专题01 平面向量及其应用12大考点（期末真题汇编，北京专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 平面向量专题汇编，覆盖12个高频考点，精选北京多区期末真题，注重概念辨析与几何应用结合 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（单选+多选）|约40题|平面向量的概念、线性运算、数量积、模与夹角等|结合平行四边形、正六边形等几何图形考查线性运算| |填空|约20题|共线定理求参、基底表示向量|以正方形网格为背景设计向量坐标运算题| |解答|约10题|坐标表示综合应用、数量积最值|融入赵爽弦图等文化素材考查数量积取值范围|

专题01 平面向量及其应用 高频考点概览 考点 01 平面向量的概念 考点 02 平面向量的线性运算 考点 03 平面向量共线定理及其应用 考点 04 用基底表示向量 考点 05 平面向量基本定理求参 考点 06 平面向量的坐标表示 考点 07 平面向量的数量积 考点 08 求向量的模 考点 09 求向量的夹角 考点 10 求投影向量 考点 11 向量垂直问题 考点 12 数量积的最值问题 考点01 平面向量的概念 1．（多选）（2025春•西城区校级期末）下列命题中错误的有　　 A．的充要条件是且 B．若，，则 C．若，则存在实数，使得 D． 2．（多选）（2025春•西城区校级期末）下列命题不正确的是　　 A．单位向量都相等 B．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量 C．，则 D．若与单位向量，则 3．（2024秋•怀柔区期末）如图，点为等腰梯形底边的中点，，，下列向量中，与相等的是（　　） A． B． C． D． 4．（多选）（2025春•西城区校级期末）化简以下各式，结果为零向量的是　　 考点02 平面向量的线性运算 A． B． C． D． 5．（2025秋•延庆区期末）如图，四边形是平行四边形，则（　　） A． B． C． D． 6．（2022秋•西城区期末）如图，在平行四边形中，（　　） A． B． C． D． 7．（2025秋•昌平区期末）如图，点为正六边形的中心，则（　　） A． B． C． D． 8．（2024秋•怀柔区期末）点，，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 　　． 考点03 平面向量共线定理及其应用 9．（2023春•海淀区期末）已知向量，则下列向量中与平行的单位向量是（　　） A． B． C． D． 10．（2023春•平谷区期末）已知向量，，那么向量可以是（　　） A． B． C． D． 11．（2024秋•西城区期末）下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（　　） A． B． C． D． 12．（2025春•东城区期末）已知向量，，若，则（　　） A． B．4 C． D．1 13．（2023秋•昌平区期末）已知向量不共线，且，．若，则　　． 14．（2024春•朝阳区期末）已知向量，不共线，，，若与同向，则实数的值为（　　） A． B． C．3 D．或3 15．（2024秋•北京校级期末）已知向量，，若存在，使得与的方向相反，则实数的取值范围是 　　． 考点04 用基底表示向量 16．（2025秋•西城区期末）在平行四边形中，为的中点．记，，则（　　） A． B． C． D． 17．（2019秋•房山区期末）在平行四边形中，，交于点，则（　　） A． B． C． D． 18．（2025秋•房山区期末）在平行四边形中，为边的中点，设，则（　　） A． B． C． D． 19．（2025春•石家庄期末）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则　　 A． B． C． D． 20．（2024秋•房山区期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则　　 A． B． C． D． 21．（2023秋•房山区期末）如图，在△中，点，满足，，则（　　） A． B． C． D． 考点05 平面向量基本定理求参 22．（2025秋•北京期末）如图，在△中，为线段上的一点，且．若，则（　　） A．， B．， C．， D．， 23．（2025秋•西城区校级期末）在△中，，为边的两个三等分点，若，则　　 ． 24．（2024秋•北京校级期末）如图所示，四点，，，在正方形网格的格点处．若，则实数（　　） A． B． C．1 D． 25．（2025春•西城区校级期末）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则 　　 ． 26．（2024春•海淀区期末）在△中，点满足，若，则（　　） A． B． C．3 D．4 27．（2023秋•昌平区期末）在中，点，满足，．若，则　　． 28．（2024秋•海淀区校级期末）如图，正方形中，、分别是、的中点，若，则（　　） A．2 B． C． D． 考点06 平面向量的坐标表示 29．（2025春•顺义区期末）在平面直角坐标系中，，，则向量（　　） A． B． C． D． 30．（2022秋•房山区期末）已知向量，，则　　． 31．