专题12 锐角三角函数-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编（辽宁专用）

专题12 锐角三角函数 题型概览 题型01 锐角三角函数 题型02 解直角三角形及其应用 ( 题型01 )锐角三角函数 1．（2025·辽宁铁岭·二模）在矩形中，，将矩形翻折，使点C落在边的中点G处，点D的对应点为点H，折痕为，则 ． 2．（2025·辽宁盘锦·二模）计算： 3．（2025·辽宁沈阳·二模）计算：； 4．（2025·辽宁沈阳·二模）计算：； 5．（2025·辽宁铁岭·二模）计算：； 6．（2025·辽宁朝阳·二模）计算：； 7．（2025·辽宁丹东·二模）计算：． 8．（2025·辽宁沈阳·二模）计算：； 9．（2025·辽宁沈阳·二模）计算： 10．（2025·辽宁铁岭·二模）计算： ； 11．（2025·辽宁铁岭·二模）计算 12．（2025·辽宁盘锦·二模）计算：． 13．（2025·辽宁营口·二模）计算：； 14．（2025·辽宁鞍山·二模）计算：； ( 题型02 )解直角三角形及其应用 1．（2025·辽宁鞍山·二模）如图1，一组活动衣架由三个菱形组成，其拉伸后形状如图2所示，若菱形的边长为，，则其拉伸后的最大距离的长度大约是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在菱形中，，点O是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接．若菱形的边长是，则的长是（   ） A． B． C．4 D．6 3．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，在上取点，使得，连接；以点为圆心作弧交于点，分别以为圆心，大于的长为半径，在点的异侧作弧交于点，射线交于点，连接，则的长为 ． 4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，，，点是的中点，连接，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点；②作直线交于点，交于点，则的长为 ． 5．（2025·辽宁锦州·二模）如图，在矩形中，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，射线交于点．若，则 ． 6．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，以点为圆心，以为半径画弧，然后分别以弧上一点和点为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，，，．再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，若，则点的坐标为 ． 7．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，是哈尔滨亚布力滑雪场初级赛道截面图，平台长10米，滑道长400米，滑道的坡角，雪场电梯坡角，点B、C、E在同一条直线上，已知，，运动员滑下后从B 点走到C点的速度为50米/分． (1)求雪场电梯的长度． (2)计算运动员从B 点走到C点，所需的时间．（，结果保留整数）． 8．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，为了测量河对岸，两点间的距离，数学综合实践小组在河岸南侧选定观测点，测得A，B均在的北偏东方向上，沿正东方向行走60米至观测点，测得在的北偏西方向上，在的北偏西方向上．求A，B两点间的距离是多少米（精确到个位）？（参考数据：，，，，，，） 9．（2025·辽宁沈阳·二模）为避免伤害器官，医学领域发明了一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离．医疗小组制定方案，通过医疗仪器，采用新型检测技术的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为 测量数据 ， 请你根据方案中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到．参考数据：） 10．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，一艘轮船航行到海上点处时，观察到岸边灯塔在南偏西方向的海里处，岸边另一座灯塔在北偏西70度方向，且直线与直线的夹角，求两座灯塔，之间的距离．（精确到1海里，参考数据：） 11．（2025·辽宁本溪·二模）某实践探究小组想测得校园内一块四边形空地的面积，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表： 实践探究活动记录表 活动内容 测量校园内四边形空地的面积 测量工具 测角仪、皮尺等 测量示意图 相关数据及说明： ，，，为校园内的四栋建筑物的位置，，两栋建筑物之间有一条笔直的小路． 通过测角仪测得，； 利用皮尺测得米，米，米． 任务 求空地四边形的面积． （结果精确到，参考数据：，，，） 12．（2025·辽宁沈阳·二模）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． (1)如图2，在点P观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，求（用含的代数式表示）； (2)如图3，为了测量广场上无人机A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得无人机A的仰角为，为，地面上点B，C，D在同一水平直线上，，求无人机A离地面的高度．（参考数据：） 13．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，某山坡上有一电线杆，垂直于水平地面．为了测量电线杆的高度，小明在C处测得杆顶A的仰角为，向前走到达D处，测得杆顶A和杆底B的仰角分别是和，求电线杆的高度． （参考数据：） 14．（2025·辽宁营口·二模）某学校明正楼前矗立一尊孔子雕像，小刚和小强想知道孔子雕像的高度，于是两人利用一些测量工具进行了测量．小刚站在雕像前，自处测得雕像顶点的仰角为，小强站在明正楼门前的斜坡处，自处测得雕像顶点的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知明正楼门前斜坡的坡角． (1)计算斜坡处的高度的长； (2)求孔子雕像的高度． （参考数据：） 15．（2025·辽宁铁岭·二模）某兴趣小组想利用无人机测量一座塔的高度．如图1，无人机沿着水平线飞行，飞至P点时，测得塔底A的俯角为，此时无人机位于固定点Q 的正上方，Q点到塔底A的距离为150米．