专题11 图形的相似-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编（辽宁专用）

专题11 图形的相似 题型概览 题型01 相似图形的概念、性质、位似 题型02 相似三角形 ( 题型01 )相似图形的概念、性质、位似 1．（2025·辽宁沈阳·二模）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为 ，把缩小，则点A的对应点的坐标是（      ） A． B． C．或 D．或 2．（2025·辽宁铁岭·二模）如图的方格中，点，，，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，的平分线交边于点，交的延长线于点，若，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁沈阳·二模）如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重、舒展美观，已知一条分割线的端点分别在习字格的边上，且，“善”字的笔画“，”的位置在的黄金分割点处，且，若，则的长为 cm．（结果保留根号） 5．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，其中对应点A和坐标分别是，，则位似中心C的坐标是 ． 6．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，直线，直线依次交于点A，B，C，直线依次交于点D，E，F，若，则的长为 ． ( 题型02 )相似三角形 1．（2025·辽宁丹东·二模）已知两个相似三角形的对应边的比为，则它们对应高线的比为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁大连·二模）如图，小明用两根木棍，制成一个测量工具，测量化学实验器材锥形瓶内径的长．若与交于点，，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，面积为24的菱形中，点O为对角线的交点，点E是线段的中点，过点E作于于G，则四边形的面积为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 4．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，D，E是斜边的三等分点，若，，点P在的直角边上，则满足的点P的个数是（      ） A．0 B．2 C．4 D．6 5．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，，则的长为（    ） A． B．1 C．2 D． 6．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在四边形中，，点E为的中点，平分，与交于点F．若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，作直线分别交、于点M、N．若，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（2025·辽宁本溪·二模）如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与分别交于点，连接，若，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．垂直平分 9．（2025·辽宁鞍山·二模）在某一时刻，测得一名身高1.8米的同学的影长是3米，同一时刻，测得学校教学楼的影长是40米，学校教学楼的高度是 米. 10．（2025·辽宁铁岭·二模）如图所示的是某校综合实践活动小组测量某个机器零件的平面示意图．已知，与相交于点O，为的中位线，若，则的长为 ． 11．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，，与相交于点O，，若的面积为2，则的面积为 ． 12．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，是的中点，，且．若，则的长为 ． 13．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，E是矩形内的一点，且，已知，线段的长为6，则的面积为 ． 14．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为 ． 15．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；作射线，交于点E，交延长线于点F，则 ． 16．（2025·辽宁营口·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点在负半轴上，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，点恰好在反比例函数图象上，连接，线段与轴交于点，若，则的值是 ． 17．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，为等腰三角形，，，D，E，F分别是，上的点，且，，则四边形的面积为 ． 18．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，以点A为圆心，任意长为半径画弧，交于点M，交于点 N；再分别以M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；作射线交于点 D；然后分别以A，D为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点E，F；作直线分别交于点G，H，依据以上作图，若，则的长是 ． 19．（2025·辽宁锦州·二模）如图，在矩形中，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，射线交于点．若，则 ． 20．（2025·辽宁朝阳·二模）如图，在中，的平分线为，交于点，若，，则的值是 ． 21．（2025·辽宁沈阳·二模）如图1，在平行四边形中，，点F从点B出发，以的速度沿匀速运动，点E同时从点A出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．图2是的面积随时间变化的函数图象（图中为线段），当的面积为时，运动时间t为 ． 22．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在矩形中，，点为上一点，且，作的角平分线交边于点，作于点，分别与和交于点和点，若，则 . 23．（2025·辽宁丹东·二模）如图1，在中，，D为边上一点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线—匀速运动，到达点C后停止，连接，设点E的运动时间为x（单位：秒），为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图象如图2所示，在整个运动过程中，y的最大值为 ． 24．