第8章一元二次方程 期末复习综合练习题 2024-2025学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

2024-2025学年鲁教版（五四学制）八年级数学下册《第8章一元二次方程》 期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．已知一元二次方程配方后可变形为，则k的值为（   ） A．38 B．37 C．36 D．35 3．已知，是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A． B．2 C． D．－2 4．关于一元二次方程根的判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．两根和等于 D．两根积等于2 5．设a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（   ） A．或 B． C． D． 6．一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 7．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的两个根．则该三角形的周长是（   ） A．8 B．10 C．8或10 D．8或9或10 8．党的二十大报告指出：从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2022年我国约为121万亿元，如果每年按相同的增长率增长，2024年我国约为135万亿元，若设每年增长率为x，则方程可列为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．当 时，关于x的方程有两个相等的实数根． 10．如果，那么 ． 11．一元二次方程（，，为常数，）根的判别式．若此方程的一个根，则其另一个根 ． 12．若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 13．若有一个人患了某传染病，经过两轮传染后共有25个人患了该传染病，则每轮传染中平均一个人传染了 人． 14．边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程的两根，则该直角三角形的斜边长为 ． 15．一花店用500元购进了一批产品，按的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完，经计算，这批产品共盈利67元，若两次打折相同、则每次打了 折 16．《代数学》中记载，形如的方程求正数解的几何方法是：“如图①，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解决了关于x的方程，构造图②，已知阴影部分的面积为60，则该方程的正数解为 ．    三、解答题（满分72分） 17．解方程 (1)； (2) 18．已知关于x的方程 (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根； (2)若一元二次方程满足，求k的值． 19．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为． (1)求此时花圃边的长； (2)花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由． 20．关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围． (2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． (3)若方程的两个实数根为，满足，求此时的值． 21．春节过后，某店铺销售黄油年糕特别火爆，经市场调查发现，销售单价定为17元/盒时，日销售量为100盒．销售单价每降低1元，日销售量将增加25盒．已知销售单价不低于成本价．当店铺将销售单价降低1元时，日销售利润为1000元． (1)当销售单价降低为元/盒时，黄油年糕的日销售量是多少？（用含的代数式表示） (2)求黄油年糕每盒的成本价； (3)端午节，为了尽可能让利顾客，扩大销售，店铺采用了降价促销的方式，当销售单价（元/盒）定为多少时，日销售利润为1050元？ 22．对于一元二次方程，如果方程有两个实数根为，那么；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540-1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：已知一元二次方程两个实数根分别为，，求的值．小明给出了一部分解题思路： 解：（1）一元二次方程的两个实数根分别为，， _____， _____， _____，请填空； （2）一元二次方程的一个根为，则_____，另一个根为_____； （3）关于的一元二次方程：有两个实数根，且这两个实数根的平方和是21，求的值． 23．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 参考答案 1．解：A、含有两个未知数，是二元一次方程，故本选项错误； B、是一元一次方程，故本选项错误； C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误． 故选：C． 2．解：∵， ∴， 则 ∴， 故选：D． 3．解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， 故选：B． 4．解：由条件可知， 故有两个不相等的实数根， 设是一元二次方程的两个根， ∴； 故选：D． 5．解：∵a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴由可得：， ∵， ∴， ∴， 解得：或， 由题意可得， 解得：， ∴， 故选：B． 6．解：由题知， 将一元二次方程中的“”用“”替换， 可得方程， 因为一元二次方程的两根分别为，1， 所以或1， 解得或2， 即方程的两根分别为，． 故选：D． 7．解：， ， 或， ∴， 当腰为2，底为4时，因为，不符合三角形三边的关系，舍去， 当腰为4，底为2时，三角形的周长为． 故选：B． 8．解：设每年增长率为x，根据题意可列方程为： ， 故选：C． 9．解∶根据题意得 解得 即当时，关于x的方程有两个相等的实数根． 故答案为：2． 10．解：令， 则原方程可化为， 整理得，， 或 解得或m， ∴或（无意义，舍去）， 故答案为：． 11．解：∵， ∴方程有两个相等的实数根， ∴； 故答案为：． 12．解：∵α，β是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 则 ， 故答案为：4051． 13．解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意，得 ， 解得. 所以每轮传染中平均一个人传染4个人. 故答案为：4. 14．解：设直角三角形两直角边长为，则， ∵方程的根为整数， ∴为完全平方数， 设 整理得， ①当时， ∴ 解得（舍去）； ②当时， ∴ 解得， ∴直角三角形的斜边长为； ②当时， ∴ 解得， ∴直角三角形的斜边长为； 综上，该直角三角形的斜边长为13或10. 故答案为：13或10. 15．解：设每次打了折， 由题意得，， 解得：，（舍去）， 每次打了9折． 故答案为：9． 16．解：由得， ∵阴影部分的面积为60， ∴， 根据题意，得， ∴， ∴大正方形的面积为， ∴方程的正数解为， 故答案为：． 17．（1）解：，即 ∴，则， ∴， ∴，； （2）解：， ∴，即， ∴或， ∴，． 18．（1）证明：当，即时，原方程为， 解得：； 当，即时，， ∴方程有实数根． 综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根； （2）解：∵， ∴， ∴，，且， ， 解得：或， 经检验或是原方程的解． 故k的值为或． 19．（1）解：设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米， ∵墙的最大可用长度为， ∴，解得： 由题意可得：， 整理得：，解得：或（舍弃）． 答：花圃边的长为4米． （2）解：花圃的面积不能达到，理由如下： 令， 整理得：， 因为， 所以方程无解，即花圃的面积不能达到． 20．（1）解：根据题意得：，     解得； （2）解：∵是符合条件的最大整数， ∴的值为6， ∴方程变形为， 解得， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，， 解得：， ∵， ∴； 当时，， 解得：， ∴的值为． （3）解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 21．（1）解：由题意，得：当销售单价降低为元/盒时，黄油年糕的日销售量是盒； （2）设成本为元，由题意，得：， 解得：； 答：黄油年糕每盒的成本价为8元； （3）由题意，得：， 解得：或， ∵为了尽可能让利顾客，扩大销售， ∴， 此时售价为：元； 答：销售单价（元/盒）定为14时，日销售利润为1050元． 22．解：（1）∵一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3，，； （2）∵一元二次方程的一个根为， ∴，， 解得：，， 故答案为：，； （3）设关于x的一元二次方程有两个实数根为，， ∴， ∵这两个实数根的平方和是21， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴不符合题意， ∴． 23．（1）解：， ， ， 的最大值为； （2） ， ， ； （3） ，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动 点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ， S的最小值为20． 学科网（北京）股份有限公司 $$