如图2，当无人机飞到C点时，测得塔尖B的俯角为，无人机继续向前飞行了52米到达D点，此时测得塔底A的俯角为(已知上述所有点均在同一平面内)． (1)求无人机飞行的高度．(结果保留根号) (2)求塔高．(结果精确到0.1米，参考数据： ， 16．（2025·辽宁沈阳·二模）在公园，巨型雕塑垂直耸立在观赏台上，平行于水平地面．小李在处测得雕塑顶端的仰角为，为了仔细观察，他先从点沿水平方向向左行走米到达点，再经过一段坡度（或坡比）为，坡长为米的斜坡到达点，再沿水平方向向左行走米到达雕塑底部处． (1)求观赏台距离地面的高度； (2)求巨型雕塑的高度（精确到1米）． （参考数据：） 17．（2025·辽宁葫芦岛·二模）项目式学习 项目背景 2025年3月21日，神舟十九号航天员蔡旭哲在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置及舱外辅助设施安装、舱外设备设施巡检等任务．蔡旭哲成为目前在舱外执行任务次数最多的中国航天员．某学校机器人兴趣小组在详细研究了空间站机械臂的结构设计、工作原理和运动控制方式后，绘制了处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图．为了更好地理解此时手臂机器人的工作范围，小组需完成两个任务． 图示及说明 如图所示，是垂直于工作台的移动基座，，为机械臂，，． 任务1 （1）求机械臂端点到工作台的距离的长；（结果精确到） 任务2 （2）求的长．（结果精确到） 参考数据 18．（2025·辽宁铁岭·二模）图1是小明家安装在室外的可收缩式的遮阳棚，图2是它的侧面示意图，其中为可以伸缩的棚布，其最大长度为5m，是可以绕点C旋转的支撑杆，已知，，墙垂直于地面．若太阳光线与水平地面的夹角成照射到E处时，旋转，使得． (1)求此时伸缩棚布的长度； (2)求此时E到墙的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：） 19．（2025·辽宁锦州·二模）图1是某种固定式遮阳棚的结构图，某校数学兴趣小组对其进行实际测量，绘制了如图2所示的横截面示意图，并得到以下数据：遮阳篷的长度为，与墙面的夹角，遮阳棚前端自然下垂边的长度，且靠墙端离地面的高度． (1)求遮阳棚外端点到地面的距离； (2)如图3，若在某一时刻，太阳光线与地面的夹角，求该时刻地面上阴影部分的宽度．（结果精确到．参考数据：， 20．（2025·辽宁鞍山·二模）某景区要在其辖区内的山峰修建索道，经了解，索道夹角在到之间符合工程规范，更为合理和安全．如图，已知该山峰海拔高度为850米，从山脚A测量到山顶B的仰角，距其山顶高度为150米处有平坦的空地适合修建索道终点，且，为了符合工程要求，在距离山脚A高度为100米的点M处修建休闲平台，使得，试求出：的长度是多少时索道符合要求？（结果精确到1米，参考数据：，，，） 21．（2025·辽宁铁岭·二模）图①是教室内的电子白板，其侧面示意图如图②，教室高，投影仪发出的光线的最大夹角，点为投影仪投到墙上的影子的最下端，投影仪的吊杆的长固定为，点固定且．（结果均精确到．参考数据， (1)求投影仪投到墙上的影子的最下端点与地面的距离的长． (2)如图3，将图2中的吊杆顶点向下偏移，，若，的大小无变化，请通过计算说明：此时点的位置与（1）中相比，是上升了还是下降了？ 22．（2025·辽宁丹东·二模）甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B、D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资，甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东方向航行一定距离到达C港，乙货轮沿A港的北偏东方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东方向航行一定距离到达C． (1)求A，C两港之间的距离； (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明（结果保留根号形式）． 23．（2025·辽宁大连·二模）如图，建筑物分别与地面垂直，两建筑物之间的水平距离为，一架无人机以的速度从处起飞，沿射线方向飞行，飞行方向与水平线的夹角为，无人机飞行后到达处，此时从距地面的处观测无人机的仰角为，求处到地面的距离（结果精确到，参考数据：）． 24．（2025·辽宁丹东·二模）图1是某城建部门正在维修路灯的实物图片，可抽象为如图2所示的几何图形，经测量，路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点到地面距离是．（参考数据：） (1)求下折臂的长； (2)求路灯的高．（结果精确到） 25．（2025·辽宁沈阳·二模）东塔为沈阳著名的“四塔四寺”之一．某校无人机社团开展“测量沈阳东塔高度”的实践活动，该社团制定了测量方案，在实地测量后撰写如下活动报告． 活动主题 测量沈阳东塔高度 测量工具 无人机、测角仪、皮尺等 测量示意图 测量步骤 如图，无人机在点A处以的速度垂直上升后至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为．（点A、B、C、D、E均在同一竖直平面内，且点A、E在同一水平线上，）． 相关数据 参考数据：，， 请根据上面的活动报告，求沈阳东塔的高度（结果精确到1m） 26．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在河两岸分别有电视塔和建筑物，从建筑物顶处测得电视塔顶的仰角，从建筑物底处测得电视塔顶的仰角，若建筑物高，求电视塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 27．（2025·辽宁朝阳·二模）如图1是要测量的风力发电机，图2为测量示意图，已知斜坡长为，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离． 数据应用：已知图中点均在同一平面内，．请根据上述数据，求该风力发电机塔杆的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 28．（2025·辽宁葫芦岛·二模）某课外活动小组准备利用光的反射原理来测量居民楼的高度．如图，小组首先利用测角仪从点D处测得居民楼顶端A的仰角为，在测角仪和居民楼之间水平光滑的地面放置一个平面镜，当平面镜位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到居民楼顶端A，此时测得米．已知测角仪的高度米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上． (1)求． (2)求居民楼的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 29．