（2025春•西城区校级期末）已知是平面内两个不共线的非零向量，，且，，三点共线． （1）求实数的值； （2）若，求的坐标； （3）已知，在（2）的条件下，若，，，四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 32．（2024春•通州区期末）已知向量，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，，，求证：，，三点共线． 33．（2025春•西城区校级期末）如图，已知，则（　　） A． B． C． D． 考点07 平面向量的数量积 34．（2025春•西城区校级期末）若单位向量满足，，则（　　） A．0 B． C．0或 D．0或 35．（2025春•昌平区期末）已知向量，满足，，，则 　　 ． 36．（2025春•西城区期末）已知向量，满足，，则（　　） A． B． C．0 D．1 37．（2025春•海淀区校级期末）已知平面向量，满足，，，则 　　 ． 38．（2025春•昌平区期末）在矩形中，，，，点在边上．若，则（　　） A． B． C． D． 39．（2024春•朝阳区期末）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，向量满足，且．若网格纸上小正方形的边长为1，则　　 ，　　 ． 40．（2024秋•朝阳区期末）已知为△所在平面内一点，满足，且，，设为向量的夹角，则 　　； 　　． 考点08 求向量的模 41．（2016春•丰台区期末）已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（　　） A．1 B． C． D．2 42．（2025春•西城区校级期末）已知向量，，若与垂直，则（　　） A．2 B． C． D．4 43．（2025秋•顺义区期末）已知向量，，，则（　　） A． B． C．4 D． 44．（2025秋•北京校级期末）已知与的夹角为，则的值为（　　） A．2 B． C． D． 45．（2025春•通州区期末）已知平面向量为单位向量，，且与的夹角为，则（　　） A． B．2 C． D．3 46．（2024秋•西城区期末）已知正方形的边长为2，点满足，则 　　． 47．（2024秋•海淀区期末）已知向量，，则 　　，的最小值为 　　． 故答案为：；2． 48．（2024春•西城区期末）在中，，，，则　　，　　． 考点09 求向量的夹角 49．（2025春•大兴区期末）若向量与满足，则与夹角的大小为 　　 ． 50．（2025春•东城区期末）已知向量，，若，，向量与的夹角为，则向量与的夹角为 　　 ． 51．（2023秋•房山区期末）已知向量，，且与的夹角为，则的值为（　　） A． B． C． D． 52．（2022春•西城区期末）已知向量，满足，，，那么向量，的夹角为（　　） A． B． C． D． 53．（2022春•海淀区校级期末）已知向量，，，若，的夹角与，的夹角相等，则（　　） A． B． C．5 D．6 54．（2021春•西城区校级期末）已知向量，，且，那么与的夹角大小是 　　． 55．（2024春•大兴区期末）已知，，其中，． （Ⅰ）求，； （Ⅱ）求与夹角的余弦值． 56．（2021春•海淀区校级期末）设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点10 求投影向量 57．（2025春•大兴区期末）若向量与满足，且，则在上的投影向量的模为（　　） A．2 B．4 C．5 D．8 58．（2024春•石景山区期末）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列命题： ①； ②； ③在上的投影向量为； ④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4． 其中正确的命题个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 59．（2024春•大兴区期末）已知平面向量，，则下列说法错误的是（　　） A．， B．在方向上的投影向量为 C．与垂直的单位向量的坐标为或 D．若向量与非零向量共线，则 考点11 向量垂直问题 60．（2025春•丰台区期末）已知向量，，若，则 　　 ． 61．（2024春•丰台区期末）已知点，，，，若，则的值为（　　） A． B． C．1 D．3 62．（2024春•怀柔区期末）设非零向量，则“”是“或”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 63．（2022秋•石景山区校级期末）设，均为单位向量，则“”是“”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 64．（2022秋•东城区校级期末）已知向量，若，则　　． 65．（2022春•石景山区期末）设向，，如果，，那么（　　） A．2 B． C．3 D．9 66．（2025秋•西城区期末）在平面直角坐标系中，点，，，且，则的最大值为（　　） A． B． C． D．5 考点12 数量积的最值问题 67．（2025秋•海淀区校级期末）已知正方形的边长为2，为中点，点为线段上的动点，则的取值范围是 ． 68．（2025秋•朝阳区期末）在边长为1的正三角形中，，分别在边，上，且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 69．