精品解析：黑龙江省哈尔滨市第四中学校2024-2025学年高二下学期期中数学试题

2023级高二下学期期中考试 数学试卷 2025.5.9 试卷满分:150分 考试时间：13:00—15:00 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 下列求导运算正确的是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的运算法则以及复合函数的求导法则逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D错. 故选：B. 2. 记等差数列的前项和为.若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质得到，再代入等差数列前项和公式计算． 【详解】由题知． 故选：A． 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. - C. -1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求导，代入2形成关于的方程求解即可. 【详解】根据题意，， 所以，解得， 故选：D. 4. 从1，2，3，4，5中任取两个不同的数，事件表示“取到的两数之和为偶数”，事件表示“取到的较大的数为奇数”，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用列举法求出事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的较大的数为奇数” 所包含的基本事件的个数，求出n（A），，再根据条件概率公式，即可得到结论． 【详解】事件“取到的两个数之和为偶数”所包含的基本事件有：、、、， （A）=4， 事件“取到的较大的数为奇数”所包含的基本事件有、、， ． 故选． 【点睛】本题主要考查条件概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 若点、、…、都落在直线上，则变量、的样本相关系数 B. 若，，则相应于样本点的残差为； C. 对具有线性相关关系的变量，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是3； D. 若决定系数越大，则模型的拟合效果越好 【答案】C 【解析】 【分析】选项A，通过直线方程得到斜率，去判断相关系数；选项B，计算残差即可判断；选项C，根据回归直线过样本点的中心求解判断；选项D，根据决定系数的意义即可判断. 【详解】选项A，直线的斜率，且所有样本点都落在直线上， 所以这组样本数据负相关，且样本相关系数达到最小值，即，故A正确； 选项B，相应于样本点的残差为，故B正确； 选项C，因为回归直线过样本点的中心， 所以，解得，故C错误； 选项D，由决定系数的意义可知，越大，模型的拟合效果越好，故D正确. 故选：C. 6. 展开式中的项数为（ ） A. 11 B. 12 C. 22 D. 【答案】B 【解析】 【分析】，再利用二项展开式定理展开即可求解． 【详解】因为 所以 则 共有12项， 故选：B． 7. 若一个三位数的各位数字之和等于，且各位数字允许重复（如，等），则这种三位数的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别在百位为的情况下，确定十位的选法数，进而得到满足条件的数的个数；根据分类加法计数原理，加和可得最终结果. 【详解】若百位为，则十位可从中任选一个数，有种选法，又各位数字之和等于，个位只有种选法，有个满足条件的数； 若百位为，则十位可从中任选一个数，此时个位只有种选法， 有个满足条件的数； 同理可知：若百位分别为，依次可得满足条件的数有个. 根据分类加法计数原理可知：这种三位数共有个. 故选：A. 8. 为保证华为尊界S800的预订活动顺利进行，现开通华为汽车APP、华为官网、华为商城3个预定通道，消费者选择其中一个通道进行预订．由AI对预订情况进行统计．实施更新预订数据．据统计，在有意向预订的消费者中，选择华为汽车APP、华为官网、华为商城预订的概率分别为、、，且对应预订成功的概率分别为、、，则在消费者预订成功的条件下，选择华为汽车APP预订的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设相应事件，利用全概率公式求，再根据条件概率公式运算求解. 【详解】记选择华为汽车APP、华为官网、华为商城预订分别为事件，预订成功为事件， 由题意可得：，， 则， 所以. 故选：C. 二、多选题：本大题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得零分. 9. 从6名男生、5名女生中选择3人担任班长、学习委员和体育委员，则下列结论正确的是（ ） A. 若所选的3人中有女生，则不同的选法有870种 B. 若所选的3人中恰有2名女生，则不同的选法有360种 C. 若班长由女生担任，则不同的选法有225种 D. 若担任班长和学习委员的学生性别不同，则不同的选法有540种 【答案】ABD 【解析】 【分析】由排列组合的知识求解即可. 【详解】若所选的3人中有女生，则不同的选法有种，则A正确． 若所选的3人中恰有2名女生，则不同的选法有种，则B正确． 若班长由女生担任，则不同的选法有种，则C错误． 若担任班长和学习委员的学生性别不同，则不同的选法有种，则D正确． 故选:ABD 10. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用赋值法即可逐一求解. 【详解】令，则，故A正确， 令可得，故，故B错误， 令可得，故，故C正确， 令可得，，故D错误， 故选：AC 11. 下列命题中，正确的命题是( ) A. 已知随机变量服从，若，则 B. 已知，则 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 某人在次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A：利用二项分布期望、方差公式计算判断； 选项B：由互斥事件概率的加法公式计算判断； 选项C：利用正态分布图象的对称性即可判断； 选项D：由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式,求出，，时的概率，通过解不等式求出的范围即可判断. 【详解】对于选项A：随机变量服从二项分布，，，可得，，则，选项A错误； 对于选项B：为必然事件，所以，而与互斥， ，选项B正确； 对于选项C：随机变量服从正态分布，则图象关于轴对称，若，则，，选项C正确； 对于选项D：因为在10次射击中，击中目标的次数为，， 当时，对应的概率， 所以当时，， 由得，即， 因为，所以且，又， 即时，概率最大，故选项D正确． 故选：BCD 【点睛】二项分布的概率公式，可用作商法确定其中的最大值或最小值． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共两3小题，共15分. 12. 已知（），则数列的前10项和_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由，结合裂项相消的方法即可求解. 【详解】由， 则， 故答案为：. 13. 某校高二年级选考某科的学生有200名，将他们该科的某次考试分数转换为等级分．若等级分，则这次考试等级分在内的人数约为______． 参考数据：，，． 【答案】95 【解析】 【分析】首先根据正态分布确定的值，然后根据对称性求出等级分在的概率，进而可求出人数. 【详解】根据题意可知，考试等级分服从正态分布， 则.而， 所以. 所以这次考试等级分在内的人数约为人. 故答案为：95. 14. 已知直线是曲线与的公切线，则________. 【答案】 【解析】 【分析】设设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点， 然后求出，，再根据导数的几何意义求出切线方程，联立切线方程即可求解. 【详解】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点， 由于，， 所以，，，， 所以由点在切线上，得切线方程为， 由点在切线上，得切线方程为， 故解得. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5题，共77分. 15. 已知数列中，，数列的前项和为，且． （1）求数列以及数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求，利用与的关系求即可； （2）利用分组求和即可. 【小问1详解】 因为数列中，， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，，所以， 当时成立， 综上，. 【小问2详解】 由（1）可知， 所以. 16. 某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查200人购买情况，得到如下列表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 100 20 女性 50 30 80 总计 50 200 （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ （3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取4人，设被抽取的4人中购买了款车的人数为，求的数学期望. 附：. 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1） （2）可以认为选购车的款式与性别有关 （3）1 【解析】 【分析】（1）根据列联表的数据直接求解即可； （2）先零假设，然后计算，再进行独立性检验即可； （3）先判断服从二项分布，再利用二项分布的期望公式求解即可. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 零假设为：选购新能源汽车的款式与性别无关联， 根据列联表中的数据，可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于； 【小问3详解】 随机抽取1人购买款车的概率为：， 的可能取值有0，1，2，3，4，依题意服从，， 因此，. 17. 已知函数． （1）求曲线与直线垂直的切线方程； （2）若过点的直线与曲线相切，求直线的方程． 【答案】（1） （2）切线方程为或． 【解析】 【分析】（1）设切线的切点为，由条件结合导数的几何意义及两直线垂直时它们的斜率的关系列方程求，再求即可求切线方程； （2）设切点的横坐标为，直线的斜率为，结合导数的几何意义列方程求，，利用点斜式求切线方程. 【小问1详解】 设曲线与直线垂直的切线的切点为，则， 切线的斜率为， 所以，， 所以切线方程为，即． 【小问2详解】 ，设切点的横坐标为，直线的斜率为， 则直线的方程：， 则， 则，整理得，所以， 当时，，切线方程为； 当时，，切线方程为． 所以切线方程为或． 18. 即多频道网络，是一种新的网红经济运行模式，这种模式将不同类型和内容的（专业生产内容）联合起来，在资本有力支持下，保障内容的持续输出，从而最终实现商业的稳定变现，在中国以直播电商、短视频为代表的新兴网红经济的崛起，使机构的服务需求持续增长．数据显示，近年来中国市场规模迅速扩大．下表为2018年年中国市场规模（单位：百亿元），其中2018年年对应的代码依次为． 年份代码x 1 2 3 4 5 中国市场规模y 1.12 1.68 2.45 3.35 4.32 （1）由上表数据可知，可用指数函数模型拟合y与x的关系， ①建立y关于x的回归方程； ②预测2025年中国市场规模（单位：百亿元）： （2）从2018年年中国市场规模中随机抽取3个数据，记这3个数据中与的差的绝对值小于1的个数为X，求X的分布列与期望． 参考数据： 2.58 0.84 46.83 15.99 其中． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 参考数据： 【答案】（1）①；②12.61 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）两边同时取自然对数得，设，则，从而将非线性方程转化为线性方程，利用题中数据可求得，，可得y关于x的回归方程，进而可预测2025年中国市场规模； （2）X的可能取值为1，2，3，计算出对应的概率，可得分布列，再利用期望公式计算期望即可． 【小问1详解】 两边同时取自然对数得． 设，则， 因为， 所以． 把代入，得， 所以，则， 所以，即y关于x的回归方程为． 2025年的年份代码是8， 故预测2025年中国市场规模为（单位：百亿元） 【小问2详解】 2018年年中国市场规模的5个数据中，与的差的绝对值小于1的数据有，共3个， 所以的可能取值为， ， 所以的分布列为 1 2 3 ． 19. 在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应用到国防军事方面，在2024年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有步的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的；记每次上一步台阶的概率为，上两步台阶的概率为；且每次上一步台阶用时，上两步台阶用时. （1）假设，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒? （2）若“机器狼”走3次后从地面到达第5步台阶的概率为，当取最大值时，求“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率. （3）若，记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为，其中，证明：数列是等比数列，并求. 【答案】（1） （2） （3） “机器狼”从地面上到第步台阶，它是由第步台阶上两步到达第步台阶，或由第步台阶上一步到达第步台阶， 记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为， 所以， 所以， 则， 又，， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 【解析】 【分析】（1）列出上完步台阶的走法，即可计算时间； （2）依题意可得，利用导数求出函数的单调性，即可求出取最大值时的值，再由相互独立事件的概率公式计算可得； （3）依题意可得，即可得到，即可证明，从而得到，再由累加法计算可得. 【小问1详解】 “机器狼”上完步台阶的走法有： 当时，用时； 当时，用时； 当时，用时； 所以“机器狼”上完这个台阶用时最少为秒； 【小问2详解】 依题意，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得最大值， “机器狼”从地面上到第7步台阶有，，，共4种情况， 则“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率； 【小问3详解】 所以， 所以 ， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高二下学期期中考试 数学试卷 2025.5.9 试卷满分:150分 考试时间：13:00—15:00 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 下列求导运算正确的是　　 A. B. C. D. 2. 记等差数列的前项和为.若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. - C. -1 D. 4. 从1，2，3，4，5中任取两个不同的数，事件表示“取到的两数之和为偶数”，事件表示“取到的较大的数为奇数”，则 A. B. C. D. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 若点、、…、都落在直线上，则变量、的样本相关系数 B. 若，，则相应于样本点的残差为； C. 对具有线性相关关系的变量，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是3； D. 若决定系数越大，则模型的拟合效果越好 6. 展开式中的项数为（ ） A. 11 B. 12 C. 22 D. 7. 若一个三位数的各位数字之和等于，且各位数字允许重复（如，等），则这种三位数的个数是（ ） A. B. C. D. 8. 为保证华为尊界S800的预订活动顺利进行，现开通华为汽车APP、华为官网、华为商城3个预定通道，消费者选择其中一个通道进行预订．由AI对预订情况进行统计．实施更新预订数据．据统计，在有意向预订的消费者中，选择华为汽车APP、华为官网、华为商城预订的概率分别为、、，且对应预订成功的概率分别为、、，则在消费者预订成功的条件下，选择华为汽车APP预订的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得零分. 9. 从6名男生、5名女生中选择3人担任班长、学习委员和体育委员，则下列结论正确的是（ ） A. 若所选的3人中有女生，则不同的选法有870种 B. 若所选的3人中恰有2名女生，则不同的选法有360种 C. 若班长由女生担任，则不同的选法有225种 D. 若担任班长和学习委员的学生性别不同，则不同的选法有540种 10. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题中，正确的命题是( ) A. 已知随机变量服从，若，则 B. 已知，则 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 某人在次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共两3小题，共15分. 12. 已知（），则数列的前10项和_________. 13. 某校高二年级选考某科的学生有200名，将他们该科的某次考试分数转换为等级分．若等级分，则这次考试等级分在内的人数约为______． 参考数据：，，． 14. 已知直线是曲线与的公切线，则________. 四、解答题：本大题共5题，共77分. 15. 已知数列中，，数列的前项和为，且． （1）求数列以及数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查200人购买情况，得到如下列表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 100 20 女性 50 30 80 总计 50 200 （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ （3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取4人，设被抽取的4人中购买了款车的人数为，求的数学期望. 附：. 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 17. 已知函数． （1）求曲线与直线垂直的切线方程； （2）若过点的直线与曲线相切，求直线的方程． 18. 即多频道网络，是一种新的网红经济运行模式，这种模式将不同类型和内容的（专业生产内容）联合起来，在资本有力支持下，保障内容的持续输出，从而最终实现商业的稳定变现，在中国以直播电商、短视频为代表的新兴网红经济的崛起，使机构的服务需求持续增长．数据显示，近年来中国市场规模迅速扩大．下表为2018年年中国市场规模（单位：百亿元），其中2018年年对应的代码依次为． 年份代码x 1 2 3 4 5 中国市场规模y 1.12 1.68 2.45 3.35 4.32 （1）由上表数据可知，可用指数函数模型拟合y与x的关系， ①建立y关于x的回归方程； ②预测2025年中国市场规模（单位：百亿元）： （2）从2018年年中国市场规模中随机抽取3个数据，记这3个数据中与的差的绝对值小于1的个数为X，求X的分布列与期望． 参考数据： 2.58 0.84 46.83 15.99 其中． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 参考数据： 19. 在这个科技飞速发展的时代，机器人和AI已应用到国防军事方面，在2024年的珠海航展上，中国“机器狗”升级成“机器狼”闪耀亮相，具备侦察、战斗和综合保障等功能，展现中国四足机器人技术进步，引发国内外关注.升级后的“机器狼”相比之前的“机器狗”有一特殊之处，无论是在平地上还是台阶上，“机器狼”的行进速度都相当之快，动作灵敏.为了展示“机器狼”上台阶的性能，在一个有步的台阶上，假设“机器狼”每次只能上一步或两步台阶，且每次上一步或两步台阶是随机的；记每次上一步台阶的概率为，上两步台阶的概率为；且每次上一步台阶用时，上两步台阶用时. （1）假设，“机器狼”上完这个台阶用时最少为多少秒? （2）若“机器狼”走3次后从地面到达第5步台阶的概率为，当取最大值时，求“机器狼”从地面上到第7步台阶用时最少的概率. （3）若，记“机器狼”从地面上到第步台阶的概率为，其中，证明：数列是等比数列，并求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $