精品解析：浙江省北斗星盟2024-2025学年高二下学期阶段性联考数学试题

2024学年第二学期浙江北斗星盟阶段性联考 高二年级数学试题 命题学校：余杭高级中学 东阳中学 审题学校：严州中学 考生须知： 1.本卷共4 页满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名；考场号、座位号写在指定位置； 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题纸. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 2或3 2. 定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 3. 命题p：函数的图象关于直线对称；命题，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知m，n为空间中不重合的直线，为不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 在空间四边形ABCD中， M、N分别是AB、CD的中点， 且.设 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 杭州“六小龙”企业(宇树科技、深度求索、游戏科学、群核科技、强脑科技、云深处科技)在科技领域大放异彩.现从这6家企业中选出4家，分别派往A、B、C、D四个不同的科技交流活动进行成果展示，且必须同时满足条件：①宇树科技和深度求索中至少有一家被选中；②若宇树科技被选中，则必须去A活动，若深度求索被选中，则不能去D活动.则不同的安排方式种数是（ ） A. 96 B. 120 C. 240 D. 336 8. 已知连续型随机变量ξ服从正态分布， 记函数， 则f(x)的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点 成中心对称 D. 关于点 成中心对称 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得满分，部分选对的得部分分. 9. 已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知、是曲线上的两个动点， 则（ ） A. 曲线是中心对称图形 B. 曲线有且只有两条渐近线 C. 若、分别在第二象限和第四象限，则的最小值为 D. 曲线和圆恰好有个公共点 11. 甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为，乙胜的概率为.用表示“在甲所得筹码为枚时，最终甲获胜的概率”，则（ ） A. 第一局比赛后甲的筹码个数记为，则期望 B. 四局比赛后，比赛结束的概率为 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________________. 13. 的展开式中的系数为_________________. 14. 已知不等式对任意实数都成立，则实数的值为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某社区卫生服务中心为分析居民的健康状况，对辖区内200位居民进行了抽样调查. （1）从200位居民中随机抽取5名，记录其每周运动时间x(小时)与健康指数y，数据见表1.求运动时间与健康指数的一元线性回归方程，并计算运动时间为7小时的居民健康指数的残差. 运动时间x 3 4 5 6 7 健康指数 y 60 70 85 95 90 表一 （2）为研究性别与是否患有慢性病的关系，统计得到200位居民的数据如表2所示.根据小概率值 (表3)的独立性检验，推断性别与是否患有慢性病是否有关联. 性别 患有慢性病 未患慢性病 合计 男性 30 70 100 女性 20 80 100 合计 50 150 200 表二 α 0.1 0.05 0.01 0.005 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 表三 附： 16. 