精品解析：上海市长征中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

长征中学2024学年第二学期高二年级期中考试试卷数学学科 (时间120分钟，满分150分) 2025.04 一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1. 直线的倾斜角为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角 【详解】，则，斜率为 则，解得 故答案为 【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角，解题的关键是求出直线的斜率，属于基础题 2. 双曲线的渐近线方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线方程直接代入渐近线方程计算可得结果. 【详解】由双曲线可得其标准方程为； 所以渐近线方程为； 故答案为： 3. 抛物线的准线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线方程确定,即可求出准线方程. 【详解】抛物线的焦点在轴上,且, 故其准线方程为:, 故答案为:. 【点睛】本题考查抛物线方程,属于基础题. 4. 已知直线，则直线与的夹角为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线方程确定直线的法向量，再根据直线与的夹角的余弦值为，即可求得直线与的夹角大小. 【详解】由题意知的法向量为的法向量为， 则直线与的夹角的余弦值为， 则直线与的夹角为. 故答案为：. 5. 过点，与直线垂直的直线方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得所求直线的斜率为，利用点斜式方程，即可求解. 【详解】由直线，可得斜率为， 所以所求直线的斜率为， 又因为直线过点，可得直线方程为，即． 故答案为：． 6. 若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】运用两直线平行求得m的值，再运用两平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】由直线与直线平行， 可知，即， 故直线为， 直线变形得， 故这两条直线间的距离为， 故答案为：. 7. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】把椭圆的方程化为标准形式，列出不等式即得. 【详解】由题意，方程可化为， 因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 可得，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 8. 双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出双曲线的，，由题意可得，解方程即可得到． 【详解】解：因为双曲线的虚轴长是实轴长的2倍， 所以， 所以，解得 故答案为： 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题． 9. 以抛物线的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线方程得焦点坐标、准线方程，进一步得所求圆的半径即可得解. 【详解】因为抛物线的焦点，准线， 所求圆的圆心半径为， 所以圆的方程为. 故答案为： 10. 由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出图形，当垂直与直线时，最短，利用勾股定理可得出此时切线长最小，求出此时的切线长即可. 【详解】解：根据题意画出图形， 当垂直与直线时，最短，此时， 由圆的方程得：圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则切线长的最小值. 故答案为：. 【点睛】此题考查了圆的切线方程，以及点到直线的距离公式，根据题意画出相应的图形是解本题的关键. 11. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______． 【答案】5 【解析】 【详解】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一. 【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式. 12. 已知曲线方程，若过的直线与该曲线恰有三个不同的交点，则直线的倾斜角的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据曲线在不同范围表示圆、双曲线，结合圆和双曲线的性质求解. 【详解】当时，方程可化为， 其图象为个单位圆； 当时，方程可化为， 其图象为焦点在上的双曲线的右下支； 当时，方程可化为， 其图象为焦点在上的双曲线的左上支； 当时，方程可化为，不可能成立； 作出图象如下， 设过点斜率为的直线方程为， 联立，可得， 当时，由，解得(舍)或. 由图可知，当时，直线与该曲线恰有三个不同的交点， 此时直线的倾斜角的取值范围是 . 故答案为: . 二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14每题4分，15-16每题5分，选对得分，否则一律得零分. 13. 如果，，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及纵截距，再判断正负即可得解. 【详解】由，得， 又，， 则符号相反，符号相反， 所以符号相同， 所以直线的斜率，在轴上的截距， 所以直线不通过第三象限. 故选：C. 14. 到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为（　　） A. 椭圆 B. 两条射线 C. 双曲线 D. 线段 【答案】B 【解析】 【分析】由题意直接得轨迹为两条射线． 【详解】∵到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6， 而|F1F2|＝6， ∴满足条件的点的轨迹为两条射线． 故选B． 【点睛】本题考查了点的轨迹问题，涉及双曲线定义的辨析，考查了推理能力，属于基础题． 15. 与直线关于点对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果. 【详解】解析： 设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即. 故选:D. 【点睛】本题考查了直线关于点的对称直线问题,一般转化为点关于点的对称点问题解决,属于基础题. 16. 点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由，得到，再与椭圆方程联立得到，再由点P的位置求解. 【详解】解：设， 又，且， 则，与椭圆方程联立， 即，解得或， 则，即， 即，则， 故选：B 三.解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知双曲线 （1）求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程 （2）根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数 【答案】（1）顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线为； （2） 联立方程，消去得， 当或时， 即或时，有1个交点； 当时，即且时，有2个交点； 当时，即或时，无交点. 【解析】 【分析】（1）将双曲线方程化为标准方程，确定的值，即可求得答案； （2）联立直线方程和双曲线方程，结合所得方程的二次项系数以及判别式，即可得结论. 【小问1详解】 由题意得，可得， 故顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线为； 【小问2详解】 略 18. 