专题04 整式的乘除解答题3大题型-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（辽宁专用）

专题04 整式的乘除解答题 题型概览 题型01整式的乘除计算 题型02整式的乘除实际应用 题型03完全平方公式的实际应用 整式的乘除计算题型01 1．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值：，其中， 2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）计算： (1)； (2) 3．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）计算： (1)计算： (2)化简求值，其中，． 4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）计算∶ (1)； (2)． 5．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）化简求值：，其中． 6．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）计算 (1)； (2)； 7．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中， 8．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）计算题 (1)计算： (2)利用公式计算： (3)先化简，再求值：，其中 9．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）计算 (1)； (2)用简便方法计算： 10．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期末）计算： (1) (2) 11．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期末）已知展开的结果中，不含和项．（，为常数） (1)求，的值； (2)先化简，再求值：．（，利用（）结果） 12．（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）计算 (1) (2) (3)先化简，再求值：其中 13．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 14．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）计算： (1) (2) 15．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）先化简，再求值：；其中，． 16．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）计算： (1)； (2) (用整式乘法公式计算)； (3)； (4)． 17．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）先化简，再求值：，其中，． 18．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）计算 (1)． (2)先化简，再求值：，其中，． 19．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）计算：； （2）化简：． 20．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）计算 (1) (2) 21．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 22．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）计算 (1) (2)． 23．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值，其中，． 24．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值：，其中． 25．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）计算： (1)； (2)． 26．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）计算∶ (1) (2) 27．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）（1） 计算 （2）化简求值：当的时候，求代数的值 28．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）计算： (1) (2) 29．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）先化简，再求值：，其中， 30．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）计算： (1) (2) 31．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）先化简再求值：，其中，． 32．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）（1） （2） 整式的乘除实际应用题型02 33．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后每两个小长方形拼成形，再将形中涂上阴影，如图2和3所示．设图2中的阴影面积为，图3中的阴影面积为 (1)独立思考：求和的值用含a，b的代数式表示； (2)实践探究：若，请比较和的大小关系； (3)问题解决：若，求的值． 34．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，积累了研究运算的经验． 现定义为二阶行列式，规定它的运算法则为：． 例如：． (1)求的值． (2)若，求x的值． 35．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）定义：对于一组多项式：，，(a，b，c都是非零常数)，当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差除以x是一个常数m时，称这样的三个多项式是一组和谐多项式，m的值是这组和谐多项式的和谐值．例如：对于多项式，，，因为 ，所以，，是一组和谐多项式，和谐值为. (1)小明发现多项式，，是一组和谐多项式，求其和谐值； (2)若多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式，求p的值． 36．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）【方法回顾】 在学习整式的乘法时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个长方形的面积，进而得到单项式与多项式相乘的法则，也曾经用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式，我们将这种方法称为“等积法”．它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，我们常用“等积法”列出等量关系、求线段长度或线段之间的数量关系． 【方法应用】 （1）如图1，正方形是由长为，宽为的4个全等小长方形拼摆而成的，我们可以利用该正方形面积的不同表示方法验证一个与完全平方公式相关的等量关系，请你写出这个等量关系； 【方法迁移】 （2）如图2，长方形是由8个长为，宽为的全等的小长方形拼摆而成的，请你根据“等积法”计算两次的基本思想，解答下列问题： ①求a，b之间的数量关系； ②若长方形的宽，求小长方形的面积． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是三条角平分线的交点，求点到边的距离． 37．（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）【阅读与思考】 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务： 对于依次排列的多项式是常数），当他们满足 ，且是常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． 例：对于多项式来说 2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． 【任务一】 （1）已知5，6，7，8是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子的值； 【任务二】 （2）若2，4，是一组平衡数，求的值； 【问题解决】 （3）当之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？写出他们之间的关系，并说明理由． 38．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）如图1，是一个长和宽分别为m，n的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加a，b，所得如图2长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式为 ； （2）①如图3，是几个正方形和长方形拼成的一个边长为 的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为          ②已知，，利用①中所得到的等式，求代数式的值． （3）如图4，是用2个正方体和6个长方体拼成的一个棱长为的大正方体，通过用不同的方法表示这个大正方体的体积，求当，时，代数式的值． 39．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，一块长方形土地，长为米，宽为米，现准备在这块土地上修建一个长为米，宽为米的花坛，剩余部分修建成休息区域． (1)请用含a和b的代数式表示休息区域的面积结果要化简； (2)若恒成立，求休息区域的面积． 40．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）“创新”小组的同学在学完整式乘法公式后进行了如下探究活动： 如图①是一个长为宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块完全一样的小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形． (1)图2中阴影部分的正方形的边长是______； (2)直接写出三个代数式，，之间的等量关系． (3)根据（2）中的等量关系，解决问题：若，，求的值． 完全平方公式的实际应用题型03 41．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积． 方法1： ；方法2： (2)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系． (3)类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证： (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 42．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期末）一次数学活动课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片1张，B种纸片1张，C种纸片2张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要A种纸片1张，B种纸片2张，C种纸片______张； (3)结合（1）题中的相关等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知：，求的值． 43．（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）数学活动 【知识生成】 我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到． 图1　　　　　　　　　　　　　图2 【直接应用】 （1）已知：，求的值； 【解决问题】 （2）如图2，四边形是长方形，分别以为边向两边作正方形和正方形，若，两正方形的面积和为54，求长方形的面积； 【知识迁移】 （3）若，求的值． 44．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）阅读下面材料，解答下列问题： 已知：，求的值． 课堂上，两位同学给出了两种不同的解题思路： 小王同学的解题思路： ∵∴∴ ∴ 小李同学的解题思路： 设，，则， ∴ (1)请你根据两位同学的解题思路，任选一种思路解答： 已知：，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为a，点E，点F分别在，上，且，，长方形的面积是21，分别以，为边作正方形和正方形．求图中阴影部分的面积． 45．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）我国著名数学家曾说：“数无形时少直觉，形少数时难入微．”数形结合思想是解决问题的有效途径，请阅读材料完成下面问题： 【算法赏析】 若满足，求的值． 解：设， 则 ； 【算法体验】 （1）若满足，求的值； 【算法应用】 （2）如图，已知数轴上点A，B，C表示的数分别是，10，13．以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于点．若正方形的面积与正方形的面积的和为119，请直接写出长方形的面积． 46．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如，若，，求的值． 解：因为，所以，即． 又因为，所以，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题．      (1)若，，则 ______ （直接填空）； (2)若，，求的值； (3)如图，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外作正方形和，在长方形内作长方形，若长方形的面积为，则正方形和面积的和为______ （直接填空）． 47．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法” 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为 ． (2)若，求代数式的值． 48．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）在学习整式乘法一章时，小明定义：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“妙数”．例如：10是“妙数”，因为；再如：（是整数），所以也是“妙数”． (1)判断20是否为“妙数”___________（填“是”或者“否”）； (2)已知（是整数）是常数，要使为“妙数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 49．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 整式的乘除解答题 题型概览 题型01整式的乘除计算 题型02整式的乘除实际应用 题型03完全平方公式的实际应用 整式的乘除计算题型01 1．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算多项式乘多项式，再合并同类项，再将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式      ； 当，时， 原式           2．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先根据多项式除以单项式，单项式乘以单项式，再合并即可得出答案； （2）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 3．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）计算： (1)计算： (2)化简求值，其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、整式的混合运算以及整式的化简求值． （1）根据乘方的运算法则、零次幂，负整数指数幂运算法则进行计算即可； （2）直接利用乘法公式以及合并同类项法则化简进而把已知代入得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 当，， 原式 ． 4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）计算∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则和乘法公式是解决本题的关键． （1）先利用完全平方公式、平方差公式、去括号，再合并同类项； （2）利用多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）化简求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的应用．先算去括号，再合并同类项，最后代入求出即可． 【详解】解： ， 把代入，得 原式． 6．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）计算 (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 7．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中， 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算化简求值，实数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据有理数的乘方、零指数幂和负整数指数幂、绝对值计算； （2）先利用平方差公式，完全平方公式计算括号里，再算括号外，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时，原式． 8．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）计算题 (1)计算： (2)利用公式计算： (3)先化简，再求值：，其中 【答案】(1)9 (2)1 (3)；1 【分析】本题考查实数的运算，乘法公式，整式混合运算，化简求值． （1）先计算乘方，负整数指数幂，零次幂，再进行加减运算即可； （2）运用平方差公式计算即可； （3）先运用乘法公式计算括号内，再计算除法，化简后代入值即可解答． 【详解】（1）解：    ； （2）解：       ； （3）解：    ， 当时， 原式． 9．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）计算 (1)； (2)用简便方法计算： 【答案】(1)1 (2)4043 【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂以及有理数的乘方进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可． 本题考查零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，平方差公式，掌握零指数幂的性质，负整数指数幂，有理数的乘方的计算方法、平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、零指数幂以及幂的混合运算． （1）先计算负整数幂，零指数幂，化简绝对值，最后再计算加减法． （2）先计算同底数幂的乘除法，幂的乘方运算以及积的乘方运算，最后再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2） ． 11．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期末）已知展开的结果中，不含和项．（，为常数） (1)求，的值； (2)先化简，再求值：．（，利用（）结果） 【答案】(1)，； (2)；． 【分析】（）先根据多项式乘以多项式得，展开的结果中，不含和项，可得，，计算求解即可； （）根据平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式得，将，代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵展开的结果中，不含和项， ∴，， 解得，； （2）解： ， 将，代入得， 原式． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，多项式除以单项式，平方差公式，完全平方公式，代数式求值等知识，熟练掌握多项式乘多项式，多项式除以单项式，平方差公式，完全平方公式是解题的关键． 12．（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）计算 (1) (2) (3)先化简，再求值：其中 【答案】(1)1 (2)0 (3)， 【分析】此题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，平方差公式，单项式除以单项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据平方差公式求解即可； （2）首先计算有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，然后计算即可； （3）首先计算括号内的平方差公式，然后合并同类项，然后计算括号外的单项式除以单项式，最后代入求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）； ； （3）解：原式 ， 当时， 原式． 13．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）． 【分析】题目主要考查整式的四则混合运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算积的乘方运算，然后依次计算单项式的乘除法即可； （2）利用完全平方公式及平方差公式展开，合并同类项，再计算除法，代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 当时，原式． 14．