在中,，, 将 绕着CD旋转得到三棱锥 （1）求三棱锥 体积的最大值. （2）若平面 平面，求平面 与平面BCD夹角的余弦值. 17. 已知是函数图象上的点. （1）当时， 求函数f(x)在点)处的切线方程. （2）若，点P 处的切线l与曲线 有且仅有一个公共点，求实数a的取值范围. 18. 设A，B两点的坐标分别为，， 直线AP，BP相交于点P， 且它们的斜率之积为，设点P的轨迹为曲线E. （1）求曲线E的标准方程； （2）若直线l过点， 与曲线E交于C，D两点， C在x轴上方， 直线AC，BD交于点M ， 直线AD，BC 交于点N. 记A，B到直线l的距离分别为 （i）证明：；（ii）求的面积最小值. 19. 已知n行n列()的数表中，对任意的，，都有.若当时，总有，则称数表A为典型表，此时记. （1）若数表，，请判断B，C是否为典型表，并说明理由； （2）当时，是否存在典型表A使得，若存在，请写出一个A；若不存在，请说明理由； （3）记的最小值为求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 2024学年第二学期浙江北斗星盟阶段性联考 高二年级数学试题 命题学校：余杭高级中学东阳中学审题学校：严州中学 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟： 2答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名：考场号、座位号写在指定位置： 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效： 4.考试结束后，只需上交答题纸 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.设i为虚数单位，若复数2=(a-5a+6)+(a-21是纯虚数，则实数a的值为() A.2 B.3 C.5 D.2或3 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数是纯虚数，令实部为0，虚部不为0即可求出的值. 【详解】因为2=(a-5a+6)+(a-i=(a-2(a-3列+(a-21是纯店数， 所以(a-2a-3)=0.且a-2≠0， 解得a=3】 故选：B, 第1页/共26页 6学科网命组卷网 2定义袋合4，B的对称差集AB={到x∈AUB且x至AnB}.已知架合 A={1,2,3},B={2,3,4,C={4,5} 下列结论正确的是() A.A△B=1,4} B.A△☑=O C(A△B)aC≠Aa(BaC)D.若AaB=A,则 B≠☑ 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设新定义的概念以及集合的基本运算法则计算即可得结果 【详解】对于A,由4=，2,3，B={2,34,C={4,5},则4UB={L23,4,AnB={2,3). 所以△B=孔，4，放A正确： 对于B,由 UO=4A∩☑=0，所以4aO=A,放B错误： 对于C,由MaB)UC=,4,5,(MaB)nC={4,则AB)AC={L,5} 由BUC=2,34,5},BnC={4,则BaC={23,5} 所以4U(BaC9=L2,35},An(BaC9={2,3},则Aa(BaCO={1,5} A△B)△C=AA(B△C) 所以 故C错误： 对于D,当B=⑦时，结合选项B知，A△B=A,故D错误 故选：A 3命题：函数f付=sin(2x+)的图象关于直线x骨对称：命题9：pC+2ckc乙，则p是g的《 6 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 第2页/共26页 命学科网命组卷网 【分析】根据三角函数的图象与性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【时解1当9=g+2keZ时，可得e=m2r+2a+爱=s(2x+爱。 6 6 比时原=2+爱=m经1，即x骨是道数f代)的一条对春铺。 