微专题23：实验：单摆测重力加速度 讲义 -2024-2025学年高二下学期物理人教版选择性必修第一册

微专题23：实验：单摆测重力加速度 一、实验目的 1．学会用单摆测定当地的重力加速度。 2．能正确熟练地使用秒表。 二、实验原理 当偏角很小时，单摆做简谐运动，其振动周期为T＝2π，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝。因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值。 三、实验器材 带有铁夹的铁架台、中心有小孔的小钢球，不易伸长的细线(约1米)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺。 谨记部分器材用途 小钢球、细线 用来制作单摆 秒表 用来测定单摆的周期 刻度尺、游标卡尺 测定摆线长和摆球直径，确定摆长 　　 四、实验步骤 1．做单摆 取约1 m长的细线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把细线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂。实验装置如图。 2．测摆长 用毫米刻度尺量出摆线长l，用游标卡尺测出小钢球直径D，则单摆的摆长l＝l′＋。 3．测周期 将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放摆球，记下单摆做30～50次全振动的总时间，算出平均每一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。反复测量三次，再算出测得周期的平均值。 4．改变摆长，重做几次实验。 五、数据处理 1．公式法 将测得的几组周期T和摆长l代入公式g＝中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即为当地重力加速度的值。 2．图像法 由单摆的周期公式T＝2π 可得l＝T2，因此以摆长l为纵轴、以T2为横轴作出的l ­T2图像是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k，即可求出g值。g＝4π2k，k＝＝。 六、误差分析 1．系统误差 主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，摆球是否可视为质点，球、线是否符合要求，振幅是否足够小，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。 2．偶然误差 主要来自时间(即单摆周期)的测量。因此，要注意测准时间(周期)，要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4,3,2,1,0,1,2，…在数“0”的同时按下秒表开始计时。不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差，应多次测量后取平均值。 七、注意事项 1．选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。 2．单摆悬线的上端不可随意卷在铁架台的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。 3．注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的夹角要小于5°。可通过估算振幅的办法掌握。 4．摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。 5．计算单摆的振动次数时，应从摆球通过平衡位置时开始计时，为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记。以后摆球每次从同一方向通过平衡位置时进行计数，且在数“0”的同时按下秒表，开始计时计数。 考点一　教材原型实验 例1.在“用单摆测量重力加速度的大小”的实验中： (1)安装好实验装置后，先用游标卡尺测量摆球直径d，测量的示数如图甲所示，则摆球直径d＝1.84 cm，再测量摆线长l，则单摆摆长L＝＋l(用d、l表示)。 甲 (2)摆球摆动稳定后，当它到达最低点(填“最低点”或“最高点”)时启动停表开始计时，并记录此后摆球再次经过最低点的次数n(n＝60、59、58)，当n＝0时刚好停表停止计时，示数如图乙所示，其读数为67.5s，该单摆的周期为T＝2.25s(周期要求保留三位有效数字)。 乙 (3)计算重力加速度测量值的表达式为g＝(用T、L表示)，如果测量值小于真实值，可能原因是AC。 A．将摆球经过最低点的次数n计少了 B．计时开始时，停表启动稍晚 C．将摆线长当成了摆长 D．将摆线长和球的直径之和当成了摆长 (4)正确测量不同摆长L及相应的单摆周期T，并在坐标纸上画出T2与L的关系图线，如图丙所示，由图线算出重力加速度的大小g＝9.86 m/s2(结果保留三位有效数字，计算时π2取9.86)。 丙 例1.[解析]： (1)摆球直径d＝1.8 cm＋0.1 mm×4＝1.84 cm；单摆摆长L＝＋l。 (2)摆球摆动稳定后，当它到达最低点时启动停表开始计时，并记录此后摆球再次经过最低点的次数n(n＝60,59，58……)；当n＝0时刚好停表停止计时，读数为67.5 s；该单摆的周期为T＝＝ s＝2.25 s。 (3)根据T＝2π可得重力加速度测量值的表达式为g＝。将摆球经过最低点的次数n计少了，则计算周期T偏大，则g测量值偏小，选项A正确；计时开始时，停表启动稍晚，则周期测量值偏小，则g测量值偏大，选项B错误；将摆线长当成了摆长，则L偏小，则g测量值偏小，选项C正确；将摆线长和球的直径之和当成了摆长，则L偏大，则g测量值偏大，选项D错误。 (4)根据T＝2π可得T2＝L，由题图丙可知斜率k＝＝＝4，解得g＝9.86 m/s2。 考点二　实验拓展创新 本实验的常见创新角度如下： 实验器材 的创新　 1．根据光敏电阻阻值随光照变化的特点，利用自动记录仪记录电阻的变化特点。2．利用电阻变化图像分析周期。 用磁性小球和磁传感器采集信息，测量单摆周期替代用秒表查数。 实验设计 的创新　 1．将单摆设计成复摆。 2．根据复摆的周期和半径的关系，利用图像斜率和截距分析数据。 例2．在“利用单摆测重力加速度”的实验中：(1)某同学尝试用DIS测量周期。如图所示，用一个磁性小球代替原先的摆球，在单摆下方放置一个磁传感器，其轴线恰好位于单摆悬挂点正下方。图中磁传感器的引出端A应接到数据采集器。使单摆做小角度摆动，当磁感应强度测量值最大时，磁性小球位于___________。若测得连续N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期的测量值为________________(地磁场和磁传感器的影响可忽略)。 (2)多次改变摆长使单摆做小角度摆动，测量摆长L及相应的周期T。此后，分别取L和T的对数，所得到的lg T－lg L图线为直线(选填“直线”“对数曲线”或“指数曲线”)；读得图线与纵轴交点的纵坐标为c，由此得到该地重力加速度g＝_______________ 例2.[解析]：(1)磁传感器的引出端A应接到数据采集器，从而采集数据。单摆做小角度摆动，当磁感应强度测量值最大时，磁性小球位于最低点(或平衡位置)。若测得连续N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期的测量值为。 (2)由T＝2π可知lg T＝ lg ＋lg L，故lg T－lg L图线为直线。由题意可知lg ＝c，故g＝。 经典习题 1.(1)某实验小组同学在做“利用单摆测重力加速度”的实验时，为了减小测量周期的误差，摆球应在经过最___________(填“高”或“低”)点的位置时开始计时，并计数为1，摆球每次通过该位置时计数加1，当计数为63时，所用的时间为t，则单摆周期为___________。实验时某同学测得的g值偏大，其原因可能是C。 A．实验室的海拔太高 B．摆球太重 C．测出n次全振动时间为t，误作为n＋1次全振动时间进行计算 D．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现了松动，使摆线长度增加了 甲 乙 (2)另一组同学在测量单摆的周期时，用停表记下了单摆做50次全振动的时间，如图甲所示，停表的读数为____________ s。该组同学经测量得到4组摆长L和对应的周期T，画出L－T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，并通过其坐标计算出直线斜率为k，则当地重力加速度的表达式g＝____________。处理完数据后，小组同学发现在计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球的半径，这样不影响(填“影响”或“不影响”)重力加速度的计算。 1.[解析]：(1)摆球经过最低点的位置时速度最大，在相等的距离误差上引起的时间误差最小，测得周期误差最小，所以为了减小测量周期的误差，从摆球经过最低点的位置时开始计时，由题分析可知，单摆全振动的次数为N＝＝＝31，则周期为T＝。由单摆周期公式T＝2π可知g＝，海拔太高时，重力加速度的值较小，故A错误；摆球的重力越大，空气阻力的影响越小，误差越小，故B错误；实验中误将n次全振动计为n＋1次，根据T＝，则周期偏小，g值偏大，故C正确；摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了但记录摆长短了，依据g＝可知测得的g值偏小，故D错误。 (2)由图示停表可知，分针示数为60 s，秒针示数为35.1 s，停表读数t＝60 s＋35.1 s＝95.1 s。由T＝2π得L＝T2，则L－T2图像的斜率k＝，则当地重力加速度的表达式g＝4π2k，在计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球的半径，L－T2图像的斜率不变，这样不影响重力加速度的计算。 2．在“用单摆测定重力加速度”的实验中： （1）摆动时偏角满足的条件是偏角小于，为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应是经过最 （填“高”或“低”）点的位置，且用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间，求出周期。图甲中停表示数为一单摆全振动50次所用的时间，则单摆的振动周期为 。 （2）用最小刻度为的刻度尺测摆长，测量情况如图乙所示。O为悬挂点，从图乙中可知单摆的摆长为 。 （3）若用L表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为 ． （4）考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，学生甲说：“因为空气浮力与摆球重力方向相反，它对球的作用相当于重力加速度变小，因此振动周期变大”。学生乙说：“浮力对摆球的影响好像用一个轻一些的摆球做实验，因此振动周期不变”，这两个学生中 。（选填下列字母代号） A．甲的说法正确 B．乙的说法正确 C．两学生的说法都是错误的 2．低 2.05s 99.80 A 【详解】（1）[1]摆球经过最低点时容易观察和计时，所以为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应是经过最低点的位置； [2]图甲中停表的示数为： 则单摆的振动周期为： （2）[3]最小刻度为的刻度尺，读数时要读到分度值的下一位，从悬点到球心的距离即为摆长，则单摆的摆长为： （3）[4]由单摆的周期公式为： 可得重力加速度的表达式为： （4）[5]由于受到空气浮力的影响，小球的质量不变而相当于小球所受重力减小，即等效重力加速度减小，根据可得，振动的周期变大，故甲的说法正确。 故选A。 3．在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，实验装置如图所示。 （1）该实验中用于测时间的仪器是下列中的 （单选） A． B． C． D． （2）小球直径用游标卡尺测量如下所示，则小球直径d= cm （3）某同学做实验时发现测时间的仪器损坏了，他采用了一种新的方式来探究两者关系，装置如下图，两单摆悬挂点高度相同，单摆A的摆长略大于单摆B的摆长。实验中首先仔细观察两小球的摆动过程，当两球同时同方向经过最低点时开始计数，记录A小球全振动次数，直至两球再次同时同方向经过最低点时结束，A小球共完成N次全振动。则两小球周期之比TA∶TB为 。该同学经过实验发现，两单摆周期的平方之比很接近摆长之比，但存在误差，在lA>lB的情况下，有时，有时，则原因可能是 （单选）。 A．两小球质量不同 B．静止悬挂时两小球高度不同 C．记录摆长时漏加了小球的半径 D．对两小球同时同方向经过最低点的判断存在误差 3． C 2.06 D 【详解】(1)[1]该实验中，用秒表来记录时间。 (2)[2]游标卡尺测量小球直径，读数为 (3)[3]由单摆周期公式可得，A小球的摆长大，则其周期长，故A球完成N次全振动时，B球完成(N+1)次全振动，其中k为小于N的正整数，有 [4]A．单摆周期与质量无关，故两小球质量不同不是存在误差的原因。故A错误； B．单摆周期与摆长有关，静止悬挂时两小球高度不同，不会影响摆长。故B错误； C．记录摆长时漏加了小球的半径，会使两单摆的摆长测量值小于实际值，会导致大于的情况出现，而不会出现小于的情况。故C错误； D．对两小球同时同方向经过最低点的判断存在误差是导致出现误差的主要原因。故D正确。故选D。 4．物理实验小组的同学做“用单摆测重力加速度”的实验。 (1)实验室有如下器材可供选用： A．长约1 m的细线 B．长约1 m的橡皮绳 C．直径约2 cm的均匀铁球 D．直径约5 cm的均匀木球 E．停表 F．时钟 G．最小刻度为毫米的米尺 实验小组的同学需要从上述器材中选择：____________________(填写器材前面的字母)。 (2)下列振动图像真实地描述了对摆长约为1 m的单摆进行周期测量的四种操作过程，图中横坐标原点O为计时起点，A、B、C均为30次全振动的图像，已知sin 5°＝0.087，sin 15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是________(填字母代号)。 (3)某同学利用单摆测重力加速度，测得的g值与真实值相比偏大，可能的原因是________。 A．测摆长时记录的是摆线的长度 B．开始计时时，停表过早按下 C．摆线上端未牢固地系于悬点，摆动中出现松动，使摆线长度增加了 D．实验中误将29次全振动数记为30次 4. 答案：(1)ACEG　(2)A　(3)D 解析：(1)需要选择的器材有：长约1 m的细线，直径约2 cm的均匀铁球，停表(测量多次全振动的时间)，最小刻度为毫米的刻度尺(测量摆长)。 (2)单摆振动的摆角θ≤5°，当θ＝5°时单摆振动的振幅A＝lsin 5°＝0.087 m＝8.7 cm，为计时准确，在摆球摆至平衡位置时开始计时，故四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是选项A。 (3)根据单摆的周期公式推导出重力加速度的表达式g＝。将摆线的长误认为摆长，即测量值偏小，所以重力加速度的测量值偏小，故A错误；开始计时时，停表过早按下，周期的测量值大于真实值，所以重力加速度的测量值偏小，故B错误；摆线上端未牢固地系于悬点，摆动中出现松动，使摆线长度增加了，即摆长L的测量值偏小，所以重力加速度的测量值偏小，故C错误；设单摆29次全振动的时间为t，则单摆的周期T＝，若误计为30次，则T测＝＜，即周期的测量值小于真实值，所以重力加速度的测量值偏大，故D正确。 5．一位同学做“用单摆测定重力加速度”的实验。 (1)下列是供学生自主选择的器材，你认为应选用的器材是________(填写器材的字母代号)。 A．约1 m长的细线 B．约0.3 m长的铜丝 C．约0.8 m长的橡皮筋 D．直径约1 cm的实心木球 E．直径约1 cm的实心钢球 F．直径约1 cm的空心铝球 (2)该同学在安装好如图甲所示的实验装置后，测得单摆的摆长为L，然后让小球在竖直平面内小角度摆动。当小球某次经过最低点时开始计时，在完成N次全振动时停止计时，测得时间为t。请写出测量当地重力加速度的表达式g＝__________。(用以上测量的物理量和已知量的字母表示) (3)为减小实验误差，该同学又多次改变摆长L，测量多组对应的单摆周期T，准备利用T2­L的关系图线求出当地的重力加速度值。相关测量数据如表： 次数 1 2 3 4 5 L/m 0.800 0.900 1.000 1.100 1.200 T/s 1.79 1.90 2.01 2.11 2.20 T2/s2 3.20 3.61 4.04 4.45 4.84 该同学在图乙中已标出第1、2、3、5次实验数据对应的坐标，请你在图乙中用符号“×”标出与第4次实验数据对应的坐标点，并画出T2­L关系图线。 (4)根据绘制出的T2­L关系图线，可求得g的测量值为________m/s2。(结果保留三位有效数字) 5. 答案：(1)AE　(2)　(3)见解析图　(4)9.62 解析：(1)摆线应选择较细且不易伸长的线，为便于测量周期，应选约1 m长的细线，故选A；为了减小空气阻力的影响，摆球选择密度大的，故选E。 (2)单摆的周期为T＝，根据T＝2π ，可得g＝。 (3)第4次实验数据对应坐标点及T2­L关系图线如图所示。 (4)由T＝2π ，可得T2＝，则T2­L图线的斜率k＝，所以g＝。根据T2­L图线求得斜率k≈4.10 s2/m，故g＝≈9.62 m/s2。 :由单摆周期公式T＝2π 得出T2＝，从而确定T2­L图像是过坐标原点的一条直线。利用描点法画出图像，求出图像的斜率，并根据斜率与重力加速度g的关系求出重力加速度g，是常用的数据处理方法。 6. 在利用“单摆测定重力加速度”的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到g＝，只要测出多组单摆的摆长l和运动周期T，作出T2­l图像，就可以求出当地的重力加速度，理论上T2­l图像是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图像如图甲所示： (1)由图像求出的重力加速度g＝________m/s2(取π2＝9.87)； (2)由于图像没有通过坐标原点，求出的重力加速度g值与当地真实值相比________(填“偏大”“偏小”或“不变”)；若利用g＝，采用公式法计算，则求出重力加速度g值与当地真实值相比______(填“偏大”“偏小”或“不变”)； (3)某同学在家里做用单摆测定重力加速度的实验，但没有合适的摆球，他找到了一块外形不规则的长条状的大理石块代替了摆球(如图乙)，以下实验步骤中存在错误或不当的步骤是________(只填写相应的步骤代号即可)。 A．将石块用细尼龙线系好，结点为N，将尼龙线的上端固定于O点； B．用刻度尺测量ON间尼龙线的长度l作为摆长； C．将石块拉开一个偏离竖直方向小于5°的角度，然后由静止释放； D．从石块摆到最低点时开始计时，当石块下一次经过最低点时计为第1次，当石块第30次到达最低点时结束记录总时间t，得出周期T＝； E．改变ON间尼龙线的长度再做几次实验，记下相应的l和T； F．求出多次实验中测得的l和T的平均值作为计算时使用的数据，代入公式g＝2l求出重力加速度g。 6. 答案：(1)9.87　(2)不变　偏小　(3)BDF 解析：(1)图像的斜率k＝＝＝4，故重力加速度g＝9.87 m/s2。 (2)根据单摆的周期公式T＝2π 得：T2＝，根据数学知识可知，T2­l图像的斜率k＝，当地的重力加速度g＝，若图像不通过原点，如题图甲所示，则T2＝，根据数学知识可知，对于T2­l图像来说两种情况下图像的斜率不变，所以测得的g值不变。由题意可知，图像不过坐标原点的原因是摆长测量值偏小，若利用g＝，采用公式法计算，则求出重力加速度g值与当地真实值相比偏小。 (3)该同学以上实验步骤中有重大错误的是BDF。B步骤中摆长应是悬点到大理石块重心的距离； D步骤中第30次经过最低点，则一共摆动了15个全振动，所以周期为T＝；F步骤中必须先分别求出各组l和T值对应的g，再取所求得的各个g的平均值。 7．某校物理小组尝试利用智能手机对竖直面内的圆周运动进行拓展探究。实验装置如图甲所示，轻绳一端连接拉力传感器，另一端连接智能手机，把手机拉开一定角度，由静止释放，手机在竖直面内摆动过程中，手机中的陀螺仪传感器可以采集角速度实时变化的数据并输出图像，同时，拉力传感器可以采集轻绳拉力实时变化的数据并输出图像。经查阅资料可知，面向手机屏幕，手机逆时针摆动时陀螺仪传感器记录的角速度为正值，反之为负值。 (1)某次实验，手机输出的角速度随时间变化的图像如图乙所示，由此可知在0~t0时间段内__________ A．手机20次通过最低点 B．手机10次通过最低点 C．手机做阻尼振动 D．手机振动的周期越来越小 (2)为进一步拓展研究，分别从力传感器输出图和手机角速度—时间图中读取几对手机运动到最低点时的拉力和角速度的数据，并在坐标图中以F（单位：N）为纵坐标、ω2（单位：s-2）为横坐标进行描点，请在图中作出F-ω2的图像。 (3)根据图像求得实验所用手机的质量为 kg，手机重心做圆周运动的半径为 。（结果均保留两位有效数字，重力加速度9.8m/s2） 7．答案 (1)AC (2)见解析 (3) 0.21 0.28 【详解】（1）AB．分析可知，当手机通过最低点时角速度达到最大值，而由图乙可知，在时间内手机20次通过最低点，故A正确，B错误； C．手机的角速度会随着振幅的减小而衰减，根据图乙可知，手机的角速度随着时间在衰减，可知手机在做阻尼振动，故C正确； D．阻尼振动的周期不变，其周期由系统本身的性质决定，故D错误。 故选AC。 （2）由于手机在做圆周运动，短时间内在不考虑其振动衰减的情况下，在最低点对手机由牛顿第二定律有： 可得： 式中为悬点到手机重心的距离，根据上式可知，手机运动到最低点时的拉力和角速度的平方呈线性变化，作图时应用平滑的直线将各点迹连接起来，不能落在图像上的点迹应使其均匀的分布在图线的两侧，有明显偏差的点迹直接舍去，做出的图像如图所示 （3）[1][2]根据图像结合其函数关系可得：， 解得：， 8．某同学探究弹簧振子振动周期与质量的关系，实验装置如图（a）所示，轻质弹簧上端悬挂在铁架台上，下端挂有钩码，钩码下表面吸附一个小磁铁，其正下方放置智能手机，手机中的磁传感器可以采集磁感应强度实时变化的数据并输出图像，实验步骤如下：   （1）测出钩码和小磁铁的总质量； （2）在弹簧下端挂上该钩码和小磁铁，使弹簧振子在竖直方向做简谐运动，打开手机的磁传感器软件，此时磁传感器记录的磁感应强度变化周期等于弹簧振子振动周期； m/kg 10T/s T/s 0.015 2.43 0.243 0.059 0.025 3.14 0.314 0.099 0.035 3.72 0.372 0.138 0.045 4.22 0.422 0.178 0.055 4.66 0.466 0.217 （3）某次采集到的磁感应强度B的大小随时间t变化的图像如图（b）所示，从图中可以算出弹簧振子振动周期T= （用“t0”表示）；   （4）改变钩码质量，重复上述步骤； （5）实验测得数据如下表所示，分析数据可知，弹簧振子振动周期的平方与质量的关系是 （填“线性的”或“非线性的”）； （6）设弹簧的劲度系数为k，根据实验结果并结合物理量的单位关系，弹簧振子振动周期的表达式可能是 （填正确答案标号）； A．      B．    C．    D． 8． 线性的 A 【详解】（3）[1]从图中可以算出弹簧振子振动周期 （5）[2]分析数据可知，弹簧振子振动周期的平方与质量的比值接近于常量3.95，则弹簧振子振动周期的平方与质量的关系是线性的； （6）[3]因的单位为： 因为s（秒）为周期的单位，则其它各项单位都不是周期的单位。故选A。 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$