（2025·辽宁盘锦·二模）某校数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，活动记录如下： 活动任务：测量旗杆的高度 【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出两种测量方案的图形，如图，图． 【步骤二】准备测量工具镜子，皮尺和测倾器，如图．皮尺的功能是直接测量任意可达到的两点间的距离；测倾器（由度盘，铅锤和支杆组成）的功能是测量目标物的仰角或俯角．（如图） 【步骤三】实地测量并记录数据 方案一：利用镜子的反射（测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，得到），如图，小明利用镜子和皮尺测出了旗杆的高度，其测量和求解过程如下： 测量过程： 小明将镜子放在距离旗杆底部的点处，然后看着镜子沿直线来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与点重合，此时小明站在点处，测得，小明的眼睛离地面的高度． 求解过程： 由测量知，，，， 由题可知， ， ①___________ ，即， ②___________（） 故旗杆的高度为……． 方案二：如图，小亮在测点处安置测倾器，测得旗杆顶端的仰角，量出测点到旗杆的距离，量出测倾器的高度． (1)补全小明求解过程中①②所缺的内容； (2)请你根据方案二求出旗杆的高度（结果精确到） （参考数据：，，） 25．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，图1、图2和图3均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点和点F均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图1中的线段上求作一点D，连接，使； (2)在图2中的线段上求作一点E，连接，使； (3)在图3中的线段上求作一点G，连接，，使 ． 26．（2025·辽宁沈阳·二模）在中，点D为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边（点，按逆时针方向排序），连接． (1)当时，如图①，求的度数； (2)当时，如图②，求线段的长； (3)当时，求线段长． 27．（2025·辽宁铁岭·二模）在中，，点在直线上，连接，作．连接，． (1)如图1，若，求证：．小明同学的想法是：在上截取．，连接，通过证明三角形全等，得到对应边相等，即可得出结论．请你按照小明的思路进行证明； (2)若，． ①如图，点在线段上（不包含，两点），求的度数； ②若点在直线上运动，直线，相交于点，当时，求的长． 28．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，点O在上，连接，并延长至点D，使得，，连接，，E是上的一点，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形． (2)如图2，将沿折叠，使点D的对应点F落在上，若，猜想与的数量关系，并加以证明． (3)如图3，将沿折叠，点D的对应点F落在的延长线上，与交于点G． ①求证：． ②若，，求的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 图形的相似 题型概览 题型01 相似图形的概念、性质、位似 题型02 相似三角形 ( 题型01 )相似图形的概念、性质、位似 1．（2025·辽宁沈阳·二模）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为 ，把缩小，则点A的对应点的坐标是（      ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题主要考查位似的性质，掌握位似的性质，用点坐标乘以相似比（正数相似比，负数相似比）是解题的关键．根据位似比的性质可知，用点A的坐标分别乘以即可求解． 【详解】解：∵，相似比为 ， ∴点A的对应点的坐标是或， 故选：D． 2．（2025·辽宁铁岭·二模）如图的方格中，点，，，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断位似中心 【分析】本题考查了找位似中心，连接、并延长，则交点即为它们的位似中心，结合图形即可得解． 【详解】解：如图：连接、并延长，则交点即为它们的位似中心， ， ∴它们的位似中心为， 故选：B． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，的平分线交边于点，交的延长线于点，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义．利用平行四边形的性质得出，，进而得出，，再利用角平分线的性质得出，进而得出，即可得出的长，再利用平行线分线段成比例定理即可得出答案． 【详解】解：在平行四边形中， ∴，， ，， 的角平分线交于点，， ， ∴， ， ∵， ∴． 故选：C． 4．（2025·辽宁沈阳·二模）如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重、舒展美观，已知一条分割线的端点分别在习字格的边上，且，“善”字的笔画“，”的位置在的黄金分割点处，且，若，则的长为 cm．（结果保留根号） 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的判定和性质，理解黄金分割知识是解答关键． 根据正方形的性质和平行线的性质得到四边形是矩形，再利用矩形的性质和黄金分割来求解． 【详解】解：四边形是正方形， ． 又， ， ， 四边形是矩形， ． 又， ． 故答案为：或． 5．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，其中对应点A和坐标分别是，，则位似中心C的坐标是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、求位似图形的对应坐标 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，求一次函数解析式，用待定系数法求出直线的解析式为：，再求出直线与x轴的交点坐标，即可得出答案． 【详解】解：∵A与是对应点，与为对应点， ∴与的交点C为位似中心， ∵与都在x轴上， ∴点C在x轴上， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得： ∴位似中心坐标是， 故答案为：． 6．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，直线，直线依次交于点A，B，C，直线依次交于点D，E，F，若，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例求出，即可求解，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ( 题型02 )相似三角形 1．（2025·辽宁丹东·二模）已知两个相似三角形的对应边的比为，则它们对应高线的比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，据此可得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应边的比为， ∴它们对应高线的比为， 故选：B． 2．