36 2 所以必要性成立； 当线C关打直线x=胥对，即写=n2×号+p)=m子+到=， 解符行+p-登+红ke2,即0=名+低乐e乙 2π 6 ，即充分性不成立， 综上可得，“9=2版+keZ是曲线C关于直线r=背对称的必要不充分条什 6 故选：B。 4.己知m,n为空间中不重合的直线， a,B,Y为不重合的平面，下列命题正确的是(） A若m/BanB=n 则m11n B若liB.mca,则m1B c若LBLy.则a1B D.y=a,Boy=bal/b al ,则 【答案】B 【解析】 【分析】结合特例判断A；根据面面平行的性质判断B；根据面面垂直的性质判断C；根据面面的位置的 关系判断D 【详解】对于A,如下图，m,n不一定平行，故A错误： m B 对于B,根据面面平行的性质，由a/BmCa,则m1 ,故B正确； 第3页/共26页 命学科网命组卷网 对于C,由 lyBLy,则P成a,P 或 相交，故C错误： 对于D, any=aBnY=ha/h,则aP度a.B 或 相交，故D错误， 故选：B 5.已知F,B是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠FP5=30,PE=V3PF, 则C的离心率 为() 1 1+3 A.1+V3 2 c2+v3 D.2 【答案】D 【解析】 m C= 【分析】利用余弦定理求出2后可求离心率. x2 y2 【详解】设双曲线的方程为京=1(a>0,b>0)。 E(←c,0),E(c,0)PF=m,P=V3m,其中c为半焦距， 由余弦定理得EE=VPE,+|PF2-2PEPE引cos∠EPE=m, m 2 V3+1 e=- 故即。_m,故离心率√3m-m2, C三 2c=m 2 2 故选：D 6在空间四边形CD中，MN分别是AB、cD的中点，且4BL1D,CB⊥CD.设 AB=a,AC=i,4D=C,则下列结论正确的是(） 第4页/共26页 命学科网命组卷网 AMN-7a+c-B)B.MN-3(6+a-c)ce(6ta)-D.6(eta)-8 【答案】D 【解析】 【分1和用向错的装长运集时求得项-2(a+）,可尖斯想，G6+)=66,可断c: 由CB1CD,可得6=c+a石，进而计算可得6-(e+d)=B2.可别断D 【详解】 D+D+D6-)++B) 故AB错 误； 因为1B1AD,所以c-a=0,所以c-(6+d)=c-6+c-a=c-6不-定等于c2,故c错误； 因为CB⊥CD,所CB⊥CD,所以CBcD=0, 所以(a-b)e-6)=.c-a-6-万-c+6=-a-6-6c+6=0 所以B=6c+a-6 所yb-(e+d)=b.c+i.a= ,故D正确 故选：D 7.杭州“六小龙”企业（宇树科技、深度求索、游戏科学、群核科技、强脑科技、云深处科技）在科技领域大 放异彩现从这6家企业中选出4家，分别派往A、B、C、D四个不同的科技交流活动进行成果展示，且必 第5页/共26页 命学科网命组卷网 须同时满足条件：①宇树科技和深度求索中至少有一家被选中；②若宇树科技被选中，则必须去A活动， 若深度求索被选中，则不能去D活动则不同的安排方式种数是() A.96 B.120 C.240 D.336 【答案】B 【解析】 【分析】分选中宇树科技，不选中深度求索、选中深度求索，不选中宇树科技、宇树科技和深度求索都选 中，三种情况分别求解即可 【详解】若选中宇树科技，不选中深度求索，共有 A4=24 种安排方式： 若选中深度求索，不选中宇树科技，共有 3A1=72 种安排方式： 若宇树科技和深度求索都选中，共有CA号=24 种安排方式， 所以不同的安排方式种数是24+72+24=120 故选：B. 8已知连续型随机变量服从正态分布N,4),记函数f()=P(5≥)】 则x)的图象() A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=2对称 (2, C.关于点 成中心对称 D.关于点 2成中心对称 【答案】C 【解析】 f(x)+f(2-x) 的值，进而判断函数 /(x) 【分析】根据正态分布的性质求出 的图象的对称性. N(1,4) 【详解】己知连续型随机变量服从正态分布 根据正态分布的性质可知，该正态分布的图象关于 直线x=1对称f)=P5≥)f2-)=P5≥2-为 由于正态分布图象关于直线=引对称，所以 (5≥x)+P(5<x)=1mP(5≥2-x)=P(5<x) (根据正 第6页/共26页 命学科网命组卷网 态分布的对称性)· 那么f+f2-)=P5≥0+P5≥2-)=P5≥)+P5=1 了心+f2-l,可知a=1.b之.以数做图象牙海 1,- 2成中心对称 函数f的图象关于点山2成中心对称 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得满分，部分选对的得部分分 9蜘爱列以=2-的夏和为及，数列总=2”的前要和为又，则下法正路的花() A.S2+S4=S6 B.3(S4-S2)=S。 C.T2To=T2 D.T+T=T(T+To) 【答案】BD 【解析】 【分析】根据等差数列的前”项和公式，求出S,根据等比数列前项和公式，求出乙。， 在分别判断各选项正误. 【详解】因为0，=2n-1,则4，H-0,=2n+)-(2n-)=2,所以{a,}是首项为1，公差为2的等差 .=n+nmn-Dx2=㎡ 数列，则 2 b=4 数列，=20=2-4，则04=4，所以6}是首项为4，公比为4的等比数列，则 7=40-4）_=41-4 1-43, 第7页/共26页 命学科网命组卷网 可得9=4,9=16，S。=36,7=20,I,=340,7,=5460 可知S,+S,=20≠8，所以A错误 3(S4-S,)=3×12=36=S%,所以B正确， ?:?,=20x5460≠I,所以C错误 T+T=202+3402=116000T2(T4+T6)=20×(340+5460)=116000 所以D正确。 故选：BD 10已知(x,）、B(,乃)是曲线C:y(w-)=2上的两个动点，则（) A.曲线C是中心对称图形 B.曲线C有且只有两条渐近线 C若P、B分别在第二象限和第四象限，则P的最小值为2 D.曲线C和圆E:r+y2=4 恰好有6个公共点 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用曲线的对称性可判断A选项；化简曲线C的方程，结合反比例函数的渐近线可判断B选项： 利用平面内两点间的距离公式以及基本不等式可判断C选项：联立曲线C与圆E的方程，求出交点坐标， 可判断D选项 【详解】对于A运项，在曲线C:(-)=2上任取一点P(x),则(y-1)=2, 则点P关于原点的对称点为(x,-八，则(x)小(y[(-(y)-刂=y(y-1)=2 故点Q也在曲线C上，故曲线C关于原点对称，A对： 第8页/共26页 6学科网命组卷网 对于B选项，由(y-)=2得(y)-y-2=0,解得y=-1或y=2, 显然x=0或y=0均不满足方程(y-)=2,所以x≠0且y0, 由”1可少} 卫x.由xy=2可得少、 因为反比例两数 x、x的渐近线都为x、y轴， 因此，曲线C的渐近线有两条，B对： 对于c要.由题童可网==2），共5<0,5>0. 名--2写 +8+写 5罗+22w+252 xi=- 1 -Xx2= 当且仅当 1 -X时，即当 时，等号成立，即 的最小值为 ,C错： -名 x=-1 x0,x2)0 x2=1 RB 2√2 -3 x=2x=-V2 对于D选项，联立 x+y=4可得=5政 y=-21 第9页/共26页 命学科网命组卷网 2 故曲线x与圆E的方程有2个交点， [x=6+2 x=-6+2 [x-2-6 {-6-2 2 2 2 2 联立y=一 可得 V2-6或 6-√2 2+V6或 V6+√2 x2+y2=4 2 y= 2 y=. 2 y=- 2 1 y=- 所以曲线 x与圆E的方程有4个交点， 综上所述， 曲线C和因B:X+少=4恰好有6个公共点，D对 故选：ABD 11.甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方：若平 局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜由以往两人的比赛结果可知，在一局 中甲胜的概率为0.3，乙胜的概率为0.2用(=0,1，…，6)表示“在甲所得筹码为1枚时，最终甲获胜的 概率”，则() A第一局比赛后甲的筹码个数记为X,则期望E(X)=3.1 B.四局比赛后，比赛结束的概率为0.0405 C.R+R=1 n8分g- 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出X的所有可能取值以及取值的概率，由期望公式可求出期望，可判断A选项；根据互斥事 件的加法公式和独立事件的乘法公式可得结果，可判断B选项；根据全概率公式和等比数列的定义可证 第10页/共26页 命学科网命组卷网 {亿-P=0L,2,5)为等比数列，结合连比定理可判断D选项：根据=01…，6)的定义可得出 B、B的值，可判断C选项 【详解】对于A选项，X的所有可能取值为2、3、4， P(X=2)=0.2P(X=3)=0.5P(X=4)=0.3 E(X)=2x0.2+3x0.5+4×0.3=3.1,A对： 对于B选项，当四局比赛后，比赛结束且甲胜时，第四局比赛甲胜，前三局比赛甲2胜1平， 其概率为： C?0.32×0.5×0.3=0.0405 当四局比赛后，比赛结束且乙胜时，第四局比赛乙胜，前三局比赛乙2胜1平， 其概率为： C?0.2×0.5×0.2=0.012 所以四局比赛后，比赛结束的概率为0.0405+0.012=0.0525，B错： 对于cD选项，因为P(i=0,123,45,6)表示“在甲所得筹码为枚时，最终甲获胜的概率”，则B=0 所以6+=1 P=1 在甲所得筹码为枚时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为 .3P2 0.5P 在甲所得筹码为枚时，下局平局且最终甲获胜的概率为 0.2P。 在甲所得筹码为枚时，下局乙胜且最终甲获胜的概率为 =0.32+0.5+0.2P 根据全概率公式得 所以=0.33+0.5P+0.2B,变形得0.3(2-)=0.2(？-B) 第11页/共26页 6学科网 命组卷网 B-_2 因为-B>0,所以P-P。3, B-BP-RP-PP-B_2 同理可得--卫P-P-P3 所以{-i=0,h2,…,5)为等比数列， E-R_(E-)+(g-B)+(P-)+(B-P)+(-)_2 由连比定理可得B-B(R-)+(G-P)+(G-B)+(D-B)+(C-P)3,CD都对 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 则tanB= 【答案】3 【解析】 tan B 【分析】首先将原等式进行化简，求出 cos B,sin B 的值，进而可求出 的值， 【详解1因为3n月-s咖=10 所以3cosB-sinB=Vi0,所以sinB=3cosB-i0 又sin2B+cos2B=1 所以(3c0sB-V10+c0s2B=l,化简得：10cos2B-6N10cosB+9=0: n:i0csA--0,房sB=0 第12页/供26页 6学科网命组卷网 3 inB=3× -10=-1 所以 10 10 anB=sinB、l 所以 cos B 3. 1 故答案为：3。 13.(x+2x-3 的展开式中x3的系数为， 【答案】120 【解析】 【分析】分析可得（x+2x-3°=(1+x'(3+,写出展开式通项，令x的指数为3，求出参数的值， 代入通项即可得解 【详解】因为(x+2x-3°=[(x-0(x+3)订=(-1+x)(3+x) (I+的辰开式通项为C('x(0≤r≤4，reN), (3+的展开式通项为C3*x(0≤k≤4，k∈N), 所以(x2+2x-3)的展开式通项为T,k=CC(-1)34x(0≤r≤4,0≤k≤4，r∈N,k∈N), r=0r=1r=2r=3 由r+k=3可得k=3或k=2或k=1或k=0, 因此，展开式中x的系数为CC?(-)°3'+CC?(-°？32+CC?(-I)?3+CC2(-23 =12-216+648-324=120 故答案为：120. 14已知不等式e-c0sr+m2-ar≥ 对任意实数都成立，则实数“的值为 第13页/供26页 命学科网 命组卷网 【答案】1 【解析】 【分析1根据题意(0)=0，可知西数f(✉)在x=0处取得极小值，可得出了(O)=0, 可求出a的值， 然后利用导数分析该函数的单调性与极值，即可得出结论 【详解】令f(y=e-cosx+m-,该函数的定义拔为R,且f(0)=0, 对任意的x∈R,f()≥f(O)=0,则函数（四）在x=0处取得最小值， 又因为函数()可导，所以函数f(冈)在x=0处取得极小值， 且f'()=e+sinx+2m-a,则f'(0)=1-a=0 解得a=1, 此时f()=c-cosx+r-x,则f()=心+simx+2x-1 令8()=c+sinx+2r-1,则8()=c+2+cosx>2+cosx之2-1=l>0 故函数'（女）在R上为增函数， 当x<0时，f(<f'(o)=0,当x>0时，f()>f(0)=0 所以，函数儿因在区间（一0,0）上单调递减，在区同(（0，+切）上单调递销。 故函数(：)在x=0处取得极小值，亦是最小值，合乎腿意 故a=1. 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.某社区卫生服务中心为分析居民的健康状况，对辖区内200位居民进行了抽样调查 (1)从200位居民中随机抽取5名，记录其每周运动时间x(小时)与健康指数y,数据见表1.求运动时间与 健康指数的一元线性回归方程)=x+口，并计算运动时间为7小时的居民健康指数的残差 第14页/供26页 学科网 命组卷网 运动时间 3 4 6 健康指数 60 70 85 95 90 表一 (2)为研究性别与是否患有慢性病的关系，统计得到200位居民的数据如表2所示根据小概率值 a=0.05 (表3)的独立性检验，推断性别与是否患有慢性病是否有关联 性 患有慢性 未患慢性 闪 别 病 病 计 男 30 70 100 性 文 20 80 100 性 合 50 150 200 计 表二 a 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 表三 660可 a=万-；X= n(ad-be)2 ∑（西-对 a+b)(e+d)(a+c)(b+d)=a+b+c+d 【答案】(1)y=8.5x+37.5.-7 (2)无关联 第15页/共26页 学科网组卷网 【解析】 【分析】(1)根据表格数据，运用相关公式依次求出x八，6，口，即可求得一元线性回归方程，利用残差 定义计算即得答案： (2)根据2×2列联表中的数据，运用卡方计算公式求得父的值，与对应的小概幸值比较即得结论 【小问1详解】 x- 3+4+5+6+7=5,y=60+70+85+95+90=80, 由表知 5 5 6.多--现 (-2)×(-20)+-1)×-10)+1x15+2×10=8.5, ∑(x- 4+1+0+1+4 a=y-bx=80-8.5×5=37.5 所以线性回归方程为y=8.5x+37.5 故运动时间为7小时的居民健康指数的残差为：，-y,=90-(8.5×7+37.5)=-7 【小问2详解】 零假设 ,居民性别与是否患有慢性病无关联， 限据列联表数福，计算得产200x30x8070×208<3.84 50×150×100×100 3 所以根据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断性别与是否患有慢性病有关联， 故可以认为性别与是否患有慢性病无关联。 16在△ABC中，AC=AD=CD=3,BD=5,将△ACD绕若CD旋转得到三棱锥 -BCD 第16页/供26页 6学科网命组卷网 B D B 1)求三棱锥4-BCD 体积的最大值 (2)若平面 ACD上平面BCD,求平面 ABD与平面BCD夹角的余弦值， 45 【答案】(1)8 5 (2)5 【解析】 【分析】(1)依图意，可得当且仅当平面ACD1平面BCD时三枝链A~BCD 的体积最大，作 AH⊥CD 于点H,证明4H上平面BCD,求出4H 的长，即可求得体积最大值： (2)法一：作HⅢ1BD交BD延长线于点I,连结，证明BD14!,可得AH ,可得 为二面角 A-DB-C 的平面角，借助于△4 即可求得：法二：依题意建系，写出相关点的坐标，求出相关向量 的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得 【小问1详解】 因为底面ABCD面积不变，故当平面ACD1平面BCD时三枝锥A-BCD 的体积最大， 过4作4H1CD于点H,因平面ACDL平面BCD,且平面4CDN平面BCD=CD, 又4c平商4CD,月H1平窗D.则么=4切-5×335 2 第17页/供26页 6学科网命组卷网 S.cn=2×3x5xsin3π= 1 45 2 4 ，故 Van-3cnha 8 【小问2详解】 法一：由(1)知，可过H作Ⅲ1BD交BD延长线于点I,连结4， 因AHL平面BCD,BDc平面BCD,则4HLBD 又4Hn=:且4，足半白4内的时条相交直线，板BDL平鱼4机 又4C平面4皿，则BD14,放∠4H为二面角4-DB-C的平面角 州4-9m-953r 4 4 -B D 3W3 HI 4 5 故平面 与平面 夹角的余弦值为AI3V15 5 ABD BCD 4 法二：由(1)知， l- AH⊥CD, 故可以点H为坐标原点， HA,HD,H所在直线方向分别为，少2轴建立空间直角坐标系 w3sao以(5aoc-pa2Aao2 p4-0-3ja-(5r30m-o3 第18页/共26页 6学科网6组卷网 则平面BCD的法向量可取为 设平面4BD的一个法向量为”=(x,少2)， [n-D4=-3y+352=0 21 2 则 n丽-+=0 2 i=小5别 33×1 35 cos(i,HA)= 0++g同xF++r 2 33x55 5 故平面ABD与平面BCD夹角的余弦值为5 B D 17已知PW是至数f)=2h+0o>0 图象上的点 （)当a=l时，求函数在点 ,f0》)处的切线方程 (2)若=引，点P处的切线1与曲线y=/)有且仅有一个公共点，求实数a的取值范围 【答案】(1)y=x (2)a≥2或a=1 【解析】 第19页/供26页 命学科网命组卷网 【分析】(1)利用导数的几何意义，先求得切线斜率，再用点斜式化简即得： P(1,a) 1:y=(2-a)x+2a-2 (2)先求出曲线在点 处的切线方程 ,构造函数 6=2ar++a-2k+2-2a求导得G-[La-2到r+o]x- ,x>0 x2 根据参数“的取值分类讨论函数 G(x) 的零点个数，依题要求即可求得参数“的取值范围， 【小问1详解】 1 f(x)=2nr+- 当a=1时，由 x可得f)=1, f(x)=21=2x-1 求导得 =xx=x2’故k切f'(0=1 所以所求切线方程为少=x. 【小问2详解】 因f)-2g=2x-a xx2x2则曲线在点P1,a)处的切线斜率为2-a, 故切线方程为：y-a=2-ax-).即1：y=(2-ar+2a-2 段G)=f(--ajx+2-2a=2+2+a-2刘+2-20则G0=0, 求导得：( y-+a-2a-29 2,x>0 1若a22,当0<x<1时，G)<0,当>l时 时， 1时，G)>0 即G(9在0，D上递减，在，+切)上递增，故G(0有唯一零点=1，符合题意： 第20页/供26页 学科网命组卷网 空若，则G)二s0即G在0.+o上递孩，又G印=0： 故G()有唯一零点为。=l符合愿意： y若0<a1,46=0,解得0写=22。名= 当0<x22时，G()<0,当2a a 22g<<1时，G(>0,当>1.Gk0, 则G(x)在 022a上效在22。》1港者，在0，四)上递说 x c0)-a c <0当x→0时，G因→0：当x→时.G)→0， G(x) 所以 有两个零点，不符合题意 a 4若1<a<2,令G()=0,解得0<1<62a, 当0<<1时.c<0,当1<22a.c(0.当>2a.c(<0 则G(x)在(0,1)上递减， 又G(0)=0.G22a>0当x→0时，G的→+o:当x→+o时，G因→，所以6有两 个零点，不符合题意 综上所述：a≥2或a=1. 18设A,B两点的坐标分别为(-2,0)，(2,0)，直线AP,BP相交于点P,且它们的斜率之积为4， 第21页/共26页 命学科网命组卷网 设点P的轨迹为曲线E (1)求曲线E的标准方程； (2)若直线1过点(1,0)， 与曲线E交于C,D两点，C在x轴上方，直线AC,BD交于点M,直 线AD,BC交于点N记A,B到直线1的距离分别为，d: 9.124 (i)证明：dd:(i)求aAMN的面积最小值 2+卫=1(x≠2) 【答案】(1)43 (2)①设C(,h,Dx2 ,依题意知，直线的斜率不为0， x=y+1 故可设直线1的方程为 -=1消去， 可得(3m2+4）y2+6my-9=0, 6n 9 显然△>0，且%+%=3m产+4片为=3m+4 3 因点A到直线1的距离为4= V1+n2点B到直线1的距离为2 9+1=3N1+m2+1+7=4W1+n≥4 故d1d2 当且仅当n=0时取等号· (i)18 【解析】 【分析】(1) P(x,》,根据题意建立方程，化简即得曲线B的标准方程： (2)(①)依题设直线1的方程为=少+1，由点到直线的距离公式求出4,4，利用二次函数的性质即 第22页/共26页 6学科网6组卷网 可得证：（四）利用山中的结论，证明ck0 4,释由盟设条件得到c无c=一子 1 4,结合图形推 出Kw=3张w'利用直线斜率定义推得v= 同理w= 4,即得AB1MN,求出w=6kN=6:即 得MW=6(k-6),利用基本不等式可得MW的最小值，从而求得△AMN的面积最小值 【小问1详解】 改月，传a学2，如中2之 所以kk=yy23 x+2x-2x2-4-4'即4y2+3(x2-4)=0,x≠±2 x2 y2 故曲线E的标准方程为：4+3=(x≠士2) 【小问2详解】 (i)略 (i由四可得：x+名=n(03+乃)+2=，8 3n2+4, x2=(y+l(y2+1)=n2yy2+ny+y2)+1 ,41-3n2） 3n2+4 贵名=e写2店=知年2有起黄知专友0 s55+40-w-+Be利8号 -9 -91 由题意知 如k如=e=子.则c=张出，四50. 第23页/供26页 6学科网6组卷网 yN=3yN 故得kC=3k=3kMD即kN=3kN,即xw-2xw+2, 因≠0，可得3(x,-2)=xv+2解得w=4即N在直线x=4上， 同理可证：M在直线x=4上，故AB⊥MN, 因为直线4C的方程为y=太(x+2小直线AD的方程为y=(x+2) 把x=4代入可得：yw=6,w=6k, 则MN=|yw-yw=6(k-k)=6飞+（←-kI≥12√k(-k2)=6, 1 当且仅当 k=);k=2时取等号，即MNI的最小值为6 所以aW约通积最值为S-4-(2州。=3x6=18 d 19.已知n行n列( )的数表A= 中，对任意的 ，都有 n≥2 i∈{L,2,…,n仍je{l,2,…,n} a,∈{0,1}若当a,=0时，总有名 a+Q,则称数表A为爽型表，此时记子a为马 j=l 第24页/供26页 6学科网 命组卷网 (110 0 00 1 100 (1)若数表B= C= 00 001 请判断B,C是否为典型表，并说明理由： 110 001 (2)当”≥6时，是否存在典型表A使得，=17 若存在，请写出一个A;若不存在，请说明理由： (3)记Sn的最小值为S%m,求台 d-s.i1 【答案】(1)B不是典型表，C是典型表，理由为： 对于数表B,有42=0，而合 a2+∑4=2<3 不符合定义，故B不是典型表： 3 3 ∑a+∑ay=424 对于数表C,当a=0时，总有台“白 所以数表C是典型表 (2)不存在，理由为： 假设存在典型表4使得S,=17则A中含有17个1,19个0， 所以至少有一行中含有0的个数不少于4. ①若第一行有4个0时，则该行0项所在列的和不小于4， 此时%≥4×4+2=18>17 ②若第一行有5个0或6个0时，则该行0项所在列的和不小于4， 此时8%≥5x5=25>17 以上均与8，=1”不盾，放假设不成立，即不存在典型表4使得9，=1门 (3)n2+1 【解析】 【分析】(1)根据典型数表的定义即可判断. (2)假设存在这样的典型数表A,求解当取得最小时，即A中数字'需要最少，利用定义求解即可。 第25页/供26页 6学科网命组卷网 (3)结合(2)及定义分类讨论”为奇数和”为偶数时求解Sm,然后结合等差数列求和公式，利用分组 求和思想求解即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设典型表A的第i行含有1的个数是所有行与列中最少的， 并设1的个数为(t=0,1,2,…,), 则对于该行的n-t个0，每个0所在的列各数字之和不小于n-t; 对于该行的t个1，每个1所在的列各数字之和不小于t, 所8≥a-+=2+号 n ,n为偶数 所以n二 2 口，为奇数 2 2-y]gr-- -,n为偶数 所以当 时，Sn= n2+1 n≥2 2,n为奇数 女2s小-2郭-j小-y旷-2小-1 第26页/共26页