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、整式的四则混合运算等知识点，掌握乘方、负整数次幂、零次幂成为解本题的关键． （1）先根据乘方、负整数次幂、零次幂化简，然后再计算即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 15．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）先化简，再求值：；其中，． 【答案】，2 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的四则混合运算法则成为解题的关键． 先根据整式的四则混合运算法则化简，然后将、代入计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 16．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）计算： (1)； (2) (用整式乘法公式计算)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了乘法公式，整式的混合计算，零指数幂，负整数指数幂： （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可； （2）把原式变形为，再利用平方差公式求解即可； （3）先根据单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可； （4）先把原式变形为，再利用乘法公式求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值， 先根据完全平方公式和多项式除以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）计算 (1)． (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1)7 (2)， 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）先根据乘方、零指数幂、绝对值、负整数指数幂的运算法则计算，再计算加减即可； （2）根据单项式乘多项式，平方差公式和完全平方公式将式子展开，然后合并同类项，再将a、b的值代入即可． 【详解】（1） ； （2） ； 当，时， 原式． 19．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算； （1）根据有理数的乘方，零次幂和负整数指数幂的运算法则计算即可； （2）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的运算法则展开，再合并同类项，然后根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 20．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，整式的混合运算； （1）先计算乘方，零次幂，负整数指数幂，再合并即可； （2）先计算多项式的乘法运算，再合并同类项即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 21．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值，先用完全平方公式和单项式乘多项式法则进行计算，然后去括号，合并同类项，再代入求值即可．掌握计算法则，正确计算是本题的解题关键． 【详解】解： ， 当，时，原式． 22．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）计算 (1) (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式，单项式乘多项式，零指数幂，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先算乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算乘法，最后算加减即可； （2）先算单项式乘多项式，完全平方公式，再算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值，其中，． 【答案】，6 【分析】本题主要考查整式的混合运算．利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 24．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式，多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 25．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了 得混合计算，零指数幂，平方差公式： （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，单项式除以单项式即可得到答案； （2）先计算零指数，乘方，再利用平方差公式计算，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）计算∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式： （1）先利用平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可； （2）先把原式变形为，再利用平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 27．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）（1） 计算 （2）化简求值：当的时候，求代数的值 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂和含乘方的有理数混合计算， （1）先计算乘方，零指数幂，负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先根据单项式乘以多项式的计算法则和乘法公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后根据非负数的性质求出a、b的值后代值计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ， ∵， ∴， ∴， ∴原式． 28．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，多项式乘以单项式，平方差公式： （1）先计算单项式乘以单项式，再计算多项式除以单项式即可； （2）先把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 29．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 30．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的混合运算以及实数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简零次幂、乘方、绝对值，再运算加减，即可作答． （2）先运算积的乘方，再运算单项式的乘法除法，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解： 31．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）先化简再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握乘法公式是关键． 先根据多项式乘多项式的法则，完全平方公式的计算法则计算中括号内的，然后算多项式除以单项式，最后代值计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式． 整式的乘除实际应用题型02 32．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）（1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了实数的混合运算，整式的乘法计算，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）先计算乘方，零次幂及负指数幂，再计算加减法； （2）先将化为，根据平方差公式计算两括号，再计算乘法 【详解】解：（1）原式； （2）原式 33．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后每两个小长方形拼成形，再将形中涂上阴影，如图2和3所示．设图2中的阴影面积为，图3中的阴影面积为 (1)独立思考：求和的值用含a，b的代数式表示； (2)实践探究：若，请比较和的大小关系； (3)问题解决：若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题考查列代数式，整式的混合运算，以及矩形的面积，求得两个阴影部分的面积是解决问题的关键． （1）根据长方形的面积及三角形的面积公式可得出答案； （2）将分别代入及可得出答案； （3）根据题意求出，分别计算S甲及S乙可得出答案． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， 舍去， ， ， 34．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，积累了研究运算的经验． 现定义为二阶行列式，规定它的运算法则为：． 例如：． (1)求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查了新定义，平方差公式，完全平方公式，整式的混合运算，正确理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据题意将变形为，再结合平方差公式进行运算，即可解题； （2）根据题意将变形为，再结合完全平方公式，以及整式的混合运算求解上式，即可解题． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， 整理得， 解得． 35．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）定义：对于一组多项式：，，(a，b，c都是非零常数)，当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差除以x是一个常数m时，称这样的三个多项式是一组和谐多项式，m的值是这组和谐多项式的和谐值．例如：对于多项式，，，因为 ，所以，，是一组和谐多项式，和谐值为. (1)小明发现多项式，，是一组和谐多项式，求其和谐值； (2)若多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式，求p的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式．理解题意，熟练掌握完全平方公式，多项式乘多项式是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，分当，时；当，时；当，时；分别求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴和谐值为； （2）解：∵多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式， ∴当，时，即，此时多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式； 当，时，即，此时多项式，， (p为非零常数)是一组和谐多项式； 当，时，此时不成立； 综上所述，的值为或． 36．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）【方法回顾】 在学习整式的乘法时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个长方形的面积，进而得到单项式与多项式相乘的法则，也曾经用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式，我们将这种方法称为“等积法”．它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，我们常用“等积法”列出等量关系、求线段长度或线段之间的数量关系． 【方法应用】 （1）如图1，正方形是由长为，宽为的4个全等小长方形拼摆而成的，我们可以利用该正方形面积的不同表示方法验证一个与完全平方公式相关的等量关系，请你写出这个等量关系； 【方法迁移】 （2）如图2，长方形是由8个长为，宽为的全等的小长方形拼摆而成的，请你根据“等积法”计算两次的基本思想，解答下列问题： ①求a，b之间的数量关系； ②若长方形的宽，求小长方形的面积． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是三条角平分线的交点，求点到边的距离． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）2 【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用，三角形面积的计算，角平分线的性质，解题的关键是数形结合熟练掌握整式混合运算法则． （1）根据正方形的面积公式和大正方形可以看作四个长方形和中间一个小正方形面积之和，得出等量关系即可； （2）①用两种方法表示长方形的面积，得出等式，即可得出a，b之间的数量关系； ②根据长方形的宽得出，结合，求出a、b的值，然后得出小长方形的面积即可； （3）设点到边的距离为h，根据点P是三条角平分线的交点，得出点P到边的距离为h，到边的距离为h，求出，根据得出，求出h即可． 【详解】解：（1）大正方形的边长为：，面积为；小正方形的边长为，面积为，4个长方形的面积之和为， ∴； （2）①∵长方形的面积为：，小长方形面积为， ∴， 即， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴小长方形的面积为； （3）设点到边的距离为h， ∵点P是三条角平分线的交点， ∴点P到边的距离，到边的距离都等于点到边的距离， 即点P到边的距离为h，到边的距离为h， ∵在中，， ∴， ∵ ， ∴， 解得：， 即点到边的距离为2． 37．（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）【阅读与思考】 下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务： 对于依次排列的多项式是常数），当他们满足 ，且是常数时，则称是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子． 例：对于多项式来说 2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子． 【任务一】 （1）已知5，6，7，8是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子的值； 【任务二】 （2）若2，4，是一组平衡数，求的值； 【问题解决】 （3）当之间满足怎样的数量关系时，他们是一组平衡数？写出他们之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】此题考查了整式乘法的混合运算化简求值及新定义问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）直接根据定义计算M的值； （2）将2，4，分别带入多项式中，依据定义计算出m的值即可； （3）根据定义化简计算，可得a，b，c，d之间满足的数量关系式． 【详解】解：（1） ； （2）是一组平衡数， 的结果为常数， ； （3）． 证明：是平衡数， 结果为常数， 结果为常数， ． 38．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）（1）如图1，是一个长和宽分别为m，n的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加a，b，所得如图2长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式为 ； （2）①如图3，是几个正方形和长方形拼成的一个边长为 的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为          ②已知，，利用①中所得到的等式，求代数式的值． （3）如图4，是用2个正方体和6个长方体拼成的一个棱长为的大正方体，通过用不同的方法表示这个大正方体的体积，求当，时，代数式的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，利用图形的面积和体积来得到数学公式，关键是灵活进行数形结合来分析． （1）由图形面积的两种不同表示方法可得等式； （2）①由图形面积的两种不同表示方法可得等式； ②由等式利用代入法即可求解； （3）由图形体积的两种不同表示方法可得等式，利用代入法即可求解． 【详解】解：（1）大长方形的长为，宽为，面积为， 也可表示为四个长方形的面积，，，的和， ∴， 故答案为：； （2）①如图3，是几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形， 用不同的方法表示这个大正方形的面积， 得到的等式为； 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴； （3）如图4，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个棱长为的大正方体， 整体上大正方形的体积为， 组成大正方体的2个小正方体和6个小长方体的体积的和为， ∴得到的等式为； ∵，， ． 39．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，一块长方形土地，长为米，宽为米，现准备在这块土地上修建一个长为米，宽为米的花坛，剩余部分修建成休息区域． (1)请用含a和b的代数式表示休息区域的面积结果要化简； (2)若恒成立，求休息区域的面积． 【答案】(1)平方米； (2)平方米 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值， （1）根据图形可知，休息区域的面积长方形土地的面积花坛的面积，据此列出代数式，即可求解； （2）先根据整式的 乘法计算等式的右边，进而根据等式恒成立，得出的值，代入（1）中的代数式求值，即可求解． 【详解】（1）解：休息区域的面积为： 平方米； （2）， ， ， ，， 解得，， 平方米 40．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）“创新”小组的同学在学完整式乘法公式后进行了如下探究活动： 如图①是一个长为宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块完全一样的小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形． (1)图2中阴影部分的正方形的边长是______； (2)直接写出三个代数式，，之间的等量关系． (3)根据（2）中的等量关系，解决问题：若，，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式之间的联系和数形结合的思想，以及代数式求值的问题， 根据图形即可知阴影部分的正方形的边长； 根据大正方形的面积等于阴影部分的正方形的面积加四块小长方形面积，以及大小正方形和长方形的面积即可； 利用第（2）的结论即可求得代数式的值． 【详解】（1）解：根据题意得，正方形的边长为， 故答案为：； （2）解：图2中大正方形面积为，阴影部分的正方形的面积为，四块小长方形面积为， ∵大正方形的面积等于阴影部分的正方形的面积加四块小长方形面积， ∴； 故答案为：或 （3）解：∵，，， ∴， ∴． 完全平方公式的实际应用题型03 41．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积． 方法1： ；方法2： (2)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系． (3)类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证： (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)①7；② 【分析】本题主要考查了完全平方公式推导及其变形，熟练掌握完全平方公式和已学知识以及整体思想的运用是解本题的关键． （1）第一种方法：直接用正方形的面积公式求解；第二种方法将其看做是一个两个正方形和两个长方形，分别求出面积再求和即可． （2）依据（1）中的代数式，即可得到所求的关系； （3）画出长为，宽为的长方形，即可完成验证； （4）①依据，可得，进而得出，再将，即可得到；②设，，则，依据，即可得到，然后再进一步即可完成解答． 【详解】（1）解：图2大正方形的面积， 图2大正方形的面积， （2）由题可得，，之间的等量关系为： （3）如图所示， （4）①∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②设，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 42．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期末）一次数学活动课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片1张，B种纸片1张，C种纸片2张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要A种纸片1张，B种纸片2张，C种纸片______张； (3)结合（1）题中的相关等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知：，求的值． 【答案】(1) (2)3 (3)①；② 【分析】本题考查完全平方公式的几何应用，整式的乘法运算法则，代数式求值，用不同方法表示图形面积得到等量关系是解答的关键． （1）用两种方法求得正方形的面积，进而得到三者的关系式； （2）利用整式的乘法计算，即可解题； （3）①利用完全平方公式对进行变形得到，再将代入求解，即可得到的值； ②根据题意得到，，与①同理可得的值． 【详解】（1）解：由图知，图2的大正方形面积为， 图2的大正方形面积为还可表示为，1个A种纸片，1个B种纸片，2个B种纸片，即， ； （2）解：， 拼出一个面积为的矩形，则需要A种纸片1张，B种纸片2张，C种纸片张； 故答案为：； （3）解：①， ， ， ， 解得； ②, ， ， ， ， 解得． 43．（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）数学活动 【知识生成】 我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到． 