第04讲 圆的认识与有关概念（知识清单+易错+4必考题型）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（苏科版）

第04讲 圆的认识与有关概念 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视点的位置有在圆内和圆外两种情况而出错 题型方法 题型一 圆的定义 题型二 点和圆的位置关系 题型三 与圆有关的概念 题型四 与半径有关的计算和证明 知识清单 知识点1 圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点诠释： 　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释： 　 ①定点为圆心，定长为半径； 　　②圆指的是圆周，而不是圆面； 　　③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 知识点2．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点3. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 　　直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释： 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　证明：连结OC、OD 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) 　　　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦. 易错分析 【易错点一】忽视点的位置有在圆内和圆外两种情况而出错 【例1】（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）已知，点A为⊙O所在平面上一点，且点A到⊙O上所有点的距离中，最长为5，最短为1，则⊙O的半径为（　　） A．2 B．2．5 C．3 D．2或3 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）点P到上各点的最大距离为5，最小距离为1，则的半径为 ． 【变式2】（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）平面上一点A与上点的最短距离为2，最长距离为10，则半径为 ． 【变式3】圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半径是多少？ 题型方法 【题型一】圆的定义 【例1】（2023九年级上·江苏·专题练习）能决定圆的位置的是（　　） A．圆心 B．半径 C．直径 D．周长 【举一反三】【变式1】（2023九年级上·江苏·专题练习）下列条件中能够确定一个圆的是（　　） A．已知圆心 B．已知半径 C．已知三个点 D．过一个三角形的三个顶点 【变式2】（21-22九年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法中，正确的是（    ） A．两个半圆是等弧 B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧 C．长度相等的弧是等弧 D．直径未必是弦 【变式3】下列图形为圆的是（    ） A．   B．   C．   D．   【题型二】点和圆的位置关系 【例2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）的半径为，同一个平面内有一点，且，则与的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．无法确定 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，半径为5，那么图中到圆心O距离为5的点是（   ） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）的直径为，点P到圆心O的距离为，点P与的位置关系是 ． 【变式3】（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm， (1)若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是______． 【题型三】与圆有关的概念 【例3】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．在同一个圆中，直径是最长的弦 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．半圆是弧，弧也是半圆 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④长度相等的弧的度数相等．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦 【变式3】（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）下列说法中，正确的个数是（　　） （1）三点确定一个圆（2）长度相等的两条弧一定是等弧（3）半径相等的两个圆是等圆（4）相等的圆心角所对的弦相等（5）长度相等的弦所对的优弧一定是等弧（6）四边形都有一个外接圆 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型四】与半径有关的计算和证明 【例4】（21-22九年级下·江苏南京·期中）如图，在扇形中，为上的点，连接并延长与的延长线交于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，半径，，求的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，点A、B在圆上，且，则的度数为 °． 