交于点，点在的延长线上，满足． (1)求证：为 的切线． (2)如图2，连接，若，求的长． 6．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，中，为对角线，且，的外接圆交边于点E． (1)求证：是的切线； (2)设，当时，求的值． 7．（2025·辽宁锦州·二模）如图，内接于是的直径，射线相交于点于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 8．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在等腰三角形中，，，于点，是的外接圆，交的延长线于点． (1)判断并说明与的位置关系； (2)当，时，求弧与弦所围成的弓形面积（阴影部分）． 9．（2025·辽宁大连·二模）如图，是的直径，点在上，是的切线，，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 10．（2025·辽宁丹东·二模）已知：如图，四边形是的内接四边形，是的直径，过点作的切线，交延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 11．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，为的外接圆，为的直径，交边于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 12．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在中，，为边上一点，，是的外接圆，为的直径，连接． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的直径． 13．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，以为直径的与的边交于点D，且，M是下方半圆上的一动点，连接，，与交于点N． (1)如图1，若，，求的值． (2)如图2，若N是的中点，的平分线交于点E，交于点F．求证：． 14．（2025·辽宁本溪·二模）如图，已知是的直径，是上一点，是的切线，且于点，延长交于点，连接交于点，连接，，． (1)求的长度； (2)求阴影部分的面积． 15．（2025·辽宁营口·二模）如图，是的内接三角形，，弦，，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分面积． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 几何综合题 题型概览 题型01 三角形与四边形 题型02 圆 ( 题型01 )三角形与四边形 1．（2025·辽宁盘锦·二模）发现问题 （1）如图1，在中，，点为线段上的点，，则和的数量关系是_______； 应用问题 （2）在中，，点在线段上，点在的延长线上，点，点在线段同侧，，将线段绕点旋转使点的对应点落在线段上，且． ①如图2，若，求证：； ②如图3，若，，点，点为直线，上的两个动点，，点为的中点，直接写出线段的最小值． 【答案】（1）；（2）①见解析；②5 【难度】0.4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、根据旋转的性质说明线段或角相等、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由等腰三角形性质可得，再通过三角形内角和定理可得，，则有，所以，从而求解； （2）①取中点，连接，，通过证明，则有，，结合为斜边的中点，则，故有，然后通过三角形外角的性质和角度和差得出，得出，最后利用等量代换即可证明；②作于点，连接、、，利用等腰三角形的性质和三角函数的知识求出，，利用垂线段最短性质得出当时，有最小值，得到，再利用直角三角形的性质得到，最后利用即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）①证明：如图，取中点，连接，， ∵ ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵为斜边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即； ②解：如图，作于点，连接、、， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴， 由①中的结论得，， 当时，有最小值，此时， ∴， ∵，，点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴当、、三点共线时，有最小值，为， 又∵， ∴， ∴线段的最小值为5． 【点睛】本题考查了旋转的性质、线段最值问题、直角三角形斜边上的中线、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，掌握相关知识点，结合图形构造全等三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何知识储备和推理能力，适合有能力解决几何难题的学生． 2．（2025·辽宁铁岭·二模）【问题探究】轴对称和旋转是平面几何中图形变化中最重要的两种方式，运用作轴对称图形和旋转的方法可以十分便利的解决一些较困难的几何问题，小智和小慧在学习完这两个部分内容后分别利用不同的方法轻松的解决了一道“网红题”，题目如下：如图①，是等腰直角三角形，，，，求证：； 小智是这样思考的，如图②把沿折叠至，连接，易证，所以，，，在中由勾股定理得：，所以有． 小慧是这样思考的，如图③把绕点A旋转至，连接，易证，所以，，，在中由勾股定理得：，所以有． 【问题迁移】 的直角顶点在菱形的对角线上运动，斜边交于点，且； ①如图1，当，，，则的值为 ．如图2，当，，，则的值为 ． 【问题拓展】 ②如图3，在矩形中，，当时，求证：； ③如图4，在矩形中，，请直接写出线段、、的数量关系． 【答案】【问题迁移】①，；【问题拓展】②见解析；③ 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了等腰直角三角形，正方形，菱形，矩形的性质，勾股定理和方程思想，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，灵活掌握轴对称和旋转的辅助线作法是解题关键，难度较大． 【问题迁移】①先求出，设，则，由题意可得，根据其列方程求解即可得；如图2所示，把绕点逆时针旋转至，连接，先求出，，，则，作，，，从而，在中，建立勾股方程即可求解； 【问题拓展】②证明：如图3所示，延长、交于点，将顺时针旋转至，易知，连接、．因为，所以，再导边证明，得，从而，易证，故，在中，由勾股定理得，再进行等量代换即可证得； ③如图4所示，将绕点旋转至，并使得，易证，作，易证，从而，可知，再证明，得，所以，即. 【详解】①解：由【问题探究】可得， ∵， ∴， 设，则， 即，解得， 如图2所示，把绕点逆时针旋转至，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，设，则， 作， ∴， ∴， ∴， 易证，则， 在中，， 即，解得， 故答案为：，； ②证明：如图3所示，延长交于点， 将顺时针旋转至， 易知，连接， , , ， 又, , , 即, ， 从而， 易证， 故， 在中，由勾股定理得， 即， 又因为， 故， 即； ③解：如图4所示，将绕点旋转至，并使得， 易证， 作， 易证， 从而，可知， 又∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， 又，即． 3．（2025·辽宁铁岭·二模）综合与实践 问题提出 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板，）的一个顶点放在正方形中心处，并绕点逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）． 操作发现 （1）如图1，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为_____；当与垂直时，重叠部分的面积为_____；一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为_____； 类比探究 （2）若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，，分别与正方形的边相交于点M，N． ①如图2，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由； ②如图3，当时，求重叠部分四边形的面积（结果保留根号：）； 拓展应用 （3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心处，该锐角记为（设） 将绕点逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为，请直接写出图2和图3情况下的阴影面积（分别用含的式子表示）． 