（2024秋•昌平区期末）在△中，，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 70．（2025秋•丰台区期末）我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称该“弦图”为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．若，，为正方形及其内部的动点，则的取值范围是（　　） A． B． C．， D． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量及其应用 高频考点概览 考点 01 平面向量的概念 考点 02 平面向量的线性运算 考点 03 平面向量共线定理及其应用 考点 04 用基底表示向量 考点 05 平面向量基本定理求参 考点 06 平面向量的坐标表示 考点 07 平面向量的数量积 考点 08 求向量的模 考点 09 求向量的夹角 考点 10 求投影向量 考点 11 向量垂直问题 考点 12 数量积的最值问题 ( 考点01 平面向量的概念 ) 1．（多选）（2025春•西城区校级期末）下列命题中错误的有　　 A．的充要条件是且 B．若，，则 C．若，则存在实数，使得 D． 【解答】解：对于的充要条件是且方向相同，故错误； 对于：当时，原式不成立，故错误； 对于：当，时，不存在实数，使得，故错误； 对于：根据向量加、减法的三角形法则，可知成立，故正确． 故选：． 2．（多选）（2025春•西城区校级期末）下列命题不正确的是　　 A．单位向量都相等 B．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量 C．，则 D．若与单位向量，则 【解答】解：对于，单位向量的模长相等，但是方向不一定相同，所以单位向量不一定都相等，选项错误； 对于，当时，与是共线向量，与是共线向量，当与不一定是共线向量，选项错误； 对于，当，此时，所以两向量垂直，所以选项正确； 对于，若与单位向量，则，所以选项正确． 故选：． 3．（2024秋•怀柔区期末）如图，点为等腰梯形底边的中点，，，下列向量中，与相等的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在等腰梯形中，， 又，点为中点， 则有，， 则四边形为平行四边形，故． 故选：． ( 考点02 平面向量的线性运算 ) 4．（多选）（2025春•西城区校级期末）化简以下各式，结果为零向量的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：对选项，，所以选项正确， 对选项，，所以选项正确， 对选项，，所以选项正确， 对选项，，所以选项正确， 故选：． 5．（2025秋•延庆区期末）如图，四边形是平行四边形，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：． 故选：． 6．（2022秋•西城区期末）如图，在平行四边形中，（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在平行四边形中，． 故选：． 7．（2025秋•昌平区期末）如图，点为正六边形的中心，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：点为正六边形的中心， 则． 故选：． 8．（2024秋•怀柔区期末）点，，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 　　． 【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系， 由小正方形的边长为1， 可得，， 则， 故． 故答案为：． ( 考点0 3 平面向量共线定理及其应用 ) 9．（2023春•海淀区期末）已知向量，则下列向量中与平行的单位向量是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，设要求向量为，且， 则， 为单位向量，则， 解可得：， 故，或，． 故选：． 10．（2023春•平谷区期末）已知向量，，那么向量可以是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设向量， 由，得， ， 向量可以是． 故选：． 11．（2024秋•西城区期末）下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设与向量共线的一个单位向量为， 则有，解得， 故选项符合题意． 故选：． 12．（2025春•东城区期末）已知向量，，若，则（　　） A． B．4 C． D．1 【解答】解：向量，，， ， 解得． 故选：． 13．（2023秋•昌平区期末）已知向量不共线，且，．若，则　　． 【解答】解：，，即且，解得，． 故答案为：． 14．（2024春•朝阳区期末）已知向量，不共线，，，若与同向，则实数的值为（　　） A． B． C．3 D．或3 【解答】解：向量，不共线，，，与同向， 则，解得（正值舍去）． 故选：． 15．（2024秋•北京校级期末）已知向量，，若存在，使得与的方向相反，则实数的取值范围是 　　． 【解答】解：向量，， 与方向相反，， ，， 由得， 实数的取值范围是． 故答案为：． ( 考点0 4 用基底表示向量 ) 16．（2025秋•西城区期末）在平行四边形中，为的中点．记，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图， 在平行四边形中，为的中点，记，， 则． 故选：． 17．（2019秋•房山区期末）在平行四边形中，，交于点，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图， 在平行四边形中，，交于点， ． 故选：． 18．（2025秋•房山区期末）在平行四边形中，为边的中点，设，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，画出图形，如图所示： 所以． 故选：． 19．（2025春•石家庄期末）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意得：， 又，， 所以． 故选：． 20．（2024秋•房山区期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知，， ，设， ， 又点，，三点共线，所以， ， ， ， ， 故选：． 21．（2023秋•房山区期末）如图，在△中，点，满足，，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为，， 所以． 故选：． ( 考点0 5 平面向量基本定理求参 ) 22．（2025秋•北京期末）如图，在△中，为线段上的一点，且．若，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【解答】解：由可得， 所以 ， ，． 故选：． 23．（2025秋•西城区校级期末）在△中，，为边的两个三等分点，若，则　　 ． 【解答】解：根据题意，得， 由，可得，化简得， 同理，由，算出， 若， 则， 化简得，所以，所以． 故答案为：2． 24．（2024秋•北京校级期末）如图所示，四点，，，在正方形网格的格点处．若，则实数（　　） A． B． C．1 D． 【解答】解：建立平面直角坐标系，如图， 则，，，， 所以， 由，即，，，，， 即，，解得， 所以． 故选：． 25．（2025春•西城区校级期末）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则 　　 ． 【解答】解：如图建立平面直角坐标系， 则，又， 所以，解得，， 则． 故答案为：． 26．（2024春•海淀区期末）在△中，点满足，若，则（　　） A． B． C．3 D．4 【解答】解：， 则，即， ， 则． 故选：． 27．（2023秋•昌平区期末）在中，点，满足，．若，则　　． 【解答】解：由，．可得，， 故 ， 故． 故答案为：． 28．（2024秋•海淀区校级期末）如图，正方形中，、分别是、的中点，若，则（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：以，为坐标轴建立平面直角坐标系，如图： 设正方形边长为1，则，，，． ， ，解得． ． 故选：． ( 考点0 6 平面向量的坐标表示 ) 29．（2025春•顺义区期末）在平面直角坐标系中，，，则向量（　　） A． B． C． D． 【解答】解：平面直角坐标系中，，， 则向量． 故选：． 30．（2022秋•房山区期末）已知向量，，则　　． 【解答】解：因为，， 所以． 故答案为：． 31．（2025春•西城区校级期末）已知是平面内两个不共线的非零向量，，且，，三点共线． （1）求实数的值； （2）若，求的坐标； （3）已知，在（2）的条件下，若，，，四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 【解答】解：（1）． 因为，，三点共线，所以存在实数，使得， 即，得． 因为是平面内两个不共线的非零向量，所以，解得． （2）． （3）因为，，，四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以． 设，则， 因为，所以，解得， 即点的坐标为． 32．（2024春•通州区期末）已知向量，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，，，求证：，，三点共线． 【解答】解：（Ⅰ），， 则，，，， 故； （Ⅱ）证明：，， 则； ， 所以，所以，，三点共线． 33．（2025春•西城区校级期末）如图，已知，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：建立如图所示的直角坐标系， ， ， 设， ， ，解得，， ． 故选：． ( 考点0 7 平面向量的数量积 ) 34．（2025春•西城区校级期末）若单位向量满足，，则（　　） A．0 B． C．0或 D．0或 【解答】解：已知单位向量满足，， 则，， 则，， 则或， 故或． 故选：． 35．（2025春•昌平区期末）已知向量，满足，，，则 　　 ． 【解答】解：已知向量，满足，，， 则， 所以． 故答案为：3． 36．（2025春•西城区期末）已知向量，满足，，则（　　） A． B． C．0 D．1 【解答】解：由已知条件得：， ，所以． 故选：． 37．（2025春•海淀区校级期末）已知平面向量，满足，，，则 　　 ． 【解答】解：已知平面向量，满足，，， 则， 又，， 则，， 则 ． 故答案为：18． 38．（2025春•昌平区期末）在矩形中，，，，点在边上．若，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在矩形中，，，， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 又点在边上， 设， 又， 则， 即， 则，． 故选：． 39．（2024春•朝阳区期末）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，向量满足，且．若网格纸上小正方形的边长为1，则　　 ，　　 ． 【解答】解：由题意知，，， 所以， 设，则，解得或； 所以或． 故选：0；或． 40．（2024秋•朝阳区期末）已知为△所在平面内一点，满足，且，，设为向量的夹角，则 　　； 　　． 【解答】解：为△所在平面内一点，满足，且，， ， ， ，， ． 同理可得， ． 故答案为：；． ( 考点0 8 求向量的模 ) 41．（2016春•丰台区期末）已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（　　） A．1 B． C． D．2 【解答】解：、均为单位向量，它们的夹角为 ， 故选：． 42．（2025春•西城区校级期末）已知向量，，若与垂直，则（　　） A．2 B． C． D．4 【解答】解：因为 向量，， 则． 所以． 故选：． 43．（2025秋•顺义区期末）已知向量，，，则（　　） A． B． C．4 D． 【解答】解：因为，，， 所以， 所以， 所以． 故选：． 44．（2025秋•北京校级期末）已知与的夹角为，则的值为（　　） A．2 B． C． D． 【解答】解：因为，，与的夹角为， 所以， 所以． 故选：． 45．（2025春•通州区期末）已知平面向量为单位向量，，且与的夹角为，则（　　） A． B．2 C． D．3 【解答】解：根据题意，平面向量为单位向量，，且与的夹角为， 则， 则有， 故． 故选：． 46．（2024秋•西城区期末）已知正方形的边长为2，点满足，则 　　． 【解答】解：由正方形的边长为2， 可得，，， 又， 可得． 故答案为：． 47．（2024秋•海淀区期末）已知向量，，则 　　，的最小值为 　　． 【解答】解：因为向量，， 所以，即， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2． 故答案为：；2． 48．（2024春•西城区期末）在中，，，，则　　，　　． 【解答】解：中，，，， 则，， 因为， 所以， 所以． 故答案为：12；． ( 考点0 9 求向量的夹角 ) 49．（2025春•大兴区期末）若向量与满足，则与夹角的大小为 　　 ． 【解答】解：设与夹角为，，． 令， 由，可得：， 所以，解得，． 故答案为：． 50．（2025春•东城区期末）已知向量，，若，，向量与的夹角为，则向量与的夹角为 　　 ． 【解答】解：由于向量，，若，，向量与的夹角为， 所以：， 则，设， 则，解得或； 当时，与的夹角为， 当时，， 所以，与的夹角为； 故向量与的夹角为或． 故答案为：或． 51．（2023秋•房山区期末）已知向量，，且与的夹角为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为， 所以，即， 解得或（舍去）． 故选：． 52．（2022春•西城区期末）已知向量，满足，，，那么向量，的夹角为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为，，， 所以， 所以， 所以，， 又，，， 所以，． 故选：． 53．（2022春•海淀区校级期末）已知向量，，，若，的夹角与，的夹角相等，则（　　） A． B． C．5 D．6 【解答】解：，， ， ，的夹角与，的夹角相等， ， 即， 解得， 故选：． 54．（2021春•西城区校级期末）已知向量，，且，那么与的夹角大小是 　　． 【解答】解：， ， 与夹角的大小是． 故答案为：． 55．（2024春•大兴区期末）已知，，其中，． （Ⅰ）求，； （Ⅱ）求与夹角的余弦值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，，，，，，，， 所以，，，，，，， 所以． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，，，， 所以， 故与夹角的余弦值为． 56．（2021春•海淀区校级期末）设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：点，，不共线， ，， 当与的夹角为锐角时，， “与的夹角为锐角” “”， “” “与的夹角为锐角”， 设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的充分必要条件． 故选：． ( 考点 10 求投影向量 ) 57．（2025春•大兴区期末）若向量与满足，且，则在上的投影向量的模为（　　） A．2 B．4 C．5 D．8 【解答】解：由，可得：， 因为， 所以． 