对应解答题压轴练（20）【22-23题】-2025年中考数学模拟题号对应满分练（广东专用）

贵哥讲初中数学 2025年中考（广东省考卷专用）数学题号考点对应基础练（20） 收集了最近几年各市真题汇编 解答题（对应中考题号22-23小题） 一 几何证明与求解 1（2023·云南·中考真题）如图，是的直径，是上异于的点．外的点在射线上，直线与垂直，垂足为，且．设的面积为的面积为．    (1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，求常数的值． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）与相切，理由如下：连接，先证得，又证，进而有，于是即可得与相切； （2）先求得，再证，得，从而有，又，即可得解． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 连接，    ∵是的直径，直线与垂直， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相切； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，   ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂线的性质，相似三角形的判定及性质，切线的判定，勾股定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，垂线的性质，相似三角形的判定及性质，切线的判定以及勾股定理等知识是解题的关键． 2（2023·河北·中考真题）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，． 计算：在图1中，已知，作于点． （1）求的长． 操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点．    探究：在图2中 （2）操作后水面高度下降了多少？ （3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段与的长度，并比较大小． 【答案】（1）；（2）；（3），，． 【分析】（1）连接，利用垂径定理计算即可； （2）由切线的性质证明进而得到，利用锐角三角函数求，再与（1）中相减即可； （3）由半圆的中点为得到，得到分别求出线段与的长度，再相减比较即可． 【详解】解：（1）连接， ∵为圆心，于点，， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ．    （2）∵与半圆的切点为， ∴ ∵ ∴于点， ∵，， ∴， ∴操作后水面高度下降高度为： ． （3）∵于点， ∴， ∵半圆的中点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆的切线的性质、求弧长和解直角三角形的知识，解答过程中根据相关性质构造直角三角形是解题关键． 二 函数性质的综合运用 1（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线交轴于，两点（在的右边），交轴于点． (1)直接写出点，，的坐标； (2)如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点作直线，交y轴于点．若平分线段，求点的坐标； (3)如图（2），点与原点关于点对称，过原点的直线交抛物线于，两点（点在轴下方），线段交抛物线于另一点，连接．若，求直线的解析式． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）分别令，解方程，即可求解； （2）分别求得直线，根据得出的解析式，设，进而求得点的坐标，进而根据平分线段，则的中点在直线上，将点的坐标代入直线解析式，即可求解． （3）过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，得出，先求得点的坐标，设直线的解析式为，直线的解析式为，联立抛物线解析式，设，， 根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，，进而求得，代入，化简后得出，即，进而即可求解． 【详解】（1）解：由， 当时，，则 当， 解得： ∵在的右边 ∴，， （2）解：设直线的解析式为 将，代入得， 解得： ∴直线的解析式为 ∵ 设直线的解析式为 ∵在第三象限的抛物线上 设， ∴ ∴ ∴ 设的中点为，则 由，，设直线的解析式为， 将代入得， ， 解得： ∴直线的解析式为， ∵平分线段， ∴在直线上， ∴ 解得：（舍去） 当时， ∴； （3）解：如图所示，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∵点与原点关于点对称， ∴, 设直线的解析式为，直线的解析式为 联立直线与抛物线解析式可得，， 即 联立直线与抛物线解析式可得， 即 设，， ∴，，， ∴ ， ∵ ∴， 将代入得： ∴， ∴， ∴直线解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，一次函数与二次函数综合，中点坐标公式，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三 动态几何 1如图1，在中，，，，点O在边AB上，且，以点O为圆心，2为半径在AB的上方作半圆O，交AB于点D，E，交AC于点P．将半圆O沿AB向右平移，设点D平移的距离为． (1)在图1中，劣弧的长为________； (2)当半圆O平移到与边AC相切时，如图2所示． ①求x的值； ②已知M，N分别是边BC与上的动点，连接MN，求MN的最小值和最大值之和； (3)在半圆O沿边AB向右平移的过程中，当半圆O与的重叠部分是半圆O时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②MN的最小值和最大值之和为 (3)半圆O与的重叠部分是半圆O时，x的取值范围是 【分析】（1）本题主要考查利用扇形弧长公式计算劣弧长度，找到劣弧所对的圆心角是解决问题的关键，在利用公式求解． （2）本题主要考查利用切线的性质求x的值，其次利用点到直线距离求MN的最小值，由于M，N两点都是自由点，故可以直接算出MN的最大值，即当点M与点B重合时，点N与点D重合时，此时MN最大 （3）本题主要考查圆完全在三角形内部时的临界状态，即圆与三角形两条直角边分别相切时，即可求出x的取值范围． 【详解】（1）解：如下图，连接； ∵，； ∴； ∴劣弧 ． （2）①连接PO， ∵边AC与半圆O相切； ∴； ∵，； ∴； ∴； ②如下图，当时，OM与弧DE交于点N，此时MN最小； ∵； ∴； ∵； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴根据勾股定理可得， ∴； 如图2，当点M与点B重合时，点N与点D重合时，此时MN最大，；∴MN的最小值和最大值之和为． （3）解：x的取值范围是； 如图3，半圆O与BC相切，连接OP， ∴， ∴， ∴， ∴； 根据勾股定理可得，解得. ∵； ∴； ∴半圆O与的重叠部分是半圆O时，x的取值范围是. 四 阅读理解 1（2023·云南·中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． (1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或或或 【分析】（1）分与两种情况讨论论证即可； （2）当时，不符合题意，当时，对于函数，令，得，从而有或，根据整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数，从而有或或或或或或或，解之即可． 