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角，． (1)求的度数； (2)求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据：）． 30．（2025·辽宁沈阳·二模）在中，点D为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边（点，按逆时针方向排序），连接． (1)当时，如图①，求的度数； (2)当时，如图②，求线段的长； (3)当时，求线段长． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 锐角三角函数 题型概览 题型01 锐角三角函数 题型02 解直角三角形及其应用 ( 题型01 )锐角三角函数 1．（2025·辽宁铁岭·二模）在矩形中，，将矩形翻折，使点C落在边的中点G处，点D的对应点为点H，折痕为，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】矩形与折叠问题、求角的正切值 【分析】本题考查了矩形的性质与折叠的性质，锐角三角形函数，把握折叠的不变性是解题的关键． 根据折叠以及得到，再由等角的正切相等即可求解． 【详解】解：连接交于点， 由折叠可得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2025·辽宁盘锦·二模）计算： 【答案】； 【难度】0.85 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、整数指数幂的运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查的知识点是二次根式的化简、整数指数幂、特殊三角函数值、二次根式的混合运算法则，解题关键是熟练掌握相关运算法则．结合二次根式的化简、负整数指数幂、特殊三角函数值、零指数幂逐个列出后，再结合二次根式的混合运算进行求解即可； 【详解】解：原式， ， ； 3．（2025·辽宁沈阳·二模）计算：； 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练运用运算法则以及找到合适的解题方法是解答本题的关键．首先根据负整数指数幂的意义、根式的化简、绝对值的意义、特殊锐角三角函数的值分别求出其值，再依次计算加减即可求出答案； 【详解】 4．（2025·辽宁沈阳·二模）计算：； 【答案】； 【难度】0.85 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂与零指数幂、特殊角的三角函数值的运算、二次根式的混合运算等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算负整数指数幂与零指数幂、特殊角的三角函数值的运算、化简绝对值，再计算乘法与加减法即可得； 【详解】解：原式 ． 5．（2025·辽宁铁岭·二模）计算：； 【答案】 【难度】0.85 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、求一个数的算术平方根、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算、算术平方根、负整数次幂等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．先根据算术平方根、绝对值、负整数次幂、特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可； 【详解】解：      ． 6．（2025·辽宁朝阳·二模）计算：； 【答案】 【难度】0.85 【知识点】实数的混合运算、分式化简求值、特殊三角形的三角函数 【分析】本题主要考查了实数的混合计算，零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键：先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据实数的混合计算法则求解即可； 【详解】解： ； 7．（2025·辽宁丹东·二模）计算：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实数的混合运算、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】此题考查了实数的混合运算和分式的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂、算术平方根等知识进行计算即可； 【详解】解：原式； 8．（2025·辽宁沈阳·二模）计算：； 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实数的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算、特殊三角函数值．解题的关键是牢记相关运算法则、特殊值，并正确求解不等式组．分别计算各项再进行加减运算求解； 【详解】解： 9．（2025·辽宁沈阳·二模）计算： 【答案】 【难度】0.65 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及0指数和负整数指数幂、特殊角的三角函数等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；先计算0指数和负整数指数幂、代入特殊角的三角函数、化简绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可； 【详解】解： 10．（2025·辽宁铁岭·二模）计算： ； 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实数的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算、零指数幂 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，求一个数的绝对值，零指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握各运算法则．利用求一个数的绝对值，零指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值的运算法则逐步计算即可； 【详解】解： ； 11．（2025·辽宁铁岭·二模）计算 【答案】 【难度】0.65 【知识点】特殊三角形的三角函数、负整数指数幂、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是∶根据零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值计算即可； 【详解】解： ； 12．