精品解析：浙江省北斗星盟2024-2025学年高二下学期阶段性联考数学试题

2024学年第二学期浙江北斗星盟阶段性联考 高二年级数学试题 命题学校：余杭高级中学 东阳中学 审题学校：严州中学 考生须知： 1.本卷共4 页满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名；考场号、座位号写在指定位置； 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题纸. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 2或3 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数是纯虚数，令实部为0，虚部不为0即可求出的值. 【详解】因为纯虚数， 所以，且， 解得. 故选：B. 2. 定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设新定义的概念以及集合的基本运算法则计算即可得结果. 【详解】对于A，由，则， 所以，故A正确； 对于B，由，所以，故B错误； 对于C,由，则， 由，，则， 所以，，则， 所以，故C错误； 对于D，当时，结合选项B知，，故D错误. 故选：A. 3. 命题p：函数的图象关于直线对称；命题，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的图象与性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当时，可得， 此时，即是函数的一条对称轴， 所以必要性成立； 当曲线C关于直线对称，即， 解得，即，即充分性不成立， 综上可得，“”是“曲线C关于直线对称”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知m，n为空间中不重合的直线，为不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】结合特例判断A；根据面面平行的性质判断B；根据面面垂直的性质判断C；根据面面的位置的关系判断D. 【详解】对于A，如下图，不一定平行，故A错误； 对于B，根据面面平行的性质，由，则，故B正确； 对于C，由，则或相交，故C错误； 对于D，由，则或相交，故D错误. 故选：B. 5. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理求出后可求离心率. 【详解】设双曲线的方程为， ，，，其中为半焦距， 由余弦定理得， 故即，故离心率， 故选：D. 6. 在空间四边形ABCD中， M、N分别是AB、CD的中点， 且.设 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算可求得，可判断AB；，可判断C；由，可得，进而计算可得，可判断D. 【详解】，故AB错误； 因为，所以，所以不一定等于，故C错误； 因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：D. 7. 杭州“六小龙”企业(宇树科技、深度求索、游戏科学、群核科技、强脑科技、云深处科技)在科技领域大放异彩.现从这6家企业中选出4家，分别派往A、B、C、D四个不同的科技交流活动进行成果展示，且必须同时满足条件：①宇树科技和深度求索中至少有一家被选中；②若宇树科技被选中，则必须去A活动，若深度求索被选中，则不能去D活动.则不同的安排方式种数是（ ） A. 96 B. 120 C. 240 D. 336 【答案】B 【解析】 分析】分选中宇树科技，不选中深度求索、选中深度求索，不选中宇树科技、宇树科技和深度求索都选中，三种情况分别求解即可. 【详解】若选中宇树科技，不选中深度求索，共有种安排方式； 若选中深度求索，不选中宇树科技，共有种安排方式； 若宇树科技和深度求索都选中，共有种安排方式， 所以不同的安排方式种数是. 故选：B. 8. 已知连续型随机变量ξ服从正态分布， 记函数， 则f(x)的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点 成中心对称 D. 关于点 成中心对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求出的值，进而判断函数的图象的对称性. 【详解】已知连续型随机变量服从正态分布，根据正态分布的性质可知，该正态分布的图象关于直线对称. ，. 由于正态分布图象关于直线对称，所以，且（根据正态分布的对称性）. 那么. 由，可知，，所以函数的图象关于点成中心对称. 函数的图象关于点成中心对称. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得满分，部分选对的得部分分. 9. 已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式，求出，根据等比数列前n项和公式，求出， 在分别判断各选项正误. 【详解】因为，则，所以是首项为1，公差为2的等差数列，则， 数列，则，所以是首项为4，公比为4的等比数列，则， 可得， 可知，所以A错误. ，所以B正确. ，所以C错误. ，，所以D正确. 故选：BD. 10. 已知、是曲线上的两个动点， 则（ ） A. 曲线是中心对称图形 B. 曲线有且只有两条渐近线 C. 若、分别在第二象限和第四象限，则的最小值为 D. 曲线和圆恰好有个公共点 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用曲线的对称性可判断A选项；化简曲线的方程，结合反比例函数的渐近线可判断B选项；利用平面内两点间的距离公式以及基本不等式可判断C选项；联立曲线与圆的方程，求出交点坐标，可判断D选项. 【详解】对于A选项，在曲线上任取一点，则， 则点关于原点的对称点为，则， 故点也在曲线上，故曲线关于原点对称，A对； 对于B选项，由得，解得或， 显然或均不满足方程，所以且， 由可得，由可得， 因为反比例函数、的渐近线都为、轴， 因此，曲线的渐近线有两条，B对； 对于C选项，由题意可得，其中，， 则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，C错； 对于D选项，联立可得或， 故曲线与圆的方程有个交点， 联立可得或或或， 所以曲线与圆的方程有个交点， 综上所述，曲线和圆恰好有个公共点，D对. 故选：ABD. 11. 甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为，乙胜的概率为.用表示“在甲所得筹码为枚时，最终甲获胜的概率”，则（ ） A. 第一局比赛后甲的筹码个数记为，则期望 B. 四局比赛后，比赛结束的概率为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出的所有可能取值以及取值的概率，由期望公式可求出期望，可判断A选项；根据互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式可得结果，可判断B选项；根据全概率公式和等比数列的定义可证为等比数列，结合连比定理可判断D选项；根据的定义可得出、的值，可判断C选项. 【详解】对于A选项，的所有可能取值为、、， ，，， ，A对； 对于B选项，当四局比赛后，比赛结束且甲胜时，第四局比赛甲胜，前三局比赛甲2胜1平， 其概率为：. 当四局比赛后，比赛结束且乙胜时，第四局比赛乙胜，前三局比赛乙胜平， 其概率为：， 所以四局比赛后，比赛结束概率为，B错； 对于CD选项，因为表示“在甲所得筹码为枚时，最终甲获胜的概率”，则，，所以， 在甲所得筹码为枚时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为， 在甲所得筹码为枚时，下局平局且最终甲获胜的概率为， 在甲所得筹码为枚时，下局乙胜且最终甲获胜的概率为， 根据全概率公式得， 所以，变形得， 因为，所以， 同理可得， 所以为等比数列， 由连比定理可得，CD都对. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________________. 【答案】 【解析】 【分析】首先将原等式进行化简，求出的值，进而可求出的值. 【详解】因为， 所以，所以. 又， 所以，化简得：. 即：，所以. 所以. 所以. 故答案为：. 13. 的展开式中的系数为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可得，写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】因为， 的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为， 由可得或或或， 因此，展开式中的系数为 . 故答案为：. 14. 已知不等式对任意实数都成立，则实数的值为_____________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，可知函数在处取得极小值，可得出，可求出的值，然后利用导数分析该函数的单调性与极值，即可得出结论. 【详解】令，该函数的定义域为，且， 对任意的，，则函数在处取得最小值， 又因为函数可导，所以函数在处取得极小值， 且，则，解得， 此时，则， 令，则， 故函数在上为增函数， 当时，；当时，. 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故函数在处取得极小值，亦是最小值，合乎题意. 故. 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某社区卫生服务中心为分析居民的健康状况，对辖区内200位居民进行了抽样调查. （1）从200位居民中随机抽取5名，记录其每周运动时间x(小时)与健康指数y，数据见表1.求运动时间与健康指数的一元线性回归方程，并计算运动时间为7小时的居民健康指数的残差. 运动时间x 3 4 5 6 7 健康指数 y 60 70 85 95 90 表一 （2）为研究性别与是否患有慢性病的关系，统计得到200位居民的数据如表2所示.根据小概率值 (表3)的独立性检验，推断性别与是否患有慢性病是否有关联. 性别 患有慢性病 未患慢性病 合计 男性 30 70 100 女性 20 80 100 合计 50 150 200 表二 α 0.1 0.05 0.01 0.005 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 表三 附： 【答案】（1）， （2）无关联 【解析】 【分析】（1）根据表格数据，运用相关公式依次求出，即可求得一元线性回归方程，利用残差定义计算即得答案； （2）根据列联表中的数据，运用卡方计算公式求得的值，与对应的小概率值比较即得结论. 