（2025·辽宁大连·二模）如图，小明用两根木棍，制成一个测量工具，测量化学实验器材锥形瓶内径的长．若与交于点，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，证明两个三角形相似，即可求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，面积为24的菱形中，点O为对角线的交点，点E是线段的中点，过点E作于于G，则四边形的面积为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了菱形的性质及面积的求法、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键． 由菱形的性质得出，证出四边形是矩形，得出都是的中位线，则，，由矩形面积即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∵于F，于G， ∴四边形是矩形， ∵点E是线段的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴矩形的面积＝． 故选B． 4．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，D，E是斜边的三等分点，若，，点P在的直角边上，则满足的点P的个数是（      ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先求解，，如图，作关于的对称点，连接交于，与的交点为，过作于，则，，，此时最小，如图，作关于的对称点，连接交于，与的交点为，过作交于，则，，，，此时最小，再进一步求解最小值进行判定即可. 【详解】解：∵，，， ∴， ∵为的三等分点， ∴， 如图，作关于的对称点，连接交于，与的交点为，过作于，则，，， 此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴在上的左右两边各有一个满足， 如图，作关于的对称点，连接交于，与的交点为，过作交于，则，，， ∴，此时最小， 同理可得：，， ∴， ∴上不存在满足； 故选：B 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键. 5．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． 由正方形和正方形可得、、、得，得，由，则，据此即可解答． 【详解】解：∵正方形和正方形，，， ∴， ， ， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 6．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在四边形中，，点E为的中点，平分，与交于点F．若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】过点D作，证明四边形是矩形，得出，从而得，证出，在截取，得出，证明，得出，再证明，得出，，勾股定理求出，得出，，根据等腰三角形的性质得出，结合，得出，证明，再证明，从而证出，根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：如图，过点D作， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在截取， ∵平分，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 延长交于点， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 故选：D． 【点睛】该题考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线． 7．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，作直线分别交、于点M、N．若，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了勾股定理，垂直平分线的作法和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．由勾股定理可得，由作法可知，垂直平分，进而得到，则，即可求解． 【详解】解：，，， ， 由作法可知，垂直平分， ，， ， ， ， ， 故选：B． 8．（2025·辽宁本溪·二模）如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与分别交于点，连接，若，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．垂直平分 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】根据折叠得到，垂直平分，可判定D选项；设，则，由中位线的判定和性质得到，设，则，证明，，可判定A，C选项；根据锐角三角函数的计算可得，结合折叠的性质可判定B选项，由此即可求解． 【详解】解：在中，，为上的中线， ∴， ∵折叠， ∴，垂直平分，则，但不平分，故D选项错误，不符合题意， ∴，， 设， ∴， 在中，， ∴，则， ∴， ∵点分别是中点， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即, ∴，故A选项正确，符合题意； ∴， ∴，故C选项错误，不符合题意； 若，则， 根据上述计算，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵折叠，，， ∴， ∴，故B选项错误，不符合题意； 故选：A ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，掌握折叠的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算是关键． 9．（2025·辽宁鞍山·二模）在某一时刻，测得一名身高1.8米的同学的影长是3米，同一时刻，测得学校教学楼的影长是40米，学校教学楼的高度是 米. 【答案】24 【难度】0.85 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】设学校教学楼的高度是x米，根据平行投影的特点可知同一时刻物高与影长成正比，列比例式求解即可．本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 【详解】解：设学校教学楼的高度是x米，根据同一时刻物高与影长成正比可得 ， 解得． 故答案为：24． 10．（2025·辽宁铁岭·二模）如图所示的是某校综合实践活动小组测量某个机器零件的平面示意图．已知，与相交于点O，为的中位线，若，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据三角形的中位线定理以及得到，则，那么，再根据三角形中位线定理得到的线段关系求出，即可求解． 【详解】解：∵为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， 设，则， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，，与相交于点O，，若的面积为2，则的面积为 ． 