（2025·辽宁盘锦·二模）计算：． 【答案】； 【难度】0.65 【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是：根据负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值计算即可； 【详解】解：原式 ； 13．（2025·辽宁营口·二模）计算：； 【答案】； 【难度】0.65 【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了负整数指数幂，0次幂，绝对值，特殊角的锐角三角函数值，二次根式的混合运算，正确掌握相关内容是解题的关键．先化简负整数指数幂，0次幂，绝对值，特殊角的锐角三角函数值，二次根式的加减，再运算加减法，即可作答． 【详解】解：原式 ； 14．（2025·辽宁鞍山·二模）计算：； 【答案】； 【难度】0.65 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查负整数指数幂公式，零指数幂公式，30度的正弦值．利用负整数指数幂公式，零指数幂公式，30度的正弦值求解即可； 【详解】解：原式； ( 题型02 )解直角三角形及其应用 1．（2025·辽宁鞍山·二模）如图1，一组活动衣架由三个菱形组成，其拉伸后形状如图2所示，若菱形的边长为，，则其拉伸后的最大距离的长度大约是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，连接交于点，勾股定理解直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵菱形的边长为，， ∴是等边三角形， ∴ ∴ 故选：C． 2．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在菱形中，，点O是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接．若菱形的边长是，则的长是（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键．连接，根据菱形的性质，得到，进而求出，再证明，得到，从而证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，，边长是， ，，，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， 故选：A． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，在上取点，使得，连接；以点为圆心作弧交于点，分别以为圆心，大于的长为半径，在点的异侧作弧交于点，射线交于点，连接，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、尺规作图（角平分线）以及勾股定理．解题的关键是利用平行四边形和等腰三角形的性质求出相关线段的长度，再通过勾股定理计算的长。 先根据平行四边形性质和等腰三角形性质求出的度数，进而得到的度数，再求出的长度，然后过点作的垂线，利用直角三角形的性质求出相关线段长度，最后用勾股定理计算的长． 【详解】 解：四边形是平行四边形，， ，， 又， 是等腰三角形，， 根据三角形内角和为，可得， 由尺规作图可知是的平分线， ， ∵， ， 则是等边三角形， ， ， 过B作交延长线与， ， ， 在中， ，， 在中， ， ∴， 故答案为：． 4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，，，点是的中点，连接，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点；②作直线交于点，交于点，则的长为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，设与相交于点M，由题意可得为的垂直平分线，根据勾股定理求出，根据，得出，求出结果即可． 【详解】解：如图，设与相交于点M，由题意可得为的垂直平分线， ∴， ∵，，，点D是的中点， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴． 5．（2025·辽宁锦州·二模）如图，在矩形中，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，射线交于点．若，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】作角平分线(尺规作图)、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】题目主要考查矩形的性质，尺规作图，解三角形，全等三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 由作图知，，，设，，连接，利用全等三角形的判定和性质得出，，，再由等角的正弦值相等求解即可． 【详解】解：根据题意得，为的角平分线， ∴， ∵， ∴设， ∵矩形， ∴， 连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 6．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，以点为圆心，以为半径画弧，然后分别以弧上一点和点为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，，，．再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，若，则点的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、作垂线(尺规作图)、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了几何作图、垂直平分线的性质、正切、坐标与图形，熟练掌握几何作图的一般步骤是解题的关键． 由作图可知，，为的垂直平分线，设，结合正切值可求出点C的坐标，再根据垂直平分线的性质可求出点B的坐标，直线所在直线为，设直线解析式为，利用待定系数法可求出解析式，联立两直线求解即可得出答案． 【详解】解：由作图可知，，为的垂直平分线， ， ， 设， ， ，， ，， ， ，直线所在直线为， 设直线解析式为， ， 解得：， ， 联立， ， 点的坐标为． 7．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，是哈尔滨亚布力滑雪场初级赛道截面图，平台长10米，滑道长400米，滑道的坡角，雪场电梯坡角，点B、C、E在同一条直线上，已知，，运动员滑下后从B 点走到C点的速度为50米/分． (1)求雪场电梯的长度． (2)计算运动员从B 点走到C点，所需的时间．