图1　　　　　　　　　　　　　图2 【直接应用】 （1）已知：，求的值； 【解决问题】 （2）如图2，四边形是长方形，分别以为边向两边作正方形和正方形，若，两正方形的面积和为54，求长方形的面积； 【知识迁移】 （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题考查了据完全平方公式的变形，完全平方公式的几何应用， （1）根据完全平方公式的变形求解即可； （2）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，根据，代入求解即可； （3）设，，则，，根据完全平方公式的变形求解即可． 【详解】解：（1）， ； （2）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，， ； （3）设，，则，， ． 44．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）阅读下面材料，解答下列问题： 已知：，求的值． 课堂上，两位同学给出了两种不同的解题思路： 小王同学的解题思路： ∵∴∴ ∴ 小李同学的解题思路： 设，，则， ∴ (1)请你根据两位同学的解题思路，任选一种思路解答： 已知：，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为a，点E，点F分别在，上，且，，长方形的面积是21，分别以，为边作正方形和正方形．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、完全平方公式等知识点，掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）小王同学∶先把式子按多项式乘以多项式展开，得到一个式子的值，再把待求式子展开，然后代入式子计算即可． 小李同学∶通过对式子整理，然后利用完全平方公式变形求解即可．两种方法仍选一种计算即可． （2）根据正方形面积为21列出等量关系，再同（1）种两种方法分别计算即可． 【详解】（1）解：解法1： ∵ ∴ 即 ∴ 解法2： 设，，则 ∵， ∵， ∴， ∴ ∴． （2）解法1： 由题意可知，，，则有 设， ∴， ∴ 即 解法2： 由题意可知，，，则有 ∴ 又∵ 45．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）我国著名数学家曾说：“数无形时少直觉，形少数时难入微．”数形结合思想是解决问题的有效途径，请阅读材料完成下面问题： 【算法赏析】 若满足，求的值． 解：设， 则 ； 【算法体验】 （1）若满足，求的值； 【算法应用】 （2）如图，已知数轴上点A，B，C表示的数分别是，10，13．以为边作正方形，以为边作正方形，延长交于点．若正方形的面积与正方形的面积的和为119，请直接写出长方形的面积． 【答案】（1）1260；（2）55 【分析】本题主要考查了完全平方公式、数形结合思想等知识点，灵活变形完全平方公式成为解答本题的关键． （1）按算法赏析的方法进行求解即可； （2）正方形的边长为，面积为，正方形的边长为，面积为，则有，设，，则、，最后利用求解即可． 【详解】解：（1）设，则，， ∴； （2）正方形的边长为，面积为，正方形的边长为，面积为，则有， 设，， 则、， 所以长方形的面积为： ． 46．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如，若，，求的值． 解：因为，所以，即． 又因为，所以，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题．      (1)若，，则 ______ （直接填空）； (2)若，，求的值； (3)如图，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外作正方形和，在长方形内作长方形，若长方形的面积为，则正方形和面积的和为______ （直接填空）． 【答案】(1)7 (2)18 (3)236 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，根据完全平方公式变形求值； （1）根据完全平方公式得出，将代入，即可求解； （2）根据完全平方公式得出，将，代入，即可求解； （3）设，，则，，，由，得，所以，则，所以，即可求得，所以正方形和面积的和为，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）， ， ， ， ， ， 的值是． （3）设，，则， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 正方形和面积的和为， 故答案为：． 47．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法” 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为 ． (2)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先由得出，再代入进行计算，即可作答． （2）先由得出，再代入进行化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ． 48．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）在学习整式乘法一章时，小明定义：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“妙数”．例如：10是“妙数”，因为；再如：（是整数），所以也是“妙数”． (1)判断20是否为“妙数”___________（填“是”或者“否”）； (2)已知（是整数）是常数，要使为“妙数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【答案】(1)是 (2)，理由见解析 【分析】本题考查完全平方公式： （1）根据新定义，进行判断即可； （2）利用完全平方公式，将转换为：，根据新定义，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴20是“妙数”； 故答案为：是； （2）解：，理由如下： ． 为“妙数”， ， 49．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】（1），  （2）见解析  （3）见解析  （4） 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得， 再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形,然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意,通过证明即可判断得解； （3）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （4）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中,则，求出后可列式计算得解. 【详解】(1)证明：由图可知， ，， 正方形边长为， ， 即． 故答案为：，； （2）证明: ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， 又, , ∴. ∴； (3)证明： 由题意，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； (4)由题意,如图, ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为, ， 设则， 在中, ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$