【答案】8 【难度】0.85 【知识点】两直线平行内错角相等、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，两直线平行内错角相等，先证明，即可得到，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 故答案为：8． 12．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，是的中点，，且．若，则的长为 ． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据是的中点，，得，再证明，则，代入数值进行化简进行，即可作答． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：3 13．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，E是矩形内的一点，且，已知，线段的长为6，则的面积为 ． 【答案】27 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质．关键是构造相似三角形． 作过于于的面积等于与乘积的一半．要求的面积只有或中的一个量，不能求出面积的值，必须求出与乘积，逐项分析可得．是斜边上的高，证明，得出，根据，可得正确选项． 【详解】解：作于于． ∴ ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴的面积等于． ∵是斜边上的高， ∴，， ， ， ∴的面积． 故答案为27. 14．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】尺规作一个角等于已知角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据作图可得，然后得出，可证明，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴， ∴， ∵与四边形的面积比为， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 15．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；作射线，交于点E，交延长线于点F，则 ． 【答案】/0.25 【难度】0.65 【知识点】作角平分线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据平行四边形的性质得到，，再根据角平分线得到，，计算出，证出，得到．此题重点考查角平分线的尺规作图、相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，推导出是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵由作图可知，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 16．（2025·辽宁营口·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点在负半轴上，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，点恰好在反比例函数图象上，连接，线段与轴交于点，若，则的值是 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键． 先证得得出，，再证得求出，然后代入求解即可． 【详解】解：过点C作轴交于点E， 由旋转可得，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 由轴得， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∵点恰好在反比例函数图象上， ∴， 解得， 故答案为：2． 17．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，为等腰三角形，，，D，E，F分别是，上的点，且，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，过点作于点，过点作于点，过点作于点，得出，证明四边形是平行四边形，性质可求出，根据可得结果． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过点作于点，过点作于点，过点作于点，如图， ∵， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴ ． 故答案为：． 18．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，以点A为圆心，任意长为半径画弧，交于点M，交于点 N；再分别以M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；作射线交于点 D；然后分别以A，D为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点E，F；作直线分别交于点G，H，依据以上作图，若，则的长是 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、根据菱形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了作图——复杂作图，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 连接，由作法得：平分，垂直平分，可得，，从而得到，进而得到，，可证明四边形是菱形，从而得到，再由，可得，即可解题． 【详解】解：如图，连接， 由作法得：平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 19．（2025·辽宁锦州·二模）如图，在矩形中，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，射线交于点．若，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】作角平分线(尺规作图)、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】题目主要考查矩形的性质，尺规作图，解三角形，全等三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 由作图知，，，设，，连接，利用全等三角形的判定和性质得出，，，再由等角的正弦值相等求解即可． 【详解】解：根据题意得，为的角平分线， ∴， ∵， ∴设， ∵矩形， ∴， 连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 20．（2025·辽宁朝阳·二模）如图，在中，的平分线为，交于点，若，，则的值是 ． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】因式分解法解一元二次方程、两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行线分线段成比例性质、等腰三角形的判定与性质、三角形相似的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是关键． 