【详解】（1）解：当时，，函数为一次函数，此时，令，则，解得， ∴一次函数与轴的交点为； 当时，，函数为二次函数， ∵， ∴ ， ∴当时，与轴总有交点， ∴无论取什么实数，图象与轴总有公共点； （2）解：当时，不符合题意， 当时，对于函数， 令，则， ∴， ∴或 ∴或， ∵，整数，使图象与轴的公共点中有整点，即为整数， ∴或或或或或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）或或或（舍去）或（舍去）， ∴或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系以及二次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质以及数形相结合的思想是解题的关键． 五 开放探究 1（2023·河南·中考真题）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．      (1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，作关于轴对称的图形，再分别作关于轴和直线对称的图形和，则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；可以看作是向右平移得到的，平移距离为______个单位长度． (2)探究迁移：如图，中，，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作点关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图的情形解决以下问题： ①若，请判断与的数量关系，并说明理由； ②若，求，两点间的距离． (3)拓展应用：在（2）的条件下，若，，，连接．当与的边平行时，请直接写出的长． 【答案】(1)，． (2)①，理由见解析；② (3)或 【分析】（1）观察图形可得与关于点中心对称，根据轴对称的性质可得即可求得平移距离； （2）①连接，由对称性可得，，进而可得，即可得出结论； ②连接分别交于两点，过点作，交于点，由对称性可知：且，得出，证明四边形是矩形，则，在中，根据，即可求解； （3）分，，两种情况讨论，设，则，先求得，勾股定理求得，进而表示出，根据由（2）②可得，可得，进而建立方程，即可求解． 【详解】（1）（1）∵关于轴对称的图形，与关于轴对称， ∴与关于点中心对称， 则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为 ∵， ∴， ∵,关于直线对称， ∴， 即， 可以看作是向右平移得到的，平移距离为个单位长度． 故答案为：，．    （2）①，理由如下， 连接，    由对称性可得，， ∴， ②连接分别交于两点，过点作，交于点，      由对称性可知：且， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∴三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，   ∴， 在中，， ∵， ∴, ∴ （3）解：设，则， 依题意，， 当时，如图所示，过点作于点，    ∴ ∵，， ∴， ∴，则， 在中，， ∴，则， ∴ 在中，，则，， 在中，，   ， ∴ 由（2）②可得， ∵ ∴ ∴， 解得：； 如图所示，若，则，    ∵，则， 则， ∵，， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，旋转的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 2（2023·山西·中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．    (1)数学思考：谈你解答老师提出的问题； (2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．      ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；    ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．    【答案】(1)正方形，见解析 (2)①，见解析；② 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形； （2）①由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论；②设的交点为M，过M作于G，则易得，点G是的中点；利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果． 【详解】（1）解：四边形为正方形．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形为矩形． ∵， ∴． ∴矩形为正方形． （2）：①． 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵， ∴． 由（1）得， ∴． ②解：如图：设的交点为M，过M作于G， ∵， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点G是的中点； 由勾股定理得， ∴； ∵， ∴，即； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即的长为．      【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键． 六 新定义问题 1【定义新知】 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线． (1)如图1，在5×4的方格中，点A、B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使得是邻余线，点E、F在格点上； 【问题研究】 (2)如图2，已知四边形是以为邻余线的邻余四边形，，，，，求的长； 【问题解决】 (3)如图3是某公园的一部分，四边形是平行四边形，对角线交于点O，点E在上，是一个人工湖，是湖上的一座桥，现公园规划人员要在桥上修建一个湖心亭M，若的延长线与OB的交点为F，按规划要求M是的中点．已知米，米，米，，且四边形始终是以为邻余线的邻余四边形．规划人员经过思考后，在图纸上找出的中点N，连接，与的交点分别是点F和点M的位置．请问，按照规划人员的方法修建的湖心亭M是否符合规划的要求？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)符合要求，理由见解析 【分析】（1）利用网格的特征得到，即可得邻余四边形； （2）延长相交于点P，利用邻余四边形的性质得到，推出是等腰直角三角形，设，再利用勾股定理列式计算即可求解； （3）证明四边形是菱形，根据已知条件证明，由，证明，推出，据此求解即可． 【详解】（1）解：邻余四边形如图所示， ； （2）解：延长相交于点P， ∵四边形是以为邻余线的邻余四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，则，， 由勾股定理得，即， 整理得， 解得，(舍去)， ∴； （3）解：∵四边形始终是以为邻余线的邻余四边形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∵米，，米，的中点N， ∴米，米，米，米， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，理解邻余四边形的性质是解题的关键． 七直角坐标系中函数与几何的综合 1（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)的最小值为； (3)符合条件的点的坐标为或． 【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； （3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴，，， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∴新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 作关于直线的对称线得交抛物线于点， ∴， 设交轴于点， 由旋转的性质得到， 过点作轴，作轴于点，作于点， 当时，， 解得， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 2（2024·广东·中考真题）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． 【构建联系】 （1）求证：函数的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）设，则，用含的代数式表示出，再代入验证即可得解； （2）先由点B的坐标和k表示出，再由折叠性质得出，如图，过点D作轴，过点B作轴，证出，由比值关系可求出，最后由即可得解； （3）当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，进而即可求出k的取值范围． 【详解】（1）设，则， ∵轴， ∴D点的纵坐标为， ∴将代入中得：得， ∴， ∴， ∴， ∴将代入中得出， ∴函数的图象必经过点C； （2）∵点在直线上， ∴， ∴， ∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2， ∵函数的图象经过点A，C， ∴，， ∴， ∴， ∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E， ∴，， ∴， 如图，过点D作轴，过点B作轴， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴，， ∴， 由图知，， ∴， ∴； （3）∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形，， ∴，，， ∵轴， ∴直线为一，三象限的夹角平分线， ∴， 当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∵以点O为圆心，长为半径作，， ∴， ∴， ∴，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H， ∵, ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴, ∴当与的边有交点时，k的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的性质，反比例函数的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，轴对称的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$贵哥讲初中数学 2025年中考（广东省考卷专用）数学题号考点对应基础练（20） 收集了最近几年各市真题汇编 解答题（对应中考题号22-23小题） 一 几何证明与求解 1（2023·云南·中考真题）如图，是的直径，是上异于的点．外的点在射线上，直线与垂直，垂足为，且．设的面积为的面积为．    (1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，求常数的值． 2（2023·河北·中考真题）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，． 计算：在图1中，已知，作于点． （1）求的长． 操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点．    探究：在图2中 （2）操作后水面高度下降了多少？ （3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段与的长度，并比较大小． 二 函数性质的综合运用 1（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线交轴于，两点（在的右边），交轴于点． (1)直接写出点，，的坐标； (2)如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点作直线，交y轴于点．若平分线段，求点的坐标； (3)如图（2），点与原点关于点对称，过原点的直线交抛物线于，两点（点在轴下方），线段交抛物线于另一点，连接．若，求直线的解析式． 三 动态几何 1如图1，在中，，，，点O在边AB上，且，以点O为圆心，2为半径在AB的上方作半圆O，交AB于点D，E，交AC于点P．将半圆O沿AB向右平移，设点D平移的距离为． (1)在图1中，劣弧的长为________； (2)当半圆O平移到与边AC相切时，如图2所示． ①求x的值； ②已知M，N分别是边BC与上的动点，连接MN，求MN的最小值和最大值之和； (3)在半圆O沿边AB向右平移的过程中，当半圆O与的重叠部分是半圆O时，直接写出x的取值范围． 四 阅读理解 1（2023·云南·中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题． 同学们，请你结合所学的数学解决下列问题． 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数（实数为常数）的图象为图象． (1)求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点； (2)是否存在整数，使图象与轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数的值；若不存在，请说明理由． 五 开放探究 1（2023·河南·中考真题）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．      (1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点的直线轴，作关于轴对称的图形，再分别作关于轴和直线对称的图形和，则可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；可以看作是向右平移得到的，平移距离为______个单位长度． (2)探究迁移：如图，中，，为直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作点关于直线和直线的对称点和，连接，，请仅就图的情形解决以下问题： ①若，请判断与的数量关系，并说明理由； ②若，求，两点间的距离． (3)拓展应用：在（2）的条件下，若，，，连接．当与的边平行时，请直接写出的长． 2（2023·山西·中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．    (1)数学思考：谈你解答老师提出的问题； (2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．           六 新定义问题 1【定义新知】 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线． (1)如图1，在5×4的方格中，点A、B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使得是邻余线，点E、F在格点上； 【问题研究】 (2)如图2，已知四边形是以为邻余线的邻余四边形，，，，，求的长； 【问题解决】 (3)如图3是某公园的一部分，四边形是平行四边形，对角线交于点O，点E在上，是一个人工湖，是湖上的一座桥，现公园规划人员要在桥上修建一个湖心亭M，若的延长线与OB的交点为F，按规划要求M是的中点．已知米，米，米，，且四边形始终是以为邻余线的邻余四边形．规划人员经过思考后，在图纸上找出的中点N，连接，与的交点分别是点F和点M的位置．请问，按照规划人员的方法修建的湖心亭M是否符合规划的要求？请说明理由． 七直角坐标系中函数与几何的综合 1（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 2（2024·广东·中考真题）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． 【构建联系】 （1）求证：函数的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$