暑假预习专题01 集合（7知识+15题型+提升练）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

暑假预习专题01 集合 我们经常需要把满足一定要求或具有一定特征的对象放在一起或归为一类,概括地说,把一些确定的对象的全体叫做集合，简称集.集合通常用大写字母A、B、C……表示。集合所含的各个对象叫做该集合的元素.元素通常用小写字母a、b、c……表示. 元素与集合的区别 元素与集合是两个完全不同的概念，元素是集合中的某一对象，而集合是由所有的元素组成的;元素与集合是相对的，如数0、1构成的一个集合记为A,0是集合A中的一个元素，但集合A也可以作为元素，如集合B中含有A，此时A表示集合B中的一个元素. 下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 对于选项A：其中元素不具有确定性，故选项A错误， 对于选项B：对于任何一个学生可以判断其是否属于{北附广南实验学校2020～2021学年度笫二学期全体高一学生}，故选项B正确， 对于选项C：其中元素不具有确定性，故选项C错误， 对于选项D：其中元素不具有确定性，故选项D错误， 故选：B． B 判断指定的一组对象能否构成集合,关键在于能否找到一个明确的标准. 关系 含义 记法 读法 属于 是集合中的元素 属于 不属于 不是集合中的元素 不属于 符号＂＂＂用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性（开口对着集合），左右两边不能互换． 性质 含义 示例 确定性 集合的元素是确定的.也就是说,给定一个集合,一个对象在不在这个集合中就确定了 若用集合 表示＂中国的直辖市＂，则上海 ，苏州 互异性 一个给定集合中的各个元素是互不相同的，即一个元素在同一个集合中是不能重复出现的 若实数 、 是集合 中的两个元素，则 无序性 组成集合的元素无先后顺序之分 由1、0组成的集合和由0、1 组成的集合是同一个集合 集合中的元素是确定的，任意一个元素要么是一个给定集合的元素,要么不是，两种关系有且只有一种成立;同时，应注意检查集合的元素是否满足互异性 集合中元素的三个性质的主要作用 (1)确定性 判断指定的一组对象能否组成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，即组成集合的元素必须是确定的. (2)互异性 提示我们求出结果后要检验，特别是题中含有参数时，一定要检验求出的参数是否能使集合中的元素满足互异性 (3)无序性 方便定义集合相等，当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等，需分情况讨论. （2023•浦东新区校级月考）已知集合A＝{2，4，x2﹣x}，若6∈A，则x＝　 　 ． 根据6∈A，所以6＝x2﹣x，然后根据集合的性质分别进行讨论验证即可． 因为6∈A，所以6＝x2﹣x． 解得x＝3或﹣2．符合题意． 故x的值为3或﹣2． 3或﹣2． （2024•浦东新区校级期中）若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 根据集合元素的互异性，在集合M＝{a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，则△ABC不会是等腰三角形． 根据集合元素的互异性，在集合M＝{a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形； D 已知 a,b,c为集合中的三个元素,它们可构成某一个三角形的三边的长那么此三角形能否为等腰三角形? 根据集合元素的互异性可知,a,b,c三个元素互不相等,若此三个元素构成某一三角形的三边长，则此三角形一定不是等腰三角形. 如果两个集合与的组成元素完全相同，就称这两个集合相等，记作． （1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等． （2）判断两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如 、、组成的集合与方程 的解组成的集合相等． 元素个数有限的集合称为有限集,否则就称为无限集. 如：一元二次方程 的解组成的集合为有限集；周长为 1 的三角形组成的集合为无限集． 数学中,常常需要用到数的集合,数的集合简称数集.常用的数集可以用以下特定的符号来表示 数集 符号 自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 不含有任何元素的集合称为空集,记作Ø 题型一、判断元素能否构成集合 例1．（24-25高一上·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 1-1（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（   ） A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集； B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集； C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集； D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集 1-2（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）不列各对象的全体不能构成集合的有 .（填序号）①上大嘉高高一年级全体学生；②与1非常接近的全体实数；③7的正整数倍的全体；④给定的一条长度为1的线段上的所有点. 1-3请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 . ①上海市2022年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 题型二、判断是否为同一集合 例2 设是有理数，集合，在下列集合中； （1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2-1下列命题中正确的有（    ） ①很小的实数可以构成集合；②集合与集合是同一个集合；③集合是指第二和第四象限内的点集. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2-2下列命题中正确的（    ） A．与表示同一个集合； B．方程的所有解的集合可表示为； C．由3，4，5组成的集合可表示为或； D．很小的实数可以构成集合． 2-3下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 题型三、利用集合元素的互异性求参数 例3 集合中的元素为、，集合中的元素为0、，且集合，求的值． 3-1 含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 3-2 已知集合，集合，且，则实数 . 题型四、根据集合相等关系进行计算 例4 已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4-1 若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 题型五、常用数集或数集关系应用 例5 （23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）下列字母表示“自然数集”“整数集”“有理数集”“实数集”，其排列顺序正确的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 5-1 ，则 ． 