专题10 浙教版八下期末考试模拟试卷（2）（浙江专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题10 浙教版八下期末考试模拟试卷（二） 考试内容：八下全册 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的乘法法则对A选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B选项进行判断；根据二次根式的除法法则对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断． 【解答】解：A．2312，所以A选项不符合题意； B．与不能合并，所以B选项不符合题意； C．（）÷2，所以C选项不符合题意； D．（2）2＝20，所以D选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 2．已知a和b是方程x2+2025x﹣5＝0的两个解，则a2+2024a﹣b的值为（　　） A．2025 B．﹣5 C．2028 D．2030 【分析】先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得a2+2025a＝5，a+b＝﹣2025，再代值求解即可． 【解答】解：由条件可知：a2+2025a＝5，a+b＝﹣2025， ∴a2+2024a﹣b ＝a2+2025a﹣（a+b） ＝5﹣（﹣2025） ＝5+2025 ＝2030， 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 3．下列说法中正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．平行四边形的对角线平分一组对角 D．矩形的对角线相等且互相平分 【分析】由矩形和正方形的判定方法容易得出A、B不正确；由平行四边形的性质和矩形的性质容易得出C不正确，D正确． 【解答】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴A不正确； ∵对角线互相垂直的矩形是正方形， ∴B不正确； ∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角， ∴C不正确； ∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴D正确； 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定与性质是解决问题的关键． 4．排球垫球是中考体育选考项目，垫球40次及以上为满分．平平同学为了在排球垫球考试中取得好成绩，进行了为期两个阶段的训练．根据他的训练成绩计算得到中位数和方差，如表： 中位数（次） 方差（次2） 第一阶段 36 216.02 第二阶段 38 151.46 则以下两个结论（　　） ①平平第二阶段的训练成绩中至少一半为满分． ②经过训练，第二阶段的成绩比第一阶段更加稳定． A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 【分析】①根据中位数的定义解答即可； ②根据方差的意义解答即可． 【解答】解：第二阶段的成绩的中位数是38次，40次及以上为满分，所以平平第二阶段的训练成绩中至少一半低于满分，故①说法错误； 第二阶段的成绩的方差为151.46，第一阶段的成绩的方差为216.02，所以第二阶段的成绩的方差小于第一阶段，即经过训练，第二阶段的成绩比第一阶段更加稳定，故②说法正确． 故选：C． 【点评】本题考查了方差以及中位数，掌握相关统计量的意义是解答本题的关键． 5．如图，在腰长为8的等腰△ABC中，AB＝AC，E，M，F分别是AB，BC，AC上的点，并且ME∥AC，MF∥AB，则四边形MEAF的周长是（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 【分析】根据题意得出四边形MEAF是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质可得∠B＝∠EMB，得出EM＝EB，则AE+AF＝AB，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【解答】解：∵ME∥AC，MF∥AB， ∴四边形MEAF是平行四边形， ∴FM＝AE，EM＝AF， ∵ME∥AC， ∴∠EMB＝∠C， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠B＝∠EMB， ∴EM＝EB， ∴AF＝BE， ∴AE+AF＝AE+BE＝AB， ∵AB＝AC＝8， ∴平行四边形MEAF的周长＝2（AE+AF）＝2AB＝2×8＝16； 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 6．已知反比例函数的图象如图所示，点P，P1在反比例函数的图象上，连结P，P1两点，PP1刚好经过原点，A为第四象限内一点，且PA⊥P1A，若12，则k的值为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【分析】根据中心对称图形的性质及反比例函数k值的几何意义解答即可． 【解答】解：如图，连接OA，AP交x轴于点B， ∵PP1刚好经过原点，点P与P1关于原点成中心对称， ∴P1（﹣x，﹣y）， ∵PA⊥P1A， ∴A（x，﹣y）， ∵点P与P1关于原点成中心对称，且12， ∴S△AOP＝6， ∴S△POB＝3， ∵k＝2S△POB＝2×3＝6． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． 7．如图，小区物业规划在一个长60米、宽22米的矩形场地ABCD上，修建一个小型停车场．其中，阴影部分为停车位所在区域，两侧道路的宽x米，中间道路的宽2x米．若阴影部分的总面积是600平方米，则可列方程（　　） A．x2﹣41x+225＝0 B．x2﹣41x+30＝0 C．x2﹣41x+180＝0 D．x2﹣41x﹣270＝0 【分析】根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出阴影部分可合成长为（60﹣2x）米，宽为（22﹣2x）米的矩形，结合阴影部分的总面积是600平方米，可列出关于x的一元二次方程，整理后，即可得出结论． 【解答】解：∵矩形场地ABCD的长为60米，宽为22米，两侧道路的宽x米，中间道路的宽2x米， ∴阴影部分可合成长为（60﹣2x）米，宽为（22﹣2x）米的矩形． 根据题意得：（60﹣2x）（22﹣2x）＝600， 整理得：x2﹣41x+180＝0． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．如图1，某数学兴趣社团设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻．R1（单位：Ω），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数U0（单位：V）换算为人的质量m（单位：kg）．已知U0随着R1变化的关系图象如图2所示，R1与踏板上人的质量m的关系见图3．则下列说法正确的是（　　） A．在一定范围内，U0越大，m越小 B．当U0＝3V时，踏板上人的质量为95kg C．当踏板上人的质量为90kg时，U0＝2V D．若电压表量程为0﹣6V（0≤U0≤6），为保护电压表，则该电子体重秤可称的最大质量是120kg 【分析】根据所给函数图象，可判断A、B选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为90kg和U0＝2V时的阻值，可判断C选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断D选项． 【解答】解：根据图象信息及反比例函数性质逐项分析判断如下： A、在一定范围内，U0越大，R1越小， 由R1＝﹣2m+240（0≤m≤120）可得，R1越小，m越大，原说法错误，不符合题意； B、当U0＝3V时，R1的阻值为50Ω， ∴50＝﹣2m+240，解得：m＝95， 原说法正确，符合题意； C、当踏板上人的质量为90kg时，R1＝﹣2×90+240＝60Ω，由图2可知，U0＝2V时，R1＝90Ω，原说法错误，不符合题意； D、当电压表量程为0～6V（0≤U0≤6）时，由图2可知，当U0＝6V，R1阻值最小为10Ω， 由R1＝﹣2m+240可知，R1随着m的增大而减小，则当R1＝10Ω时，m有最大值， 10＝﹣2m+240，解得：m＝115，体重秤可称的最大质量是115kg，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息． 9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（　　） A．2.5 B．2.4 C．3 D．4 【分析】连接AD，根据勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，如图，连接AD， 由勾股定理得：， ∵DM⊥AB，DN⊥AC， ∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°， ∴四边形DMAN是矩形， ∴MN＝AD， ∴当AD⊥BC时，AD的值最小， 此时， ∴， ∴MN的最小值为2.4． 故选：B． 【点评】本题考查矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理，解题的关键是掌握矩形的性质并理解垂线段最短的意义． 10．如图，已知四边形ABCD为正方形，，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论： ①BE＝EF； ②矩形DEFG是正方形； ③CG＝AE； ④CG平分∠DCF． 其中结论正确的序号有（　　） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【分析】连接BD，作EH⊥CB于点H，EL⊥CD于点L，由正方形的性质得CB＝CD＝AD，AC垂直平分BD，则BE＝ED，因为CA平分∠BCD，所以EH＝EL，再推导出∠HEF＝∠LED，进而证明△HEF≌△LED，得EF＝ED，所以BE＝EF，可判断①正确；由四边形DEFG是矩形，EF＝ED，证明四边形DEFG是正方形，可判断②正确；再证明△CDG≌△ADE，得CG＝AE，可判断③正确；可证明∠DCG＝∠DAE＝45°，则∠FCG＝∠DCG＝45°，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接BD，作EH⊥CB于点H，EL⊥CD于点L，则∠EHF＝∠ELD＝∠ELC＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，CB＝CD＝AD，AC垂直平分BD， ∵E为AC上一点， ∴BE＝ED， ∵CB＝CD，CA⊥BD， ∴CA平分∠BCD， ∴EH＝EL， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90°， ∵∠HEL＝180°﹣∠EHF﹣∠BCD﹣∠ELC＝90°， ∴∠HEF＝∠LED＝90°﹣∠FEL， 在△HEF和△LED中， ， ∴△HEF≌△LED（ASA）， ∴EF＝ED， ∴BE＝EF， 故①正确； ∵四边形DEFG是矩形，EF＝ED， ∴四边形DEFG是正方形， 故②正确； ∴∠EDG＝∠ADC＝90°，GD＝ED， ∴∠CDG＝∠ADE＝90°﹣∠CDE， 在△CDG和△ADE中， ， ∴△CDG≌△ADE（SAS）， ∴CG＝AE， 故③正确； ∵∠DCE＝∠DAE＝45°， ∴∠DCG＝∠DAE＝45°， ∵∠DCF＝90°， ∴∠FCG＝∠DCG＝45°， ∴CG平分∠DCF， 故④正确， 故选：D． 【点评】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11．计算：　　 ． 【分析】根据同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算法则把所求式子变形，据此计算求解即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次根式乘法计算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，正确记忆相关知识点是解题关键． 12．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+n＝0有一个根是x＝2，则n＝ 　2　 ． 【分析】把x＝2代入一元二次方程得到x2﹣3x+n＝0，解方程即可． 【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣3x+n＝0得4﹣3×2+n＝0， 所以n＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 13．如图，在正八边形ABCDEFGH中，AE与BG交于点P，则∠APG的度数为 　112.5°　 ． 【分析】根据多边形的内角和定理及正多边形的性质可求解∠PAH，∠HGP，∠AHG，再利用四边形的内角和为360°可计算求解． 【解答】解：在正八边形ABCDEFGH中，AE平分∠BAH，BG⊥GF， ∵∠BAH＝∠AHG＝∠HGF（8﹣2）×180°＝135°， ∴∠PAH∠BAH＝67.5°，∠BGF＝90°， ∴∠HGP＝∠HGF﹣∠BGF＝45°， ∵四边形APGH的内角和为360°， ∴∠APG＝360°﹣45°﹣67.5°﹣135°＝112.5°． 故答案为：112.5°． 【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，正多边形的性质，掌握相关定理是解题的关键． 14．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，点E为CD的中点，取AE的中点F，连接BE，BF，当△BEF为直角三角形时，BC的长为 　1或　 ． 【分析】根据矩形的性质和直角三角形性质解答即可． 【解答】解：∵AD＝BC，DE＝CE，∠D＝∠C， ∴△ADE≌△BCE（SAS）， ∴AE＝BE，∠AED＝∠BEC， 分情况解答：①∠BEF＝90°时， 则∠AED＝∠BEC＝45°， ∴； ②∠BFE＝90°时， ∴， ∴∠BEF＝60°， ∴△BEA为正三角形， ∴BE＝AB＝2， ∴CE＝1，则； ③∠FBE＝90°，不存在， 故答案为：1或． 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握分类讨论是解题的关键． 15．如图，点A（a，b），B（b，a）均在反比例函数的图象上．连结AO，BO并延长，分别与反比例函数的图象交于点A′，B′，连结AB，AB′，A′B，A′B′．若AB＝4，AB′＝8，则k的值为　6　 ． 【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，即可得出S△AOD＝S△BOD，ab＝k，证得四边形ABA′B′是矩形，即可求得四边形ABA′B′的面积为4×8＝32，S△AOBS矩形ABA′B′＝8，利用S△AOB＝S△AOD+S梯形ADEB﹣S△BOE＝S梯形ADEB＝8，求出ab值即为k值． 【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E， ∵点A（a，b），B（b，a）均在反比例函数的图象上， ∴S△AOD＝S△BOD，ab＝k， 由题意可知OA＝OA′，OB＝OB′， ∵点A（a，b），B（b，a）， ∴OA2＝a2+b2＝OB2， ∴OA＝OB， ∵OA＝OA′，OB＝OB′， ∴四边形ABA′B′是矩形， ∵AB＝4，AB′＝8， ∴四边形ABA′B′的面积为4×8＝32， ∴S△AOBS矩形ABA′B′＝8， ∴S△AOB＝S△AOD+S梯形ADEB﹣S△BOE＝S梯形ADEB8， ∵A（a，b），B（b，a），AB＝4， ∴（a﹣b2）+（b﹣a）2＝16， ∴b﹣a＝2， ∴， ∴b+a＝4， 由，解得， ∴k＝ab＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的判定以及三角形的面积，求得a、b的值是解题的关键． 16．