【小问1详解】 由表知 则 所以线性回归方程为， 故运动时间为7小时的居民健康指数的残差为:. 【小问2详解】 零假设居民性别与是否患有慢性病无关联， 根据列联表数据，计算得 所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别与是否患有慢性病有关联， 故可以认为性别与是否患有慢性病无关联. 16. 在中,，, 将 绕着CD旋转得到三棱锥 （1）求三棱锥 体积的最大值. （2）若平面 平面，求平面 与平面BCD夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意，可得当且仅当平面平面时三棱锥 的体积最大，作 于点，证明 平面，求出的长，即可求得体积最大值； （2）法一：作交BD延长线于点，连结，证明，可得为二面角 的平面角，借助于即可求得；法二：依题意建系，写出相关点的坐标，求出相关向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因为底面面积不变， 故当平面平面时三棱锥 的体积最大， 过作 于点，因平面平面，且平面平面 ， 又平面，则 平面，则 ， 又 ，故 . 【小问2详解】 法一： 由（1） 知， 可过作交BD延长线于点， 连结， 因 平面，平面，则， 又且是平面内的两条相交直线，故平面， 又平面，则，故为二面角 的平面角. 又因 则， 故平面与平面夹角的余弦值为 . 法二： 由（1）知， ， 故可以点为坐标原点，所在直线方向分别为轴建立空间直角坐标系. 则 ， 则平面的法向量可取为 设平面的一个法向量为， 则故可取 ， 则 ， 故平面与平面夹角的余弦值为 . 17. 已知是函数图象上的点. （1）当时， 求函数f(x)在点)处的切线方程. （2）若，点P 处的切线l与曲线 有且仅有一个公共点，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，先求得切线斜率，再用点斜式化简即得； （2）先求出曲线在点处的切线方程，构造函数求导得 根据参数的取值分类讨论函数的零点个数，依题要求即可求得参数的取值范围. 【小问1详解】 当时，由 可得， 求导得故 所以所求切线方程为. 【小问2详解】 因则曲线在点处的切线斜率为， 故切线方程为，即 ， 设 则， 求导得： 1°若， 当时，； 当时， ， 即在上递减， 在上递增，故有唯一零点， 符合题意； 2°若，则 即在上递减，又， 故有唯一零点为符合题意； 3°若， 令， 解得 ， 当时，，当时，，当时，， 则在 上递减， 在上递增，在上递减， 又 当时，； 当时，， 所以有两个零点， 不符合题意； 4°若，令，解得 ， 当时，，当时，，当时，， 则在上递减， 上递增， 上递减； 又 当时，；当时，，所以有两个零点， 不符合题意. 综上所述： 或. 18. 设A，B两点的坐标分别为，， 直线AP，BP相交于点P， 且它们的斜率之积为，设点P的轨迹为曲线E. （1）求曲线E的标准方程； （2）若直线l过点， 与曲线E交于C，D两点， C在x轴上方， 直线AC，BD交于点M ， 直线AD，BC 交于点N. 记A，B到直线l的距离分别为 （i）证明：；（ii）求面积最小值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意建立方程，化简即得曲线E的标准方程； （2）（i）依题设直线l的方程为，由点到直线的距离公式求出，利用二次函数的性质即可得证；（ii）利用（i）中的结论，证明，再由题设条件得到，结合图形推出利用直线斜率定义推得同理,即得，求出即得，利用基本不等式可得的最小值，从而求得的面积最小值. 【小问1详解】 设， 依题意， 所以 即 故曲线E的标准方程为： . 【小问2详解】 （i） 设，依题意知，直线的斜率不为0， 故可设直线l的方程为，由消去， 可得 显然，且 因点到直线l的距离为 点到直线l的距离为 故 当且仅当时取等号 . （ii）由（i）可得： ， 设 由题意知， 则 由题意知 ，则，因， 故得即 即 , 因，可得解得即在直线 上， 同理可证：在直线 上， 故, 因为直线的方程为 直线的方程为 把代入可得： 则 当且仅当 时取等号，即的最小值为6. 所以的面积最小值为 . 19. 已知n行n列()的数表中，对任意的，，都有.若当时，总有，则称数表A为典型表，此时记. （1）若数表，，请判断B，C是否为典型表，并说明理由； （2）当时，是否存在典型表A使得，若存在，请写出一个A；若不存在，请说明理由； （3）记的最小值为求 【答案】（1）B 不典型表，C是典型表，理由见解析 （2）不存在，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据典型数表的定义即可判断. （2）假设存在这样的典型数表，求解当取得最小时，即中数字需要最少，利用定义求解即可. （3）结合（2）及定义分类讨论为奇数和为偶数时求解，然后结合等差数列求和公式，利用分组求和思想求解即可. 【小问1详解】 对于数表B，有而不符合定义，故B不是典型表； 对于数表C，当时，总有，所以数表C是典型表. 【小问2详解】 假设存在典型表A使得则中含有17个1，19个0， 所以至少有一行中含有0的个数不少于4. ①若第一行有4个0时，则该行0项所在列的和不小于4， 此时； ②若第一行有5个0或6个0时，则该行0项所在列的和不小于4， 此时； 以上均与 矛盾，故假设不成立，即不存在典型表A使得. 