（，结果保留整数）． 【答案】(1)224米 (2)4分钟 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）过A作于F，证明四边形是矩形，得出，，在中，根据正弦的定义求出，则，然后根据含角的直角三角形的性质求解即可； （2）在中，根据余弦的定义求出，在中，根据勾股定理求出，然后根据线段的和差求出，最后根据时间等于路程除以速度求解即可． 【详解】（1）解：过A作于F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴雪场电梯的长度为224米； （2）解：在中，， 在中，， ∴， ∴运动员从B 点走到C点，所需的时间为分钟． 8．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，为了测量河对岸，两点间的距离，数学综合实践小组在河岸南侧选定观测点，测得A，B均在的北偏东方向上，沿正东方向行走60米至观测点，测得在的北偏西方向上，在的北偏西方向上．求A，B两点间的距离是多少米（精确到个位）？（参考数据：，，，，，，） 【答案】42米． 【难度】0.65 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确求出的长是解题的关键． 先求出，进而得到，解求出米，然后再解求出的长即可． 【详解】解：如图， ∵A，B均在的北偏东方向上，在的北偏西方向上， ∴， ∴， 在中，， ∴（米） ∵在的北偏西方向上，在的北偏西方向上， ∴， 在中，， ∴（米）； 答：A，B两点间的距离约为42米． 9．（2025·辽宁沈阳·二模）为避免伤害器官，医学领域发明了一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离．医疗小组制定方案，通过医疗仪器，采用新型检测技术的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为 测量数据 ， 请你根据方案中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到．参考数据：） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键．作于点，由题意得，，分别在和中利用正切的定义表示出，，再利用列出方程，解出的长即可解答． 【详解】解：如图2，作于点，则， 由题意得，，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， 解得：， 答：新生物处到皮肤的距离为． 10．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，一艘轮船航行到海上点处时，观察到岸边灯塔在南偏西方向的海里处，岸边另一座灯塔在北偏西70度方向，且直线与直线的夹角，求两座灯塔，之间的距离．（精确到1海里，参考数据：） 【答案】两座灯塔，之间离约为71海里 【难度】0.65 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．过点作于点H，根据题意求出，分别解直角三角形，求出，即可解答． 【详解】解：过点作于点H， ∵，， ∴， ∴， 在中，海里， ∴海里，海里， 在中，海里， ∴海里， 答：两座灯塔，之间的距离约为71海里． 11．（2025·辽宁本溪·二模）某实践探究小组想测得校园内一块四边形空地的面积，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表： 实践探究活动记录表 活动内容 测量校园内四边形空地的面积 测量工具 测角仪、皮尺等 测量示意图 相关数据及说明： ，，，为校园内的四栋建筑物的位置，，两栋建筑物之间有一条笔直的小路． 通过测角仪测得，； 利用皮尺测得米，米，米． 任务 求空地四边形的面积． （结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】空地四边形的面积约为平方米 【难度】0.65 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义，构造直角三角形是解题的关键；过点分别作于点，交延长线于点，解，，分别求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作于点，交延长线于点， ，， 在中，，，米 ， （米）， 在中，，，米 （米）， （平方米）． 答：空地四边形的面积约为平方米． 12．（2025·辽宁沈阳·二模）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． (1)如图2，在点P观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，求（用含的代数式表示）； (2)如图3，为了测量广场上无人机A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得无人机A的仰角为，为，地面上点B，C，D在同一水平直线上，，求无人机A离地面的高度．（参考数据：） 【答案】(1) (2)无人机A离地面的高度 【难度】0.65 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握解直角三角形，是解题的关键： （1）根据互余关系列出代数式即可； （2）在中，，得到；在中，，由，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示：    由题意知， 在中，，则，即， ； （2）解：如图所示：   ， 在中，， ∴， 在中，， 由， 即， 解得， 无人机A离地面的高度． 13．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，某山坡上有一电线杆，垂直于水平地面．为了测量电线杆的高度，小明在C处测得杆顶A的仰角为，向前走到达D处，测得杆顶A和杆底B的仰角分别是和，求电线杆的高度． （参考数据：） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，延长，交的延长线于点E，由题意得：，设为，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而根据，列出关于x的方程，进行计算可求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如下图，延长，交的延长线于点E， 由题意得：， 设为， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 答：电线杆的高度约为． 14．（2025·辽宁营口·二模）某学校明正楼前矗立一尊孔子雕像，小刚和小强想知道孔子雕像的高度，于是两人利用一些测量工具进行了测量．小刚站在雕像前，自处测得雕像顶点的仰角为，小强站在明正楼门前的斜坡处，自处测得雕像顶点的仰角为，此时，两人的水平距离为，已知明正楼门前斜坡的坡角． (1)计算斜坡处的高度的长； (2)求孔子雕像的高度． （参考数据：） 【答案】(1)斜坡处的高度约为． (2)孔子雕像的高度约为． 【难度】0.65 【知识点】已知正切值求边长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用； （1）由可得，再进一步计算即可； （2）过点作于点，则四边形为矩形，可得，，结合，可得，设，，建立方程，进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，，， 在中，， ∴ 答：斜坡处的高度约为． （2）解：过点作于点，则四边形为矩形， ∴，， ∵，， 在中，， ， ∴设，， ，， ， ， ， ∴， ， ， 则， 答：孔子雕像的高度约为． 15．（2025·辽宁铁岭·二模）某兴趣小组想利用无人机测量一座塔的高度．如图1，无人机沿着水平线飞行，飞至P点时，测得塔底A的俯角为，此时无人机位于固定点Q 的正上方，Q点到塔底A的距离为150米．如图2，当无人机飞到C点时，测得塔尖B的俯角为，无人机继续向前飞行了52米到达D点，此时测得塔底A的俯角为(已知上述所有点均在同一平面内)． (1)求无人机飞行的高度．(结果保留根号) (2)求塔高．(结果精确到0.1米，参考数据： ， 【答案】(1)米 (2)约35.5米 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键． （1）直接利用正切定义求解即可； （2）延长交直线于H，则米，分别在和中，利用锐角三角函数求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，，米， ∴（米）， 答：无人机飞行的高度是米； （2）解：延长交直线于H，则米， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：塔高约为35.5米． 16．（2025·辽宁沈阳·二模）在公园，巨型雕塑垂直耸立在观赏台上，平行于水平地面．小李在处测得雕塑顶端的仰角为，为了仔细观察，他先从点沿水平方向向左行走米到达点，再经过一段坡度（或坡比）为，坡长为米的斜坡到达点，再沿水平方向向左行走米到达雕塑底部处． (1)求观赏台距离地面的高度； (2)求巨型雕塑的高度（精确到1米）． （参考数据：） 【答案】(1)米 (2)约米 【难度】0.65 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡比问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）利用坡度定义和勾股定理求观赏台高度； （2）通过构造直角三角形，用正切函数求雕塑总高度，再减去已知的观赏台高度． 【详解】（1） 如图，过点作于点． 已知斜坡的坡度（或坡比）为， 即， 设， 则． 在中，根据勾股定理， 米， ， 即， 解得：（舍去）． 米， 答：观赏台距离地面的高度为米． （2） 如图，延长交于， 则， ，， 四边形为矩形， ， 由题意知米，米，米， 所以米． 在中，， ， 米，， 米． 米． 答：巨型雕塑的高度约为米． 17．（2025·辽宁葫芦岛·二模）项目式学习 项目背景 2025年3月21日，神舟十九号航天员蔡旭哲在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置及舱外辅助设施安装、舱外设备设施巡检等任务．蔡旭哲成为目前在舱外执行任务次数最多的中国航天员．某学校机器人兴趣小组在详细研究了空间站机械臂的结构设计、工作原理和运动控制方式后，绘制了处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图．为了更好地理解此时手臂机器人的工作范围，小组需完成两个任务． 图示及说明 如图所示，是垂直于工作台的移动基座，，为机械臂，，． 任务1 （1）求机械臂端点到工作台的距离的长；（结果精确到） 任务2 （2）求的长．（结果精确到） 参考数据 【答案】（1）米；（2）米． 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，过点作于，在中，求得，在中，求得，最后求得的长即可； （2）在中，求得的长，在中，求得的长，最后求得的长． 【详解】解：（1）过点作于点，过点作于点，过点作于， 四边形，四边形都是矩形， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 答：机械臂端点到工作台的距离的长约为米． （2）在中，由勾股定理可知：， 则， 在中， ， ， ． 答：的长约为米． 18．（2025·辽宁铁岭·二模）图1是小明家安装在室外的可收缩式的遮阳棚，图2是它的侧面示意图，其中为可以伸缩的棚布，其最大长度为5m，是可以绕点C旋转的支撑杆，已知，，墙垂直于地面．若太阳光线与水平地面的夹角成照射到E处时，旋转，使得． (1)求此时伸缩棚布的长度； (2)求此时E到墙的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：） 【答案】(1) (2)E到墙的距离约为 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，等边三角形的判定与性质，正确构造直角三角形是解题的关键． （1）证明出为等边三角形，即可求解； （2）过点作于点，于点，可得四边形为矩形，则，解，求出，，则，解求得，再由即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴为等边三角形， ∴； （2）解：过点作于点，于点， 由题意得， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，，， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， 答：E到墙的距离约为． 19．（2025·辽宁锦州·二模）图1是某种固定式遮阳棚的结构图，某校数学兴趣小组对其进行实际测量，绘制了如图2所示的横截面示意图，并得到以下数据：遮阳篷的长度为，与墙面的夹角，遮阳棚前端自然下垂边的长度，且靠墙端离地面的高度． (1)求遮阳棚外端点到地面的距离； (2)如图3，若在某一时刻，太阳光线与地面的夹角，求该时刻地面上阴影部分的宽度．（结果精确到．参考数据：， 【答案】(1) (2)约 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定和性质等知识点，将实际问题转化为几何问题成为解题的关键． （1）如图2，延长，交于，作于，于，在中，求出，根据线段和差计算即可； （2）如图3，作于，于，延长交于，则，解直角三角形求出，然后在作于，于，延长交于，则，中，解直角三角形求出，进而可得的长． 【详解】（1）解：延长，交于，作于，于， 由题意可得， ， 四边形是矩形， 同理可证明四边形，四边形是矩形是矩形， ，， 中，，的长度为， ， ，， ， ； （2）解：如图3，作于，于，延长交于，则， 同（1），四边形，四边形是矩形， ， 中，， 由（1）得，， 在中，， ． 答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为． 20．（2025·辽宁鞍山·二模）某景区要在其辖区内的山峰修建索道，经了解，索道夹角在到之间符合工程规范，更为合理和安全．如图，已知该山峰海拔高度为850米，从山脚A测量到山顶B的仰角，距其山顶高度为150米处有平坦的空地适合修建索道终点，且，为了符合工程要求，在距离山脚A高度为100米的点M处修建休闲平台，使得，试求出：的长度是多少时索道符合要求？（结果精确到1米，参考数据：，，，） 【答案】的长度约在629米到1321米之间符合要求 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】该题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 延长交于点，延长交于点，过点作于点，根据，得出，由已知得米，米，求出米，证明四边形为矩形，得出米，在中，当时，，求出，当时，，求出，在中，，求出，求出即可即可解答， 【详解】解：延长交于点，延长交于点，过点作于点， ∵， ， 由已知得米，米， ∴米， ∵， ， ∴四边形为矩形， ∴米， 在中， 当时，， 米， 当时，， 米， 在中，， 米， 米， 或米， ∴的长度约在629米到1321米之间符合要求． 21．（2025·辽宁铁岭·二模）图①是教室内的电子白板，其侧面示意图如图②，教室高，投影仪发出的光线的最大夹角，点为投影仪投到墙上的影子的最下端，投影仪的吊杆的长固定为，点固定且．（结果均精确到．参考数据， (1)求投影仪投到墙上的影子的最下端点与地面的距离的长． (2)如图3，将图2中的吊杆顶点向下偏移，，若，的大小无变化，请通过计算说明：此时点的位置与（1）中相比，是上升了还是下降了？ 【答案】(1)1.4米 (2)上升了 【难度】0.65 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，理解题意，作出辅助线构建直角三角形是解本题的关键； （1）利用锐角的正切先求解，再求利用线段的和差可得答案； （2）如图，过点作，先求解，再求解，再利用线段的和差可得答案． 【详解】（1）解：在Rt中， ， ， ． 答：投影仪投到墙上的影子的最下端点与地面的距离约为． （2）如图③，过点作，交于点． 在中，， ， ． ， ． 在中，， ， ． ． ， 点的位置上升了． 22．（2025·辽宁丹东·二模）甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B、D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资，甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东方向航行一定距离到达C港，乙货轮沿A港的北偏东方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东方向航行一定距离到达C． (1)求A，C两港之间的距离； (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明（结果保留根号形式）． 【答案】(1)海里 (2)甲货轮先到达C港 【难度】0.65 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造出直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． （1）作于，分别在和中利用解直角三角形求得和，即可求得答案； （2）根据题意可求得，然后在和中利用解直角三角形求得、和，最后由甲货轮航行的路程，乙货轮航行的路程，即可判断． 【详解】（1）解：作于， 在中，，（海里） （海里） 在中，， （海里） 海里 答：A，C两港之间的距离为海里． （2）解：甲货轮先到达C港， 理由如下：如下图所示， 由题意得，，， ， ， 在中，， 由（1）可知，海里， 海里， 海里， 在中，，海里， （海里） 甲货轮航行的路程海里， 乙货轮航行的路程海里 ，甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、D两港的时间相同）， 甲货轮先到达C港． 23．（2025·辽宁大连·二模）如图，建筑物分别与地面垂直，两建筑物之间的水平距离为，一架无人机以的速度从处起飞，沿射线方向飞行，飞行方向与水平线的夹角为，无人机飞行后到达处，此时从距地面的处观测无人机的仰角为，求处到地面的距离（结果精确到，参考数据：）． 【答案】处到地面的距离约为 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意，结合图形，得长，在中求出，得到长，从而得到长，即可得到结果． 【详解】解：作，垂足为与的延长线相交于点． 由题意知． 四边形为矩形，四边形为矩形． ． 由题意． 在Rt中，， ． ． ． ． ， ． ． ． ． 答：处到地面的距离约为． 24．（2025·辽宁丹东·二模）图1是某城建部门正在维修路灯的实物图片，可抽象为如图2所示的几何图形，经测量，路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点到地面距离是．（参考数据：） (1)求下折臂的长； (2)求路灯的高．（结果精确到） 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，先求出，求出，然后在中，利用勾股定理即可求解； （2）过点作，垂足为．先求出，在中，求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点， 则， ∴四边形是矩形， ，， ， ， ∴为等腰直角三角形，， ， 在中，； （2）解：过点作，垂足为． 则， ． ， ． ，， ， 同理可得四边形是矩形， ，， 在中，， ． ． 答：路灯的高约为． 25．（2025·辽宁沈阳·二模）东塔为沈阳著名的“四塔四寺”之一．某校无人机社团开展“测量沈阳东塔高度”的实践活动，该社团制定了测量方案，在实地测量后撰写如下活动报告． 活动主题 测量沈阳东塔高度 测量工具 无人机、测角仪、皮尺等 测量示意图 测量步骤 如图，无人机在点A处以的速度垂直上升后至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为．