【答案】（1）1，1，；（2）是等边三角形，理由见解析；②；（3）， 【难度】0.4 【知识点】根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当与重合时，与重合，此时重叠部分的面积的面积=正方形的面积=1；当与垂直时，，重叠部分的面积=正方形的面积=1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为．利用全等三角形的性质证明即可； （2）①结论：是等边三角形．证明，可得结论； ②如图3中，连接，过点O作于点J．证明，推出，解直角三角形求出，即可解决问题； （3）同（2）的方法解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：当与重合时，与重合，如图所示， 重叠部分的面积； 当与垂直时，，如图所示， 重叠部分的面积； 一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为． 理由：设交于点J，交于点K，过点O作于点M，于点N．如图所示， ∵O是正方形的中心， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1，1，． （2）解：①如图2中，结论：是等边三角形． 理由：过点O作， ∵O是正方形的中心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； ②如图3中，连接，过点O作于点J． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴ ∴ 如图， 同（2）可得 ∴ ∴ ∴． 综上所述，，． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 4．（2025·辽宁沈阳·二模）【问题初探】 如图1，在矩形中，是对角线，平分，交边于点，作，垂足为点，交边于点，交对角线于点． （1）①判断的形状并说明理由； ②求的长； 【问题再探】 （2）如图2，将沿着点到点的方向平移，点，点，点的对应点分别为点，点，点，当点落在边上时，求的长； 【问题拓展】 （3）如图3，在问题（2）中，当点落在边上时，将绕着点旋转一周，点，点的对应点为点，点，当与对角线垂直时，连接，求的面积．（如果只有一种情况，请写出完整过程．如果不只是一种情况，请任选一种情况写出完整过程，其他情况直接写出结果．） 【答案】（1）①等腰三角形，理由见解析；②；（2）；（3）的面积为或 【难度】0.4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定可得结论；②由①得，根据矩形的性质确定，再由等角对等边得出，结合图形即可求解； （2）根据各角之间的关系确定，得出，利用勾股定理得出，利用平移的性质得出，，过点作，结合正切函数及勾股定理求解即可； （3）分两种情况分析：当在点右侧时，当在点左侧时，作出辅助线，利用旋转的性质及正切函数依次求解计算即可． 【详解】解：（1）①为等腰三角形，理由如下： ∵，平分， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴为等腰三角形； ②由①知， ∴， ∵矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，平分， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将沿着点到点的方向平移，点，点，点的对应点分别为点，点，点， ∴，， ∴， ∴， 过点作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当在点右侧时，且与对角线垂直，过点交于点M，如图所示： ∵将绕着点旋转一周，点，点的对应点为点，点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：； 当在点左侧时，且与对角线垂直，过点交于点M，如图所示： 同理得：， ， ∴， ∴， ∴的面积为：， 综上可得的面积为或． 【点睛】题目主要考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，解三角形，旋转的性质，理解题意，作出辅助线分类讨论进行求解是解题关键． 5．（2025·辽宁沈阳·二模）【初步探究】 （1）如图1，中，，点是边上一点，连接，当时，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【变式应用】 （2）如图2，在中，，点是边的中点，过点作的平行线与射线交于点，点在线段上，，点在的延长线上，若，， ①求的长； ②求的度数； 【拓展创新】 （3）如图3，在中，是钝角，过点作交边于点，点为线段的中点，连接，，当，时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2）①； ②；（3） 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明，得成比例线段即可得到； （2）①证明，即可得； ②根据，得，根据，，得， ，证明，进而可求得，，根据勾股定理的逆定理即可证明是直角三角形，证明； （3）作，交的延长线于点，证明，得，设，则，，，由勾股定理得，，进而可得，，证明，得，将已求相关线段的长度代入比例式得方程求解即可． 【详解】解：（1）； 理由：，， ， ， ； （2）①在中，，点是边的中点， ，， ， ， ， ， ； ②， ， ，，，， ， ， ， ， ， ，， ，解得（负值已舍去）， ， ， 是直角三角形， ； （3）作，交的延长线于点， ， ， ， ， 点为线段的中点， 设，则，， ， ， ， ，， ， ， ，， ，， ， ，即， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、勾股定理及其逆定理，熟知相关性质是正确解答此题的关键． 6．（2025·辽宁沈阳·二模）已知：如图1，，点为射线上一点，连接，将沿翻折得到，作的角平分线，过点作，交于点，直线交于点． (1)如图2，当点与重合时，求四边形的面积； (2)求证：； (3)如图3，点在线段上，，将线段绕点顺时针旋转，点旋转至点，连接，交于点． ①求的长； ②请直接写出的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)①；② 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求面积、折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形，折叠的性质，旋转的性质，正方形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，熟知折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，再由平行线的性质得到，据此可证明四边形是正方形，再根据正方形面积计算公式求解即可； （2）由折叠的性质和平行线的性质可得，则，由角平分线的定义和平行线的性质可得，则，据此可证明结论； （3）①由折叠的性质可得，同理可证明，设，由勾股定理得，，解方程即可得到答案；②过点N作于Q，可证明；由旋转的性质可得，则可得到，据此可证明，解得到，解得到，解得到，则可求出，，同理可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵， ∴ ， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴； （2）证明：由折叠的性质可得， ∵， ∴，， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：①由折叠的性质可得， 同理可证明， ∵， ∴可设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴； ②如图所示，过点N作于Q， 由折叠的性质可得， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴ 由（3）①可得， ∴， ∴在中，， ∴在中， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 7．（2025·辽宁沈阳·二模）综合与实践 【问题情境】如图1，小明将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F． 【问题解决】（1）当， ①如图2，当点与点D重合时，求的长； ②如图3，若，求的长； 【问题探究】（2）如图4，连接，设与交于点O，当时，求证：平行； 【深入探究】（3）在（2）的情形下，设与交于点P，求三条线段，，之间满足的等量关系． 【答案】（1）①；②；（2）见详解；（3） 【难度】0.4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】①根据四边形是矩形，，得出，根据折叠可得，，设，则，当点与点D重合时，在中，根据勾股定理列方程即可求解． ②如图3，若，根据矩形的性质得出，勾股定理求出，如图，设与交于点，由折叠得，证明，得出，求出，即可解答． （2）当时，设与交于点，根据四边形是矩形，得出，根据等腰三角形的性质得出，三角形外角的性质求出，由折叠得：，，求出，，，根据，同位角相等，两直线平行，即可证明． （3）如图，过点作于，设交于，由折叠得：，设，根据，求出，根据（2）可得，，解直角三角形表示出，证明四边形是矩形，得出，表示出，解直角三角形求出，，根据直角三角形的性质表示出，，证明，过点作，根据等腰三角形的性质得出，解直角三角形得出，即可表示出，得出． 【详解】（1）①解：∵四边形是矩形，， ∴， 根据折叠可得，， 设， 则， 如图，当点与点D重合时， 在中，， ∴， 解得：， 即． ②如图3，若， ∵四边形是矩形，， ， ， 如图，设与交于点， 由折叠得：， ， ， ， ， ∴， ， ． （2）证明：如图，当时，设与交于点， ∵四边形是矩形， ， ， ， 由折叠得：，， ∴， ∴， ∴， ， ． （3）， 理由如下： 如图，过点作于，设交于， 由折叠得：， 设， ∵， ∴， 根据（2）可得，， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉及知识点多，综合性强，难度较大． 8．（2025·辽宁本溪·二模）在中，，点D是边的中点，过点D作，过点C作，与交于点E，连接交于点G． (1)如图1，当时，，求证：； (2)如图2，当时，点F是上一点（不与C，D重合），连接，且，连接，若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，当B，F两点之间距离最短时，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】（1）根据，得点E在边上，证明，得，根据，即得； （2）过点B作于点H，连接，取中点O，连接，根据线段垂直平分线性质得，得，在和中，证明，由可得，得，得,即得； （3）过点B作于点H，连接，取中点O，连接，根据线段垂直平分线性质得， ，求出，可得是等边三角形，得，得，，,当点F在上时，取得最小值，得，由，得，得，得，由勾股定理得，得，即得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 当时，， ∴点E在边上， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点D是边的中点，即， ∴； （2）证明：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴和中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点B作于点H，连接，取中点O，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴，， ∴， ∴当点F在上时，取得最小值， ∴此时， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故取得最小值时，的面积为． 【点睛】本题考查了三角形综合．熟练掌握线段垂直平分线性质，等腰三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，三角形内角和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，三角形面积，是解题的关键． 9．（2025·辽宁葫芦岛·二模）【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师提出如下问题：如图1，在正方形中，E是边上一点（不与点C，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接，求的度数： ①小明同学给出的解题思路是：如图2，在上截取，连接，……； ②小亮同学给出如下解题思路是：如图3，过点F作，交的延长线于点H，……： 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程： 【类比分析】 （2）王老师发现两名同学都是根据图形的特点运用了构造全等的方法，体现了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，王老师提出了下面的问题，请你解答．如图4，在菱形中，，E是边上一点（不与点C，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到，作射线交的延长线于点G．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图5，在（2）的条件下，连接交于点M，若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）选择小明解题思路，如图，在上截取，使得，连接，证明，推出，据此可求解；选择小亮解题思路：过点F作交的延长线于点H，证明，推出，，据此可求解； （2）在上截取，使得，连接，证明，，得到，求得，利用直角三角形的性质即可证明结论成立； （3），结合直角三角形的性质求得，，得到，在上截取，使得，连接，过点B作，垂足为H，推出，据此求解即可． 【详解】（1）解：小明解题思路：如图，在上截取，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 小亮解题思路：如图，过点F作交的延长线于点H， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，在上截取，使得，连接， ∵四边形是菱形，， ， ， ， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是菱形， ， ， 在中， ， ， ； （3）解：∵四边形是菱形，， ，， ， ， 由（2）知，， ，， ， ， ∴， 在上截取，使得，连接，过点B作，垂足为H， 由（2）知， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是四边形综合、全等三角形的判定与性质、正方形性质、菱形性质、等腰三角形性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等，解题关键是添加辅助线构造全等三角形或相似三角形． 10．（2025·辽宁铁岭·二模）在中，，点在直线上，连接，作．连接，． (1)如图1，若，求证：．小明同学的想法是：在上截取．，连接，通过证明三角形全等，得到对应边相等，即可得出结论．请你按照小明的思路进行证明； (2)若，． ①如图，点在线段上（不包含，两点），求的度数； ②若点在直线上运动，直线，相交于点，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 或 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据题意证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）①过点作于点，设，证明，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解； ②当在线段上时，过点作于点，过点作于点，解，即可求解；当在的延长线上时，过点作于点，过点作于点，证明，进而证明是的中点，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴ 又∵ ∴是等边三角形，则 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ （2）①如图，过点作于点，设， ∵在中，．，， ∴，都是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵， ∴，， 设，则，， ∴， ∴ ∴ ∴ ②解：如图，当在线段上时，过点作于点，过点作于点， ∴ 由①可得 ∴, ∵，， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ 设，则, ∴ ∴ 解得： 在中，； 如图，当在的延长线上时，过点作于点，过点作于点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, 同理可得， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 11．（2025·辽宁铁岭·二模）【问题初探】 （1）如图①，在中，，，点在上（且不与点，重合），在的外部作，使，连接，过点作的平行线交的延长线于点，连接．根据以上操作，判断：四边形的形是___________，___________． 【变换探究】 （2）如图②，将图①中的绕点逆时针旋转，使点落在边上，过点作的平行线，过点作的平行线，它们相交于点，连接，若，求的长． 勤奋小组通过第（1）问的解题经验，尝试连接，猜想为特殊的三角形； 创思小组在勤奋小组的提示下，成功地证明出一对三角形全等，进而求得的长度．请结合两个小组的解题思路，写出解题过程． 【迁移拓展】 （3）如图③博文小组在第（2）问的基础上进行了如下创新，将图①中的绕点顺时针旋转，使点在的右侧，过点作的平行线，过点作的平行线，它们相交于点，连接，并尝试连接．他们发现：若，当四边形为菱形时，可求得的长度．请完成以下问题： ①求的长； ②当点在左侧时，请直接写出的长． 【答案】（1）平行四边形，；（2），过程见解析；（3）①3；②5 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由，，可证四边形是平行四边形；则，由，，可得，，由勾股定理得，，进而可求的值； （2）如图2．连接，证明四边形是矩形，证明，则，，，由勾股定理得求解即可； （3）①证明，则、，设，则、，，，，由，可得，则，证明，则、、，如图②，延长交于点，则，、，由勾股定理得，进而可求；②当点D在左侧时，如图4，连接，记的交点为，易证①，则，，设，则，，由，可知为的外角，即三点共线，证明，则，，，，如图4，记的交点为H，则，、、，进而可求的长． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：平行四边形，． （2）如图①，连接． 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， ， ． ， ， ． ， ， ， ，即， 由勾股定理，得，即的长为． （3）①四边形为菱形， ， ． ， ， ． 设，则， ， ． ∵， ， ． ， ， ， ， ， ． 如图②，延长交于点． ， ， ， ． 在Rt中，由勾股定理，得 ， ②当点D在左侧时，如图4，连接，记的交点为， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 同理①：， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴为的外角，即三点共线， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ， 如图4，记的交点为H， ∵，， ∴， ∴、， 由勾股定理得∶ ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、旋转的性质、菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、余弦、正弦等知识点，熟练运用相关性质定理成为解题的关键． 12．（2025·辽宁铁岭·二模）在 中，， ，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，过点作的垂线，交于点，交直线于点，连接． (1)如图1，当时， ①说明线段与的数量关系，并证明； ②探究线段，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，当，时，求线段的长． (3)在线段旋转的过程中，当 时， 的面积为，求线段的长． 【答案】(1)①，证明见解析；②，证明见解析； (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、三角函数综合 【分析】（1）①由题意可知，垂直平分，利用垂直平分线的性质，可得；②作于点，交于点，先证明为等边三角形，不妨设，，则，可利用勾股定理和解直角三角形，分别表示出，，，，从而得出三者之间关系； （2）先利用勾股定理求得，再证明，从而得到，由（1）可知，，，，，接着在中，利用算得，得到； （3）由（1）可知，时，，同理可证，时，， 由（1）可知，设，，则，，，，过点作，先利用勾股定理，表示出，接着利用，以及，算得、，最后得出；当时，同理可证是等边三角形，先算出，过点作于， 同理可算得，通过，可知不符合题意，综上可得出答案． 【详解】（1）解：①， 证明：将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ， 又， 垂直平分， ； ②， 证明：作于点，交于点，如图所示， 则，， 由①可知， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， 由①可知， 为等边三角形， ； 不妨设，，则 在和中， ，， ， ， ， 在中，， ， ，， ； （2）解：作于点，如图所示： ，，，， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， 由（1）可知，，，，， ， 在中，， ， ， ； （3）解：由（1）可知，时，， 同理可证，时，，如下图所示： 由（1）可知，设，，则，， ，， 过点作，如下图所示： ，， ，， ， 当 时， ， 的面积为，， ， 联立，解得， 此时、重合，、、三点共线，如下图所示： ； 当时，如下图所示： 同理可证是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 过点作于，如图所示： 同理可证， ， 的面积为， ， 不符合题意； 综上：线段的长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，勾股定理，全等三角形的判定与性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，线段的垂直平分线，熟练掌握以上知识点数形结合，作出合适的辅助线是解题的关键． 13．（2025·辽宁鞍山·二模）如图1，矩形中，，点E是边上一点，连接，以为对称轴将翻折，若点B的对称点是对角线的中点. (1)求n的值； (2)将沿射线的方向平移到，以为对称轴，将四边形沿翻折，点A，B的对称点分别为，. ①如图2，若，点M是边中点，求的长； ②如图3，点N在延长线上，点M在边上，且，与交于点F，判断，的数量关系，并证明. 【答案】(1) (2)①；②，证明见解析 【难度】0.4 【知识点】等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半、矩形与折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据矩形的性质结合直角三角形斜边中线的性质可得，再根据折叠的性质得到，易证是等边三角形，推出，再利用正切的定义得到，即可解答； （2）①解：过点作交延长线于点H，由（1）知，解直角三角形求出，，由题意得，由平移的性质得：，求出，，，，由对称的性质得：，，解直角三角形求出，，再求出，利用勾股定理即可求解； ②延长至点，使得，连接，证明，推出，再证明，推出，进而证明，点三点共线，证是直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质即可得出结论. 【详解】（1）解：∵矩形中，， ∴是直角三角形， ∵点是的中点， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴； （2）①解：过点作交延长线于点H， 由（1）知， ∵， ∴，， ∵点M是边中点， ∴， 由平移的性质得：， ∴，， ∴，， 由对称的性质得：，， 在中，，， ∴， 在中，； ②，证明如下： 延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点三点共线， 由折叠的性质得：， ∴是直角三角形， ∵，即点是的中点， ∴. 