1.1 一元二次方程（教学课件）数学苏科版九年级上册

苏科版·九年级上册 1.1 一元二次方程 第一章 一元二次方程 章节导读 学 习 目 标 1 2 3 理解一元二次方程的概念，能快速识别出一元二次方程 认识一元二次方程的一般形式，能快速写出二次项、一次项、二次项系数、一次项系数、常数项等 理解一元二次方程的解的概念，能判断一个数是否为方程的解 新知探究 思 考 1. 已知正方形桌面的面积是2m2，设桌面的边长是x m，请列方程来描述其中的的数量关系。 x2 = 2 新知探究 思 考 2. 如图，矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，花圃的面积是24m2，设花圃的宽是x m，请列方程来描述其中的的数量关系。 墙 x m x ( 19 - 2x ) = 24 ( 19 - 2x ) m 新知探究 思 考 3. 某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到9.8万册，设图书馆的藏书平均每年增长的百分率是x，请列方程来描述其中的的数量关系。 解：图书馆的藏书一年后为5 ( 1 + x )万册， 两年后为[ 5 ( 1 + x ) ]( 1 + x )万册， 即5 ( 1 + x )2 = 9.8。 新知探究 思 考 4. 如图，长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多1m，设梯子的底端到墙面的距离是x m，请列方程来描述其中的的数量关系。 x2 + ( x - 1 )2 = 25 x m 5m ( x - 1 ) m 新知探究 讨 论 观察这几个式子，找出它们的共同点： x2 = 2 x ( 19 - 2x ) = 24 5 ( 1 + x )2 = 9.8 x2 + ( x - 1 )2 = 25 ① 都是整式方程 ② 都只含有一个未知数 ③ 未知数的最高次数都是2 新知探究 一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2， 这样的整式方程，叫做一元二次方程。 一元二次方程的三要素： ① 方程：整式方程； ② 一元：只含有一个未知数； ③ 二次：未知数的最高次数是2。 知识要点 典例分析 典例1 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是 __________________ ( 填序号 ) ( 1 ) 2x2 - 2kx - 1 = 0； ( 2 ) = 2； ( 3 ) 1 - x2 = 0； ( 4 ) 5x2 = 0； ( 5 ) x2 + 2y = 0； ( 6 ) ( x + 4 )2 = ( x - 4 )2； ( 7 ) 2mx2 - 3x+ 2 = 0； ( 8 ) 2 ( a2 + 1 ) x2 + ( 2a - 1 ) x + 5 - a = 0。 是分式方程，不是整式方程 有两个未知数，多了一个 化简一下：16x = 0，未知数的最高次数是1，不是2 若m = 0，则-3x + 2 = 0，未知数的最高次数是1，不是2 2 ( a2 + 1 ) > 0 ( 1 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 8 ) 典例分析 典例1 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是 __________________ ( 填序号 ) ( 1 ) 2x2 - 2kx - 1 = 0； ( 2 ) = 2； ( 3 ) 1 - x2 = 0； ( 4 ) 5x2 = 0； ( 5 ) x2 + 2y = 0； ( 6 ) ( x + 4 )2 = ( x - 4 )2； ( 7 ) 2mx2 - 3x+ 2 = 0； ( 8 ) 2 ( a2 + 1 ) x2 + ( 2a - 1 ) x + 5 - a = 0。 方法技巧 ( 1 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 8 ) 解题关键：3个要点缺一不可 ① 整式方程； ② 只含有一个未知数； ③ 未知数的最高次数是2。 注意：化简后，再判断 化简一下：16x = 0 新知探究 知识要点 一元二次方程的一般形式： ax2 + bx + c = 0 ( a、b、c是常数，a ≠ 0 ) ax2叫做二次项， a叫做二次项系数 bx叫做一次项， b叫做一次项系数 c叫做常数项 注意： 若a = 0，无二次项，就不是一元二次方程 典例分析 典例2 完成下列表格： 一元二次方程 化为一般式 二次项系数 一次项系数 常数项 x2 = 1 2x2 = 5x -x2 + 4x = 2 x ( 19 - 2x ) = 24 x2 - 1 = 0 2x2 - 5x = 0 -x2 + 4x - 2 = 0 -2x2 + 19x - 24 = 0 1 0 -1 2 -5 0 -1 4 -2 -2 19 -24 注意： 一定要化成一般式，再去找系数和常数项哦~ 方法技巧 新知探究 知识要点 一元二次方程的解 ( 根 )： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值， 叫做一元二次方程的解 ( 根 )。 若x0满足ax02 + bx0 + c = 0 ( a ≠ 0 )，则x0是方程ax2 + bx + c = 0的根； 反之，若x0是方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的根，则ax02 + bx0 + c = 0。 典例分析 典例3 下面哪个数是方程x2 + 5x + 6 = 0的根（ ） A. 2 B. -2 C. -3 D. -2或-3 D 解：将x = 2代入x2 + 5x + 6 = 0，20 = 0，不成立； 将x = -2代入x2 + 5x + 6 = 0，0 = 0，成立； 将x = -3代入x2 + 5x + 6 = 0，0 = 0，成立。 方法技巧 解题关键：试根法 将这个根代入方程， 看左右两边是否相等。 典例分析 典例4 若关于x的一元二次方程x2 + 3x + a = 0有一根是-1， 则a = _______。 2 解：将x = -1代入x2 + 3x + a = 0得：1 - 3 + a = 0， 解得：a = 2。 方法技巧 解题关键：见根代入 将这个根代入方程。 题型探究 【例1】下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. 4 ( x + 2 ) = 25 B. 2x2 + 3x - 1 = 0 C. 2x + y = 22 D. = 4 解：A. 4 ( x + 2 ) = 25是一元一次方程，未知数的最高次数不为2，×； B. 2x2 + 3x - 1 = 0是一元二次方程，√； C. 2x + y = 22是二元一次方程，多了一个未知数，且未知数的最高次数不为2，×； D. = 4是分式方程，不是整式方程，×。 一元二次方程的概念辨析 题型一 B 题型探究 【例2】 ( 1 ) 一元二次方程-3x2 + 2x - 1 = 0，二次项系数为_______， 一次项系数为_______，常数项为_______； ( 2 ) 一元二次方程mx2 - nx - mx + nx2 = p，二次项为___________， 一次项为___________，常数项为_______。 -3 一元二次方程的系数判断 题型二 2 -1 ( m + n ) x2 解：( 2 ) 整理成一般形式：( m + n ) x2 - ( m + n ) x - p = 0。 - ( m + n ) x -p 根据一元二次方程的概念求参 题型三 题型探究 【例3】 ( 1 ) 已知( k - 2 ) x2 + x + 5 = 0是关于x的一元二次方程， 那么k的取值应该是_______； ( 2 ) 关于x的方程( m - 2 ) xm² - 2 + 3x + 2 = 0是一元二次方程， 则m = _______。 k ≠ 2 解：( 1 ) 由题意可得：k - 2 ≠ 0，解得：k ≠ 2； ( 2 ) 由题意可得：m2 - 2 = 2且m - 2 ≠ 0，解得：m = -2。 -2 根据一元二次方程的概念求参 题型三 题型探究 【例4】 关于x的一元二次方程( m - 3 ) x2 + m2x = 9x + 5化为一般形式后不含一次项， 则m的值为_______。 解：由题意可得：( m - 3 ) x2 + ( m2 - 9 ) x - 5 = 0， ∴m2 - 9 = 0且m - 3 ≠ 0，解得：m = -3。 -3 一元二次方程的根的判断 题型四 题型探究 【例5】 ( 1 ) 若a + b + c = 0，则方程ax2 + bx + c=0 ( a ≠ 0 )必有一个根是_______； ( 2 ) 若a - b + c = 0，则方程ax2 + bx + c=0 ( a ≠ 0 )必有一个根是_______； ( 3 ) 若4a + 2b + c = 0，则方程ax2 + bx + c=0 ( a ≠ 0 )必有一个根是_______； ( 4 ) 若4a - 2b + c = 0，则方程ax2 + bx + c=0 ( a ≠ 0 )必有一个根是_______； ( 5 ) 若9a + 3b + c = 0，则方程ax2 + bx + c=0 ( a ≠ 0 )必有一个根是_______； ( 6 ) 若9a - 3b + c = 0，则方程ax2 + bx + c=0 ( a ≠ 0 )必有一个根是_______。 直接观察 1 -1 2 -2 3 -3 根据一元二次方程的根求参 题型五 题型探究 【例6】 若关于x的一元二次方程x2 + mx + 2n = 0有一根是n ( n ≠ 0 )，则m + n = _______。 -2 解：将x = n代入x2 + mx + 2n = 0得：n2 + mn + 2n = 0， ∵n ≠ 0， ∴等式两边可同时除以n得：n + m + 2 = 0， ∴m + n = -2。 课堂小结 一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2， 这样的整式方程，叫做一元二次方程。 一元二次方程的三要素： ① 方程：整式方程； ② 一元：只含有一个未知数； ③ 二次：未知数的最高次数是2。 课堂小结 一元二次方程的解 ( 根 )： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解 ( 根 )。 若x0满足ax02 + bx0 + c = 0 ( a ≠ 0 )，则x0是方程ax2 + bx + c = 0的根； 反之，若x0是方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的根，则ax02 + bx0 + c = 0。 感谢聆听! $$