（点A、B、C、D、E均在同一竖直平面内，且点A、E在同一水平线上，）． 相关数据 参考数据：，， 请根据上面的活动报告，求沈阳东塔的高度（结果精确到1m） 【答案】沈阳东塔的高度约为． 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数是解题关键．延长和交于点，先证明四边形是矩形，从而证明和是等腰直角三角形，设，则，，再利用锐角三角函数列方程求解即可． 【详解】解：如图，延长和交于点， 由题意可知，，，， ， 四边形是矩形， ，， ， 和是等腰直角三角形， ，， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 答：沈阳东塔的高度约为． 26．（2025·辽宁阜新·二模）如图，在河两岸分别有电视塔和建筑物，从建筑物顶处测得电视塔顶的仰角，从建筑物底处测得电视塔顶的仰角，若建筑物高，求电视塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】电视塔的高度约为 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，本题涉及到两个直角三角形、，设，得，，由列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形为矩形． ，． 设， 在中，． ， ． ． 在中，．   解得． ． 答：电视塔的高度约为． 27．（2025·辽宁朝阳·二模）如图1是要测量的风力发电机，图2为测量示意图，已知斜坡长为，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离． 数据应用：已知图中点均在同一平面内，．请根据上述数据，求该风力发电机塔杆的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】该风力发电机塔杆的高度为． 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，过点作于点，作于点，由题意得：，，根据三角函数的定义得到，，根据矩形的性质得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：过点作于点，作于点， 由题意得：，， 在中，∵，， ∴，． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ， ∴． 在中，， ∴， ∴． 答：该风力发电机塔杆的高度为． 28．（2025·辽宁葫芦岛·二模）某课外活动小组准备利用光的反射原理来测量居民楼的高度．如图，小组首先利用测角仪从点D处测得居民楼顶端A的仰角为，在测角仪和居民楼之间水平光滑的地面放置一个平面镜，当平面镜位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到居民楼顶端A，此时测得米．已知测角仪的高度米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上． (1)求． (2)求居民楼的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】(1) (2)该居民楼的高度约为7.9米 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键． （1）首先求出，然后在中，解直角三角形即可求解； （2）如图，过点作，交于点，首先得到，然后由设，，表示出，，然后在中，解直角三角形求解即可． 【详解】（1）根据题意，可得． 解：在中，， ∴． （2）解：如图，过点作，交于点． 根据题意，可得． 由（1），可得，设，， 则． 在中，， 解得， ∴（米）． 答：该居民楼的高度约为7.9米． 29．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角，． (1)求的度数； (2)求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据：）． 【答案】(1)的度数为 (2)这棵大树折断前的高度约为9米 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键； （1）将延长交于点，根据三角形内角和定理可得，进而根据，即可求解； （2）过点作于点，得出，，分别求得，进而求出即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，将延长交于点， ， ， ， ， ； （2）解：如图所示，过点作于点，， ， ，， 在中，，， 在中，， 答：这棵大树折断前的高度约为9米． 30．（2025·辽宁沈阳·二模）在中，点D为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边（点，按逆时针方向排序），连接． (1)当时，如图①，求的度数； (2)当时，如图②，求线段的长； (3)当时，求线段长． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的判定与性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）证明为等边三角形，得出，证明为等边三角形，得出，最后求出结果即可； （2）在上取点F，使，连接，，过点E作于点G，证明，得出，，解直角三角形得出，，求出，根据勾股定理得出即可； （3）在上取点F，使，过点C作，过点D作，交于点H，过点A作于点K，证明，得出，即，求出，设，则，设，则，，设，则，，，根据勾股定理得出，证明，得出，即，求出，列出方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴； （2）解：在上取点F，使，连接，，过点E作于点G，如图所示： ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上取点F，使，过点C作，过点D作，交于点H，过点A作于点K，如图所示： ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴四边形为平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 设，则，， 设，则，，， 在中，根据勾股定理得：， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 得：， 由③得：， 把代入得：， 整理得：， ∵ ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，三角形外角的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$