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，则下列结论：①BE⊥AC；②EG＝EF；③△EFG≌△GBE；④四边形BEFG是菱形；⑤EA平分∠GEF．其中错误的是 　④　 （填序号）． 【分析】由平行四边形的性质可得OB＝BC，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断②正确，通过证四边形BGFE是平行四边形，可判断③正确，由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断⑤正确，由∠BAC≠30°可判断④错误． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DOBD，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD， 又∵BD＝2AD， ∴OB＝BC＝OD＝DA，且点E 是OC中点， ∴BE⊥AC， 故①正确， ∵E、F分别是OC、OD的中点， ∴EF∥CD，EFCD， ∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点， ∴GEAB＝AG＝BG， ∴EG＝EF＝AG＝BG， 故②正确， ∵BG＝EF，AB∥CD∥EF， ∴四边形BGFE是平行四边形， ∴GF＝BE，且BG＝EF，GE＝GE， ∴△BGE≌△FEG（SSS）， 故③正确， ∵EF∥CD∥AB， ∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF， ∵AG＝GE， ∴∠GAE＝∠AEG， ∴∠AEG＝∠AEF， ∴AE平分∠GEF， 故⑤正确， 若四边形BEFG是菱形， ∴BE＝BGAB， ∴∠BAC＝30°， 与题意不符合， 故④错误， 故答案为：④． 【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）（1）计算：； （2）解方程：x2﹣4x﹣1＝0． 【分析】（1）先将括号里的二次根式化简，再将括号里的二次根式合并即可； （2）利用公式法解方程即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）x2﹣4x﹣1＝0， b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20＞0， 代入求根公式得， ，． 【点评】本题主要考查二次根式的减法运算和解一元二次方程．熟练掌握该知识点是关键． 18．（8分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1．请分别画出满足下列条件的图形．要求：所画图形的顶点均在格点上，不写结论． （1）在图①中画一个面积为3的矩形； （2）在图②中画一个面积为5的正方形； （3）在图③中画一个面积为6的菱形； （4）在图④中，已知△ABC，请画出▱ABCD． 【分析】（1）根据矩形的判定按要求画图即可． （2）根据正方形的判定按要求画图即可． （3）根据菱形的判定按要求画图即可． （4）根据平行四边形的判定画图即可． 【解答】解：（1）如图①，矩形ABCD即为所求． （2）如图②，正方形ABCD即为所求． （3）如图③，菱形ABCD即为所求． （4）如图④，▱ABCD即为所求． 【点评】本题考查作图—应用与设计作图、平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19．（8分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且AO＝OC，OB＝OD． （1）当CD＝AD时，四边形ABCD是什么特殊四边形？并说明理由； （2）在（1）的基础上，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE，若AD＝l0，EC＝4，求OE的长． 【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证； （2）根据勾股定理求得AC，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【解答】解：（1）四边形ABCD为菱形； 理由如下：∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 又∵CD＝AD， ∴四边形ABCD为菱形； （2）由（1）知四边形ABCD是菱形， ∵AD＝10， ∴AD＝AB＝BC＝10． ∵EC＝4， ∴BE＝10﹣4＝6． 在Rt△ABE中，AE8， 在Rt△AEC中，AC4． ∵OA＝OC， ∴O为AC的中点， ∴OEAC＝2． 【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定与性质，关键是相关性质的熟练掌握． 20．（8分）某校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，在八年级开设了厨艺、园艺、电工、木工、编织等劳动课程，并在期末进行了实践及笔试测试，并将成绩按一定权重进行整合汇总（百分制），现从八年级两个班中各随机抽取15名学生的成绩进行分析，过程如下： 【收集数据】 八（1）班：91，74，81，85，83，92，59，99，82，82，92，81，82，85，62． 八（2）班：93，93，84，77，89，83，92，83，81，73，81，84，86，84，47． 