5-2 下列关系中正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 5-3 下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型六、集合的分类 例6 集合的分类 含有有限个元素的集合叫作 ，含有无限个元素的集合叫作 ，不含任何元素的集合叫作 ，记作 . 6-1 集合的简单分类 （1）有限集：元素个数 的集合称为有限集． （2）无限集：元素个数 的集合称为无限集． （3） 元素的集合称为空集，记作． 6-2 给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 题型七、判断元素与集合的关系 例7 （24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，若且，则 7-1（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 7-2 （24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为（   ） （1），（2），（3） A．0 B．1 C．2 D．3 7-3（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）集合，则 .（用“”或“”连接） 7-4（24-25高一上·上海徐汇·开学考试）非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 题型八、根据元素与集合的关系求参数 例8 （24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 8-1（24-25高一上·上海·阶段练习）若，则实数 . 8-2（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若，则 . 8-3（24-25高一上·上海·期中）设集合   若2∈A，则 . 8-4（24-25高一上·上海·期中）已知，则实数 . 题型九、根据集合中元素的个数求参数 例9 （24-25高一上·上海宝山·阶段练习）若集合的子集只有两个，则实数 . 9-1（24-25高一上·上海徐汇·开学考试）若集合中至少有2个整数元素，则实数a的取值范围为 9-2（23-24高一上·上海·期中）若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 . 9-3已知集合是单元素集，则实数的取值集合为 ． 9-4集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 9-5若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 题型十、利用集合元素的互异性求参数 例10 已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 10-1 若，的值为 . 10-2 已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 10-3 （24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，且，则. 10-4 （24-25高一上·上海虹口·阶段练习）若，则实数 ． 题型十一、利用集合中元素的性质求集合元素个数 例11 （24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 11-1 已知集合．若，且对任意，，均有，则集合中元素个数的最大值为（    ）． A． B． C． D． 11-2 下列集合中有限集的个数为（   ） （1）二次方程的实数解组成的集合； （2）能被3整除的整数组成的集合； （3）一年之中四个季节的名称组成的集合； （4）偶数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11-3 若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 11-4 已知集合，则集合中全部元素之和为 ． 题型十二、集合元素互异性的应用 例12 集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 12-1 有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 12-2 已知集合，，则 ． 12-3 已知集合，，且，则集合 ． 12-4 已知集合，，且，求集合． 题型十三、空集的概念以及判断 例13 （24-25高一上·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 13-1 （24-25高一上·上海浦东新·期中）命题：空集是任何集合的真子集，此命题是 命题（填“真”或“假”） 13-2 设集合，只有一个子集，则满足要求的实数 ． 13-3 下列表述正确的有（    ） A． B． C． D．表示没有任何元素的集合 题型十四、判断两个集合是否相等 例14 （22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）下列表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 14-1 设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③ 14-2 下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 14-3 已知集合，则下列与相等的集合为 ．（填序号） ①    ；②； ③    ；④． 题型十五、根据两个集合相等求参数 例15 已知实数集合，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 15-1 设集合，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 15-2 已知，若集合，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 15-3 已知集合，，若，则（    ） A．或2 B．或1 C． D．1 1．（判断元素与集合的关系）以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 2．（利用集合中元素的性质求集合元素个数）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（根据集合中元素的个数求参数）若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合至多有一个元素，则的取值范围是 . 5．（根据两个集合相等求参数）已知集合，，且，则实数的值为 . 6．（判断两个集合是否相等）Q是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合M相等的集合序号是 ． 1．