【变式3】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图， 是的直径， 是的弦， 、的延长线交于点，． 若 求的度数． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）下列说法：①三点确定一个圆；②圆的直径是圆的对称轴；③三角形的外心到三个顶点的距离相等．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知的半径是方程的根，且点A到圆心的距离为6，则点A在（   ） A．上 B．内 C．外 D．无法确定 3．（21-22九年级上·江苏南京·期末）已知的半径为3，点在外，则的长可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，为的两条弦，连接，若，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知的半径为2，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是 ． 7．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知点P在⊙O外，且P点到⊙O最大距离是6，最小距离是2，则⊙O的半径为 ． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，是的直径，点、在上，，，则 ． 三、解答题 9．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由． 10．（22-23九年级上·江苏淮安·期中）在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 11．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，点O是同心圆的圆心，大圆半径，分别交小圆于点C，D，求证：． 12．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且的延长线交于点E．若，求的度数．    13．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）在同一平面内，已知点到直线的距离为5，以点为圆心，为半径画圆．探究、归纳： (1)当________________时，上有且只有一个点到直线距离等于3； (2)当________________时，上有且只有三个点到直线距离等于3； (3)随着的变化，上到直线的距离等于3的点的个数有哪些变化？求出相对应的的值或取值范围（不必写出计算过程）． 14．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，A是外一点，直线交于C、D两点，E是上的一点（不与C、D重合），连接交于点B，． (1)当点B在线段上，如图1所示，求与之间的关系； (2)当点E在线段上，如图2所示，若，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$第04讲 圆的认识与有关概念 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视点的位置有在圆内和圆外两种情况而出错 题型方法 题型一 圆的定义 题型二 点和圆的位置关系 题型三 与圆有关的概念 题型四 与半径有关的计算和证明 知识清单 知识点1 圆的定义 (1)动态:如图,在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”. 要点诠释: ①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;确定一个圆应先确定圆心,再确定半径,二者缺一不可; ②圆是一条封闭曲线. (2)静态:圆心为O,半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释: ①定点为圆心,定长为半径; ②圆指的是圆周,而不是圆面; ③强调“在一个平面内”是非常必要的,事实上,在空间中,到定点的距离等于定长的点的集合是球面,一个闭合的曲面. 知识点2.点与圆的位置关系 (1)点与圆的位置关系有3种.设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有: ①点P在圆外 d>r ②点P在圆上 d=r ①点P在圆内 d<r (2)点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系,反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系. (3)符号“ ”读作“等价于”,它表示从符号“ ”的左端可以得到右端,从右端也可以得到左端. 知识点3. 弦 弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径:经过圆心的弦叫做直径. 弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释: 直径是圆中通过圆心的特殊弦,也是圆中最长的弦,即直径是弦,但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦?如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O中任意一条弦,求证:AB≥CD. 证明:连结OC、OD ∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时,取“=”号) ∴直径AB是⊙O中最长的弦. 易错分析 【易错点一】忽视点的位置有在圆内和圆外两种情况而出错 【例1】(22-23九年级上 江苏南通 阶段练习)已知,点A为⊙O所在平面上一点,且点A到⊙O上所有点的距离中,最长为5,最短为1,则⊙O的半径为( ) A.2 B.2.5 C.3 D.2或3 【答案】D 【分析】根据点A与⊙O上的点的最小距离是2cm,最大距离是5 cm,分两种情况:点A在圆外;点A在圆内,分别解答即可得到结论. 【详解】解:∵点A为⊙O所在平面上一点,且点A到⊙O上所有点的距离中,最长为5,最短为1, ∴当点A在圆外时,⊙O的半径=, 当点A在圆内时,⊙O的半径=, 故选:D. 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系:设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有点P在圆外 d>r;点P在圆上 d=r;点P在圆内 d<r.分情况解答是关键. 【举一反三】【变式1】(23-24九年级上 江苏扬州 阶段练习)点P到上各点的最大距离为5,最小距离为1,则的半径为 . 【答案】3或2/2或3 【分析】当点在圆内时,最大距离与最小距离之和就是圆的直径,可以求出圆的半径.当点在圆外时,最大距离与最小距离之差就是圆的直径,可以求出圆的半径. 【详解】解:当点在圆内时,因为点到圆上各点的最大距离是5,最小距离是1,所以圆的直径为6,半径为3. 当点在圆外时,因为点到圆上各点的最大距离是5,最小距离是1,所以圆的直径为4,半径为2. 故答案为:3或2. 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系,根据点到圆上各点的最大距离和最小距离,可以得到圆的直径,然后确定半径的值. 【变式2】(23-24九年级上 江苏常州 阶段练习)平面上一点A与上点的最短距离为2,最长距离为10,则半径为 . 【答案】6或4 【分析】本题考查了点与圆的位置关系:点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系,反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.解题的关键是分点A在圆内或圆外进行讨论. 分点A在圆内或圆外进行讨论,分别计算即可. 【详解】解:当点A在圆内时,的直径长为,半径为6; 当点A在圆外时,的直径长为,半径为4; 即的半径长为6或4. 故答案为:6或4. 【变式3】圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是10,最小距离是2,求此圆的半径是多少? 【答案】6或4 【分析】点P可能在圆内,也可能在圆外,因而分两种情况进行讨论. 【详解】如图所示,分两种情况: (1)当点P为圆O内一点(如图1),过点P作圆O的直径,分别交圆O于A、B两点, 由题意可得P到圆O最大距离为10,最小距离为2, 则AP=2,BP=10, 所以圆O的半径为. (2)当点P在圆外时(如图2),作直线OP,分别交圆O于A、B, 由题可得P到圆O最大距离为10,最小距离为2, 则BP=10,AP=2, 所以圆O的半径. 综上所述,所求圆的半径为6或4. 【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系,解题的关键是注意此题应分为两种情况来解决. 题型方法 【题型一】圆的定义 【例1】(2023九年级上 江苏 专题练习)能决定圆的位置的是( ) A.圆心 B.半径 C.直径 D.周长 【答案】A 【分析】根据圆的定义解答即可. 【详解】解:根据圆的定义可知,能决定圆的位置的是圆心. 故选A. 【点睛】本题主要考查了圆的定义:圆是指到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.圆心在哪,圆的位置就在哪.理解圆的定义是解题的关键. 【举一反三】【变式1】(2023九年级上 江苏 专题练习)下列条件中能够确定一个圆的是( ) A.已知圆心 B.已知半径 C.已知三个点 D.过一个三角形的三个顶点 【答案】D 【分析】已知圆心和半径所作的圆就是唯一的,不在同一直线上的三点确定一个圆. 【详解】解:确定一个圆的条件是圆心和半径,过一个三角形的三个顶点即可确定一个圆, 故选:D. 【点睛】本题主要考查了确定圆的条件,根据不在一条直线上的三点确定一个圆是解题关键. 【变式2】(21-22九年级上 江苏南京 阶段练习)下列说法中,正确的是( ) A.两个半圆是等弧 B.同圆中优弧与半圆的差必是劣弧 C.长度相等的弧是等弧 D.直径未必是弦 【答案】B 【分析】根据等弧、优弧、劣弧及圆的定义逐项进行判断即可. 【详解】A、当两个半圆的半径不相等时,其弧不相等,故说法错误; B、同圆中优弧与半圆的差必是劣弧,说法正确; C、在同圆或等圆中,能够重合的两条弧叫等弧,故说法错误; D、直径是圆中最长的弦,故说法错误. 故选:B. 【点睛】本题考查了圆的有关定义,关键是了解等弧及半圆的定义,优弧与劣弧的定义. 