利用角平分线和平行线可得，设，根据相似三角形得到，求出长，根据平行线分线段成比例得到即可． 【详解】∵的平分线为， ∴， 设， ∵交于点， ， ， ∴， 解得或（舍去）， ， 故答案为：2． 21．（2025·辽宁沈阳·二模）如图1，在平行四边形中，，点F从点B出发，以的速度沿匀速运动，点E同时从点A出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．图2是的面积随时间变化的函数图象（图中为线段），当的面积为时，运动时间t为 ． 【答案】或 【难度】0.4 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、动点问题的函数图象、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，动点问题的函数图象，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动，即得，，进而由勾股定理得，再分和两种情况，分别画出图形，求出与的函数关系式，再把代入计算即可求解，看懂函数图象并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动， ∵四边形是平行四边形，点、点的速度都是， ∴，； ∵， ∴， ∴， 当时，如图，作，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，则， 解得或（舍去）； 当时，如图，作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则， 解得； 综上，或； 故答案为：或． 22．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在矩形中，，点为上一点，且，作的角平分线交边于点，作于点，分别与和交于点和点，若，则 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长、全等三角形综合问题、公式法解一元二次方程 【分析】连接，过作交于，先证明，得到，设，则，证明，得到，根据平行线的判定和性质得到，根据等角对等边得到，进而得到，再由平行线分线段成比例得到，求出即可得到答案． 【详解】解：连接，过作交于，如图所示： ∵， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ∵是的角平分线， ， 在和中， ， ， ，又， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 整理得， 解得，， 由图可知，不符合题意， 即， ，， 则 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质、等角对等边、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握相关知识，并灵活运用． 23．（2025·辽宁丹东·二模）如图1，在中，，D为边上一点，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线—匀速运动，到达点C后停止，连接，设点E的运动时间为x（单位：秒），为y，在动点E运动过程中，y与x的函数图象如图2所示，在整个运动过程中，y的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息 【分析】先根据函数图象经过点，，求得，当动点E运动到达点C时，求得，当AE=4时，求得，再证明，然后证明，利用相似三角形的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵函数图象经过点，， ∴， 当动点E运动到达点C时，， 当时，，图象如图所示， 作于点，连结， 当点E与点B重合时，y的值最大， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴y的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理，等边对等角，相似三角形的判定与性质等知识点，解题关键是能读懂题意，结合图象进行分析． 24．（2025·辽宁盘锦·二模）某校数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，活动记录如下： 活动任务：测量旗杆的高度 【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出两种测量方案的图形，如图，图． 【步骤二】准备测量工具镜子，皮尺和测倾器，如图．皮尺的功能是直接测量任意可达到的两点间的距离；测倾器（由度盘，铅锤和支杆组成）的功能是测量目标物的仰角或俯角．（如图） 【步骤三】实地测量并记录数据 方案一：利用镜子的反射（测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，得到），如图，小明利用镜子和皮尺测出了旗杆的高度，其测量和求解过程如下： 测量过程： 小明将镜子放在距离旗杆底部的点处，然后看着镜子沿直线来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与点重合，此时小明站在点处，测得，小明的眼睛离地面的高度． 求解过程： 由测量知，，，， 由题可知， ， ①___________ ，即， ②___________（） 故旗杆的高度为……． 方案二：如图，小亮在测点处安置测倾器，测得旗杆顶端的仰角，量出测点到旗杆的距离，量出测倾器的高度． (1)补全小明求解过程中①②所缺的内容； (2)请你根据方案二求出旗杆的高度（结果精确到） （参考数据：，，） 【答案】(1)①；②． (2)旗杆的高度约为米． 【难度】0.65 【知识点】相似三角形实际应用、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】（1）结合相似三角形的判定与性质进行填空即可； （2）先由题意得出，，再由解直角三角形即可得旗杆的高度． 【详解】（1）解：由测量知，，，， 由题可知， ， ， ，即， ， 故旗杆的高度为． 故答案为：①；②． （2）解：依题得：，， ， ， 旗杆的高度约为米． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质、解直角三角形的实际应用，解题关键是熟练掌握解直角三角形． 25．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，图1、图2和图3均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点和点F均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图1中的线段上求作一点D，连接，使； (2)在图2中的线段上求作一点E，连接，使； (3)在图3中的线段上求作一点G，连接，，使 ． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析 【难度】0.65 【知识点】等边对等角、三线合一、勾股定理与网格问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了格点作图，矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）取格点E，连接交于点D即可； （2）取格点M，连接交于E即可； （3）取格点，连接交于G即可． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求， 理由：由题意知：，， 则四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 故点D即为所求； （2）解：如图，点E即为所求， 理由：根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 即点E即为所求； （3）解：如图，点G即为所求， 理由：关于对称， ∴垂直平分， ∴， 又， ∴， 又， ∴， 故点G即为所求． 26．（2025·辽宁沈阳·二模）在中，点D为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边（点，按逆时针方向排序），连接． (1)当时，如图①，求的度数； (2)当时，如图②，求线段的长； (3)当时，求线段长． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的判定与性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）证明为等边三角形，得出，证明为等边三角形，得出，最后求出结果即可； （2）在上取点F，使，连接，，过点E作于点G，证明，得出，，解直角三角形得出，，求出，根据勾股定理得出即可； （3）在上取点F，使，过点C作，过点D作，交于点H，过点A作于点K，证明，得出，即，求出，设，则，设，则，，设，则，，，根据勾股定理得出，证明，得出，即，求出，列出方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴； （2）解：在上取点F，使，连接，，过点E作于点G，如图所示： ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上取点F，使，过点C作，过点D作，交于点H，过点A作于点K，如图所示： ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴四边形为平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 设，则，， 设，则，，， 在中，根据勾股定理得：， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 得：， 由③得：， 把代入得：， 整理得：， ∵ ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，三角形外角的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 27．（2025·辽宁铁岭·二模）在中，，点在直线上，连接，作．连接，． (1)如图1，若，求证：．小明同学的想法是：在上截取．，连接，通过证明三角形全等，得到对应边相等，即可得出结论．请你按照小明的思路进行证明； (2)若，． ①如图，点在线段上（不包含，两点），求的度数； ②若点在直线上运动，直线，相交于点，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 或 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据题意证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）①过点作于点，设，证明，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解； ②当在线段上时，过点作于点，过点作于点，解，即可求解；当在的延长线上时，过点作于点，过点作于点，证明，进而证明是的中点，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴ 又∵ ∴是等边三角形，则 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ （2）①如图，过点作于点，设， ∵在中，．，， ∴，都是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∵， ∴，， 设，则，， ∴， ∴ ∴ ∴ ②解：如图，当在线段上时，过点作于点，过点作于点， ∴ 由①可得 ∴, ∵，， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ 设，则, ∴ ∴ 解得： 在中，； 如图，当在的延长线上时，过点作于点，过点作于点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, 同理可得， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 28．（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，点O在上，连接，并延长至点D，使得，，连接，，E是上的一点，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形． (2)如图2，将沿折叠，使点D的对应点F落在上，若，猜想与的数量关系，并加以证明． (3)如图3，将沿折叠，点D的对应点F落在的延长线上，与交于点G． ①求证：． ②若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)．证明见解析 (3)①见解析；② 【难度】0.4 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据菱形的性质与判定求线段长、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由已知条件可得出是的垂直平分线，由垂直平分线的性质得出，再结合即可得出，进而可证． （2）延长交于点．由折叠的性质，可得．由菱形的性质可进一步推出， 设，则，得出，证明，由相似三角形的性质即可得出． （3）①由折叠的性质，可得，由等边对等角可得出，再利用菱形的性质得出 ，等量代换可得出，再根据等角对等边可得出． ②延长，交的延长线于点．先证明，由全等三角形的性质得出，再证明，再由全等三角形的性质得出 ，进一步即可得出答案． 【详解】（1）证明：， 是的垂直平分线， ． ， 四边形是菱形． （2）．证明如下： 证明：如图1，延长交于点． 由折叠的性质，可得． 四边形是菱形， ，， ． ， ， ∴设，则， ， ， ， ， ， ， ． （3）①证明：由折叠的性质，可得， ， 四边形是菱形， ， ， ， ． ②如图2，延长，交的延长线于点． ． ， ， ， ， ． 由折叠的性质，可得． 四边形是菱形， ， ， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，综合性较强，掌握这些判定定理和性质是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$