（利用集合中元素的性质求集合元素个数）用表非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．9 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合，，其中、、为实数，若、分别表示集合、的元素个数，则下列结论中一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高一上·上海·开学考试）设集合是正整数集的子集，且中至少有两个元素，若集合满足以下三个条件：①是正整数的子集，且中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集，若集合，且，设，则集合的“耦合集” 4．（集合新定义）在整数集Z中，被整数t除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，如，则有下列结论：①； ②； ③整数、满足且的充要条件是； ④． 则其中正确的为 . 5．（24-25高一上·上海青浦·阶段练习）已知，求满足下列条件的非空集合中所有元素之和． (1) (2) 6．已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 7．已知实数R的子集均满足规律：，已知数集具有性质P：对任意的，与 两数中至少有一个属于A（如与中至少有一个属于A）. (1)求证：集合不可能为单元素集； (2)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由； (3)数集A中的_____集合（选填“”或“”），请写出一个自然数：________，使其不可能属于集合； (4)证明：. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习专题01 集合 我们经常需要把满足一定要求或具有一定特征的对象放在一起或归为一类,概括地说,把一些确定的对象的全体叫做集合，简称集.集合通常用大写字母A、B、C……表示。集合所含的各个对象叫做该集合的元素.元素通常用小写字母a、b、c……表示. 元素与集合的区别 元素与集合是两个完全不同的概念，元素是集合中的某一对象，而集合是由所有的元素组成的;元素与集合是相对的，如数0、1构成的一个集合记为A,0是集合A中的一个元素，但集合A也可以作为元素，如集合B中含有A，此时A表示集合B中的一个元素. 下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 对于选项A：其中元素不具有确定性，故选项A错误， 对于选项B：对于任何一个学生可以判断其是否属于{北附广南实验学校2020～2021学年度笫二学期全体高一学生}，故选项B正确， 对于选项C：其中元素不具有确定性，故选项C错误， 对于选项D：其中元素不具有确定性，故选项D错误， 故选：B． B 判断指定的一组对象能否构成集合,关键在于能否找到一个明确的标准. 关系 含义 记法 读法 属于 是集合中的元素 属于 不属于 不是集合中的元素 不属于 符号＂＂＂用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性（开口对着集合），左右两边不能互换． 性质 含义 示例 确定性 集合的元素是确定的.也就是说,给定一个集合,一个对象在不在这个集合中就确定了 若用集合 表示＂中国的直辖市＂，则上海 ，苏州 互异性 一个给定集合中的各个元素是互不相同的，即一个元素在同一个集合中是不能重复出现的 若实数 、 是集合 中的两个元素，则 无序性 组成集合的元素无先后顺序之分 由1、0组成的集合和由0、1 组成的集合是同一个集合 集合中的元素是确定的，任意一个元素要么是一个给定集合的元素,要么不是，两种关系有且只有一种成立;同时，应注意检查集合的元素是否满足互异性 集合中元素的三个性质的主要作用 (1)确定性 判断指定的一组对象能否组成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，即组成集合的元素必须是确定的. (2)互异性 提示我们求出结果后要检验，特别是题中含有参数时，一定要检验求出的参数是否能使集合中的元素满足互异性 (3)无序性 方便定义集合相等，当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相等，需分情况讨论. （2023•浦东新区校级月考）已知集合A＝{2，4，x2﹣x}，若6∈A，则x＝　 　 ． 根据6∈A，所以6＝x2﹣x，然后根据集合的性质分别进行讨论验证即可． 因为6∈A，所以6＝x2﹣x． 解得x＝3或﹣2．符合题意． 故x的值为3或﹣2． 3或﹣2． （2024•浦东新区校级期中）若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 根据集合元素的互异性，在集合M＝{a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，则△ABC不会是等腰三角形． 根据集合元素的互异性，在集合M＝{a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形； D 已知 a,b,c为集合中的三个元素,它们可构成某一个三角形的三边的长那么此三角形能否为等腰三角形? 根据集合元素的互异性可知,a,b,c三个元素互不相等,若此三个元素构成某一三角形的三边长，则此三角形一定不是等腰三角形. 如果两个集合与的组成元素完全相同，就称这两个集合相等，记作． （1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等． （2）判断两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如 、、组成的集合与方程 的解组成的集合相等． 元素个数有限的集合称为有限集,否则就称为无限集. 如：一元二次方程 的解组成的集合为有限集；周长为 1 的三角形组成的集合为无限集． 数学中,常常需要用到数的集合,数的集合简称数集.常用的数集可以用以下特定的符号来表示 数集 符号 自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 不含有任何元素的集合称为空集,记作Ø 题型一、判断元素能否构成集合 例1．（24-25高一上·上海·期中）在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 【答案】A 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合中元素的确定性可判断各选项. 【详解】①难解的题目，不满足元素的确定性，不能组成集合； ②方程无解，即方程在实数集内的解组成的集合为； ③直角坐标平面上第四象限内的所有点组成的集合为； ④很多多项式，不满足元素的确定性，不能组成集合； 故选：A. 1-1（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（   ） A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集； B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集； C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集； D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集 【答案】C 【知识点】判断元素能否构成集合、方程与不等式 【分析】分析和两种情况解方程组，结合选项逐项分析判断即可. 