2025年九年级数学中考复习中点四边形解题模型专项训练

2025年九年级数学中考复习 中点四边形解题模型专项训练 1．四边形，点E、F、G、H分别为边、、、的中点，于O，，． (1)求证：判定四边形为矩形． (2)求的长． 2．阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，分别是边的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． (1)菱形的中点四边形的形状是_______； (2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，分别为的中点，试判断四边形的形状并证明． (3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，则_______． 3．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点，顺次连接E、G、F、H． （1）求证：四边形EGFH是菱形． （2）当∠ABC与∠DCB满足什么关系时，四边形EGFH为正方形，并说明理由． （3）猜想：∠GFH、∠ABC、∠DCB三个角之间的关系，并证明你的猜想是成立的． 4．如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H． （1）判断四边形EFGH形状，并说明理由； （2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由． 5．如图，已知△ABC，点O是平面内不与点A，B，C重合的任意一点，连接OA，OB，OC，并顺次连接AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G得四边形DEFG． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）若使四边形DEFG为矩形，则OA与BC的位置关系是　 　；若使四边形DEFG为菱形，则OA与BC的数量关系　 　． 6．如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形． （1）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形． 在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． 7．四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的： ①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形； ②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形． （2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明． 8．如图，E、F、 G、H分别为四边形ABCD四边之中点． (1)求证：四边形EFGH为平行四边形； (2)当AC、BD满足______时，四边形EFGH为矩形． 9．给出下列定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形. （1）如图1，四边形中，点，，，分别为边、、、的中点，则中点四边形形状是_______________. （2）如图2，点是四边形内一点，且满足，，，点，，，分别为边、、、的中点，求证：中点四边形是正方形. 10．如图，点是内任意一点，、、分别为、、的中点，为上一动点，问四边形能否为平行四边形？若可以，指出点位置，并给予证明； （填空，使下列命题成立，不要求证明）如图，点、、、分别为、、、的中点． ①当________时，四边形为矩形； ②当________时，四边形为菱形； ③当________时，四边形为正方形． 11．如图，已知矩形，，，是上一动点，、、分别是、、的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）四边形有可能是矩形吗？若有可能，求出的长；若不可能，请说明理由． 12．在四边形中，的中点分别为P、Q、M、M； （1）如图1，试判断四边形怎样的四边形，并证明你的结论； （2）若在上取一点E，连结，，恰好和都是等边三角形（如图2）： ①判断此时四边形的形状，并证明你的结论； ②当，，求此时四边形的周长（结果保留根号）． 13．定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点作为和美四边形的中心． （1）写出一种你学过的和美四边形______； （2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是（    ） A．矩形      B，菱形       C．正方形        D．无法确定 （3）如图1，点O是和美四边形的中心，分别是边的中点，连接，记四边形的面积为，用等式表示的数量关系（无需说明理由） （4）如图2，四边形是和美四边形，若,求的长． 14．问题背景： △ABC和△CDE均为等边三角形，且边长分别为a，b，点D，E分别在边AC，BC上，点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点，连接FG，GH，HI，IF 猜想证明： (1)如图①，判断四边形FGHI是什么特殊四边形，并说明理由． (2)当a＝6，b＝2时，求四边形FGHI的周长． 拓展延伸： (3)如图②，当四边形FGHI是正方形时，连接AE，BD相交于点N，点N，H恰好在FC上．求证：△ABN和△DEN均为等腰直角三角形． 15．定义：对角线相等且所夹锐角为的四边形叫“等角线四边形”． 如图1，四边形为“等角线四边形”，即． 判定探究： (1)下列语句能判断四边形是“等角线四边形”的是 ．（填序号） ①对角线所夹锐角为的平行四边形； ②对角线所夹锐角为的矩形； ③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形． (2)性质探究：以为边，向下构造等边三角形，连接BE，如图2，请直接写出与的大小关系； (3)请判断与的大小关系，并说明理由； (4)学习应用：若“等角线四边形”的对角线长为4，则该四边形周长的最小值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级数学中考复习中点四边形解题模型专项训练》参考答案 1．(1)见解析 (2)5 【分析】此题考查中点四边形，三角形的中位线定理，矩形的判定，勾股定理，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判定及矩形的判定进行证明． （1）首先利用三角形的中位线定理证得四边形为平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可； （2）利用三角形的中位线性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵点E、F、G、H分别为边、、、的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴，即， ∴四边形是矩形． （2）解：连接， ∵，， ∴，，又， ∴． 2．(1)矩形 (2)四边形为菱形；证明见解析 (3) 【分析】（1）由菱形的性质及矩形的判定可得出答案； （2）连接、，由等边三角形的性质得出，，，证出，由证明，得出，由三角形中位线定理得出，，，，，得出，，证出四边形是平行四边形；再得出，即可得出结论； （3）连接交于O，连接，当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，再证明即可求得答案． 【详解】（1）解：如图， 四边形是菱形时，连接各边中点，得到四边形， 根据中位线性质得到，， ∴， 同理可得， ∴为平行四边形， 又∵是菱形， ∴，则， ∴为矩形． 故答案为：矩形； （2）解：四边形为菱形．理由如下： 连接与，如图2所示： ∵和为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ，，，分别是边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，，， ，， 四边形是平行四边形； ， ， 四边形为菱形； （3）解：如图3，连接交于O，连接、， 当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， 由性质探究知：， 又∵M，N分别是的中点， ∴，， ∴， ∴的最小值， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵N，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，平行四边形、矩形、菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，利用前面得出的结论解决新问题是解题的关键． 3．（1）见解析（2）当∠ABC＋∠DCB＝90°时，四边形EGFH为正方形（3）∠GFH＋∠ABC＋∠DCB＝180° 【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到EG＝AB，EH＝CD，HF＝AB，EGAB，HFAB，根据菱形的判定定理即可得到结论； （2）根据平行线的性质得到∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB，根据平角的定义得到∠GFH＝90°，于是得到结论； （3）由平行线的性质得到∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB，根据平角的定义即可得到结论． 【详解】解：（1）∵E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点， ∴EG＝AB，EH＝CD，HF＝AB，EGAB，HFAB， ∴四边形EGFH是平行四边形，EG＝EH， ∴四边形EGFH是菱形； （2）当∠ABC＋∠DCB＝90°时，四边形EGFH为正方形， 理由：∵GFCD，HFAB， ∴∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB， ∵∠ABC＋∠DCB＝90°， ∴∠GFH＝90°， ∴菱形EGFH是正方形； （3）∠GFH＋∠ABC＋∠DCB＝180°， 理由：∵GFCD，HFAB， ∴∠ABC＝∠HFC，∠DCB＝∠GFB， ∵∠BFG＋∠GFH＋∠HFC＝180°， ∴∠GFH＋∠ABC＋∠DCB＝180°． 【点睛】本题考查了中点四边形，菱形的判定和性质，正方形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 4．（1）平行四边形，理由见解析；（2）菱形，理由见解析 【分析】（1）连接AC，根据三角形中位线定理即可证得； （2）连接BD ，由（1）得，四边形EFGH是平行四边形，再由三角形中位线定理，证得邻边相等，即可证得菱形． 【详解】（1）四边形EFGH为平行四边形，理由如下： 连接AC，如图， 在△ABC和△ADC中， ∵EF、GH分别为其中位线， ∴EF∥AC,且EF=AC; GH∥AC且GH=AC ， ∴EF=GH，EF∥GH， ∴四边形EFGH为平行四边形； （2）若AC=BD, 则四边形EFGH为菱形， 连接BD ，如图， 在△BCD中， ∵GF为其中位线， ∴GF=BD ， ∵EF=AC（已证），且AC=BD， ∴EF=GF ， 又∵四边形EFGH为平行四边形（已证）， ∴四边形EFGH为菱形． 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理．连接三角形两边中点的线段，平行且等于第三边的一半． 5．（1）见解析；（2）OA⊥BC，OA＝BC 【分析】（1）根据三角形中位线的性质可得DGBC，DG＝BC，EFBC，EF＝BC，进而可得DGEF，DG＝EF，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论； （2）由矩形的判定和菱形的判定可得出答案． 【详解】（1）证明：∵D、G分别是AB、AC的中点， ∴DGBC，DG＝BC， ∵E、F分别是OB、OC的中点， ∴EFBC，EF＝BC， ∴DG＝EF，DGEF， ∴四边形DEFG是平行四边形； （2）解：当四边形DEFG是矩形，OA⊥BC． 由三角形中位线性质得∠EDG＝90°， 所以平行四边形DEFG是矩形． 当OA＝BC时，四边形DEFG是菱形． 由三角形中位线性质得DE＝EF， 所以平行四边形DEFG是菱形． 故答案为：OA⊥BC，OA＝BC． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形的中位线，矩形的判定，菱形的判定，解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形． 6．平行四边形；（1）AC＝BD，理由见解析；（2）AC⊥BD，理由见解析；（3）AC＝BD且AC⊥BD，理由见解析； 【分析】连接AC，BD，可以根据E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，得到线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线，由中位线定理可以证明四边形EFGH为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案. 【详解】解：四边形EFGH为平行四边形； 连接AC，BD ∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点 ∴线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线 ∴，，，， ∴， ∴四边形EFGH为平行四边形； （1）AC＝BD， 理由：如图①四边形ABCD的对角线AC＝BD， ∵四边形EFGH为平行四边形，且，， ∴EH＝GH， ∴平行四边形EFGH为菱形． （2）AC⊥BD， 理由：如图②四边形ABCD的对角线互相垂直， ∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点 ∴线段EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ACD、△ABD的中位线 ∴，， ∵AC⊥BD， ∴EF⊥HE， ∵四边形EFGH为平行四边形． ∴四边形EFGH为矩形． （3）AC＝BD且AC⊥BD， 理由：如图③四边形ABCD的对角线相等且互相垂直， 综合（1）（2）可得四边形EFGH为正方形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 7．（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形见解析 【分析】（1）①连接AC、BD，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH都是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明； ②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明； （2）分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD，证明，得到AC=DB，根据（1）①证明即可． 【详解】（1）解：（1）①连接AC、BD， ∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点， ∴EH∥BD，FG∥BD， ∴EH∥FG， 同理EF∥HG， ∴四边形EFGH都是平行四边形， ∵对角线AC=BD， ∴EH=EF， ∴四边形ABCD的中点四边形是菱形； ②当对角线AC⊥BD时，EF⊥EH， ∴四边形ABCD的中点四边形是矩形； 故答案为：菱；矩； （2）四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形．理由如下： 分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵，∴，∴，， 在和中， ， ∴，∴， ∴四边形ABCD的对角线相等，中点四边形EFGH是菱形． 【点睛】本题考查的是矩形、菱形的判定、中点四边形的定义，掌握中点四边形的概念、矩形的判定定理、菱形的判定定理是解题的关键． 8．（1）见解析；（2）AC⊥BD 【分析】（1）连接BD，根据中位线的性质可得EH∥BD，EH=，FG∥BD，FG=，从而得出EH∥FG，EH= FG，然后根据平行四边形的判定定理即可证出结论； （2）当AC⊥BD时，连接AC，根据中位线的性质可得EF∥AC，从而得出EF⊥BD，然后由（1）的结论可证出EF⊥EH，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证出结论． 【详解】（1）证明：连接BD ∵E、F、 G、H分别为四边形ABCD四边的中点 ∴EH是△ABD的中位线，FG是△CBD的中位线 ∴EH∥BD，EH=，FG∥BD，FG= ∴EH∥FG，EH= FG ∴四边形EFGH为平行四边形； （2）当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形，理由如下 连接AC， ∵E、F为BA和BC的中点 ∴EF为△BAC的中位线 ∴EF∥AC ∵AC⊥BD ∴EF⊥BD ∵EH∥BD ∴EF⊥EH ∴∠FEH=90° ∵四边形EFGH为平行四边形 ∴四边形EFGH为矩形 故答案为：AC⊥BD． 【点睛】此题考查的是中位线的性质、平行四边形的判定和矩形的判定，掌握中位线的性质、平行四边形的判定定理和矩形的定义是解决此题的关键． 9．(1) 平行四边形;(2)见解析 【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可． （2）首先证明四边形EFGH是菱形．再证明∠EHG=90°．利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明． 【详解】（1）证明：如图1中，连接BD． ∵点E，H分别为边AB，DA的中点， ∴EH∥BD，EH=BD， ∵点F，G分别为边BC，CD的中点， ∴FG∥BD，FG=BD， ∴EH∥FG，EH=GF， ∴中点四边形EFGH是平行四边形． 故答案为平行四边形； （2）证明：如图2中，连接，. ∵，∴即， 在和中， ， ∴， ∴ ∵点，，分别为边，，的中点， ∴，， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形. 如图设与交于点.与交于点，与交于点. ∵， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形. 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线. 10．（1）当F为BC中点时，四边形GDEF为平行四边形.，证明详见解析；（2）①DB⊥AC；②DB=AC；③DB⊥AC，且DB=AC． 【分析】（1）当F为BC中点时，四边形GDEF为平行四边形，根据三角形的中位线定理可得GF∥AB，且GF=AB；DE∥AB，且DE=AB；所以GF∥DE，且GF=DE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得四边形GDEF为平行四边形；（2）①当DB⊥AC时，四边形为矩形，由（1）的方法可证得四边形为平行四边形，由DB⊥AC及平行线的性质可证得∠HEF=90°，根据有一个角为直角的平行四边形是矩形，即可判定四边形为矩形；②当DB=AC时，四边形为菱形，由（1）方法证得四边形为平行四边形，由DB=AC及三角形的中位线定理易证HE=EF，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定四边形为菱形；③当DB⊥AC，且DB=AC时，四边形为正方形，综合①②的方法即可证明四边形为正方形． ，从而得出为平行四边形． 【详解】（1）当F为BC中点时，四边形GDEF为平行四边形. 证明：∵G、F分别是AC、BC中点 ∴GF∥AB，且GF=AB； 同理可得，DE∥AB，且DE=AB； ∴GF∥DE，且GF=DE， ∴四边形GDEF是平行四边形. （2）①当DB⊥AC时，四边形为矩形； ②当DB=AC时，四边形为菱形； ③当DB⊥AC，且DB=AC时，四边形为正方形． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定及性质，以及矩形、菱形、正方形的判定，考查的知识点较为全面，难度也不大． 11．（1）见解析；（2）当AP=2或AP=8时，四边形PMEN是矩形． 【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明． （2）四边形PMEN是矩形的话，∠DPC必需为90°，设PA＝x，PB＝10-x，利用勾股定理，列方程，即可求解． 【详解】（1）证明：∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点， ∴ME是△PCD的中位线，NE是△PCD的中位线， ∴ME∥PC，EN∥PD， ∴四边形PMEN是平行四边形； （2）当AP=2或AP=8时，四边形PMEN是矩形，理由如下： 若四边形PMEN是矩形，则∠DPC＝90° 设PA＝x，PB＝10-x， DP=，CP=， ∵DP2＋CP2＝DC2， ∴16＋x2＋16＋（10-x）2＝102，即：x2-10x＋16＝0 解得：x＝2或x＝8． ∴当AP＝2或AP＝8时，四边形PMEN是矩形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定定理和性质以及勾股定理，掌握矩形的四个角都是直角，是解题的关键． 12．（1）平行四边形，理由见解析；（2）①菱形，证明见解析；② 【分析】（1）连接、．利用三角形中位线定理判定四边形的对边平行且相等，易证该四边形是平行四边形； （2）①设的边长是，的边长是，由于，，可得平行四边形的对角线相等，从而得出平行四边形是菱形； ②如图2，过点作于，则通过解三角形求得，由勾股定理得到．由①知四边形是菱形，可计算得周长是． 【详解】解：（1）如图1，连接、． 为的中位线， 且， 同理且． 且， 四边形为平行四边形； （2）①四边形是菱形， 如图2，连接AC，BD， ∵△ADE和△BCE都是等边三角形， ∴AE=DE，CE=BE，∠AED=∠BEC=60°， ∴∠AEC=∠DEB， ∴△AEC≌△DEB， ∴AC=BD， ∵点M，N是AD，CD的中点， ∴MN是△ADC的中位线， ∴MN=AC， 同理：PN=BD， ∴MN=PN， 由（1）知，四边形PQMN是平行四边形， ∴平行四边形PQMN是菱形； ②过点作于，则， 又， ， 由①知四边形是菱形，可计算得周长是． 【点睛】本题考查了中点四边形以及菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，解题时，利用了三角形中位线的性质定理． 13．