【整理数据】 40≤x＜50 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 八（1）班 0 1 1 1 8 4 八（2）班 1 0 0 a b 3 【分析数据】 平均数 众数 中位数 八（1）班 82 c 82 八（2）班 82 84 d 【应用数据】 （1）由如表填空：a＝　2　 ，b＝　9　 ，c＝　82　 ，d＝　84　 ； （2）若该校八年级有1200名学生，请你估计该校八年级学生在本次测试中成绩在90分以上（含90分）的人数； （3）你认为哪个班的学生劳动课程测试的成绩更好，并说明理由． 【分析】（1）根据众数、中位数的定义，结合题目中的数据即可求解； （2）先计算测试成绩在90分以上（含90分）的人数占比，再乘以1200即可求解； （3）根据中位数、众数的意义分析即可得出结论． 【解答】解：（1）由题意知八（2）班70≤x＜80共2人，80≤x＜90共9人， ∴a＝2，b＝9， ∵八（1）班82分共有3人， ∴八（1）班级成绩的众数c＝82， 将八（2）班成绩重新排列第8个分数是84分，故d＝84． 故答案为：2，9，82，84． （2）测试成绩在90分以上（含90分）的人数占比乘1200可得： （人）， 答：估计该校八年级学生在本次劳动课程测试成绩在90分以上（含90分）的人数为280人． （3）八（2）班的成绩更好，理由：两个班的平均成绩相等，而八（2）班的中位数大于八（1）班的中位数，众数也大于八（1）班的众数． 【点评】本题考查了统计表、求众数、中位数、用样本估计总体，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 21．（8分）小丽家饮水机中水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（min）满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（min）成反比例关系，当水温降至20℃时，根据图中提供的信息，解答问题． （1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）关于开机时间x（min）； （2）求图中t的值； （3）若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步70min回到家时，饮水机中水的温度． 【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可； （2）首先求出反比例函数解析式进而得出t的值； （3）利用已知由x＝20代入求出饮水机内的水的温度即可． 【解答】解：（1）当0≤x≤10时，水温y（℃）与开机时间x（min）满足一次函数关系，设水温 y（℃）与开机时间x（min）的函数关系为y＝kx+b，将（0，20）、（10，100）分别代入得： ， 解得：， ∴此函数解析式为y＝8x+20； （2）当10≤x≤t，水温y（℃）与开机时间x（min）成反比例关系，设水温y（℃）与开机时间x（min）的函数关系式为，将（10，100）代入得： ， ∴m＝1000， ∴， 当y＝20时，得：， 解得：t＝50； （3）∵70﹣50＝20＞10， ∴当x＝20时，， ∴小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为50℃． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． 22．（10分）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+2x+3的最小值． 解：x2+2x+3＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2， ∵无论x取何实数，都有（x+1）2≥0， ∴（x+1）2+2≥2，即x2+2x+3的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： （1）直接写出x2﹣6x+12的最小值 　3　 ； （2）比较代数式3x2﹣x+2与2x2+3x﹣6的大小，并说明理由； （3）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD．若AC+BD＝10，求四边形ABCD面积的最大值． 【分析】（1）原式配方后得到x2﹣6x+12＝（x﹣3）2+3，即可得到答案； （2）将两式相减后利用配方法即可判断； （3）利用，结合AC+BD＝10，代入后配方得，即可得到答案． 【解答】解：（1）x2﹣6x+12＝（x﹣3）2+3， ∵无论x取何实数，都有（x﹣3）2≥0， ∴（x﹣3）2+3≥3，即x2﹣6x+12的最小值为3． 故答案为：3． （2）∵3x2﹣x+2﹣（2x2+3x﹣6）＝（x﹣2）2+4＞0， ∴3x2﹣x+2＞2x2+3x﹣6， （3）∵S四边形ABCDAC2+5AC（AC﹣5）2， ∴四边形ABCD面积的最大值为． 【点评】本题考查了配方法的应用．利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和是解题的关键． 23．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12cm，点E，F分别为AB，AC的中点．动点P，Q同时从点A出发，均以2cm/s速度，分别沿线段AB和线段AC的方向匀速运动，当点P运动到点B停止运动时，点Q也随之停止运动，连接PQ，以PQ为边向上作正方形PQGH．