【详解】由方程组可得：，即， 若，则，不成立，方程组无解； 若，则，可得，即方程组只有一组解. 对于A：存在无数个实数k（），使得方程组的解集是单元素集，故A正确； 对于B：有且仅有一个实数，使得方程组的解集为空集，故B正确； 对于C：不存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集，故C错误； 对于D：如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集，故D正确； 故选：C. 1-2（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）不列各对象的全体不能构成集合的有 .（填序号）①上大嘉高高一年级全体学生；②与1非常接近的全体实数；③7的正整数倍的全体；④给定的一条长度为1的线段上的所有点. 【答案】② 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的概念判断即可. 【详解】因为②所表示的研究对象不能确定，所以不能构成集合，而①③④研究对象确定符合集合的概念. 故答案为：② 1-3请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 . ①上海市2022年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 【答案】①②④ 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的概念即可判断. 【详解】解：对于①，“上海市2022年入学的全体高一年级新生”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于②，“在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于③，“影响力比较大的中国数学家”，其中影响力比较大的没有明确的定义，故不能构成集合； 对于④，“不等式的所有正整数解”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合. 故答案为：①②④. 题型二、判断是否为同一集合 例2 设是有理数，集合，在下列集合中； （1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】判断是否为同一集合 【解析】将分别代入（1）、（2）、（3）中，化简并判断与是否一一对应，再举反例判断（4）. 【详解】对于（1），由，得，一一对应，则 对于（2），由，得，一一对应，则 对于（3），由，得，一一对应，则 对于（4），，但方程无解，则与不相同 故选：B 2-1下列命题中正确的有（    ） ①很小的实数可以构成集合；②集合与集合是同一个集合；③集合是指第二和第四象限内的点集. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【知识点】判断元素能否构成集合、判断是否为同一集合、判断元素与集合的关系 【分析】根据集合的概念即可判断. 【详解】对于①，集合具有确定性，故①错； 对于②，集合相等必须元素的类型相同，而前者为数，后者为点的集合，故②错； 对于③，坐标轴上的点不属于任何一个象限，故③错； 故选A 【点睛】本题主要考查集合的概念，属于基础题. 2-2下列命题中正确的（    ） A．与表示同一个集合； B．方程的所有解的集合可表示为； C．由3，4，5组成的集合可表示为或； D．很小的实数可以构成集合． 【答案】C 【知识点】判断元素能否构成集合、判断是否为同一集合、集合元素互异性的应用 【分析】利用集合的概念和集合的表示法判断即可. 【详解】对于A，中有一个元素0，中无任何元素，故与不是同一个集合，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，根据集合的无序性，可得由3，4，5组成的集合可表示为或，故C正确； 对于D，由集合的确定性，很小的实数不能构成集合，故D错误. 故选：C. 2-3下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】判断是否为同一集合 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 题型三、利用集合元素的互异性求参数 例3 集合中的元素为、，集合中的元素为0、，且集合，求的值． 【答案】 【知识点】集合元素互异性的应用、根据集合相等关系进行计算、利用集合元素的互异性求参数 【分析】由集合相等，得到方程，求出相应的，检验后得到答案. 【详解】由集合相等的定义得 或， 当时，，此时与元素的互异性矛盾，舍去； 当时，或（舍去）， 当，时，满足元素的互异性， 综上所述，． 3-1 含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【答案】 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合相等关系进行计算 【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解. 【详解】解：由题意，若，则或， 检验可知不满足集合中元素的互异性， 所以，则， 所以，则， 故. 故答案为：. 3-2 已知集合，集合，且，则实数 . 【答案】 【知识点】根据集合相等关系进行计算、利用集合元素的互异性求参数 【分析】由集合相等可构造方程求得的可能的取值，代回集合验证可得结果. 【详解】，，解得：或； 当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，满足题意； 综上所述：. 故答案为：. 题型四、根据集合相等关系进行计算 例4 已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【知识点】根据集合相等关系进行计算 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 4-1 若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【知识点】根据集合相等关系进行计算 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 题型五、常用数集或数集关系应用 例5 （23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）下列字母表示“自然数集”“整数集”“有理数集”“实数集”，其排列顺序正确的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【知识点】常用数集或数集关系应用 【分析】根据常用数集的记法做题即可. 【详解】“自然数集”记作，“整数集”记作， “有理数集”记作， “实数集”记作. 故选：D 5-1 ，则 ． 【答案】 【知识点】常用数集或数集关系应用 【分析】由题意可知为的正约数，根据即可求解. 【详解】，可知为的正约数， 又，可得， 所以. 故答案为： 5-2 下列关系中正确的个数是（    ） ①，②，③，④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】常用数集或数集关系应用 【分析】利用常用数集的定义逐一判断即可得解. 【详解】对于①：为有理数，则成立，①正确； 对于②：为实数，则不成立，②错误； 对于③：不是正自然数，则不成立，③错误； 对于④：是无理数，不是整数，则不成立，④错误； 故正确的有1个. 故选：A. 5-3 下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、常用数集或数集关系应用 【分析】根据符号所代表的集合和集合与元素的关系逐项判断即可. 【详解】选项A：表示实数集，所以，说法错误； 选项B：表示有理数集，所以，说法错误； 选项C：表示整数集，所以，说法正确； 选项D：表示自然数集，所以，说法错误； 故选：C 题型六、集合的分类 例6 集合的分类 含有有限个元素的集合叫作 ，含有无限个元素的集合叫作 ，不含任何元素的集合叫作 ，记作 . 【答案】 有限集 无限集 空集 【知识点】集合的分类 【分析】略 【详解】略 6-1 集合的简单分类 （1）有限集：元素个数 的集合称为有限集． （2）无限集：元素个数 的集合称为无限集． （3） 元素的集合称为空集，记作． 【答案】 有限 无限 不含有任何 【知识点】集合的分类 【分析】根据题意，结合集合元素的个数，进行分类，即可求解. 【详解】根据集合的元素个数的多少，可分为有限集、无限集和空集. 6-2 给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 【答案】D 【知识点】集合的分类、常用数集或数集关系应用、判断是否为同一集合、判断元素能否构成集合 【分析】根据集合元素的特征逐一判断各选项. 【详解】对于①，集合不满足集合元素的互异性，故①错误； 对于②，集合仅有1个元素，故②正确； 对于③，集合与元素相同，是两个相同的集合，故③错误； 对于④，集合大于3的无理数是无限集，故④错误. 故选：D. 题型七、判断元素与集合的关系 例7 （24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，若且，则 【答案】 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据集合的描述确定满足其性质的元素，即可得集合. 【详解】由，，若且，则，所以. 故答案为： 7-1（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，代数式的值为； 当一负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为； ∴，故只有B正确. 故选：B. 7-2 （24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为（   ） （1），（2），（3） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】（1）根据题目条件得到，，故；（2），故；（3）分，和且三种情况进行求解，当且时，得到，进而，得到. 【详解】因为，，由②得，即， 故，即，由③得，（1）正确； ，，由②得，故，（2）正确； 若，则，若，则， 若且，因为，，由②得， 由③得，，又， 由②得，由③得， 由②得，（3）正确. 故选：D 7-3（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）集合，则 .（用“”或“”连接） 【答案】 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据元素与集合的关系，若，求出m、n的值，验证是否符合条件即可. 【详解】当时，有，满足. 所以. 故答案为： 7-4（24-25高一上·上海徐汇·开学考试）非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据给定条件，结合元素与集合的关系，逐项判断即得. 【详解】对于A，由①知，，由②知，，即，因此，A正确； 对于B，由①知，，，由②知，，，依此类推得正整数， 因此，则，B正确； 对于C，由选项B知，，，由①知，，则当时，，C正确； 对于D，若，则，D错误. 故选：D 题型八、根据元素与集合的关系求参数 例8 （24-25高一上·上海浦东新·期末）已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】由可得出，进而可得的取值范围，根据，可得出关于的不等式，进一步可得出关于的方程，解之即可. 【详解】因为，则只需考虑下列三种情况： 因为，，则， 又因为，则， 因为，则且， 可得， 所以，，解得， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程求解. 8-1（24-25高一上·上海·阶段练习）若，则实数 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据元素与集合的关系列方程，结合集合元素的互异性来求得正确答案. 【详解】依题意，， 当，时，，不符合. 当时，解得或（舍去）， 当时，集合为，符合题意. 所以. 故答案为： 8-2（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若，则 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据集合元素互异性可求解. 【详解】若，若，则，故不满足集合元素互异性， 所以，解之可得或（舍），-1适合题意， 故答案为： 8-3（24-25高一上·上海·期中）设集合   若2∈A，则 . 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据2∈A，由求解. 【详解】解：因为集合   且2∈A， 所以，解得， 故答案为： 8-4（24-25高一上·上海·期中）已知，则实数 . 【答案】 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据元素与集合的关系，9必定是集合中的某一个元素，再分别讨论当和两种情况，结合元素的互异性得出正确答案即可. 【详解】由题意得，， 若，则，此时， 不满足集合元素的互异性， 若，则（舍去）或， 此时，满足题意. 故答案为：. 题型九、根据集合中元素的个数求参数 例9 （24-25高一上·上海宝山·阶段练习）若集合的子集只有两个，则实数 . 【答案】0或 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】由题意知中只含有一个元素，分和两种情况讨论即可； 【详解】因为集合的子集只有两个，所以中只含有一个元素． 当时，； 当时，若集合只有一个元素，由一元二次方程判别式得． 综上，当或时，集合只有一个元素． 故答案为：或． 9-1（24-25高一上·上海徐汇·开学考试）若集合中至少有2个整数元素，则实数a的取值范围为 【答案】 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】由集合的元素特征可得，再由至少有2个整数元素可得，列出不等式求解即得. 【详解】依题意，，解得，又，即集合的两个端点值关于1对称， 则，而集合中至少有2个整数元素，于是，因此，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 9-2（23-24高一上·上海·期中）若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 . 【答案】2 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】由题意可知：集合有两个元素，即方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理运算求解. 【详解】由题意可知：集合有两个元素，设为，即， 则方程有两个不相等的实数根，则， 所以. 故答案为：2. 9-3已知集合是单元素集，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】根据题意，结合只有一个解，分类讨论，即可求解. 【详解】由集合是单元素集， 可得方程只有一个解， 当，即时，方程为，解得，此时，符合题意； 当，即时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值集合为. 故答案为：. 9-4集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 【答案】或 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】根据一元二次方程求解，结合集合元素的特征，可得答案. 【详解】由方程，则或， 当存在两个相等的实数根时，，解得， 此时方程的解为，符合题意； 当存在两个不相等的实数根且其中一个根为时，，解得， 此时，则方程另一个解为，符合题意. 综上所述，当或时，集合中恰有两个元素. 故答案为：或. 9-5若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】根据题意可知，方程的根只有一个，分当和当时，直接根据方程只有一个根求解即可. 【详解】当，即时，，符合题意； 当，即时，若集合只有一个元素， 由一元二次方程根的判别式，解得. 综上实数的值可以为，. 故选：AD 题型十、利用集合元素的互异性求参数 例10 已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【答案】C 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等有求参数，结合集合元素的互异性确定参数值. 【详解】由题设，可得或， 当时，，满足题设； 当时，，不符合集合元素的互异性； 所以. 故选：C 10-1 若，的值为 . 【答案】2 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合的关系得出方程求解，结合集合中元素的互异性检验即可. 【详解】因为， 所以或3或， 当时，，此时集合中元素有1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1,3,4，符合题意. 故答案为：2 10-2 已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据或，结合集合中元素满足互异性即可求解. 【详解】因为 所以或， 当时，，此时，，故舍去： 当时，解得或（舍去）， 综上． 故选：B 10-3 （24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，，且，则. 【答案】1 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】根据集合相等的条件，由元素的相等列方程求解并检验集合中元素的互异性. 【详解】集合，，且，则有，解得或， 当，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； 符合题意. 故答案为：1 10-4 （24-25高一上·上海虹口·阶段练习）若，则实数 ． 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合的关系求解，利用集合中元素的互异性验证． 【详解】当时，，不满足元素的互异性，舍去. 当时，解得或4， 当时，不符合题意， 当时，集合为，符合题意, 所以． 故答案为：． 题型十一、利用集合中元素的性质求集合元素个数 例11 （24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合A的元素为实数，满足①且；②若，则. (1)若，求A； (2)集合A有没有可能是单元素集? (3)若，证明：. 【答案】(1)； (2)没有可能； (3)证明见解析. 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】（1）利用定义依次计算即得. （2）假定是，结合定义计算导出矛盾即可. （3）利用给定的定义计算推理即得. 【详解】（1）当时，即，则，， ，，所以. （2）假设集合是单元素集， 由，则，得，整理得与实数平方为非负数矛盾， 所以集合不可能是单元素集. （3）由，得且，，于是， ，所以. 11-1 已知集合．若，且对任意，，均有，则集合中元素个数的最大值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】根据，转化为任意两点连线的斜率不存在或小于等于零，分析要使这样的点最多，点的分布情况，即可得解. 【详解】由题知：集合，若，且对任意、，均有，作如下等价转化： 考虑，是平面内的满足题目条件的任意两点， “”等价于“或” 即这个集合中的任意两个点连线的斜率不存在或斜率小于等于零， 要使集合中这样的点最多，就是直线两条直线上的整数点，共19个， （当然也可考虑直线两条直线上的整数点，共19个） 故选：D 11-2 下列集合中有限集的个数为（   ） （1）二次方程的实数解组成的集合； （2）能被3整除的整数组成的集合； （3）一年之中四个季节的名称组成的集合； （4）偶数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】由集合的性质逐个判断即可； 【详解】二次方程的实数解组成的集合，有一个，两个或无，所以为有限集； 能被3整除的整数有无穷多个，所以组成的集合为无限集； 一年之中四个季节的名称为春季，夏季，秋季，冬季，所以组成的集合为有限集； 偶数组成的集合为无限集合； 所以有限集合共有2个， 故选：C. 11-3 若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】解出方程的根，再根据集合元素互异性可求得集合元素个数即可得解. 【详解】因为，解之可得或， ，解之可得或， 根据集合元素的互异性可知集合一共有3个元素. 故选：C 11-4 已知集合，则集合中全部元素之和为 ． 【答案】 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、根据集合中元素的个数求参数、判断元素与集合的关系 【分析】分离常数，即可根据整除求解，相加即可求解. 【详解】 ，所以，即. 故集合A中全部元素之和为 故答案为:. 题型十二、集合元素互异性的应用 例12 集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【知识点】集合元素互异性的应用 【分析】根据集合中元素的互异性可得答案. 【详解】根据集合中元素的互异性得， 故三角形一定不是等腰三角形. 故选：A. 12-1 有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【答案】A 【知识点】集合元素互异性的应用 【分析】根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，结合选项，即可求解. 【详解】可得四个元素互不相等，则四条边互不相同， 所以不可能围成矩形、菱形和等腰梯形，有可能连成梯形. 故选：A. 12-2 已知集合，，则 ． 【答案】1 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、集合元素互异性的应用 【分析】根据给定的元素与集合关系列式，结合集合元素的互异性求解. 【详解】由集合，，得或， 当时，，此时，不符合题意，； 当时，显然，解得，集合，符合题意， 所以. 故答案为：1 12-3 已知集合，，且，则集合 ． 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、集合元素互异性的应用 【分析】根据条件，求出，再利用集合的性质，即可求解. 【详解】因为，所以或， 由，得到或， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 当时，，满足题意，此时， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 故答案为：. 12-4 已知集合，，且，求集合． 【答案】 【知识点】集合元素互异性的应用、根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据元素与集合的关系，列方程，解方程求出，再根据元素互异性，即可确定集合B. 【详解】由题意，，即，解得或． 当时，集合中元素7和相等，不满足元素互异性，舍去； 当时，，，故． 题型十三、空集的概念以及判断 例13 （24-25高一上·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 【答案】1 【知识点】空集的概念以及判断 【分析】不等式化为，然后对系数进行分类讨论可得． 【详解】可化为， 若，不等式为，不成立，不等式解集为空集， 若，不等式的解为， 若，不等式的解为， 综上，， 故答案为：1. 13-1 （24-25高一上·上海浦东新·期中）命题：空集是任何集合的真子集，此命题是 命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【知识点】空集的概念以及判断 【分析】根据空集的性质判断. 【详解】空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以命题：空集是任何集合的真子集为假命题. 故答案为：假. 13-2 设集合，只有一个子集，则满足要求的实数 ． 【答案】0 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、空集的概念以及判断 【分析】由题意可得 A是空集 即可求解. 【详解】集合，只有一个子集， 则，， 所以方程无解，即． 故答案为：0． 13-3 下列表述正确的有（    ） A． B． C． D．表示没有任何元素的集合 【答案】BD 【知识点】空集的概念以及判断、判断元素与集合的关系 【分析】根据元素和集合的关系判断AB选项，根据空集的定义判断CD选项. 【详解】A选项，是元素，是集合，之间不能用符号连接，A选项错误； B选项，集合中确实含有元素，即，B选项正确； C，D选项，根据空集的定义，表示没有任何元素的集合，D选项正确， 而是包含一个元素的单元素集合，，C选项错误. 故选：BD 题型十四、判断两个集合是否相等 例14 （22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）下列表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】根据集合的概念及相同集合的性质判断各选项集合是否相同即可. 【详解】A：集合中的元素不为同一个点，不是同一集合，故A错误； B、D：集合的元素不同，一个是数，一个是实数对，不是同一集合，故BD错误； C：根据集合元素的无序性，可知集合，即为同一集合，故C正确； 故选：C 14-1 设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案 【详解】对于①：集合，则， 解得，即，是一一对于，所以与集合相同. 对于②：集合，则，也是一一对应，所以与集合相同. 对于③：集合，，一一对应，，所以与集合相同. 对于④：，但方程无解，则，与不相同． 故选：D 14-2 下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，为点集，为数集，则； 对于D选项，为数集，为点集，则. 故选：B. 14-3 已知集合，则下列与相等的集合为 ．（填序号） ①    ；②； ③    ；④． 【答案】①② 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究为奇数、为偶数可计算③，由N的定义可得④，依次判断即可求得结果． 【详解】对于①，； 对于②，中解得， 故； 对于③，当为奇数时，；当为偶数时，， 所以； 对于④，． 故答案为：①②. 题型十五、根据两个集合相等求参数 例15 已知实数集合，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可． 【详解】当，时，，或任意，（不符集合元素的互异性，舍）； 当，时，，，不符集合元素的互异性， 所以，，． 故选：A． 15-1 设集合，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】利用集合相等列式求值并验证得解. 【详解】集合，由，得或，解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 所以. 故选：A 15-2 已知，若集合，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】由集合相等的定义建立方程求得结果. 【详解】∵， ∴，解得， 故选：B 15-3 已知集合，，若，则（    ） A．或2 B．或1 C． D．1 【答案】D 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】由集合相等即可求得结果. 【详解】集合，， 因为，所以， 解得， 故选：D. 1．（判断元素与集合的关系）以下选项中，是集合的元素的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐个验证即可. 【详解】对于A：满足， 对于B: ，错误； 对于C: ，错误； 对于D: ，错误； 故选：A 2．（利用集合中元素的性质求集合元素个数）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可. 【详解】由题意，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B. 3．（根据集合中元素的个数求参数）若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】当时，，符合题意. 当时，. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合至多有一个元素，则的取值范围是 . 【答案】或 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】考虑和的情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】当时，，解得，此时有一个元素，满足要求， 当时，需要，解得， 综上，或. 