专题06 三角形证明综合大题7大题型-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（辽宁专用）

专题06 三角形证明综合大题 题型概览 题型01全等三角形证明 题型02等腰三角形与等边三角形 题型03手拉手模型与三垂直模型 题型04旋转与全等三角形 题型05倍长中线构造全等 题型06函数与三角形 题型07网格中的图形变化 全等三角的证明题型01 1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，平分，交于点，过点作于点． (1)求证∶； (2)若，求的长． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，过点作于点，平分交于点，过作于点．    (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 3．（23-24八年级下·辽宁营口·期末）如图，在中，，，，点为上一点，且，，交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 4．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，为等边三角形，，与相交于点P，于Q，，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求的长． 5．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，，点D为的中点，连接的垂直平分线EF交于点E，交于点O，交于点F，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 6．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）如图1，在中，是的角平分线，于D，，是的外角的平分线． (1)求的度数； (2)如图2，若，求的面积． 7．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，于点，点在上，，，点为的中点，连接并延长至点，使，连接．求证：    (1)； (2)． 8．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，点为上一点，且交于点．    (1)试说明； (2)猜想的度数并证明． 9．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在四边形中，，平分，连接，若，． (1)求证：； (2)若，求证：CD∥AB． 等腰三角形与等边三角形题型02 10．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 11．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【基础巩固】 在中，，，点是平面内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，； （1）如图1，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，当、、三点在同一条直线上时；求的大小； 【拓展提高】 （3）如图3，与交于点，点为的中点，交于点，连接，若，且为18，求的长． 12．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，线段和相交于点，．连接、，．求证：． ①如图2，小欣同学的想法是在上复制粘贴，以点为圆心．OA长为半径画弧，交于点，连接，从而构造出全等三角形； ②如图3，小铭同学发现，故将复制粘贴在的外侧．以点为圆心，长为半径画弧，交延长线于点，从而构造出全等三角形． 请你选择一名同学的解题方法或按自己的想法写出完整的解题过程． 【类比分析】 （2）请你在理解了小欣同学或小铭同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题．如图4，已知，，猜想线段、EF和的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）是等边三角形，点是直线上一动点（点不与点重合）．点在直线上，连接，使．过点作，垂足为点．若等边的边长为，，请直接写出线段的长． 13．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）在中，，点为边上一动点，以为边在下方作等边． (1)如图，若平分，，求的长； (2)如图，在（）的条件下，连接，求的度数； (3)如图，为中点，延长交于点，连接． ①求的度数； ②求证：点是的中点． 14．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）在中，，点D在边上（不与点A，C重合），连接，过D作，且，连接交的延长线于点F． (1)如图1，若平分，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，过D作交于G，过E作交的延长线于H，求证：； (3)如图3，连接，M是的中点，连接，求的度数． 15．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【问题初探】    （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在等边中，点在边上，连接，点在上，连接．，连接，若，求证：． ①如图2，小明同学给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图3，小丽同学给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】    （2）李老师发现之前两名同学都利用了转化思想，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1的条件进行一般化，并提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，，点在边上，连接，点在上，连接，，连接，若，求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在等边中，点在边上（），点关于直线的对称点为点，连接并延长交的延长线于点，连接． 求的度数； 求证：． 手拉手模型与三垂直模型题型03 16．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）背景知识：如图，在中，，若，则：． (1)解决问题： 如图 （1），，，是过点的直线，过点作于点，连接，现尝试探究线段、、之间的数量关系：过点作，与交于点，易发现图中出现了一对全等三角形，即 ，由此可得线段、、之间的数量关系是： ； (2)类比探究： 将图 （1）中的绕点旋转到图（2）的位置，其它条件不变，试探究线段、、之间的数量关系，并证明； (3)拓展应用： 将图 （1）中的绕点旋转到图 （3）的位置，其它条件不变，若，，则的长为 （直接写结果）． 17．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 (1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论）． ②如图3，若点在边的延长线上， 试证明线段、、之间的关系． (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明． (3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 18．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期末）【提出问题】 （1）数学课上，张老师提出如下问题：如图1，在中，，．且，点在的延长线上，，连接．求证：． ①如图2，“勤学”小组的同学从已知条件出发，给出如下解题思路：过点作交的延长线于点，则，进而得到是等腰直角三角形，最后得出结论． ②如图3，“善思”小组的同学从结论出发，给出如下解题思路：在上截取线段．使，连接，则是等腰直角三角形，得到，再证明，最后得出结论． 请你选择一组同学的解题思路，写出证明过程． 【发现问题】 （2）张老师发现两组同学在解决问题的过程中都是构造了三角形全等，进而实现了边角之间的转化．为了帮助学生提高逻辑推理的能力，张老师将图形进行了变换； 如图4，在中，，，为上一点，，垂足为，若，求的长； 【解决问题】 （3）如图5，四边形中，，，，的面积为6，求的面积．    19．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【概念呈现】：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． (1)【概念理解】：如图①，若，则四边形 （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形； (2)【性质应用】：如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线是这个四边形的真等腰直角线，当时， ； (3)【深度理解】：如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，，对角线分别是这两个四边形的等腰直角线，试猜想并说明与的数量关系； (4)【拓展提高】：已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，若，请直接写出的长． 20．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，和都是等腰直角三角形，其中，，，绕点旋转． (1)如图1，当在的外部时，连接，交于点，求证：； (2)如图2，当旋转到顶点在的内部时，连接，，若，求证：； (3)若，，绕点旋转的过程中，当时，直线与直线交于点． ①如图3，当在的外侧时，求的长； ②如图4，当在的内部时，直接写出的长． 21．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，，，点在边上，连接． (1)如图，，，求的长； (2)如图2，过D向下作，且，连接，求证：． ①如图3，小明同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：过作交于点； ②如图4，小强从条件的角度出发，给出如下解题思路：过作交的延长线于点． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． (3)如图5，过点向上作，且，连接，点为的中点，连接，猜想，，之间的数量关系，并证明． 22．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接、，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系为：_____，______； 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，连接，延长，相交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在和中，，连接，当，E，三点刚好在同一直线上时，请直接写出的度数． 23．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【概念呈现】： 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． (1)【概念理解】如图①，若，则四边形______（填“是”或“不是”）真等腰直角四边形； (2)【性质应用】如图①，如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线是这个四边形的真等腰直角线，当，时，______； (3)【深度理解】如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，且，，，对角线、分别是这两个四边形的等腰直角线，试说明与的数量关系； (4)【拓展提高】如图③，已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，若正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且，，，请直接写出的长． 24．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【经典回顾】 （1）如图1，，都是等边三角形，连接，．求证：； 【类比迁移】 （2）如图2，，都是等腰直角三角形，，连接，相交于点，与相交于点，类比（1）有．点，，分别为，，的中点，连接，，与相交于点．请判断，的关系，并证明； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，如图3，绕点旋转，若，．求旋转过程中，面积的最大值． 25．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）在中，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接．取的中点为点，连接． 【问题探究】 （1）如图，已知是等腰直角三角形，，，，延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ； 【类比迁移】 （2）如图，已知是等腰三角形，，，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论； 【变式拓广】 （3）如图，已知在中，，，，．延长至，使，连接．在点的运动过程中，求线段长度的最小值． 26．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）在数学活动课上，黄老师给出如下问题：在中，，，点D和点B位于直线异侧，且． 【问题初探】 当时，如图1，求证：． 数学活动小组同学经过讨论得出下面的解题思路并解决了这个问题． 解题思路：如图2，将线段绕点A顺时针旋转60°，得到线段，连接．易证是等边三角形，易证，将线段之间的数量关系转化为线段之间的数量关系． 数学活动小组同学解决完上述问题后，感悟了此题的数学思想方法，发现此题还有不同位置的情况，请你解答下面问题： （1）如图3，点D不在的延长线上时，连接，求证：． 【类比探究】 当时，如图4，点D不在的延长线上时，连接． （2）判断是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，请写出正确的结论并说明理由． 【学以致用】 当，点D不在的延长线上且在线段的上方，连接． （3）若，，求的长． 27．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）数学活动课上，老师出示两个大小不一样的等腰直角和摆在一起，其中直角顶点重合，． (1)【用数学的眼光观察】 如图1，连接，判断与的数量关系，并说明理由； (2)【用数学的思维思考】 如图2，连接，若是中点，判断与的数量关系，并说明理由； (3)【用数学的语言表达】 如图3，延长至点，满足，然后连接，当，绕点旋转得到三点共线时，求线段的长． 28．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）综合与实践          【特殊感知】（1）如图1，在平行四边形中，，相交于点O，，，求证：． 【变式探究】（2）如图2，在中，，，在的右侧作等边，取的中点F，连接． ①求证：是的垂直平分线； ②若，求的长． 【拓展提高】（3）如图3，在中，，，D为上的任意一点，将绕点A逆时针旋转得到线段，旋转角为．取的中点P，连接，猜想与的数量关系，并给予证明． 旋转与全等三角形题型04 29．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 30．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【发现问题】    如图1，点P在等边三角形ABC内，且 ，求的长. 小明发现，以为边作等边三角形，连接，得到；由等边三角形的性质，可证，得；由已知 ，可知的大小，进而可求得的长． （1）请回答：在图1中， =_____， _____． 【问题解决】 （2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题： 如图2，中，，，点P在内，且，，，和的长． 【灵活运用】 （3）如图3，某公园中有一块四边形空地，连接，．已知，，米，米，公园规划部计划在四边形内种植郁金香以供游客观赏，并将修建成观赏栈道，为保证观赏效果，要使的长度尽可能大（的宽度不计），请直接写出长度的最大值． 31．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习． 在中，，，将线段绕点C顺时针旋转（）得到线段，取中点H，直线与直线交于点E，连接． (1)【感知特殊】 如图1，当时，小组探究得出：为等腰直角三角形，请写出证明过程； (2)【探究一般】 ①如图2，当时，试探究线段，，之间的数量关系并证明； ②当时，直接写出线段，，之间的数量关系． (3)【应用迁移】 已知，在线段的旋转过程中，当时，求线段的长． 32．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）问题初探： 如图1，在中，，，点D是斜边上的任意一点，连接，请判断之间的数量关系，并说明理由． 小明同学经过独立思考后，认为研究有共同端点的三条线段之间的数量关系，考虑学到“旋转”这一章内容，是否可以将三条线段通过旋转转化为同一个三角形中解决呢，于是有了解决这个问题的解题思路：知道，所以在图1中将绕点B逆时针旋转，得到，连接，经过推理将问题得到解决，根据小明的思路请回答： （1）的形状是__________，的形状是__________； （2）直接写出之间的数量关系是__________； 反思归纳： 若条件中出现不同线段共端点，可以考虑“绕相等线段共同端点旋转某三角形或以相等线段为一边构造某个三角形”，把分散的条件或结论集中到一个三角形中． 学以致用： （3）以下2小题只能任选一小题做答： ①如图2，在四边形中，，，，若，，求的长； ②如图3，在四边形中，，，，求的长； （4）如图4，在四边形中，，，若，．求A，C两点之间的最大距离为__________（直接写答案） 33．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）通过类比联想、引中拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． (1)思路梳理 ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ， ，点、、共线． 根据 ，易证 ，得． (2)类比引申 如图，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系，求证：． (3)联想拓展 如图，在中，，，点、均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程． 34．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习．在中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，取中点，直线与直线交于点，连接． 【感知特殊】 （1）如图1，当时，小组探究得出：线段与的数量关系为________，与的位置关系为________； 【探究一般】 （2）如图2，当时，试探究线段，，之间的数量关系并证明； 【应用迁移】 （3）已知，在线段的旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 倍长中线构造全等题型05 35．（23-24八年级下·辽宁锦州·期末）【问题提出】 期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图1，在中，是延长线的点，是边上一点，且满足，那么是的中点，请你说明理由． 【思路探究】 小王同学从条件出发分析解题思路：以为腰构造等腰和平行八字型全等三角形，如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，先应用等腰三角形的轴对称性，再应用三角形全等“”（或“”）的判定方法即可得，小张同学从结论出发分析解题思路：以为腰构造等腰，将说明的问题转化为说明的问题，如图3，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，于是可得，再应用三角形全等“”(或“”)的判定方法即可得． （1）请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程； 【学以致用】 （2）请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题：如图4，在四边形中，，过点作线段，且，连接，交的延长线于点，猜想与的数量关系并说明理由． 函数与三角形题型06 36．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将图形上的一点变为点（称点为点的关联点．图形上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形，称图形为图形的关联图形． (1)点的关联点的坐标为　　； (2)点在直线上，点的关联点在直线，求点的坐标； (3)如图1，若点在第一象限，且，点的关联点，判断的形状并证明； (4)已知，点，，，若四边形与其关联图形重合部分的面积为2，直线经过点，且与该关联图形有交点、请直接写出的最小值． 37．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，A点坐标为，直线经过点和点，交x轴于点D． (1)求直线的函数表达式． (2)点为线段上的一点，过点作轴交于点F，且，设点E的横坐标为m． ①求的值． ②N为x轴上一动点，在点N运动过程中，是否存在以为底边的等腰三角形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 38．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）（1）问题提出：将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为，C的坐标为，则B点坐标为_________． （2）问题探究：如图2，平面直角坐标系中，已知，若，点C在第一象限，且，试求出C点坐标． （3）问题解决：如图3，矩形，O为坐标原点，B的坐标为，A，C分别在坐标轴上，P是线段上动点，已知点D在第一象限，且是直线上的一点，若是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标． 网格中的图形变化题型07 39．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为．    (1)将向上平移6个单位得到，画出； (2)以为对称中心，画出关于该点对称的 (3)经探究发现，和成中心对称，则对称中心坐标为________； (4)已知点P为x轴上不同于O、D的动点，当_______时，． 40．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移个单位长度得到，请画出． (2)画出关于点的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标． (4)求出的面积． 41．（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系内，的顶点坐标分别为，，． (1)画出绕原点旋转后的图形； (2)是边上一点，将平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的； (3)将平移，若（2）小题中，点的对应点的坐标为，平移后的和关于点成中心对称，则的坐标为______．（用含，的式子表示） 42．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将绕点旋转，点的对应点为，直接在图中画出旋转后的△； (2)平移，点的对应点的坐标为，点的对应点为，直接在图中画出平移后的； (3)若将绕某一点旋转可以得到； ①旋转中心的坐标为 （直接填空）； ②若点是边上一动点，旋转后点的对应点为，则的最小值为 （直接填空）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 三角形证明综合大题 题型概览 题型01全等三角形证明 题型02等腰三角形与等边三角形 题型03手拉手模型与三垂直模型 题型04旋转与全等三角形 题型05倍长中线构造全等 题型06函数与三角形 题型07网格中的图形变化 全等三角的证明题型01 1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，平分，交于点，过点作于点． (1)求证∶； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，直角三角形的性质： （1）根据角平分线的性质，可得，再利用证明，即可求证； （2）根据直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ∴， 在和中， ∵，， ∴； （2）解：在中，， ∴． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，过点作于点，平分交于点，过作于点．    (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查垂直的定义，角平分线的定义，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． (1)先证明，得到，继而证明 即可证明是等腰三角形； （2）由，可证 ，即可推到出，则，即可解答． 【详解】（1）（1）证明：， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）， ． ， ， ．又， ， ， ． 3．（23-24八年级下·辽宁营口·期末）如图，在中，，，，点为上一点，且，，交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，从而得到，然后根据即可得证； （2）由（1）知：，从而可得，由得到，最后由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，垂直的定义．掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 4．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，为等边三角形，，与相交于点P，于Q，，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)60度 (3)7 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据证明与全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而解答即可； （3）根据含的直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 又， 在与中， ， ， ； （2）解：由（1）得，， ； （3）解：，， ， ， 又， ． 5．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，，点D为的中点，连接的垂直平分线EF交于点E，交于点O，交于点F，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识点，灵活运用中垂线的性质和等腰三角形的性质成为解题的关键． （1）根据中垂线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，进而说明是的中垂线可得，进而得到即可证明结论； （2）先根据等腰三角形的性质及角的和差可得，再根据中垂线的性质以及三角形的内角和可得；再根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵是的中垂线， ∴， ∵，D为中点， ∴（三线合一）， ∴是的中垂线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵，D为中点， ∴（三线合一）， ∴， ∵是的中垂线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）如图1，在中，是的角平分线，于D，，是的外角的平分线． (1)求的度数； (2)如图2，若，求的面积． 【答案】(1) (2)的面积为4 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形内角和问题、等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）先根据三角形内角和定理求出，然后根据角平分线定义和三角形外角的性质可求出，即可求解； （2）利用等腰三角形三线合一的性质求出，然后利用含的直角三角形性质求出，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：， 平分，平分 ， （2）解：如图，过点B作于点G， ， 在中， 的面积． 7．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，于点，点在上，，，点为的中点，连接并延长至点，使，连接．求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）)先根据垂直的定义可得和都是直角三角形，再利用定理证明三角形全等即可；    （2）根据证明，得到再利用直角三角形的两锐角互余得出． 【详解】（1）， ． 又，， ； （2）为中点， ． ，， ，   ． 由（1）得， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 8．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，点为上一点，且交于点．    (1)试说明； (2)猜想的度数并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，从而得到，由即可证明； （2）由（1）得，从而可得，由得到，最后由三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：， 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，是解题的关键． 9．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在四边形中，，平分，连接，若，． (1)求证：； (2)若，求证：CD∥AB． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据∠DAE=∠CAB，可得∠DAC=∠EAB，然后根据SAS证明，即可； （2）根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=72°，从而得到∠ABE=36°，再根据全等三角形的性质可得∠ACD=∠ABE=36°，即可求证． 【详解】（1）证明：∵∠DAE=∠CAB， ∴∠DAE-∠CAE=∠CAB-∠CAE． ∴∠DAC=∠EAB， 在△DAC和△EAB中， ， ∴； （2）证明：∵AB=AC，∠CAB=36°， ∴∠ABC=∠ACB=72°， ∵平分， ∴∠ABE=36°， ∵， ∴∠ACD=∠ABE=36°， ∴∠ACD=∠CAB， ∴CD∥AB． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 等腰三角形与等边三角形题型02 10．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义． （1）由全等三角形的性质可得，结合，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质得出，即可得出，从而得解； （3）根据题意以及全等三角形的性质，分别计算出、、，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 分以下三种情况： 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 11．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【基础巩固】 在中，，，点是平面内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，； （1）如图1，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，当、、三点在同一条直线上时；求的大小； 【拓展提高】 （3）如图3，与交于点，点为的中点，交于点，连接，若，且为18，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形等面积法等，理解题意，结合图形，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定即可证明； （2）根据等腰三角形得出，同（1）方法证明，结合图形即可求解； （3）连接，，根据等腰三角形的判定和性质得出是等腰直角三角形，再由全等三角形的判定和性质确定，，利用三角形等面积法求解即可． 【详解】（1）证明：， 即， ， 在和中， ； （2）解：，，， 和均为等腰直角三角形， ， ， 同（1）可得， ， ； （3）如图，连接，， ，，， 和均为等腰直角三角形， ， 点为的中点， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ． 12．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，线段和相交于点，．连接、，．求证：． ①如图2，小欣同学的想法是在上复制粘贴，以点为圆心．OA长为半径画弧，交于点，连接，从而构造出全等三角形； ②如图3，小铭同学发现，故将复制粘贴在的外侧．以点为圆心，长为半径画弧，交延长线于点，从而构造出全等三角形． 请你选择一名同学的解题方法或按自己的想法写出完整的解题过程． 【类比分析】 （2）请你在理解了小欣同学或小铭同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题．如图4，已知，，猜想线段、EF和的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）是等边三角形，点是直线上一动点（点不与点重合）．点在直线上，连接，使．过点作，垂足为点．若等边的边长为，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）或 【分析】（1）①证明，得到，等角的补角相等，得到，等边对等角，得到，等量代换即可得证；②证明，即可得证； （2）在上截取，连接，证明为等边三角形，进而证明，得到，，证明为等边三角形，得到，证明，得到，根据，结合等量代换即可得出结论； （3）分点在上和点在的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）①由作图可知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由作图可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴（等角的补角相等）， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）①当点在上时，过点作，交于， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵等边的边长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②点在的延长线上时，过点作，交的延长线于点， 同理可得：， ∴， 中，， ∴， ∴， 同理，； 综上：或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等知识点，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 13．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）在中，，点为边上一动点，以为边在下方作等边． (1)如图，若平分，，求的长； (2)如图，在（）的条件下，连接，求的度数； (3)如图，为中点，延长交于点，连接． ①求的度数； ②求证：点是的中点． 【答案】(1) (2) (3)①；②证明见解析 【分析】（）利用直角三角形的性质可得，，再利用勾股定理解答即可求解； （）设交于，证明可得，，进而得是的垂直平分线，得到，即可得； （）①证明可得，，再证明是等边三角形，得到，即得，进而即可求解；②如图，过点作，交的延长线于，证明得到，即可求证． 【详解】（1）解：如图，∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴； （2）解：如图，设交于， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②证明：如图，过点作，交的延长线于， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是的中点． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 14．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）在中，，点D在边上（不与点A，C重合），连接，过D作，且，连接交的延长线于点F． (1)如图1，若平分，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，过D作交于G，过E作交的延长线于H，求证：； (3)如图3，连接，M是的中点，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据外角和角平分线的定义证明，再根据等腰三角形的三线合一即可求证； （2）先证明，则．根据等腰三角形的判定证明，，故，而．则； （3）延长至，使，连接．过作交于点，先证明，再证明，则，由于，则，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 平分， ， ． ， ， 又， ， 在中，， ， ． ． ， ， 为中点， ； （2）证明：，， ． ， ． ， ． ， ． ， ， 又， ， ． ，， ， ， ． ，， ， ， ， ， ， ． ； （3）解：如图，延长至，使，连接．过作交于点． 是中点， ． ，． ． ，， ． ． ， ， ． ， ， ． ． ，， ， ． ． ． 又， 在和中， ． ． ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，直角三角形的性质，平行线的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 15．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【问题初探】    （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在等边中，点在边上，连接，点在上，连接．，连接，若，求证：． ①如图2，小明同学给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图3，小丽同学给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】    （2）李老师发现之前两名同学都利用了转化思想，为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1的条件进行一般化，并提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，，点在边上，连接，点在上，连接，，连接，若，求证：． 【学以致用】 （3）如图5，在等边中，点在边上（），点关于直线的对称点为点，连接并延长交的延长线于点，连接． 求的度数； 求证：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3），②见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）在上截取，连接，可证明，从而得出，，进而得出，从而得出，即可证明； 在上截取，连接，可证明，从而得出，进而得出，从而得出，，进一步得出结论； （2）在上截取，连接，可证得，从而得出， ，进而得出，从而得出，从而得出结论； （3）①如图（5），连接，，可得，进而可得，从而得出，从而得出，即可得解；在上截取，连接，可得，利用进一步证明，即可求得． 【详解】解：（1）选择小明同学的解题思路， 证明：如图（1），在上截取，连接，   ，是等边三角形， ，， 又， ， ，即， 又，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 选择小丽同学的解题思路， 证明：如图（2），在上截取，连接，   ，是等边三角形， ，， 又， ， ，即， 又，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）方法一：如图（3），在上截取，连接，   ，，， ， ，即， 又，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 方法二：如图（4），在上截取，连接，   ，，， ， ，即， 又，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）①如图（5），连接，，   ，点与点关于直线对称， 直线是线段的垂直平分线， ， 是等边三角形 ， ， ， ，垂直平分， ， 是等边三角形． ， ， ，，， ， ； 证明：如图（5），在上截取，连接，   ， 由（1）得， 是等边三角形， ，， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ． 手拉手模型与三垂直模型题型03 16．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）背景知识：如图，在中，，若，则：． (1)解决问题： 如图 （1），，，是过点的直线，过点作于点，连接，现尝试探究线段、、之间的数量关系：过点作，与交于点，易发现图中出现了一对全等三角形，即 ，由此可得线段、、之间的数量关系是： ； (2)类比探究： 将图 （1）中的绕点旋转到图（2）的位置，其它条件不变，试探究线段、、之间的数量关系，并证明； (3)拓展应用： 将图 （1）中的绕点旋转到图 （3）的位置，其它条件不变，若，，则的长为 （直接写结果）． 【答案】(1)，， (2)；证明见解析 (3)5 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关键． （1）过点作，得到，判断出，确定为等腰直角三角形即可． （2）过点作于点，判断出，确定为等腰直角三角形，即可得出结论； （3）先判断出，，得到为等腰直角三角形，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1过点作，与交于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：，，； （2）解：，理由如下： 如图（2）过点作，与交于点， 同（1）的方法得，， ，， ， ， ， ； （3）解：如图（3）过点作，与交于点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：5． 17．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 (1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论）． ②如图3，若点在边的延长线上， 试证明线段、、之间的关系． (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明． (3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 【答案】(1)①；②； (2) (3)有最小值，最小值为2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造“手拉手”基本图形是解题的关键． （1）①过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，再证明 ，得出，即可得出结论；②过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论； （2）先证明，在上截取，通过证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论； （3）以为边，在下方构造等边三角形，连接，通过证明，得出，则，根据点Q在直线上，得出当时，取最小值，即可解答． 【详解】（1）①结论：. 证明：过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②结论： 证明：过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在上截取， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：有最小值，最小值为2 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点Q在直线上， ∴当时，取最小值， 此时，． 18．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期末）【提出问题】 （1）数学课上，张老师提出如下问题：如图1，在中，，．且，点在的延长线上，，连接．求证：． ①如图2，“勤学”小组的同学从已知条件出发，给出如下解题思路：过点作交的延长线于点，则，进而得到是等腰直角三角形，最后得出结论． ②如图3，“善思”小组的同学从结论出发，给出如下解题思路：在上截取线段．使，连接，则是等腰直角三角形，得到，再证明，最后得出结论． 请你选择一组同学的解题思路，写出证明过程． 【发现问题】 （2）张老师发现两组同学在解决问题的过程中都是构造了三角形全等，进而实现了边角之间的转化．为了帮助学生提高逻辑推理的能力，张老师将图形进行了变换； 如图4，在中，，，为上一点，，垂足为，若，求的长； 【解决问题】 （3）如图5，四边形中，，，，的面积为6，求的面积．    【答案】（1）见解析；（2）；（3）2 【分析】本题是三角形综合题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）“勤学”小组：过点作交的延长线于点，则，进而得到是等腰直角三角形，最后得出结论； “善思”小组：在上截取线段，使，连接，则是等腰直角三角形，得到，再证明，最后得出结论； （2）过点作垂足为，证明，推出，据此求解即可； （3）过点作，垂足为；过点作垂足为；证明，推出，证明是等腰直角三角形，据此求解即可． 【详解】（1）证明：“勤学”小组：过点作交的延长线于点， ∵，， ∴，． ∴． 在和中 ， ∴． ∴，． ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． “善思”小组：在上截取线段， ∵， 是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． （2）证明：过点作垂足为， ∵，， ∴，． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 在中，，且，， ∴． ∴； （3）过点作，垂足为；过点作垂足为； ∵，， ∴． ∵，， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵的面积为6，， ∴． ∴． 在中，， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴的面积为：． 19．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【概念呈现】：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． (1)【概念理解】：如图①，若，则四边形 （填“是”或“不是”）真等腰直角四边形； (2)【性质应用】：如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线是这个四边形的真等腰直角线，当时， ； (3)【深度理解】：如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，，对角线分别是这两个四边形的等腰直角线，试猜想并说明与的数量关系； (4)【拓展提高】：已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，且，若，请直接写出的长． 【答案】(1)是 (2)4或2 (3) (4) 【分析】对于（1），根据勾股定理证明，根据定义解答即可； 对于（2），由题意可得是等腰三角形，当时，根据勾股定理求出；当时，根据勾股定理求出； 对于（3），根据“边角边”证明，可得答案； 对于（4），构造等腰直角三角形，利用（3）中的全等三角形的性质得，再根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵是等腰三角形， ∴四边形是真等腰直角四边形． 故答案为：是； （2）解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线，且， ∴是等腰三角形． 当时，根据勾股定理，得； 当时，根据勾股定理，得． 所以或2． 故答案为4或2； （3）解：． 由题意可知和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：. 由题意知，是等腰直角三角形，如图，作，，连接， 由（3）可知， ∴． ∵，是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，新定义的理解，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 20．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，和都是等腰直角三角形，其中，，，绕点旋转． (1)如图1，当在的外部时，连接，交于点，求证：； (2)如图2，当旋转到顶点在的内部时，连接，，若，求证：； (3)若，，绕点旋转的过程中，当时，直线与直线交于点． ①如图3，当在的外侧时，求的长； ②如图4，当在的内部时，直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明得出，设与交于点，得出，再由勾股定理即可得证； （2）连接，证明得出，求出，再由勾股定理即可得证； （3）①过作于点，求出，得出，证明，求出，，再由计算即可得解；②过作于，同理，得出，求出得到，从而得出，由计算即可得解． 【详解】（1）证明：， ，即， ，， ， ， 设与交于点， ， ， 在中，； （2）证明：如图1，连接， ， ∴，即， ，． ， ， ，， ， ， ． 在中，， ． 在中，， ， ； （3）解：①如图2，过作于点， ， ， ， ， ， ． ，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ． ， ． ， ； ②过作于， 同理， ， ， ， ， ， ． 21．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，，，点在边上，连接． (1)如图，，，求的长； (2)如图2，过D向下作，且，连接，求证：． ①如图3，小明同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：过作交于点； ②如图4，小强从条件的角度出发，给出如下解题思路：过作交的延长线于点． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． (3)如图5，过点向上作，且，连接，点为的中点，连接，猜想，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)选择小明同学的解题思路，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由勾股定理求出，再由勾股定理计算即可得解； （2）选择小明同学的解题思路，过作交于，证明结合勾股定理可得，，证明得出，即可得证；选择小强同学的解题思路，过作交的延长线于，证明得出，，再证明，结合勾股定理得出，即可得证； （3）延长至，使，连接，过作交于，证明得出，，再证明得出，推出，结合，即可得解． 【详解】（1）解：，，． ， ， ， ， ， 在中，，根据勾股定理，得； （2）解：选择小明同学的解题思路， 证明：如图1，过作交于． ，，， ， ， ． 在中，根据勾股定理得． ，即． 又， ， ， ， ． ， ， ， ． 选择小强同学的解题思路． 证明：如图2，过作交的延长线于， ，， ， ， ， ， ， 又， ． ， ， ，， ， ， ，即， ， 在中，根据勾股定理，得， ． （3）解：猜想：． 证明：如图3，延长至，使，连接，过作交于， ，，． 为中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 22．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接、，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系为：_____，______； 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，连接，延长，相交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在和中，，连接，当，E，三点刚好在同一直线上时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；；（2）；．理由见解析；（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形以及等腰直角三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）设交于点G，由可得，而、，即可根据“”证明，所以，，则即可解答； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明可得，然后再根据等腰三角形的性质即可解答； （3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明可得，则，因为，，即可作答． 【详解】解：（1）如图1，设交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：，30． （2），理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图3所示： ∵和都是等腰三角形， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 23．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【概念呈现】： 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． (1)【概念理解】如图①，若，则四边形______（填“是”或“不是”）真等腰直角四边形； (2)【性质应用】如图①，如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线是这个四边形的真等腰直角线，当，时，______； (3)【深度理解】如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，且，，，对角线、分别是这两个四边形的等腰直角线，试说明与的数量关系； (4)【拓展提高】如图③，已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，若正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且，，，请直接写出的长． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)或； (3)，理由见解析； (4)． 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形和等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，读懂题意，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，注意问题设置的层次性。 （1）利用勾股定理的逆定理证明，从而是等腰直角三角形，又因为 是等腰三角形，即可得出结论； （2）由题意知是等腰三角形，当时，由勾股定理可求得，当时，由勾股定理可求得； （3）利用证明，得； （4）当时，作交直线于点H，证明四边形是凹四边形，不合题意舍去；当时，构造等腰直角三角形，利用（3）中全等进行转化，从而解决问题． 【详解】（1）解： ，， ， ， 是等腰直角三角形， 是等腰三角形， ∴四边形是真等腰直角四边形． 故答案为：是； （2）解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线， 因为，，， 是等腰三角形， 当时， 由勾股定理得： 当时，由勾股定理得： 综上：或． 故答案为：2或4； （3）解：由题意知∶和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：由题意知：是等腰直角三角形， 由题意知：是等腰直角三角形，当时，如图，作交直线于点H， ，， ， ，即点H在线段上， ， ， 四边形是凹四边形，不合题意舍去； 当时， 如图， 由（3）同理得， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ，由勾股定理得 ， ， 综上：． 24．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【经典回顾】 （1）如图1，，都是等边三角形，连接，．求证：； 【类比迁移】 （2）如图2，，都是等腰直角三角形，，连接，相交于点，与相交于点，类比（1）有．点，，分别为，，的中点，连接，，与相交于点．请判断，的关系，并证明； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，如图3，绕点旋转，若，．求旋转过程中，面积的最大值． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）结合等边三角形的性质证明，从而可得结论； （2）由（1）知，可得，，结合和的中位线，可得，，，，再进一步求解即可； （3）由（2）可知，，可得，可得当最大时，最大，再进一步求解即可； 【详解】解：（1），为等边三角形， ，，， ， 即， ； （2）且； 证明：由（1）知， ，， ， 点，，分别为，，的中点， ，分别是和的中位线， ∴，，，， . ，，， 在和中，， ∵， ， ， ∵， ， ； （3）由（2）可知，， 是等腰直角三角形， ， 当最大时，最大. 在绕点旋转时，， 当点恰好在的延长线上时最长，最大长度为， 的最大值. 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，旋转的性质，熟练的掌握基础几何图形的性质是解本题的关键. 25．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）在中，点是线段上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接．取的中点为点，连接． 【问题探究】 （1）如图，已知是等腰直角三角形，，，，延长至点，使，连接．请直接写出与的数量关系 ，与的数量关系 ； 【类比迁移】 （2）如图，已知是等腰三角形，，，．探究线段与的数量关系，并证明你的结论； 【变式拓广】 （3）如图，已知在中，，，，．延长至，使，连接．在点的运动过程中，求线段长度的最小值． 【答案】（1），； （2），证明见解析； （3）线段长度的最小值为． 【分析】（1）结合旋转性质推得，，即可利用“边角边”证明，根据全等三角形性质可得，再由中位线定理可得； （2）延长至点，使得 ，连接，利用“边角边”证明，结合全等三角形性质和中位线定理即可证得； （3）取的中点，连接，作于，利用“边角边”证明，根据全等三角形性质可得，即点在与成的定直线上运动，当点在处时，最小，结合含的直角三角形特征即可得． 【详解】解：（1）依题得：，，， ，， ， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， ，， 是的中位线， ， 故答案为：，； （2）如下图，，证明如下： 延长至点，使得 ，连接， ， ， ，， ， 由旋转得，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 是的中位线， ， ； （3）如下图，取的中点，连接，作于， 依题得：， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 点在与成的定直线上运动， 当点在处时，最小， ， ， 又， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查的知识点是旋转性质、全等三角形的判定与性质、中位线定理、含的直角三角形特征，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 26．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）在数学活动课上，黄老师给出如下问题：在中，，，点D和点B位于直线异侧，且． 【问题初探】 当时，如图1，求证：． 数学活动小组同学经过讨论得出下面的解题思路并解决了这个问题． 解题思路：如图2，将线段绕点A顺时针旋转60°，得到线段，连接．易证是等边三角形，易证，将线段之间的数量关系转化为线段之间的数量关系． 数学活动小组同学解决完上述问题后，感悟了此题的数学思想方法，发现此题还有不同位置的情况，请你解答下面问题： （1）如图3，点D不在的延长线上时，连接，求证：． 【类比探究】 当时，如图4，点D不在的延长线上时，连接． （2）判断是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，请写出正确的结论并说明理由． 【学以致用】 当，点D不在的延长线上且在线段的上方，连接． （3）若，，求的长． 【答案】问题初探：见详解；（1）见详解；（2）（1）中的结论不成立，正确的结论为：；（3）的长为或 【分析】问题初探：将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，利用等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理解答即可； （1）将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，利用等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理解答即可； （2）将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，利用等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理解答即可； （3）分两种情况分情况画图讨论即可求解． 【详解】问题初探：证明：将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，如图2， ∵， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ∴， ∴． ∴． ∴为直角三角形， ∴， ∴． （1）证明：将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，如图， ∵， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ∴， ∴． ∴． ∴为直角三角形， ∴， ∴． （2）解：（1）中的结论不成立，正确的结论为：， 理由：将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，如图， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴为直角三角形， ， ； （3）解：①当点D在延长线上时，如图： 将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接， ， ∴为等腰三角形， ， ， ， ， ∴为等腰三角形， ∴， 过点A作交于点H， 则， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴为直角三角形， ∴在中，； ②当点D不在延长线上时，如图： 同①∵为直角三角形， ， ， 过点作于点，如图， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ； 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，正确理解题干中的方法并熟练运用是解题的关键． 27．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）数学活动课上，老师出示两个大小不一样的等腰直角和摆在一起，其中直角顶点重合，． (1)【用数学的眼光观察】 如图1，连接，判断与的数量关系，并说明理由； (2)【用数学的思维思考】 如图2，连接，若是中点，判断与的数量关系，并说明理由； (3)【用数学的语言表达】 如图3，延长至点，满足，然后连接，当，绕点旋转得到三点共线时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)1或7 【分析】（1）用证明，即可求解； （2）证明、，即可求解； （3）①如图所示，过点作于，求出，，得到，即可求解；②如图所示，过点作于，同理可解． 【详解】（1），理由： ， ，， ， 则； （2），理由： 点作交的延长线于点， ，， 是中点，则， ， ，， ， ， ， ， ， ， 则； （3）旋转得到，，三点共线， ①如图所示，过点作于， 是等腰三角形，，， ，， 在中，， ， ， 即旋转得到，，三点共线时，； ②如图所示，过点作于， 同理，，即旋转得到，，三点共线时，， 综上所述，线段的长为：1或7． 【点睛】本题主要考查三角形的全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理及等腰三角形的性质，理解图示中旋转的规律，掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形中勾股定理的运算是解题的关键． 28．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）综合与实践          【特殊感知】（1）如图1，在平行四边形中，，相交于点O，，，求证：． 【变式探究】（2）如图2，在中，，，在的右侧作等边，取的中点F，连接． ①求证：是的垂直平分线； ②若，求的长． 【拓展提高】（3）如图3，在中，，，D为上的任意一点，将绕点A逆时针旋转得到线段，旋转角为．取的中点P，连接，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②1；（3）．理由见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，证出，得出，则可得出结论； （2）①延长至，使，连接，，证出，则，由等边三角形的性质可得出结论； ②证出，则可得出答案； （3）延长至，使，连接，，同（2）可知是的中位线，得出，证出，得出， 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ； （2）①证明：延长至，使，连接，， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ， ， 垂直平分， ， 为的中点，， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线； ②解：由①知是的中位线， ， ， ； （3）解：． 理由：延长至，使，连接，， 同（2）可知是的中位线， ， 同（2）可知，， ， ， 将绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 旋转与全等三角形题型04 29．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质以及旋转的性质可证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理证明，即得答案； （2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转的性质证明，得到，再利用勾股定理即可得证； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，先证明，再证明C，O，，四点共线，再利用勾股定理计算得出，由此即得答案． 【详解】（1）解：， ，，， 由题意知旋转角， 为等边三角形， ，， 在中，，，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：； （2）证明：如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得， ，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）解：如图3，将绕点B顺时针旋转至处，连接， 在中，，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转， ，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转，得到， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， C，O，，四点共线， 在中， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 30．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）【发现问题】    如图1，点P在等边三角形ABC内，且 ，求的长. 小明发现，以为边作等边三角形，连接，得到；由等边三角形的性质，可证，得；由已知 ，可知的大小，进而可求得的长． （1）请回答：在图1中， =_____， _____． 【问题解决】 （2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题： 如图2，中，，，点P在内，且，，，和的长． 【灵活运用】 （3）如图3，某公园中有一块四边形空地，连接，．已知，，米，米，公园规划部计划在四边形内种植郁金香以供游客观赏，并将修建成观赏栈道，为保证观赏效果，要使的长度尽可能大（的宽度不计），请直接写出长度的最大值． 【答案】（1），5；（2）；；（3）长度的最大值为米 【分析】（1）由全等易得，，由等边可得，，所以可得为直角三角形，利用勾股定理可求出线段的长度； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，利用第一问的思路构造旋转全等，故，唯一不同的是由等边三角形变成等腰直角三角形，其他思路基本一致，其中证明三点共线是求的关键； （3）过作，使，易得，将已知线段进行转化，并放在一个三角形中，从而利用三边关系得出的范围，即可得到长度的最大值． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为：；5． （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，如图：    ∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， 此时，即三点共线， ∴， 在中，， 又∵为等腰直角三角形， ∴． （3）过作，使，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中，根据三边关系可得：，即， ∴的最大值为． 31．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习． 在中，，，将线段绕点C顺时针旋转（）得到线段，取中点H，直线与直线交于点E，连接． (1)【感知特殊】 如图1，当时，小组探究得出：为等腰直角三角形，请写出证明过程； (2)【探究一般】 ①如图2，当时，试探究线段，，之间的数量关系并证明； ②当时，直接写出线段，，之间的数量关系． (3)【应用迁移】 已知，在线段的旋转过程中，当时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①证明见解析；②，证明见解析 (3)或 【分析】（1）主要考查旋转背景下等腰三角形的三线合一的性质，再利用就可以确定，再由等腰三角形，求出，进而求出，最后利用是线段的垂直平分线，可以证明为等腰直角三角形． （2）同（1）作辅助线求解，可以求出，，之间的数量关系． （3）解决本题关键是能根据第二小问建立分类讨论思想，，，就足够说明和都是确定的，然后利用勾股定理求长和特殊角求长，的关系非常重要，就可以快速求出线段边长． 【详解】（1）证明：由旋转的性质可知，； ∵； ∴； ∵； ∴； ； ∵； ∴ ∴是的垂直平分线； ∴； ∴为等腰直角三角形． （2）①如下图，当时，设； ∵； ∴； ∵； ∴； ； ∴； 由第一问可以知道，为等腰直角三角形； ∴； 直接过点作的垂线，垂足为； ∴为等腰直角三角形 ∵,； ∴； ∴； 即，． ②如下图所示，同理由第问可以证明，依然是等腰直角三角形性； 当时，设； ∵； ∴； ∵； ∴； ∴； ∴； 直接过点作的垂线，垂足为； ∴； ∵； ∴； 在等腰直角三角形中； ； 即，． （3）解：如下图，当时； 在等腰直角三角形中，； ∴； ∵； ∴； ∵； 在中，由勾股定理得； ； ∴； ∵； ∴； 第二种情况，如下图，当时； 同理，可求，； ∵； 在中，由勾股定理得； ； ∴； ∵； ∴； ∴； 【点睛】本题主要考查旋转背景下等腰三角形的判定和性质，三线合一，垂直平分线的判定和性质，勾股定理解三角形，普通作图能力，旋转背景求线段长度要分类讨论，判定等腰直角三角形，固定旋转角，证明出角是关键，推导线段关系，利用等腰三角形的三线合一性质和角解直角三角形是重点，特别是在旋转背景下注意求线段长时，注重画图，分类讨论思想，每个不同的图，对应的线段长是不一样的，建立分类讨论思想和灵活利用特殊角解三角形解决本题是关键． 32．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）问题初探： 如图1，在中，，，点D是斜边上的任意一点，连接，请判断之间的数量关系，并说明理由． 小明同学经过独立思考后，认为研究有共同端点的三条线段之间的数量关系，考虑学到“旋转”这一章内容，是否可以将三条线段通过旋转转化为同一个三角形中解决呢，于是有了解决这个问题的解题思路：知道，所以在图1中将绕点B逆时针旋转，得到，连接，经过推理将问题得到解决，根据小明的思路请回答： （1）的形状是__________，的形状是__________； （2）直接写出之间的数量关系是__________； 反思归纳： 若条件中出现不同线段共端点，可以考虑“绕相等线段共同端点旋转某三角形或以相等线段为一边构造某个三角形”，把分散的条件或结论集中到一个三角形中． 学以致用： （3）以下2小题只能任选一小题做答： ①如图2，在四边形中，，，，若，，求的长； ②如图3，在四边形中，，，，求的长； （4）如图4，在四边形中，，，若，．求A，C两点之间的最大距离为__________（直接写答案） 【答案】（1）等腰直角三角形；直角三角形；（2）；（3）①6；②；（4）6 【分析】（1）由旋转的性质可得，则是等腰直角三角形，再由得到，可得是直角三角形； （2）由根据定理得到，，则； （3）①如图所示，将绕点D顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，证明，由勾股定理得，则；②如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，证明三点共线，得到，则 （4）将绕点顺时针旋转，得到对应的，连接，则，证出，求出的最大值可得出答案． 【详解】解：（1）由旋转的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形；直角三角形； （2）在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：； （3）①如图所示，将绕点D顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； ②如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴； （4）解：将绕点顺时针旋转，得到对应的，连接，如图， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴当，，三点共线时，最大， ∴，两点之间的最大距离时6． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转的作出对应的辅助线是解题的关键． 33．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）通过类比联想、引中拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点、分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． (1)思路梳理 ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ， ，点、、共线． 根据 ，易证 ，得． (2)类比引申 如图，四边形中，，，点、分别在边、上，．若、都不是直角，则当与满足等量关系，求证：． (3)联想拓展 如图，在中，，，点、均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】(1)； (2) (3)，推理过程见详解； 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度． （1）把绕点逆时针旋转至，可使与AD重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）把旋转到的位置，连接，证明，则，，是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断． 【详解】（1）解：思路梳理 ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图， ， ，点、、共线， 则，，，， 即， 在和中， ， ． ； 故答案为：；； （2）类比引申 时，；理由如下： ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合， 如图所示： ，， ，， ， ， ， ，点、、共线， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）联想拓展 猜想：． 理由如下：把绕点逆时针旋转到的位置，连接，如图所示： 则，， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ． 34．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习．在中，，，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，取中点，直线与直线交于点，连接． 【感知特殊】 （1）如图1，当时，小组探究得出：线段与的数量关系为________，与的位置关系为________； 【探究一般】 （2）如图2，当时，试探究线段，，之间的数量关系并证明； 【应用迁移】 （3）已知，在线段的旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 【答案】（1），；（2），见解析；（3）或 【分析】（1）先根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，再根据等腰三角形的三线合一可得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等腰三角形的三线合一可得，则，由此即可得； （2）过点作的垂线，交延长线于点，先同（1）的方法证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后利用勾股定理和等量代换即可得出结论； （3）分两种情况：和，先利用勾股定理求出的长，以及，再根据线段和差求出的长，由此即可得． 【详解】解：（1）当时，则， ∵， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴垂直平分（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∴， 故答案为：，． （2），证明如下： 如图，过点作的垂线，交延长线于点， 由旋转的性质得：， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴，垂直平分（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． （3）①当时， 如图，过点作的垂线，交延长线于点， 由（2）已得：，， ∴， 由（2）已得：， ∵点为的中点， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 由（2）已证：， ∴， 解得； ②当时， 如图，过点作的垂线，交直线于点， 同理可证：， ∴，， ∴，， 由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴垂直平分（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴，即， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 解得， 综上，线段的长为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形全等的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、二次根式的应用等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解题关键． 倍长中线构造全等题型05 35．（23-24八年级下·辽宁锦州·期末）【问题提出】 期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图1，在中，是延长线的点，是边上一点，且满足，那么是的中点，请你说明理由． 【思路探究】 小王同学从条件出发分析解题思路：以为腰构造等腰和平行八字型全等三角形，如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，先应用等腰三角形的轴对称性，再应用三角形全等“”（或“”）的判定方法即可得，小张同学从结论出发分析解题思路：以为腰构造等腰，将说明的问题转化为说明的问题，如图3，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，于是可得，再应用三角形全等“”(或“”)的判定方法即可得． （1）请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程； 【学以致用】 （2）请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题：如图4，在四边形中，，过点作线段，且，连接，交的延长线于点，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析． 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识， （1）小王同学的思路：如图1，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，则，根据题意证明出，得到； 小张同学的思路：如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，则，根据题意证明出，得到，进而求解即可； （2）方法1：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接，证明出，得到； 方法2：以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，证明出，得到． 【详解】解∶（1）小王同学的思路： 如图1，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，则． 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 所以，即是的中点 小张同学的思路： 如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，则． 所以， 因为， 所以． 因为， 所以． 所以． 所以，即是的中点； （2）猜想 方法1： 如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接， 则． 所以． 因为， 所以，． 所以． 所以． 又因为， 所以． 所以． 方法2： 如图4，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接， 则． 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 所以． 所以． 因为， 所以． 所以． 所以． 函数与三角形题型06 36．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将图形上的一点变为点（称点为点的关联点．图形上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形，称图形为图形的关联图形． (1)点的关联点的坐标为　　； (2)点在直线上，点的关联点在直线，求点的坐标； (3)如图1，若点在第一象限，且，点的关联点，判断的形状并证明； (4)已知，点，，，若四边形与其关联图形重合部分的面积为2，直线经过点，且与该关联图形有交点、请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)为等腰直角三角形，详见解析 (4) 【分析】（1）直接根据关联点的定义代入求解即可； （2）先根据点所在直线解析式设出点坐标，再根据关联点定义求出点坐标，进而代入点所在直线的解析式求解即可； （3）画出图形，根据图形很容易猜想为等腰直角三角形，则可作垂直，将坐标转化为线段长度，证全等，逆向证明三垂直即可得证； （4）先求出各点的关联点，在坐标系中画出图形可发现重叠部分为等腰直角三角形，进而求出值，继而发现当直线经过时，倾斜程度最小，即值最小，代入坐标即可得解． 【详解】（1）解：根据关联点的定义可知：，， 点的关联点的坐标为， 故答案为：； （2）解：点在直线上， 可设点的坐标为， 又，， 点的关联点的坐标为， 点在直线， ， 解得， ， 点的坐标为； （3）解：为等腰直角三角形，证明如下： ， 点和点在坐标系中的位置如图所示， 过作轴，交轴于点，过作于点，则， ， ， ，，，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形； （4）解：，，，， 点关联点，点关联点，点关联点，点关联点， 如图，在平面直角坐标系画出图形， 由图易知，重叠部分为等腰直角三角形， ， 解得（负值舍去）， ，，， 直线经过点， 设直线， 若直线与该关联图形有交点，则两个临界点为和， 当该直线经过点时，可有，解得， 当该直线经过点时，可有，解得， 即最小值为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、一次函数的点的坐标特征、全等三角形的判定和性质、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 37．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，A点坐标为，直线经过点和点，交x轴于点D． (1)求直线的函数表达式． (2)点为线段上的一点，过点作轴交于点F，且，设点E的横坐标为m． ①求的值． ②N为x轴上一动点，在点N运动过程中，是否存在以为底边的等腰三角形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，或 【分析】（1）设直线的函数表达式为，点和点代入，利用待定系数法即可求解； （2）①求出，直线的解析式为，可得，故，根据，得，解得； ②求出，，根据是以为底边的等腰三角形，可得，从而可得的坐标． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 将点和点代入得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）①∵点为上一点， ∴， ∵轴交于点， ∴， 设所在直线的解析式为， 将点和点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②存在以为底边的等腰三角形，理由如下： 如图： 由（2）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形性质及应用，两点间距离公式等，解题的关键是掌握以上知识． 38．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）（1）问题提出：将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为，C的坐标为，则B点坐标为_________． （2）问题探究：如图2，平面直角坐标系中，已知，若，点C在第一象限，且，试求出C点坐标． （3）问题解决：如图3，矩形，O为坐标原点，B的坐标为，A，C分别在坐标轴上，P是线段上动点，已知点D在第一象限，且是直线上的一点，若是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标． 【答案】（1）；（2）点C的坐标为；（3）或 【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质等，掌握“一线三等角”模型是解题的关键． （1）过点B作x轴的垂线，交x轴于点E，证明，即可求解； （2）过点B、点C分别作x轴的平行线、分别交过点A与x轴的垂线于点E、D，与（1）同理证明，求出相关线段长度，可得答案； （3）设D坐标为，分D在下方与上方两种情况，证明，可得答案． 【详解】解：（1）过点B作x轴的垂线，交x轴于点E， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴B点坐标为， 故答案为：； （2）过点B、点C分别作x轴的平行线、分别交过点A与x轴的垂线于点E、D， 与（1）同理， ∴， ， ∴点C的横坐标为：， C点的纵坐标为：， 故点C的坐标为； （3）设D坐标为， 当D在下方时，如图3-1，过D作轴于E，交于F， 同（1），可证得， ∴， ∴， 解得， ∴； 当D在上方时，如图3-2，过D作轴于E，交延长线于F， 同（1），可证得， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上所述：或． 网格中的图形变化题型07 39．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为．    (1)将向上平移6个单位得到，画出； (2)以为对称中心，画出关于该点对称的 (3)经探究发现，和成中心对称，则对称中心坐标为________； (4)已知点P为x轴上不同于O、D的动点，当_______时，． 【答案】(1)详情见详解； (2)详情见详解； (3) (4) 【分析】（1）分别作出A，B，C向上平移6个单位得到的对应点，然后顺次连接即可作出图形； （2）分别作出A，B，C的关于的对称点，然后顺次连接即可作出图形； （3）顺次连接交点P即是对称中心，； （4）作C关于轴的对称点 ，得出三点共线，从而得出，即可解答； 【详解】（1）分别作出A，B，C向上平移6个单位得到的对应点，然后顺次连接 （2）分别作出A，B，C的关于的对称点，然后顺次连接 （3）顺次连接交点P即是对称中心， （4）作C关于轴的对称点 ，则 即三点共线， 时； 【点睛】本题考查平移变换作图，中心对称图形以及将军饮马问题，掌握平移变换作图，中心对称图形以及将军饮马问题是解题的关键． 40．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移个单位长度得到，请画出． (2)画出关于点的中心对称图形； (3)若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标． (4)求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)旋转中心的坐标 (4) 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握图形的平移，中心对称图形的性质，图形旋转的性质，格点求几何图形的面积的方法是解题的关键． （1）根据图形的平移的性质即可求解； （2）根据中心对称图形的定义和性质即可求解； （3）连接,的交点即为旋转中心，结合图形即可求出点的坐标； （4）根据格点求几何图形面积的方法即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：旋转中心的坐标； （4）解：的面积． 41．（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系内，的顶点坐标分别为，，． (1)画出绕原点旋转后的图形； (2)是边上一点，将平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的； (3)将平移，若（2）小题中，点的对应点的坐标为，平移后的和关于点成中心对称，则的坐标为______．（用含，的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了图形的平移，中心对称的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质可得到、、关于原点中心对称点、、的坐标，然后依次连接即可； （2）利用点与的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律写出点、、的对应点、、的坐标，然后依次连接即可； （3）同（2）得到点、、的坐标，再由中心对称的性质，知道点点为和的中点，即可得到的坐标． 【详解】（1）解：根据题意可知和关于原点中心对称， 则可得到，， 关于原点中心对称的对应点分别为、、，描点依次连接， 如图所示，即为所求： （2）解：根据题意可知，点向右平移4个单位，向上平移2个单位得到点，则向右平移4个单位，向上平移2个单位得到 ， 分别将，，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到对应点、、，描点依次连接， 如图所示，即为所求： （3）解：根据题意可知，点向右平移个单位，向上平移个单位得到点，则向右平移个单位，向上平移个单位得到 ， 分别将，，向右平移个单位，向上平移个单位得到对应点、、， 平移后的和关于点成中心对称，且、、， 设对称中心，由题意可知，点为和的中点 那么， ， ． 故答案为：． 42．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将绕点旋转，点的对应点为，直接在图中画出旋转后的△； (2)平移，点的对应点的坐标为，点的对应点为，直接在图中画出平移后的； (3)若将绕某一点旋转可以得到； ①旋转中心的坐标为 （直接填空）； ②若点是边上一动点，旋转后点的对应点为，则的最小值为 （直接填空）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了作图平移变换，作图旋转变换，熟练掌握平移变换与旋转变换的性质是解题的关键． （1）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （3）①连接，交于点，则点即为所求，写出点的坐标即可； ②由题意结合图形可知，的最小值为线段与线段之间的距离，通过勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：①如图所示，旋转中心的位置如图所示，， ②如图，连接，四边形是平行四边形， 则的最小值即为线段与线段之间的距离， 设的最小值为， 由勾股定理得，， 则， 解得， 故答案为：；． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$