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解直角三角形，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键. 14．（2025·辽宁丹东·二模）已知，在中，，，将绕点逆时针方向旋转得到，使点的对应点落在边上，射线交于点，连接． 问题初探： （1）如图1，当时，求证：点是的中点； （2）小明在（1）问的条件下继续探究，发现所在直线是的垂直平分线，从而求出的度数，进而得到的度数，因此他说，请你写出小明结论的具体证明过程； 实践探究： （3）如图2，当时，判断，，之间的数量关系，并说明理由；小明认为在的条件下，，也可以写成，所以猜想当时，也成立；小丽在上截取，连接，如图3，通过证明，从而得到小明的结论是正确的． 请你帮助小丽完成证明过程； 问题解决：班级的数学活动小组对上述问题进行研究之后，在原有条件不变的情况下，提出了下面这个问题： （4）若，，直接写出的长．请你直接写出正确答案． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）的长为或． 【难度】0.4 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据直角三角形的性质求得，再由旋转的性质求得，即，据此即可证明点是的中点； （2）先证明垂直平分线，求得，，在中，利用直角三角形的性质即可证明； （3）在上截取，连接，证明，推出，，再证明是等边三角形，得到，据此可证； （4）作于点，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，， ，分两种情况讨论，当是锐角时，可证明，推出，，结合（3）的结论，求解即可；当是钝角时，同理可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∵点落在边上， ∴点是的中点； （2）证明：∵旋转， ∴，，， ∴垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴； （3）证明：在上截取，连接， ∵旋转， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （4）解：作于点， 在中，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 当是锐角时， 则， ∵旋转， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴； 当是钝角时， 则， ∵旋转， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 15．（2025·辽宁阜新·二模）【方法初探】 （1）如图，在中，，点，分别在边，上，连接，，，，过点分别作，，，为垂足． ①如图1，当点在边上（点，重合）时，请直接写出的度数； ②如图2，当点在内部时，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在四边形中，，对角线，交于点，，，． ①求证：； ②若，求的长． 【答案】（1）①；②见解析；（2）①见解析；② 【难度】0.4 【知识点】化为最简二次根式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）①根据垂直的定义及等边对等角求出，再根据三角形的内角和与等边对等角求出，然后根据等边对等角与三角形外角即可得出答案； ②设，根据等腰三角形的性质及三角形内角和得出，根据垂直的定义得出，利用证明，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）①过点作于点，根据垂直的定义及平行线的性质得出，再根据等腰三角形的性质即可得证； ②过点作，交的延长线于点，在的延长线上取点，使，连接，由①可得，，利用易证，再根据全等三角形的性质及垂直平分线的性质可得出，然后两次利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：（1）①，点，重合， ， ， ， ， ； ②， ， 设， ， ， ， ． ， ． ，， ． 在和中， ． ． （2）①过点作于点， ． ， ． ， ． ． ， ． ． ， ． ②过点作，交的延长线于点，在的延长线上取点，使，连接， 由①得，，， ． ． ， ，， ． ，． ． ， ． 垂直平分， ． ． ， ． ． ． 设， ，． 在中，根据勾股定理得：， ． 解得，（舍）， 在中，根据勾股定理得：， ． 答：的长为． 16．（2025·辽宁大连·二模）综合与实践 【了解定义】 如图1，在和中，，点在底的同侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做同位等腰三角形．在同位等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线．图1中和是腰角，线段是轴线． 【探究性质】 小明通过测量、折纸的方法猜想同位等腰三角形有以下性质：同位等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边． 小明利用图1给出已知、求证，请帮助小明完成证明． （1）已知：如图1，和是同位等腰三角形，连接．求证：，直线是线段的垂直平分线． 【辨析理解】 （2）如图2，在中，，点在上，，，垂足为，的延长线与相交于点，点在线段上，且，连接．求证：和是同位等腰三角形． 【拓展应用】 （3）如图3，和是同位等腰三角形，，点在的延长线上，且的延长线与分别交于点，点在上，．若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）利用同位等腰三角形的性质得，得，从而有；再由，结合线段垂直平分线的判定即可证明； （2）作射线交于点．由已知，则．再证明得，即可得证； （3）作，垂足为，过点作的平行线与延长线于点．利用解直角三角形可求得，再利用勾股定理求得；再证明，从而求得；再证明，求得；再证明，由对应边成比例可求得，从而求得最后结果． 【详解】（1）证明：和是同位等腰三角形， ． ， 即． ， 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上． 直线是线段的垂直平分线． （2）证明：如图，作射线交于点． ，垂足为， ． ． ， ． ． ． ， ． ． ， ． ． ． ， ． ． 和是同位等腰三角形． （3）解：如图，作，垂足为，过点作的平行线与延长线于点． ． 和是同位等腰三角形， 垂直平分． 由题意知． 在中，． 在Rt中，，， ． ． ， ． ， ． ， ， ． ． ． 垂直平分， ． ， ． ， ． ． ，， ． ． 即． 解得． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形；题目有一定的难度，构造辅助线并证明三角形全等与相似是解题的关键． 17．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，点O在上，连接，并延长至点D，使得，，连接，，E是上的一点，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形． (2)如图2，将沿折叠，使点D的对应点F落在上，若，猜想与的数量关系，并加以证明． (3)如图3，将沿折叠，点D的对应点F落在的延长线上，与交于点G． ①求证：． ②若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)．证明见解析 (3)①见解析；② 【难度】0.4 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据菱形的性质与判定求线段长、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由已知条件可得出是的垂直平分线，由垂直平分线的性质得出，再结合即可得出，进而可证． （2）延长交于点．由折叠的性质，可得．由菱形的性质可进一步推出， 设，则，得出，证明，由相似三角形的性质即可得出． （3）①由折叠的性质，可得，由等边对等角可得出，再利用菱形的性质得出 ，等量代换可得出，再根据等角对等边可得出． ②延长，交的延长线于点．先证明，由全等三角形的性质得出，再证明，再由全等三角形的性质得出 ，进一步即可得出答案． 【详解】（1）证明：， 是的垂直平分线， ． ， 四边形是菱形． （2）．证明如下： 证明：如图1，延长交于点． 由折叠的性质，可得． 四边形是菱形， ，， ． ， ， ∴设，则， ， ， ， ， ， ， ． （3）①证明：由折叠的性质，可得， ， 四边形是菱形， ， ， ， ． ②如图2，延长，交的延长线于点． ． ， ， ， ， ． 由折叠的性质，可得． 四边形是菱形， ， ， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，综合性较强，掌握这些判定定理和性质是解题的关键． 18．（2022·河南郑州·二模）已知，在中，，点是的中点，点是边上一动点（点不与，，重合），连接，过点、点分别作直线的垂线，垂足分别为点和点，连接，． (1)如图1，当时， ①求证：； ②猜想线段和之间的数量关系和位置关系，并直接写出． (2)如图2，当时，判断上述（1）②中结论线段和之间的数量关系和位置关系是否成立，请证明成立的关系． (3)如图3，当，若，，且是等腰三角形，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①见解析；②，．证明见解析 (2)成立，证明见解析 (3)或 【难度】0.15 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①根据可证明； ②如图1中，延长交于，．由推出，，由推出，，推出，可得是等腰直角三角形，即可得出结论； （2）如图2中，延长交于，首先证明，推出即可解决问题； （3）分两种情形，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质分别求解即可解决问题． 【详解】（1）①证明：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， 在和中 ∴； ②解：，． 证明：如图1，延长交于， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中 ∴； ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，． （2）成立， 证明：如图2，延长交于， ∵，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中 ∴； ∴， ∵是直角三角形， ∴， 即． （3）解：如图3，延长交于，作于， ∵，， ∵，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中 ∴； ∴，， ∴， 在中，， ∴，， ∴，， ∴ ∵是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴和都是直角三角形， 在中，， ∴， ， ∴， ∴， 如图4，当点在线段上时，延长交于，作于， ∵，， ∵，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中 ∴； ∴，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查三角形综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、解直角三角形、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数、平行线的判定和性质、中点的定义等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 19．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接，，取的中点，连接，交于点． (1)与的位置关系是_____________； (2)当点在线段上运动时，求证：； (3)若，直接写出点到直线的距离的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.15 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由等腰直角三角形性质、结合旋转性质得到相关角度、线段关系，再由两个三角形全等的判定与性质即可得证； （2）延长到点，使，连接，如图所示，先由全等三角形的判定定理得到，进而由全等性质及平行性质得到边与角的关系，从而由两个三角形全等的判定定理得到，再由全等三角形性质及两角互余即可得证； （3）取的中点，过点作垂足为，作垂足为，如图所示，先判断，进而得到四边形为矩形，在和中，解直角三角形求出，结合点在以为直径的上，当点在线段上时，点到直线的距离最小，求出即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，，， ， 将绕点逆时针旋转得到线段， ，， ，， ， 在和中， ， ，则， ， 故答案为：； （2）证明：延长到点，使，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：取的中点，过点作垂足为，作垂足为，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴ 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵长度不变， ∴点在以为直径的上，当点在线段上时，点到直线的距离最小，此时， ∴点到直线的距离的最小值为． 【点睛】本题考查几何综合，综合性强、难度较大，涉及等腰直角三角形性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质、平行线判定与性质、直角三角形的判定、矩形的判定与性质、解直角三角形、动点最值问题-辅助圆等知识，熟记相关几何判定与性质、全等三角形的判定与性质及动点最值问题-辅助圆问题的解法是解决问题的关键． 20．（2025·辽宁锦州·二模）图形的平移、旋转、轴对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解轴对称的本质，某校《几何原本》社团在一次活动中，以正方形折叠为素材从轴对称的角度进行了如下探究： 在正方形中，为边的中点，为上的两个动点（点在点的左侧），将沿折叠得到，使点的对应点落在线段上． 【初步探究】 （1）如图1，若点在边上， ①探究线段和线段之间的关系，并说明理由； ②连接，当时，求的长； 【拓展应用】 （2）如图2，若点，在射线上，连接，过点作交于点，连接，若，求的面积． 【答案】（1）①线段和线段之间的关系为：，；理由见详解；②；（2）的面积为或 【难度】0.15 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①由折叠得到，，进而可证明，，根据平行线分线段成比例的性质可得，进而证明是的中位线，即可证明；②连接交于，连接交于点，证明四边形是正方形，进而可证明是的垂直平分线，根据， ， ，设，，在中，根据勾股定理建立方程即可求解； （2）分两种情况：①当点，在边上时，过点作于点，连接，证明，得，由，，得 ，，设，，则，，，，进而可得；，，证明，得，可求，即可求面积；② 点，在射线上时，过点作于点，连接，同法示求 ，即可求面积． 【详解】解：（1）①如图1， 沿折叠得到， ，， 为的中点， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， 是的中位线， ， 综上所述，线段和线段之间的关系为：，； ②如图2， 连接交于，连接交于点， 点，关于对称， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ，， 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 在中，， 设，， 在中，， ， ，即； （2）①如图3， 当点，在边上时，过点作于点，连接， 由（1）知，，， ， ， ， ，， ， ， ， 由（1）知，， ， ， 设，， ，，，， ， 即， ； ， ， ，， ， ， ， ， ， ； ②如图4， 点，在射线上时，过点作于点，连接， 由（1）知，，， ， ， ， ，， ， ， ， 由（1）知，， ， ， 设，， ，，，， ，即， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，涉及轴对称的性质、正方形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、解直角三角形等知识，综合性强，难度较大，熟知相关性质，正确画出图形，结合图形分类讨论是正确解答此题的关键． ( 题型02 )圆 1．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，内接于是的直径，是弧的中点，过点作的切线分别交，的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接．证明是等腰直角三角形得．