【小问3详解】 不妨设典型表A的第i行含有1的个数是所有行与列中最少的， 并设1的个数为t(，1，2，…，n)， 则对于该行的n-t个0，每个0所在的列各数字之和不小于； 对于该行的t个1，每个1所在的列各数字之和不小于t， 所以； 所以. 故. 所以当时，. 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期浙江北斗星盟阶段性联考 高二年级数学试题 命题学校：余杭高级中学 东阳中学 审题学校：严州中学 考生须知： 1.本卷共4 页满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名；考场号、座位号写在指定位置； 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题纸. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 2或3 2. 定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 3. 命题p：函数的图象关于直线对称；命题，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知m，n为空间中不重合的直线，为不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 在空间四边形ABCD中， M、N分别是AB、CD的中点， 且.设 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 杭州“六小龙”企业(宇树科技、深度求索、游戏科学、群核科技、强脑科技、云深处科技)在科技领域大放异彩.现从这6家企业中选出4家，分别派往A、B、C、D四个不同的科技交流活动进行成果展示，且必须同时满足条件：①宇树科技和深度求索中至少有一家被选中；②若宇树科技被选中，则必须去A活动，若深度求索被选中，则不能去D活动.则不同的安排方式种数是（ ） A. 96 B. 120 C. 240 D. 336 8. 已知连续型随机变量ξ服从正态分布， 记函数， 则f(x)的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点 成中心对称 D. 关于点 成中心对称 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得满分，部分选对的得部分分. 9. 已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A B. C. D. 10. 已知、是曲线上的两个动点， 则（ ） A. 曲线中心对称图形 B. 曲线有且只有两条渐近线 C. 若、分别在第二象限和第四象限，则的最小值为 D. 曲线和圆恰好有个公共点 11. 甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为，乙胜的概率为.用表示“在甲所得筹码为枚时，最终甲获胜的概率”，则（ ） A. 第一局比赛后甲的筹码个数记为，则期望 B. 四局比赛后，比赛结束的概率为 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________________. 13. 的展开式中的系数为_________________. 14. 已知不等式对任意实数都成立，则实数值为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某社区卫生服务中心为分析居民的健康状况，对辖区内200位居民进行了抽样调查. （1）从200位居民中随机抽取5名，记录其每周运动时间x(小时)与健康指数y，数据见表1.求运动时间与健康指数的一元线性回归方程，并计算运动时间为7小时的居民健康指数的残差. 运动时间x 3 4 5 6 7 健康指数 y 60 70 85 95 90 表一 （2）为研究性别与是否患有慢性病的关系，统计得到200位居民的数据如表2所示.根据小概率值 (表3)的独立性检验，推断性别与是否患有慢性病是否有关联. 性别 患有慢性病 未患慢性病 合计 男性 30 70 100 女性 20 80 100 合计 50 150 200 表二 α 0.1 0.05 0.01 0.005 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 表三 附： 16. 在中,，, 将 绕着CD旋转得到三棱锥 （1）求三棱锥 体积的最大值. （2）若平面 平面，求平面 与平面BCD夹角的余弦值. 17. 已知是函数图象上的点. （1）当时， 求函数f(x)在点)处的切线方程. （2）若，点P 处的切线l与曲线 有且仅有一个公共点，求实数a的取值范围. 18. 设A，B两点坐标分别为，， 直线AP，BP相交于点P， 且它们的斜率之积为，设点P的轨迹为曲线E. （1）求曲线E的标准方程； （2）若直线l过点， 与曲线E交于C，D两点， C在x轴上方， 直线AC，BD交于点M ， 直线AD，BC 交于点N. 记A，B到直线l的距离分别为 （i）证明：；（ii）求的面积最小值. 19. 已知n行n列()的数表中，对任意的，，都有.若当时，总有，则称数表A为典型表，此时记. （1）若数表，，请判断B，C是否为典型表，并说明理由； （2）当时，是否存在典型表A使得，若存在，请写出一个A；若不存在，请说明理由； （3）记的最小值为求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$