已知， （1）求线段垂直平分线所在直线方程 （2）若直线过，且、到直线距离相等，求方程 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由题可得的中点坐标，再根据互相垂直的直线斜率之间的关系及点斜式方程即得； （2）根据点到直线距离公式结合条件即得. 【小问1详解】 因为点，． 所以线段的中点坐标为，直线的斜率为， 因此直线的中垂线的斜率为， 因此线段的垂直平分线所在直线方程为， 即； 【小问2详解】 因为直线过点，，， 当直线的斜率不存在时，显然不合题意， 设直线的方程为，即， 所以，解得或， 所以直线的方程为或. 19. 已知直线和圆． （1）证明：圆C与直线l恒相交； （2）求出直线l被圆C截得的弦长的最小值． 【答案】（1） 变形为， 令，解得， 故直线过定点， 因为， 故在圆C内，故圆C与直线l恒相交； （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线过的定点A，得到在圆C内，证明出圆C与直线l恒相交； （2）数形结合得到直线l与垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小，由垂径定理求出弦长最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为直线过定点，且在圆C内， 故当直线l与垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小， 其中， 圆的半径为2， 故弦长最小值为. 20. 已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. （1）求抛物线的方程； （2）若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； （3）试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线方程计算可得，即可求出结果； （2）设点，，根据中点坐标公式进行代换可得点的轨迹方程； （3）联立直线方程并利用垂直关系的向量表示，结合向量数量积的坐标运算即可求得结果. 【小问1详解】 已知点在抛物线上 代入得 所以抛物线方程为 【小问2详解】 易知抛物线焦点为， 设动点，中点的坐标为 显然； 且， ； 即点的轨迹方程为； 【小问3详解】 设点在抛物线上，则 直线的方程为，如下图： 联立，解得，； 所以， 因此 依题意可得 可得 整理可得，即， 解得或或或； 显然当或时，与重合，不合题意； 所以存在，满足题意. 21. 把右半个椭圆和圆弧合成的封闭曲线称为“曲圆”，“曲圆”与轴的左、右交点依次记为、，与轴的上、下交点依次记为、，过椭圆的右焦点的直线与“曲圆”交于、两点. （1）当点与重合时，求的周长； （2）当、两点都在半椭圆时，是否存在以为直径的圆恰好经过点？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由； （3）当点在第一象限时，求的面积的最大值. 【答案】（1）8 （2）不存在，理由如下： 假设存在直线， 因为、两点都在半椭圆，或， 所以，联立 得， 设、，则恒成立. 所以，. 以为直径的圆恰好经过点， 所以，即， 即， 代入韦达定理得， 即，解得， 所以不存在直线，满足题意. （3）3 【解析】 【分析】（1）由焦点三角形周长求解即可； （2）假设存在，设出直线的方程联立方程组，由判断可知不存在； （3）分类讨论由求面积的最大值即可. 【小问1详解】 因为圆弧的左顶点， 刚好是半椭圆的左焦点， 所以点与重合时，的周长为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①由(2)知，当、两点都在半椭圆时， 设直线的方程为，当在第一象限时，. 且， 当且仅当得时等号成立，即的面积为， ②当、两点分别在半椭圆与圆弧上时，此时当与重合时取得最大值， 此时. 综上，的面积的最大值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长征中学2024学年第二学期高二年级期中考试试卷数学学科 (时间120分钟，满分150分) 2025.04 一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1. 直线的倾斜角为_________． 2. 双曲线的渐近线方程为_____. 3. 抛物线的准线方程为______. 4. 已知直线，则直线与的夹角为___________. 5. 过点，与直线垂直的直线方程为___________． 6. 若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是____________． 7. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是__________． 8. 双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则______. 9. 以抛物线的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为______. 10. 由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为______ 11. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______． 12. 已知曲线方程，若过的直线与该曲线恰有三个不同的交点，则直线的倾斜角的取值范围是________． 二、选择题(本大题满分18分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14每题4分，15-16每题5分，选对得分，否则一律得零分. 13. 如果，，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14. 到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为（　　） A. 椭圆 B. 两条射线 C. 双曲线 D. 线段 15. 与直线关于点对称的直线方程是（ ） A. B. C. D. 16. 点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三.解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知双曲线 （1）求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程 （2）根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数 18. 已知， （1）求线段垂直平分线所在直线方程 （2）若直线过，且、到直线距离相等，求方程 19. 已知直线和圆． （1）证明：圆C与直线l恒相交； （2）求出直线l被圆C截得的弦长的最小值． 20. 已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且. （1）求抛物线的方程； （2）若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程； （3）试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 21. 把右半个椭圆和圆弧合成的封闭曲线称为“曲圆”，“曲圆”与轴的左、右交点依次记为、，与轴的上、下交点依次记为、，过椭圆的右焦点的直线与“曲圆”交于、两点. （1）当点与重合时，求的周长； （2）当、两点都在半椭圆时，是否存在以为直径的圆恰好经过点？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由； （3）当点在第一象限时，求的面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $