精品解析：贵州省黔西南州顶兴高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

顶兴高级中学春季学期高二年级期中考试卷 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册~选择性必修第三册第六章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（ ） A. 11种 B. 22种 C. 30种 D. 60种 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 为激发同学们对无人机飞行的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名学生的成绩依次为：65，95，75，70，95，85，92，80，则这组数据的75％分位数为（ ） A. 93.5 B. 93 C. 92 D. 91.5 4 已知函数，则（ ） A. 729 B. 81 C. 27 D. 3 5. 平行四边形中，E为中点，与交于O，记，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. 有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 96种 D. 144种 7. 在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线最大值是（ ） A. 2 B. C. D. 8. 某校提供了3个兴趣小组供学生选择，现有5名学生选择参加兴趣小组，若这5名学生每人选择一个兴趣小组且每个兴趣小组都有人选，则这5名学生不同的选择方法有（ ） A. 270种 B. 180种 C. 150种 D. 90种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则满足不等式的的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 已知，则（ ） A. B. C. D 11. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为___________. 13. 已知，，，则________． 14. 在数列中，，数列的前n项和为，若，则数列的前n项和为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比为3的等比数列，且． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为64. （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大项. 17. 已知抛物线的准线为，点在上，且点到直线的距离与其到轴的距离都等于2． （1）求的方程； （2）设为抛物线焦点，过的直线与交于两点，若的面积为3，求直线的方程． 18. 如图，平面平面，四边形是正方形，． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为. （1）求的值； （2）证明：对； （3）已知数列的前项和，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 顶兴高级中学春季学期高二年级期中考试卷 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册~选择性必修第三册第六章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（ ） A. 11种 B. 22种 C. 30种 D. 60种 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】依题意第一步从5名男队员中选出1名，共有5种选法； 第二步，从6名女队员中选出1名，共有6种选法； 根据分步乘法计数原理可得不同的组合方式有（种）． 故选：C． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合，再由集合的交运算求结果. 【详解】由，得，则，所以． 故选：D 3. 为激发同学们对无人机飞行的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名学生的成绩依次为：65，95，75，70，95，85，92，80，则这组数据的75％分位数为（ ） A 93.5 B. 93 C. 92 D. 91.5 【答案】A 【解析】 【分析】将8名学生的成绩从低到高依次排列，结合百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】将8名学生的成绩从低到高依次为：65，70，75，80，85，92，95，95， 可得，所以75%分位数为． 故选：A． 4. 已知函数，则（ ） A. 729 B. 81 C. 27 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由内向外，先计算，再算即可. 【详解】因，所以. 故选：C. 5. 平行四边形中，E为中点，与交于O，记，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据平面向量加减与数乘运算结合平面向量基本定理即可得解. 【详解】由题意得， 所以，，． 故选：B． 6. 有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 96种 D. 144种 【答案】D 【解析】 【分析】先利用捆绑法将3名女生看成一个整体，再将女生整体和3名男生一起排列. 【详解】先把3名女生看成一个整体，有种排法， 再把这个整体与另外3名男生排列，有种排法， 则不同的坐法有种坐法. 故选：D. 7. 在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线的最大值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式求出点的轨迹可得. 【详解】设点， 因为，所以， 整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 所以点到直线的最大距离． 故选：B． 8. 某校提供了3个兴趣小组供学生选择，现有5名学生选择参加兴趣小组，若这5名学生每人选择一个兴趣小组且每个兴趣小组都有人选，则这5名学生不同的选择方法有（ ） A. 270种 B. 180种 C. 150种 D. 90种 【答案】C 【解析】 【分析】把问题转化为先把5名同学分为3组，再把这3组同学分配给3个兴趣小组即可解决. 【详解】先将5名学生分成三组，每组人数有1，1，3或2，2，1两种情况， 则不同的分组方法有，再由这3组学生选取3个兴趣小组，不同的选法有种， 由分步乘法计数原理可知这5名学生不同的选择方法有种． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则满足不等式的的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】AB 【解析】 【分析】求出列出不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 即，又， 所以或4 故选：AB. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用赋值法分别计算判断各选项即可求解. 【详解】令，得，故选项A正确； 令，得，故选项B正确； 令，得，故选项C错误； 将，两式相加，得，即，故选项D正确. 故选：ABD. 11. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用导数运算法则计算导函数与二阶导函数，根据题目所给定义可确定选项. 【详解】A.定义域为，，，故A正确. B.定义域为，，，故B正确. C.定义域为，，，故C正确. D.定义域为，，， 当时，，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为___________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据导数的几何意义进行求解即可. 【详解】因为， 所以，而，， 因此曲线在点处的切线方程为： ， 故答案为：. 13. 已知，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系求得、的值，再利用余弦和角公式可计算的值. 【详解】由，，得，所以， 由，，得， 所以． 故答案为：. 14. 在数列中，，数列的前n项和为，若，则数列的前n项和为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过分组求和得到，进而得到，再由裂项相消法求和即可. 【详解】因为， 所以， 所以数列的前项和． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比为3的等比数列，且． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将题干中的两个方程含有的项都用基本量来表示，根据方程组可解得公差和首项，进而得通项公式； （2）根据分组求和的方法，结合等差数列前项和公式，等比数列前项和公式计算即可. 【小问1详解】 由题意，设等差数列的公差为，因为， 所以，解得， 因此，，. 【小问2详解】 16. 在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为64. （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的二项式系数和为即可得，求出二项式展开式的通项，令的指数为零即可求解； （2）根据二项式展开式的通项即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以该二项式为， 则通项公式为：． 令，解得， 所以该二项式的展开式中的常数项为． 【小问2详解】 因为， 易知：展开式第四项二项式系数最大， 即, 所以展开式中二项式系数最大的项. 17. 已知抛物线的准线为，点在上，且点到直线的距离与其到轴的距离都等于2． （1）求的方程； （2）设为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，若的面积为3，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题设易得，即可得抛物线方程； （2）设，，联立抛物线，应用点线距离公式、韦达定理及弦长公式，结合已知三角形的面积列方程求参数，即可得. 【小问1详解】 由点到直线的距离与其到轴的距离都等于2，则， 不妨令，则，结合，则，解得， 所以； 【小问2详解】 由题设，可设，则到该直线距离， 联立与，可得，， 若，所以，， 所以，故，可得， 所以，即或. 18. 如图，平面平面，四边形是正方形，． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明平面，证明，证明平面，证明； （2）证明平面，证明，证明，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量法即可求解. 【小问1详解】 证明：因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以．因为四边形是正方形， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以； 【小问2详解】 由（1）知平面， 又平面，所以， 又四边形是正方形，所以， 所以两两垂直． 以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则 令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则， 令，得，， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 19. 已知函数（为自然对数底数，），函数的极值点为. （1）求的值； （2）证明：对； （3）已知数列的前项和，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）运用极值点的性质，借助导数可解. （2）通过构造新函数，研究其单调性来证明不等式. （3）先根据数列前项和求出数列通项公式，再结合前面的结论进行放缩，结合等比数列求和证明不等式. 【小问1详解】 函数定义域为R，求导得， 由函数的极值点为，得，解得，此时， 由，得；由，得，因此是函数的极值点， 所以. 【小问2详解】 令，求导得， 函数在上单调递增，则函数在上单调递增， ，则，使得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 任意，，由，得，且， 因此， 即，因此. 【小问3详解】 当时，， 当时，满足上式，则， 由（2）得，，，取， 得，则，即，因此， 所以. 【点睛】方法点睛：导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$