设点P运动的时间为xs，正方形PQGH和四边形BEFC重合部分图形的面积为y cm2． （1）直接写出PQ的长（用含x的代数式表示）． （2）当HG落在EF上时，求x的值． （3）当y＞0时，求y与x之间函数关系，并写出x的取值范围． 【分析】（1）根据题意表示出AP＝AQ＝2x，由勾股定理求解； （2）当HG落在EF上时，求出PQ＝PH＝2x cm，根据等腰直角三角形的性质得到结论． （3）根据题意分三种情况：当1＜x≤3时，当3＜x＜6时，利用等腰直角三角形的性质求解． 【解答】解：（1）由题意，得AP＝AQ＝2x cm． ∵∠BAC＝90° ∴△APQ 等腰直角三角形． ∴PQAP＝2（cm）； （2）如图①，HG在EF上． ∵AB＝AC＝12cm，点E，F分别为AB，AC的中点， ∴AE＝AF＝6cm． ∵∠A＝90° ∴△AEF是等腰直角三角形． ∴∠AEF＝45° ∵四边形PQGH是正方形， ∴PQ＝PH＝2x cm，∠PHG＝90°， ∴∠PHE＝90°， ∴△PHE是等腰直角三角形， ∴EPPH＝4x cm， ∴4x+2x＝6， ∴x＝1； （3）∵y＞0， ∴1＜x＜6． 如图②，HG落在BC上， 同理得：2x+4x＝12． ∴x＝2， 分三种情况： Ⅰ．当1＜x≤2时，如图③，正方形PQGH和四边形BEFC重合部分的图形是矩形MNGH， ∵AP＝2x cm，AE＝6cm， ∴PE＝（6﹣2x）cm． ∵△PEM是等腰直角三角形， ∴PM＝EM（3x）cm． ∴HM＝PH﹣PM ． ∴y＝GH，HM ＝12x2﹣12x； Ⅱ．当2＜x≤3时，如图④，正方形PQGH和四边形BEFC重合部分的图形是四边形MNKL， 过点E作EJ⊥BC于J． ∴∠BJE＝90°， ∵∠B＝45°， ∴△BEJ是等腰直角三角形， ∵BE＝6cm， ∴EJ＝BJ＝3cm， ∵点E，F分别为AB，AC 的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC， ∵四边形PQGH是正方形， ∴PQ∥GH， ∵∠APQ＝∠B＝45°， ∴PQ∥BC∥EF∥GH， ∴∠LMN＝∠HPQ＝90°， 同理得：∠MNG＝∠NKL＝90°， ∴四边形MNKL是矩形， ∴y＝ML•MN＝2x•312x； Ⅲ．当3＜x＜6时，如图⑤，正方形PQGH和四边形BEFC重合部分的图形是矩形PQNM， ∵AP＝2x cm，AB＝12cm， ∴PB＝（12﹣2x）cm． ∴． ∴y＝PQ•PM ＝2x•（6﹣x） ＝﹣4x2+24x， 综上，y与x之间函数关系式为： ． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了等腰直角三角形的性质，动点问题，求二次函数关系式，正方形的性质，勾股定理，理解题意，作出图形是解答关键． 24．（12分）若两角之差的绝对值为60°，则称这两个角是一组“奇妙角”．即若|∠α﹣∠β|＝60°，则∠α与∠β是一组“奇妙角”（0°＜∠α＜180°，0°＜∠β＜180°）． （1）如图1，在长方形ABCD中，点P在边AB上，点G在边CD上，沿着PG将四边形PADG对折，点A落在点A′处，点D落在点D′处，若∠BPA'＝20°，判断∠APG与∠BPA′是否是一组“奇妙角”，并说明理由； （2）如图2，点P为长方形ABCD的边AB上一点，点M，点N分别是射线AD，射线BC上一点，连接PM，PN，沿着PM，PN分别对折三角形APM和三角形BPN，点A落在点A′处，点B落在点B′处． ①如图3，当点P，A′，B′三点共线时，∠APM与∠BPN是一组“奇妙角”，求∠BPN的度数； ②当点P，A′，B′三点不共线时，∠APM与∠BPN是一组“奇妙角”，∠APM＞∠BPN，且∠A'PB'＝12°，求∠BPA'的度数． 【分析】（1）根据折叠的性质得到∠APG＝∠A′PG，得到∠APG＝×（180°﹣20°）＝80°，求得∠APG﹣∠BPA′＝80°﹣20°＝60°，于是得到∠APG与∠BPA′是一组“奇妙角”； （2）根据折叠的性质得到∠MPA′∠∠APA′，∠NPB′∠BPB′，得到∠MPA+∠NPB∠APB＝90°，根据∠APM与∠BPN是一组“奇妙角”，得到∠APM﹣∠BPN＝60°，于是得到∠BPN＝15°； （3）根据折叠的性质得到∠APM＝∠APM′，∠BPN＝∠B′PN′，设∠BPN＝β，求得∠APM＝60°+β，如图2，根据平角的定义列方程即可得到∠BPA′＝2β+12°＝36°；如图4，根据折叠的性质得到∠APM＝∠APM′，∠BPN＝∠B′PN′，由∠APM与∠BPN是一组“奇妙角”设∠BPN＝β，得到∠APM＝60°+β，根据题意列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∠APG与∠BPA′是一组“奇妙角”， 理由：沿着PG将四边形PADG对折，点A落在点A′处，点D落在点D′处， ∴∠APG＝∠A′PG， ∵∠BPA'＝20°， ∴∠APG＝×（180°﹣20°）＝80°， ∴∠APG﹣∠BPA′＝80°﹣20°＝60°， ∴∠APG与∠BPA′是一组“奇妙角”； （2）∵沿着PM，PN分别对折三角形APM和三角形BPN，点A落在点A′处，点B落在点B′处， ∴∠MPA′∠∠APA′，∠NPB′∠BPB′， ∵点P，A′，B′三点共线， ∴∠MPA+∠NPB∠APB＝90°， ∵∠APM与∠BPN是一组“奇妙角”， ∴∠APM﹣∠BPN＝60°， ∴∠BPN＝15°； （3）∵沿着PM，PN分别对折三角形APM和三角形BPN，点A落在点A′处，点B落在点B′处， ∴∠APM＝∠APM′，∠BPN＝∠B′PN′， ∵∠APM与∠BPN是一组“奇妙角” ∴设∠BPN＝β， ∴∠APM＝60°+β， 如图2，∵∠A'PB'＝12°， ∴2×（60°+β）+2β+12°＝180°， ∴β＝12°， ∴∠BPN＝12°， ∴∠BPA′＝2β+12°＝36°； 如图4， 沿着PM，PN分别对折三角形APM和三角形BPN，点A落在点A′处，点B落在点B′处， ∴∠APM＝∠APM′，∠BPN＝∠B′PN′， ∵∠APM与∠BPN是一组“奇妙角” ∴设∠BPN＝β，∠BPA′＝θ， ∴∠APM＝60°+β， ∵∠A′PB′＝12°， ∴θ+12°＝2β， ∵2（60°+β）+θ＝180°， ∴θ＝24°， ∴∠BPA′＝24°， 综上所述，∠BPA'的度数为36°或24°． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了翻折变换（折叠问题），正确地理解“奇妙角”的定义是解题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 浙教版八下期末考试模拟试卷（二） 考试内容：八下全册 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．已知a和b是方程x2+2025x﹣5＝0的两个解，则a2+2024a﹣b的值为（　　） A．2025 B．﹣5 C．2028 D．2030 3．下列说法中正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．平行四边形的对角线平分一组对角 D．矩形的对角线相等且互相平分 4．排球垫球是中考体育选考项目，垫球40次及以上为满分．平平同学为了在排球垫球考试中取得好成绩，进行了为期两个阶段的训练．根据他的训练成绩计算得到中位数和方差，如表： 中位数（次） 方差（次2） 第一阶段 36 216.02 第二阶段 38 151.46 则以下两个结论（　　） ①平平第二阶段的训练成绩中至少一半为满分． ②经过训练，第二阶段的成绩比第一阶段更加稳定． A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 5．如图，在腰长为8的等腰△ABC中，AB＝AC，E，M，F分别是AB，BC，AC上的点，并且ME∥AC，MF∥AB，则四边形MEAF的周长是（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 6．已知反比例函数的图象如图所示，点P，P1在反比例函数的图象上，连结P，P1两点，PP1刚好经过原点，A为第四象限内一点，且PA⊥P1A，若12，则k的值为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 7．如图，小区物业规划在一个长60米、宽22米的矩形场地ABCD上，修建一个小型停车场．其中，阴影部分为停车位所在区域，两侧道路的宽x米，中间道路的宽2x米．若阴影部分的总面积是600平方米，则可列方程（　　） A．x2﹣41x+225＝0 B．x2﹣41x+30＝0 C．x2﹣41x+180＝0 D．x2﹣41x﹣270＝0 8．如图1，某数学兴趣社团设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻．R1（单位：Ω），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数U0（单位：V）换算为人的质量m（单位：kg）．已知U0随着R1变化的关系图象如图2所示，R1与踏板上人的质量m的关系见图3．则下列说法正确的是（　　） A．在一定范围内，U0越大，m越小 B．当U0＝3V时，踏板上人的质量为95kg C．当踏板上人的质量为90kg时，U0＝2V D．若电压表量程为0﹣6V（0≤U0≤6），为保护电压表，则该电子体重秤可称的最大质量是120kg 9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（　　） A．2.5 B．2.4 C．3 D．4 10．如图，已知四边形ABCD为正方形，，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．下列结论： ①BE＝EF； ②矩形DEFG是正方形； ③CG＝AE； ④CG平分∠DCF． 其中结论正确的序号有（　　） A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11．计算：　 　 ． 12．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+n＝0有一个根是x＝2，则n＝ 　 　 ． 13．如图，在正八边形ABCDEFGH中，AE与BG交于点P，则∠APG的度数为 　 　 ． 14．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，点E为CD的中点，取AE的中点F，连接BE，BF，当△BEF为直角三角形时，BC的长为 　 　 ． 15．如图，点A（a，b），B（b，a）均在反比例函数的图象上．连结AO，BO并延长，分别与反比例函数的图象交于点A′，B′，连结AB，AB′，A′B，A′B′．若AB＝4，AB′＝8，则k的值为　 　 ． 16．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，则下列结论：①BE⊥AC；②EG＝EF；③△EFG≌△GBE；④四边形BEFG是菱形；⑤EA平分∠GEF．其中错误的是 　 　 （填序号）． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）（1）计算：； （2）解方程：x2﹣4x﹣1＝0． 18．（8分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1．请分别画出满足下列条件的图形．要求：所画图形的顶点均在格点上，不写结论． （1）在图①中画一个面积为3的矩形； （2）在图②中画一个面积为5的正方形； （3）在图③中画一个面积为6的菱形； （4）在图④中，已知△ABC，请画出▱ABCD． 19．（8分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且AO＝OC，OB＝OD． （1）当CD＝AD时，四边形ABCD是什么特殊四边形？并说明理由； （2）在（1）的基础上，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE，若AD＝l0，EC＝4，求OE的长． 20．（8分）某校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，在八年级开设了厨艺、园艺、电工、木工、编织等劳动课程，并在期末进行了实践及笔试测试，并将成绩按一定权重进行整合汇总（百分制），现从八年级两个班中各随机抽取15名学生的成绩进行分析，过程如下： 【收集数据】 八（1）班：91，74，81，85，83，92，59，99，82，82，92，81，82，85，62． 八（2）班：93，93，84，77，89，83，92，83，81，73，81，84，86，84，47． 【整理数据】 40≤x＜50 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 八（1）班 0 1 1 1 8 4 八（2）班 1 0 0 a b 3 【分析数据】 平均数 众数 中位数 八（1）班 82 c 82 八（2）班 82 84 d 【应用数据】 （1）由如表填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ，d＝　 　 ； （2）若该校八年级有1200名学生，请你估计该校八年级学生在本次测试中成绩在90分以上（含90分）的人数； （3）你认为哪个班的学生劳动课程测试的成绩更好，并说明理由． 21．（8分）小丽家饮水机中水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（min）满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（min）成反比例关系，当水温降至20℃时，根据图中提供的信息，解答问题． （1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）关于开机时间x（min）； （2）求图中t的值； （3）若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步70min回到家时，饮水机中水的温度． 22．（8分）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+2x+3的最小值． 解：x2+2x+3＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2， ∵无论x取何实数，都有（x+1）2≥0， ∴（x+1）2+2≥2，即x2+2x+3的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： （1）直接写出x2﹣6x+12的最小值 　 　 ； （2）比较代数式3x2﹣x+2与2x2+3x﹣6的大小，并说明理由； （3）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD．若AC+BD＝10，求四边形ABCD面积的最大值． 23．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12cm，点E，F分别为AB，AC的中点．动点P，Q同时从点A出发，均以2cm/s速度，分别沿线段AB和线段AC的方向匀速运动，当点P运动到点B停止运动时，点Q也随之停止运动，连接PQ，以PQ为边向上作正方形PQGH．设点P运动的时间为xs，正方形PQGH和四边形BEFC重合部分图形的面积为y cm2． （1）直接写出PQ的长（用含x的代数式表示）． （2）当HG落在EF上时，求x的值． （3）当y＞0时，求y与x之间函数关系，并写出x的取值范围． 24．（12分）若两角之差的绝对值为60°，则称这两个角是一组“奇妙角”．即若|∠α﹣∠β|＝60°，则∠α与∠β是一组“奇妙角”（0°＜∠α＜180°，0°＜∠β＜180°）． （1）如图1，在长方形ABCD中，点P在边AB上，点G在边CD上，沿着PG将四边形PADG对折，点A落在点A′处，点D落在点D′处，若∠BPA'＝20°，判断∠APG与∠BPA′是否是一组“奇妙角”，并说明理由； （2）如图2，点P为长方形ABCD的边AB上一点，点M，点N分别是射线AD，射线BC上一点，连接PM，PN，沿着PM，PN分别对折三角形APM和三角形BPN，点A落在点A′处，点B落在点B′处． ①如图3，当点P，A′，B′三点共线时，∠APM与∠BPN是一组“奇妙角”，求∠BPN的度数； ②当点P，A′，B′三点不共线时，∠APM与∠BPN是一组“奇妙角”，∠APM＞∠BPN，且∠A'PB'＝12°，求∠BPA'的度数． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$