所以在上的投影向量的模． 故选：． 58．（2024春•石景山区期末）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列命题： ①； ②； ③在上的投影向量为； ④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4． 其中正确的命题个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：由题意可知，正八边形每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2， 对于①，，故①错误； 对于②，，则以，为邻边的对角线长是的倍， 可得，故②正确； 对于③，在上的投影向量为，故③正确； 对于④，设，的夹角为，则， 其中表示在上的投影， 易知，延长交延长线于， 当在线段上运动，投影最大， 易知△为等腰直角三角形，且， 则在△中，， 在等腰三角形中，， 则，故④正确． 综上，②③④正确． 故选：． 59．（2024春•大兴区期末）已知平面向量，，则下列说法错误的是（　　） A．， B．在方向上的投影向量为 C．与垂直的单位向量的坐标为或 D．若向量与非零向量共线，则 【解答】解：对于选项，因为，， 所以，，， 则，故正确； 对于选项，在方向上的投影向量为，故错误； 对于选项，设与垂直的单位向量的坐标，，则有， 解得或， 所以与垂直的单位向量的坐标为或，故正确； 对于选项，显然与不共线， 因为，， 且向量与向量共线， 所以， 解得，故正确． 故选：． ( 考点 11 向量垂直问题 ) 60．（2025春•丰台区期末）已知向量，，若，则 　　 ． 【解答】解：因为，，且， 所以，可得，解得． 故答案为：4． 61．（2024春•丰台区期末）已知点，，，，若，则的值为（　　） A． B． C．1 D．3 【解答】解：点，，，， 则，， ， 则，解得． 故选：． 62．（2024春•怀柔区期末）设非零向量，则“”是“或”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：非零向量， 若，则，即，充分性不成立； 若或，则，即，必要性成立． 故选：． 63．（2022秋•石景山区校级期末）设，均为单位向量，则“”是“”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：由，可得， 即，即， 则，即， 当，即时，可得， 即，故反之也成立， 则“”是“”的充要条件． 故选：． 64．（2022秋•东城区校级期末）已知向量，若，则　　． 【解答】解：因为，， 所以，得， 则， 所以， 故． 故答案为：． 65．（2022春•石景山区期末）设向，，如果，，那么（　　） A．2 B． C．3 D．9 【解答】解：，， ，，又， ， ， ，又， ， 故选：． 66．（2025秋•西城区期末）在平面直角坐标系中，点，，，且，则的最大值为（　　） A． B． C． D．5 【解答】解：设，因为，，， 所以， 所以，即的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆， 所以可设，， 因为，，， 所以， 所以 ，而， 当时，最大值为． 故选：． ( 考点 12 数量积的最值问题 ) 67．（2025秋•海淀区校级期末）已知正方形的边长为2，为中点，点为线段上的动点，则的取值范围是 ． 【解答】解：以为原点建立坐标系，，，，，， 直线方程为， ，， ，，，． 故答案为：，． 68．（2025秋•朝阳区期末）在边长为1的正三角形中，，分别在边，上，且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题，如图， 在△中，设，，又， 由余弦定理可得， 即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 则， 又， 则， 所以， 所以 ， 令，则， 则， 因为， 利用二次函数的知识可得． 故选：． 69．（2024秋•昌平区期末）在△中，，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，△中，，， 所以，结合为的中点，可得． △中，为边上的中线，所以， 设，则， 可得， 由二次函数的性质，可知：当时，，达到最小值． 所以当时，即为的中点时，取得最小值． 故选：． 70．（2025秋•丰台区期末）我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称该“弦图”为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．若，，为正方形及其内部的动点，则的取值范围是（　　） A． B． C．， D． 【解答】解：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系， 因为，，由直角三角形全等可知， 所以，，，，， 设，，，，， 则 ， 令，则， 即可化为直线与正方形及其内部有交点时纵截距的取值范围， 当直线过时，有最大值，此时， 当直线过时，有最小值，此时， 所以，． 故选：． 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