【变式3】下列图形为圆的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据圆的定义即可判定. 【详解】解:A.图形没有定点,故不是圆,故该选项不符合题意; B.图形规定了定点和定长,故是圆,故该选项符合题意; C.图形不是圆,故该选项不符合题意; D.图形不是圆,故该选项不符合题意; 故选:B. 【点睛】本题考查了圆的定义,熟练掌握和运用圆的定义是解决本题的关键. 【题型二】点和圆的位置关系 【例2】(24-25九年级上 江苏扬州 期末)的半径为,同一个平面内有一点,且,则与的位置关系是( ) A.在圆外 B.在圆上 C.在圆内 D.无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系,根据点在圆上,则;点在圆外,;点在圆内,即点到圆心的距离,即圆的半径即可得到结论. 【详解】解:的半径为, , 点在圆外. 故选:A. 【举一反三】【变式1】(24-25九年级上 江苏盐城 期中)如图,半径为5,那么图中到圆心O距离为5的点是( ) A.P点 B.Q点 C.M点 D.N点 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆心的位置关系,根据图中的点在圆的分布位置,即可作答. 【详解】解:A、因为点P在圆上,所以点P到圆心O距离即为半径,为5,故该选项符合题意; B、因为点Q在圆内,所以点Q到圆心O距离小于半径5,故该选项不符合题意; C、因为点M在圆内,所以点M到圆心O距离小于半径5,故该选项不符合题意; D、因为点N在圆外,所以点N到圆心O距离大于半径5,故该选项不符合题意; 故选:A 【变式2】(24-25九年级上 江苏无锡 期中)的直径为,点P到圆心O的距离为,点P与的位置关系是 . 【答案】点P在外 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系.若点与圆心的距离d,圆的半径为r,则当时,点在圆外;当时,点在圆上;当时,点在圆内,据此求解即可. 【详解】解:∵的直径为, ∴的半径为, ∵点P到圆心O的距离为,, ∴点P与的位置关系是点P在外. 故答案为:点P在外. 【变式3】(22-23九年级上 江苏连云港 阶段练习)如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm, (1)若以A为圆心,6cm长为半径作⊙A(画图),则B、C、D与圆的位置关系是什么? (2)若作⊙A,使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内,至少有一点在⊙A外,则⊙A的半径r的取值范围是_. 【答案】(1)作图见解析,点B在圆上,点C和点D在圆外 (2)6<r<10 【分析】(1)根据题意画出图形, 结合图形即可判断点与圆的位置关系. (2)根据勾股定理计算出对角线AC的长度,则半径的取值范围为AB<r<AC. 【详解】(1) 由图可知:点B在圆上,点C和点D在圆外. (2)连接AC,在Rt ABC中,AC=, ∴6<r<10. 故答案为:6<r<10. 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系,熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键. 【题型三】与圆有关的概念 【例3】(24-25九年级上 江苏盐城 期中)下列说法中,正确的是( ) A.在同一个圆中,直径是最长的弦 B.长度相等的弧是等弧 C.弦是直径 D.半圆是弧,弧也是半圆 【答案】A 【分析】本题考查了圆的相关概念,熟练掌握圆的相关概念是解此题的关键.根据圆的相关概念逐项分析即可. 【详解】解:A.在同一个圆中,直径是最长的弦,正确; B.能够重合的弧是等弧,故不正确; C.直径是弦,但弦不一定是直径,故不正确; D.半圆是弧,弧不一定是半圆,故不正确; 故选A. 【举一反三】【变式1】(24-25九年级上 江苏连云港 期中)有下列四个命题:①直径是弦;②经过三个点一定可以作圆;③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;④长度相等的弧的度数相等.其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本概念,熟练掌握圆的基本概念是解题的关键.根据圆的基本概念,即可判断答案. 【详解】因为“直径是弦”是真命题,所以①正确; 因为“经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆”,所以②错误; 因为“三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等”是真命题,所以③正确; 只有在同圆或等圆中,长度相等的弧的度数才相等,所以④错误; 所以其中正确的有2个. 故选:B. 【变式2】(23-24九年级上 江苏宿迁 期中)下列说法中,正确的是( ) A.半圆是弧,弧也是半圆 B.长度相等的弧是等弧 C.弦是直径 D.在一个圆中,直径是最长的弦 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本概念辨析.根据弧:圆上两点及其所夹的部分;弦:连接圆上两点形成的线段,逐一进行判断即可. 【详解】解:A、半圆是弧,但弧不一定是半圆,故选项错误; B、在同圆或等圆中,长度相等的弧是等弧,故选项错误; C、弦不一定是直径,故选项错误; D、在一个圆中,直径是最长的弦,故选项正确; 故选D. 