江苏省徐州市铜山区启星中学2024-2025学年高二下学期第二次检测数学试卷

第1页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 启星中学 2024-2025学年度第二学期第二次检测 高二年级数学试题 一、单选题（共 8个小题，每小题 5分，共 40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项） 1．已知集合 {0,1,2,3,4,5}, {0,2,4,6,8}A B= = ，则图中阴影部分所示集合的元素个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．设 Rx ，则“ 1 1x+  ”是“ 1 1 2 x−  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知变量 x与 y的 5 组观测值如下表：且 y对 x呈线性相关关系，则 y关于 x的回归直线必过的 定点为（ ） x 1 2 3 4 5 y 4 6 n+ 8 10 n− 12 A． ( )5,12 B． ( )3,8 C． ( )2,6 n+ D． ( )1,4 4．若关于 x 的不等式 2 1 0mx mx− −  的解集是R ，则实数m 的取值范围是（ ） A．{ | 4 0}m m−   B．{ | 4 0}m m−   C．{ | 0 4}m m  D．{ | 4 0}m m−   5．已知 0, 0,2 1a b a b  + = ，则 1 a a b + 的最小值为（ ） A．2 B． 7 2 C．4 D．9 6．已知函数 (3 2)y f x= + 的定义域为 5 [ ,1] 3 − ，则函数 ( ) 1 f x y x = − 的定义域为（ ） A． ( 1,5 B． 1,5 C． 5 [ ,1] 3 − D． ( 2,5 7．设 ( ) ( )( )5 , 10 2 15, 10 f f x x f x x x  +  =  −  ，则 ( )9f 的值为（ ） A．9 B．11 C．28 D．14 8．若 0a  ， 0b  ，3 5 1a b+ = ，则 2 2 11 13 2 6 4 a b a ab b + + + 的最小值为（ ） A．16 B．18 C．20 D．22 第2页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 二、多项选择题（共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求） 9．下列说法正确的有（ ） A．命题“ 21, 0x x x  −  ”的否定是“ 21, 0x x x  −  ” B．“ x y ”是“ x y ”的必要条件 C．命题“ 2, 0x x  Z ”是假命题 D．“ 0m  ”是“关于 x 的方程 2 2 0x x m− + = 有一正一负根”的充要条件 10．已知函数 2 2 ( ) 1 f x x = + ，则（ ） A． ( ) ( ) 0f x f x+ − = B． ( ) 2f x  C． 1 ( ) ( ) 2f x f x + = D． 1 1 (3) (2) (1) ( ) ( ) 5 2 3 f f f f f+ + + + = 11．已知 0, 0a b  ，则下列结论正确的是（ ） A．若 1a b+ = ，则 2 2 54 4 a b+  B．若 1a b+ = ，则 +a b 的最大值为 2 C．若 2a b+ = ，则 2 2 1 1 a b a b + + + 的最小值为 1 D．若 2a b+ = ，则 2 2 1 1 1 1a b + + + 的最大值为 1 2 2 + 三、填空题：（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分 ） 12．已知变量 x和 y的统计数据如下表 x 1 2 3 4 5 y 4 6 7 m 8 若 x，y线性相关，且经验回归方程为分 ˆ 1.2y x n= + ，则5n m− = ． 13．若 0<a<1，则不等式(a－x) 1 x a   −    >0 的解集是 ． 14．已知实数 1a b c+ + = ，且关于 x的一元二次方程 2 0ax bx c+ + = 有实数根，则max{ , , }a b c 的最小 值为 ． 四、解答题（共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知aR，命题 : [1,2]p x  ， 2x a ；命题 0:q x R ， 2 0 02 ( 2) 0x ax a+ − − = ． (1)若 p是真命题，求 a的最大值； (2)若 p、q中有且只有一个是真命题，求 a的取值范围． 第3页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 16．通过市场调查发现：某产品生产需投入年固定成本 3 万元，每生产 x 万件，需要额外投入流动 成本 ( )P x 万元.在年产量不足5万件时， ( ) 18 6 11 2 1 P x x x = + − + （万元）；在年产量不少于5万件时， ( ) 2 108 6 15P x x x = + − （万元）.已知每件产品售价5元，且生产的产品在当年可全部售完. (1)写出年利润 ( )W x （万元）关于年产量 x （万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，生产销售该产品所获利润最大？最大利润是多少？ （注：若𝑎𝑖 > 0(𝑖 = 1,2,3,⋯ , 𝑛), 𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎𝑛 𝑛 ≥ √𝑎1𝑎2⋯𝑎𝑛 𝑛 ，当且仅当𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑛时等号成 立） 17．某科技公司的厂告投入 x （单位：百万）与销售额 y （单位：千万）之间有如下对应数据： 广告投入 x 18 16 14 12 10 8 销售额 y 13 11 9 8 7 6 (1)求样本相关系数 r （结果保留两位小数），并判断 y 与 x 是否具有较强的线性相关性； (2)求销售额 y 关于广告投入 x 的经验回归方程. 参考公式： ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 22 2 11 1 ˆ ˆˆ, , n n i i i i i i nn n ii i ii i x x y y x x y y r b a y bx x xx x y y = = == = − − − − = = = − −− −     . 参考数据： ( )( ) 6 1 48, 595 24.4i i i x x y y = − − =  . 18．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老 人，结果如下面表中所示： 男 女 合计 需要 50 25 s 不需要 200 225 425 合计 250 t 500 第4页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 (1)求 s，t； (2)能否有 99%的把握认为该地老年人是否需要帮助与性别有关？ (3)根据（2）的结论，你能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的 老年人的比例？说明理由． 附： ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bc a b c d a c b d  − = + + + + ， ( )2P k  0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 19．法国数学家佛郎索瓦・韦达于 1615 年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的 关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它 的内容为：“对于一元二次方程 ( )2 0 0ax bx c a+ + =  ，它的两根 、 有如下关系： , b c a a   + = − = ．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数 和 满足如下关系： , b     + = − = c a ，那么这 两个数 和 是方程 ( )2 0 0ax bx c a+ + =  的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的 和与积的关系构造一元二次方程 例如： 3, 2m n mn+ = − = ，那么m 和 n是方程 2 3 2 0x x+ + = 的两根．请应用上述材料解决以下问题： (1)已知m 、 n是两个不相等的实数，且满足 2 2 4m m− = ， 2 2 4n n− = ，求 1 1 m n + 的值； (2)已知实数a、b 满足 ( ) 13ab a b+ + = ， 2 2 42a b ab+ = ，求 2 2a b+ 的值； (3)已知 1x ， 2x 是二次函数 ( ) 24 4 1f x kx kx k= − + + 的两个零点，且 Zk ，求使 1 2 2 1 x x x x + 的值为整数的 所有 k 的值．