由是的切线得，求出，然后证明可得即可证明结论； （2）证明得，证明得，求出，再求出，代入比例式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵是的中点， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵ ∴ （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，点在边上，以为直径作的经过边上的点，连接，平分， (1)求证：是的切线； (2)，，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，交边于点，求图中，，，．围成的阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质证明、证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积 【分析】本题主要考查了切线的判定，求不规则图形面积，角平分线的定义和等边对等角，熟知圆的相关知识是解题的关键。 （1）连接，由角平分线的定义和等边对等角可证明，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）求出，根据题意可得扇形和扇形的面积之和等于圆心角度数为90度，半径为2的扇形面积，再根据列式计算即可。 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的半切线； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 由题意得，扇形和扇形的半径相同，且， ∴扇形和扇形的面积之和等于圆心角度数为90度，半径为2的扇形面积， ∴。 3．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，为的直径，是的一条弦，D为弧的中点，过点D作，垂足为的延长线上的点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)延长交的延长线于F，若，求直径的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【难度】0.65 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，根据等边对等角得出，根据D 是弧的中点，可得，等量代换得出，推出，结合得出，即可证明是的切线； （2）先利用三角函数和勾股定理解求出，再证，求出． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵D 是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：在 中，∵，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角函数解直角三角形、勾股定理等，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，连接交于点，以为邻边，为对角线，构造与的延长线相交于点，已知． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、由平行截线求相关线段的长或比值、已知正切值求边长 【分析】本题主要考查了圆的切线的证明、正切的定义、平行四边形的判定与性质、平行等分线段定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图，连接．由圆周角定理可得，再根据邻补角的定义以及等边对等角可得，然后根据平行线四边形的性质以及三角形内角和定理可得即可证明结论； （2）由已知条件易得，进而得到、，再根据圆的相关定义可得．由平行线的性质可得，由平行线等分线段定理可得， 解得，即；再根据平行四边形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． 是的直径， ． ． ， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 是的半径， 是的切线． （2）解：， ． 在中，， ， ， ． 四边形是平行四边形 ， ， ， ， ． 四边形是平行四边形， ． 5．（2025·辽宁铁岭·二模）如图1，是的直径，是 的弦，点是 的中点，连接，与交于点，点在的延长线上，满足． (1)求证：为 的切线． (2)如图2，连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接，，根据等腰三角形的性质得到，，再根据，可得，于是得到结论； （2）连接，，设的半径为，根据勾股定理可得，即，在证得，可得，在根据勾股定理可求得的值． 【详解】（1）证明：连接，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴为 的切线． （2）解：连接，， ∵，， ∴， ∵为 的切线， ∴， 设的半径为， 在中，，即， 解得：， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 在中，，即， 解得：（负值舍去）． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线，熟练应用以上性质和定理是解题的关键． 6．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，中，为对角线，且，的外接圆交边于点E． (1)求证：是的切线； (2)设，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【分析】本题考查切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接并延长交于点，连接，易得垂直平分，根据平行四边形的性质，得到，进而得到，即可得证； （2）等边对等角求出的度数，平行线的性质，推出，等边对等角，求出的度数，圆内接四边形的内对角互补，求出的度数，进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接，则：， ∵， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线 （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 作平分交于点，作于点，则：， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 7．（2025·辽宁锦州·二模）如图，内接于是的直径，射线相交于点于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】圆周角定理、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接并延长交于点H，由题意得点O在垂直平分线上，易证，推出，结合，推出，即可证明； （2）连接，证明，求出，再证明，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点H， ∵内接于， ∴点O在垂直平分线上， ∴，， ∴，即， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵是的直径， ∴，即， 由（1）知，即， ∴， 由（1）知， ∵， ∴平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查切线的判定定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确作辅助线，构造三角形相似，熟练运用所学知识． 8．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在等腰三角形中，，，于点，是的外接圆，交的延长线于点． (1)判断并说明与的位置关系； (2)当，时，求弧与弦所围成的弓形面积（阴影部分）． 【答案】(1)直线与的位置关系是相切，理由见解析； (2)． 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的判定和性质、圆周角定理、证明某直线是圆的切线、求弓形面积 【分析】（）连接，由等腰三角形三合一定理可得，故有，所以为的直径，从而得到是中位线，则，得到，最后由切线的判定即可求证； （）连接，过作于点，证明是等边三角形，则有，，，然后根据直角三角形的性质可得，，，，最后通过弓形面积为即可求解． 【详解】（1）解：直线与的位置关系是相切，理由： 连接， ∵，， ∴， ∴， ∴为的直径， ∴， ∴是中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2）解：如图，连接，过作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴弓形面积为 ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，扇形面积，等边三角形的判定与性质，切线的判定，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 9．（2025·辽宁大连·二模）如图，是的直径，点在上，是的切线，，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、同弧或等弧所对的圆周角相等、切线的性质和判定的综合应用、特殊三角形的三角函数 【分析】本题主要考查切线的性质，弧、弦、圆心角的关系，弧长公式等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接,证明，得，由可得，由可得，从而可证，即可得出结论； （2）作，垂足为，证明四边形为矩形，得出，再求出，最后根据弧长公式求出的长即可． 【详解】（1）解：连接，如图， 是的切线， ， ． ，垂足为， ， ． ， ， ， ， ， ， ． ， ． ． （2）解：作，垂足为． ． 四边形为矩形． ． 在中，， ． 的长为． 10．（2025·辽宁丹东·二模）已知：如图，四边形是的内接四边形，是的直径，过点作的切线，交延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【难度】0.65 【知识点】切线的性质定理、已知圆内接四边形求角度、求弧长 【分析】（1）根据等边对等角和平行线的性质，推出，求得根据切线性质知道，据此即可证明； （2）设，根据平行线的性质，求得，再根据三角形内角和，推出，根据圆内接四边形的性质，推出，据此列式，求得，再根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴的长． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角、弧、弦三者的关系，圆周角的定理及推论，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆的内接四边形的性质，弧长公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 11．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，为的外接圆，为的直径，交边于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】公式法解一元二次方程、等边对等角、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）连接、，根据同弧所对的圆周角相等，得到，再根据等边对等角的性质，得到，进而得到，再根据圆周角定理证明即可； （2）设的半径为，则，由（1）可得，，根据相似三角形对应边成比例，得到关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接、， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ， （2）解：设的半径为，则，， ，， ，， 由（1）可知，，， ，， ， ， 整理得：， 解得：或（舍）， 即的半径为． 12．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在中，，为边上一点，，是的外接圆，为的直径，连接． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定及其性质、勾股定理的应用，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握所学知识并正确作辅助线构造三角形． （1）根据等腰三角形的性质以及圆周角定理可得，即可求证； （2）作于点，根据等腰三角形的性质可得，．然后根据勾股定理可得，的长，然后根据，即可求解． 【详解】（1）证明：， ． ， ． ． ， ． 是的直径， ． ． ． 即， 又是的半径， 是的切线． （2）解：作于点， ，． ，， ， ∴，． 在中，， 根据勾股定理得：， ． ，， ． ． 即， ． 13．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，以为直径的与的边交于点D，且，M是下方半圆上的一动点，连接，，与交于点N． (1)如图1，若，，求的值． (2)如图2，若N是的中点，的平分线交于点E，交于点F．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90度可得出，即可得出，结合已知条件可得出，根据勾股定理得出，由等弧所对的圆周角相等可得出，再根据正切的定义求解即可． （2）过点作于点．由垂径定理进一步证明，由相似三角形的性质得出，再证明，进一步即可得出． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点． ∵是的中点，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ， ． ， 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角等于90度，等弧所对的圆周角相等，正切的定义，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 14．（2025·辽宁本溪·二模）如图，已知是的直径，是上一点，是的切线，且于点，延长交于点，连接交于点，连接，，． (1)求的长度； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、圆周角定理、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先由圆周角定理求出相关圆周角与圆心角度数，再由圆的性质得到是等边三角形，从而得到，，再结合切线性质、垂直定义得到相关角度，在中，由含的直角三角形性质得到，在中，解直角三角形即可得到答案； （2）在中，由直角三角形两锐角互余得到，进而判断是等边三角形，再由两个三角形全等的判定与性质得到，从而得到，由扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，则， ， 是等边三角形， ，， 是的切线， ， ， ， ， ， 在中，，，， ， 是的直径， ， 在中，， ， ； （2）解：在中，，，则， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 如图所示： ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及圆周角定理、圆的基本性质、等边三角形的判定与性质、切线性质、含的直角三角形性质、直角三角形两锐角互余、解直角三角形、两个三角形全等的判定与性质、扇形面积公式等知识．熟练掌握相关几何性质是解决问题的关键． 15．（2025·辽宁营口·二模）如图，是的内接三角形，，弦，，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.4 【知识点】圆周角定理、证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，先证明，，可得，结合，，证明，进一步可得结论； （2）过点作于点，证明，求解，证明是等边三角形，结合是的中位线，可得，求解，，，结合阴影部分面积，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 为半径， 是的切线． （2）解：过点作于点， ， ， 是的直径， ， ， 是等边三角形， ，， ， 是的中点， 是中点， 是的中位线， ， 在中，， ， ， ， ，， ， ， ， 阴影部分面积 ； 阴影部分面积． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，弧，弦，圆心角之间的关系，圆的内接四边形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，求解扇形的面积，作出合适的辅助线是解本题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$