【变式3】(23-24九年级上 江苏常州 阶段练习)下列说法中,正确的个数是( ) (1)三点确定一个圆(2)长度相等的两条弧一定是等弧(3)半径相等的两个圆是等圆(4)相等的圆心角所对的弦相等(5)长度相等的弦所对的优弧一定是等弧(6)四边形都有一个外接圆 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【分析】根据圆的相关概念和性质逐一判断,即可得到答案. 【详解】解:(1)不在同一直线上的三点确定一个圆,原说法错误,不符合题意; (2)长度相等弧是不一定是等弧,等弧的长度相等,原说法错误,不符合题意; (3)半径相等的两个圆是等圆,原说法正确,符合题意; (4)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,原说法错误,不符合题意; (5)在同圆或等圆中,长度相等的弦所对的优弧一定是等弧,原说法错误,不符合题意; (6)不是所有四边形都有一个外接圆,只要对角互补的四边形才有外接圆,原说法错误,不符合题意; 即正确的说法有1个, 故选:A. 【点睛】本题考查了圆的相关概念和性质,熟练掌握相关知识点是解题关键 【题型四】与半径有关的计算和证明 【例4】(21-22九年级下 江苏南京 期中)如图,在扇形中,为上的点,连接并延长与的延长线交于点,若,,则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】连接,根据,,设,根据等边对等角以及三角形外角的性质可得 ,根据三角形内角和定理即可求得 【详解】解:如图,连接, 设, 在中, 故选C 【点睛】本题考查了圆的基本概念,等角对等边,三角形内角和定理,掌握以上知识是解题的关键. 【举一反三】【变式1】(22-23九年级上 江苏无锡 期中)如图,在中,半径,,求的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据,,首先计算,然后再由,可知,结合三角形外角的性质计算的度数即可. 【详解】解:∵,, ∴, ∵, ∴, ∴. 故选:A. 【点睛】本题主要考查了圆的性质、余角的性质、等腰三角形的性质以及外角的性质等知识,熟练掌握相关性质并灵活运用是解题关键. 【变式2】(22-23九年级上 江苏淮安 期中)如图,在中,点A、B在圆上,且,则的度数为 . 【答案】60 【分析】连接,证明是等边三角形,可得结果. 【详解】解:连接, ∵,, ∴, ∴是等边三角形, ∴, 故答案为:60. 【点睛】本题考查了圆的基本性质,等边三角形的判定和性质,解题的关键是连接半径,构造等边三角形. 【变式3】(24-25九年级上 江苏无锡 期中)如图, 是的直径, 是的弦, 、的延长线交于点,. 若 求的度数. 【答案】 【分析】本题考查了圆的基本性质,等腰三角形的性质,三角形的外角的性质;根据已知得出,根据得出,进而根据三角形外角的性质,得出,即可求解. 【详解】解:如图所示,连接, ∵ ∴ ∴, 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 好题必刷 一、单选题 1.(24-25九年级上 江苏连云港 期中)下列说法:①三点确定一个圆;②圆的直径是圆的对称轴;③三角形的外心到三个顶点的距离相等.其中正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外心,圆的性质,确定圆的条件;①根据确定一个圆的条件即可判断.②根据对称轴为直线即可判断;③根据三角形外心的性质即可判断. 【详解】解:①不共线三点确定一个圆,故该选项不正确,不符合题意; ②圆的直径所在直线是圆的对称轴,故该选项不正确,不符合题意; ③三角形的外心到三个顶点的距离相等,故该选项正确,符合题意, ∴正确的有1个, 故选:B. 2.(24-25九年级上 江苏宿迁 期末)已知的半径是方程的根,且点A到圆心的距离为6,则点A在( ) A.上 B.内 C.外 D.无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、点与圆的位置关系等知识点,掌握判定点与圆的位置关系的判定方法是解题的关键. 先根据题意求得方程的根,从而得到圆的半径,再根据半径r与d的值的大小关系即可解答. 【详解】解:解方程得:(舍去) ∴圆O的半径是8, ∵点A到圆心O的距离为6,, ∴点A在圆O内. 故选:B. 3.(21-22九年级上 江苏南京 期末)已知的半径为3,点在外,则的长可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【分析】本题考查了点和圆的位置关系;根据点在圆外,点到圆心的距离大于圆的半径可得答案. 【详解】解:∵的半径为3,点P在外, ∴, ∴的长可能是4, 故选:D. 4.(24-25九年级上 江苏宿迁 期中)如图,为的两条弦,连接,若,则等于( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了圆,等边对等角.熟练掌握圆,等边对等角是解题的关键. 如图,连接,由,可得,根据,求解作答即可. 【详解】解:如图,连接, ∵, ∴, ∴, 故选:B. 5.(23-24九年级上 江苏宿迁 阶段练习)如图,在矩形中,,,以顶点为圆心作半径为的圆,若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系.要确定点与圆的位置关系,主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断.当时,点在圆外;当时,点在圆上;当时,点在圆内. 【详解】解:连接, 在直角中,,, 则. 由图可知. 故选:B. 二、填空题 6.(24-25九年级上 江苏泰州 期末)已知的半径为2,点到圆心的距离为,那么点与的位置关系是 . 【答案】点在内 【分析】本题考查的是点圆的位置关系,设的半径为r,点P到圆心的距离,则有:点P在圆外则;点P在圆上则;点P在圆内则.直接根据点与圆的位置关系解答即可. 【详解】解:∵, ∴点在内. 故答案为:点在内. 7.(24-25九年级上 江苏泰州 阶段练习)已知点P在⊙O外,且P点到⊙O最大距离是6,最小距离是2,则⊙O的半径为 . 【答案】2 【分析】本题考查了平面内一点与圆上各点的距离问题,应先将最大距离与最小距离的点的位置确定下来,再来求解 . 【详解】解:如图所示,连接,与圆交于、两点, 则, 设圆的半径为, ∴, ∴, 故答案为:2 . 8.(24-25九年级上 江苏苏州 阶段练习)如图,是的直径,点、在上,,,则 . 【答案】/40度 【分析】本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质、圆的相关性质、三角形的内角和定理.先利用邻补角性质和平行线的性质求得,再根据等边对等角性质求解即可. 【详解】解:∵是的直径,, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, 故答案为:. 三、解答题 9.(2024九年级上 江苏 专题练习)如图.在直角三角形ABC中,分别为的中点,以B为圆心,为半径画圆.试判断点与的位置关系.并说明理由. 【答案】见解析 【分析】本题考查了点和圆的位置关系,关键要记住若半径为r,点到圆心的距离为d,则有:当时,点在圆外;当时,点在圆上,当时,点在圆内.求得到圆心的距离,与圆的半径进行比较即可作出判断. 【详解】解:连接. C在上; 在直角中,, 则A在的外部; ,则E在内部; ,则在直角中,,则F在的外部. 10.(22-23九年级上 江苏淮安 期中)在矩形中,,. (1)若以为圆心,8长为半径作,则、、与圆的位置关系是什么? (2)若作,使、、三点至少有一个点在内,至少有一点在外,则的半径的取值范围是 . 【答案】(1)点在内,点在外,点在上 (2) 【分析】(1)根据点到圆的位置关系,比较与圆的半径之间的大小关系,即可得解; (2)根据题意,和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系,即可得解. 【详解】(1)解:连接, ,, , 的半径为8, 点在内,点在外,点在上; (2)解:,,, 又以点为圆心作,使,,三点中至少有一个点在圆内,且至少有一点在圆外, 的半径的取值范围是. 故答案为:. 【点睛】本题考查点与圆的位置关系.熟练掌握点到圆心的距离与圆的半径之间的关系,判断点与圆的位置关系,是解题的关键. 11.(24-25九年级上 江苏南通 阶段练习)如图,点O是同心圆的圆心,大圆半径,分别交小圆于点C,D,求证:. 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的半径相等.利用半径相等得到,则利用等腰三角形的性质得,再根据三角形内角和定理得到,同理可得,则,然后根据平行线的判定即可得到结论. 【详解】证明:, , , , , , , ∴. 12.(2023九年级上 江苏 专题练习)如图,是的直径,C是延长线上一点,点D在上,且的延长线交于点E.若,求的度数. 【答案】 【分析】连接,根据及外角的性质得出的度数,最后根据为的外角得出答案. 【详解】解:如图所示,连接, ∵, ∴, ∴, ∴. 【点睛】本题主要考查的是圆的基本性质,属于基础题型.解决这个问题关键就是利用隐含条件将其转化为等腰三角形的问题来进行解答. 13.(24-25九年级上 江苏盐城 期中)在同一平面内,已知点到直线的距离为5,以点为圆心,为半径画圆.探究、归纳: (1)当_时,上有且只有一个点到直线距离等于3; (2)当_时,上有且只有三个点到直线距离等于3; (3)随着的变化,上到直线的距离等于3的点的个数有哪些变化?求出相对应的的值或取值范围(不必写出计算过程). 【答案】(1)2 (2)8 (3)当,无距离等于3的点,当,有且只有一个距离为3的点,当,有且只有两个距离为3的点,当,有三个,当,有四个 【分析】本题主要考查了点与圆的关系,掌握分类讨论思想成为解题的关键. (1)根据垂线段最短,则要使上有且只有一个点到直线l的距离等于3,则该点是点O到直线l的垂线段与圆的那个交点,此时圆的半径是; (2)根据点O到直线l的距离为5,要使上有且只有三个点到直线l的距离等于3,则需要在此直线的两侧分别有一条和该直线的距离是3的直线分别和圆相交、相切.此时圆的半径是; (3)结合上述两种特殊情况分、、、、五种情况即可解答. 【详解】(1)解:如图:上有且只有一个点到直线距离等于3,即. 故答案为:2. (2)解:如图:上有且只有三个点到直线距离等于3,即. 故答案为8. (3)(3)当时,上没有点到直线l的距离等于3, 当时,上有且只有1个点到直线l的距离等于3, 当时,上有且只有2个点到直线l的距离等于3, 当时,上有且只有3个点到直线l的距离等于3, 当时,上有且只有4个点到直线l的距离等于3. 14.(24-25九年级上 江苏盐城 期中)如图,A是外一点,直线交于C、D两点,E是上的一点(不与C、D重合),连接交于点B,. (1)当点B在线段上,如图1所示,求与之间的关系; (2)当点E在线段上,如图2所示,若,求的度数. 【答案】(1) (2). 【分析】本题考查了等腰三角形的性质,三角形外角的性质以及三角形内角和定理. (1)连接,则,根据等边对等角得出,,进而求得,得出; (2)连接,则,根据等边对等角得出,,进而根据三角形内角和定理求得即可求得,代入求解即可. 【详解】(1)解:; 如图,连接,则, . , , , , , , ; (2)解:如图2,连接,则, . , , , , , , , , . 1 学科网(北京)股份有限公司 $$