故答案为：或 5．（根据两个集合相等求参数）已知集合，，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据元素的互异性，确定的范围，根据集合相等列方程求即可. 【详解】因为，， 所以，且， 所以，且，， 因为， 所以或， 由，可得（舍去）， 由，可得（舍去）或， 所以. 故答案为：. 6．（判断两个集合是否相等）Q是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合M相等的集合序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】集合相等条件为集合元素相同，根据此条件分别判断①②③④四个集合中元素是否与集合M一致即可. 【详解】对于①.，设，则，故①的集合与M相等； 对于②.令 ，则，其中，故②的集合与M相等； 对于③.当 时，，故③的集合与M不相等； 对于④.令， ， 其中，故④的集合与M相等； 故答案为:①②④ 1．（利用集合中元素的性质求集合元素个数）用表非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．9 【答案】C 【知识点】集合新定义、 【分析】由新定义，确定，再由新运算确定，并由集合的定义确定，然后由判别式求得值，得集合，从而得结论． 【详解】由已知，又，所以或， 又中显然是一个解，即，因此，所以， 所以有两个相等的实根且不为0， ，，经检验符合题意，， 所以． 故选：C． 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合，，其中、、为实数，若、分别表示集合、的元素个数，则下列结论中一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】选项A，B和C，利用方程至少有一个根，所有解的个数取决于；方程的解得个数取决于及，逐一分析判断即可得答案；选项D，根据条件得到，，，设为的一个根，从而得到，即为方程的根，即可求解. 【详解】令，， 对于选项A，当时，方程无实根， 所以，，或； 当时，，由得，此时； 当，时，，由得，此时，所以选项A正确； 对于选项B，若，则有且只有一根，又一定是的根，所以， 又且时，无解，此时，所以选项B错误， 对于选项C，若时，则有且只有根， 又一定是的根，所以且，或且， 当时，存在，使且，此时只有一根，所以选项C错误， 对于选项D，当时，方程有三个根，所以，，， 设为的一个根，即，则， 且，所以为方程的根， 故有三个根，即时，必有，所以选项D错误， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于充分理解二次函数的根与系数的关系，观察分析两函数的区别与联系，从而得解. 3．（24-25高一上·上海·开学考试）设集合是正整数集的子集，且中至少有两个元素，若集合满足以下三个条件：①是正整数的子集，且中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集，若集合，且，设，则集合的“耦合集” 【答案】 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】先证明中只有5个元素，再根据的性质、的性质可得，，根据的性质可得，从而可得. 【详解】设中元素为， 若，则由题设有且， 而中只有4个运算，故不成立，故. 又因为，且， 故， 且， 故，故且， ， 故且， 故， 所以故， 所以，， 因为，故，而， 故，故即， 故. 故答案为： 【点睛】思路点睛：对于集合中新定义问题，可根据定义得到集合元素具有的性质，再结合大小关系判断进一步探究不同元素具有的等量关系. 4．（集合新定义）在整数集Z中，被整数t除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，如，则有下列结论：①； ②； ③整数、满足且的充要条件是； ④． 则其中正确的为 . 【答案】①④/④① 【知识点】判断两个集合是否相等、 【分析】根据集合相等的定义判断①，举反例判断②③，根据集合的交集的定义判断④． 【详解】解：对于①，若，则，， 若，则，故， 若，则，故， 是的子集， 若，则或， 若，则，若，则， ，故是的子集， ，故①正确； 对于②，，而且，，故②错误； 对于③，，，而，， 整数、满足且不是的必要条件，故③错误； 对于④，若，则， ，且，，1故④正确． 故答案为：①④ 5．（24-25高一上·上海青浦·阶段练习）已知，求满足下列条件的非空集合中所有元素之和． (1) (2) 【答案】(1)或 (2)或或 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】（1）当时求出，当时利用韦达定理计算可得； （2）首先可得，再分析方程的解，当时求出，当时分为方程的解和不是方程的解两种情况讨论. 【详解】（1）因为且为非空集合， 对于方程， 当，即时，解得， 所以，此时集合中所有元素之和； 当，即时，方程有两个不相等实数根，且两根之和为， 此时集合中所有元素之和； 综上可得集合中所有元素之和或； （2）因为， 由，则或， 对于，解得，所以； 对于， 当，即时，解得， 所以，此时集合中所有元素之和； 当，即时，方程有两个不相等实数根，且两根之和为， 若为方程的解，则，此时方程的两根为和， 此时，则集合中所有元素之和； 若不为方程的解，即， 此时集合中所有元素之和； 综上可得：集合中所有元素之和或或. 6．已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 7．已知实数R的子集均满足规律：，已知数集具有性质P：对任意的，与 两数中至少有一个属于A（如与中至少有一个属于A）. (1)求证：集合不可能为单元素集； (2)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由； (3)数集A中的_____集合（选填“”或“”），请写出一个自然数：________，使其不可能属于集合； (4)证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)A不具有，B具有，理由见解析 (3)∉，2 (4)证明见解析 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、根据集合相等关系进行计算、判断元素与集合的关系 【分析】(1)假设为单元素集，则，化简后可得不存在，所以即可证明； (2)根据定理罗列出与值 ，看是否属于数集与数集，即可判断； (3) 已知数集具有性质P，则，所以只有，再根据已知条件可求得，假设，代入可发现矛盾，所以可判断； (4)根据数集具有性质P，可判定且，则可以证得结论. 【详解】（1）根据题意设为单元素集，即，且， 代入可得，可以算出无解，所以， 故不可能为单元素集； （2）由于均不属于数集，所以数集不具有性质P， 由于都属于数集， 所以数集具有性质P； （3）已知数集具有性质P，则， 所以只有，又因， 则可得，若，则有，与矛盾， 所以； 若，设，均满足规律：， 则，根据集合元素互异性，所以. 故答案为：；2. （4）由(3)知，所以 由于数集具有性质P， 故，所以， ，所以， 则， 所以 【点睛】思路点睛：对于新定义题关键在于对定义的理解，通常通过类比、举例分析等方法加深对新概念的理解，然后围绕所给定义进行求解. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$