（1）正方形；（2）A；（3）S1+S3=S2+S4；（4） 【分析】（1）根据正方形的对角线互相垂直解答； （2）根据矩形的判定定理解答； （3）根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答； （4）根据和美四边形的定义、勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）正方形是学过的和美四边形， 故答案为：正方形； （2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是矩形， 如图，四边形ACBD中，对角线AB⊥CD，即为“和美四边形”， 点E、F、G、H分别是AC、AD、BD、BC的中点， ∴EF∥CD∥HG，且EF=HG=CD， EH∥FG∥AB，且EH=FG=AB， ∴四边形EFGH为平行四边形， ∵AB⊥CD， ∴EF⊥EH， ∴平行四边形EFGH是矩形； 故选：A． （3）连接AC和BD，由和美四边形的定义可知，AC⊥BD， 则∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°， 又E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点， ∴△AOE的面积=△BOE的面积，△BOF的面积=△COF的面积，△COG的面积=△DOG的面积，△DOH的面积=△AOH的面积， ∴S1+S3=△AOE的面积+△COF的面积+△COG的面积+△AOH的面积=S2+S4； （4）如图，连接AC、BD交于点O，则AC⊥BD， ∵在Rt△AOB中，AO2=AB2-BO2， Rt△DOC中，DO2=DC2-CO2，AB=4，BC=2，CD=5， ∴可得AD2=AO2+DO2=AB2-BO2+DC2-CO2=AB2+DC2-BC2=42+52-22=37， 即可得． 【点睛】本题考查的是和美四边形的定义、矩形的判定、勾股定理的应用，正确理解和美四边形的定义、掌握矩形的判定定理是解题的关键． 14．(1)四边形FGHI是菱形．理由见解析 (2)四边形FGHI的周长为 (3)见解析 【分析】（1）根据△ABC和△CDE为等边三角形，可得四边形ABED是等腰梯形，再根据点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点，即可得出FG=IH=FI=GH，进而得到四边形FGHI是菱形； （2）过A作AM⊥BC于M，连接AE，再根据勾股定理，求得Rt△ACM中，AM=3，Rt△AEM中，AE=2，由（1）可得，四边形FGHI是菱形，且AE=2FG，即可得出四边形FGHI的周长=4FG=2AE； （3）由点F为AB的中点，△ABC和△CDE均为等边三角形，所以直线CF为△ABC和△CDE的对称轴，则有AN＝BN，DN＝EN，再利用三角形中位线得FGAEIH，FIBDGH，则FGAEIH，FIBDGH，又由四边形FGHI是正方形，得∠FNA＝∠FHI＝45°，∠FNB＝∠FHG＝45°，即可得∠ANB＝∠FNA+∠FNB＝90°，∠DNE＝90°，即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形FGHI是菱形. 理由：如图①，连接AE,BD， ∵△ABC和△CDE均为等边三角形， ∴AC＝BC,EC＝DC， 在△AEC和△BDC中， ， ∴△AEC≌△BDC(SAS)， ∴AE＝BD， ∵点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点， FG＝AE＝IH.FI＝BD＝CH. ∴FG＝GH＝IH＝FI. ∴四边形FGHI是菱形； （2）解：如图②，过点D作DM⊥EC于点M， ∵△CDE为等边三角形， ∴MC＝EC＝×2＝1，∠C＝60°， ∴BM＝BC－MC＝6－1＝5， 在Rt△DMC中，DM＝， 在Rt△BDM中，BD＝， ∴GH＝BD＝， 由(1)知四边形FGHI是菱形， ∴.四边形FGHI的周长为4GH＝4. （3）解：∵点F为AB的中点，△ABC和△CDE均为等边三角形， ∴直线CF为△ABC和△CDE的对称轴. ∴AN＝BN，DN＝EN， ∵点F，G，H，I分别为AB，BE，ED，AD的中点， ∴FGAE，IHAE，FIBD，GHBD. ∴.FGAEIH，FIBDGH， ∵四边形FGHI是正方形， ∴∠FNA＝∠FHI＝45°，∠FNB＝∠FHG＝45° ∴.∠ANB＝∠FNA+∠FNB＝90°，∠DNE＝90°. ∴△ABN和△DEN均为等腰直角三角形. 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的判定，正方形的性质，中点四边形，三角形中位线定理，勾股定理的综合应用，解决问题的关键是依据三角形中位线定理． 15．(1)②③ (2) (3) (4) 【分析】（1）根据定义即可求解． （2）证明四边形是平行四边形，根据即可求解； （3）先构造平行四边形，可得对应线段相等，再求出，构造直角三角形求出，即可得出答案； （4）根据（2）（3）的结论代入数据即可求解． 【详解】（1）解：对角线所夹锐角为的平行四边形的对角线不一定相等， 则不能判①是“等角线四边形”； ②对角线所夹锐角为的矩形，对角线相等，且所夹锐角为，故②是“等角线四边形”； ③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形，则四边形的对角线相等，故③是“等角线四边形”． 故答案为：②③； （2）解：是等边三角形 ，， ， 四边形是平行四边形 中， 即； （3）解：如图，过作，且，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 过点C作，交于点H， ∵， ∴． 在中，， ∴ 则 ∴ （4）解：若“等角线四边形”的对角线长为4，则 由（2）（3）可得， ． 该四边形周长的最小值为． 【点睛】本题考查了四边形综合问题，新定义问题，含30度角的直角三角形的性质，平行四边的性质与判定，中点四边形性质，掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$