期末高频易错考点必刷练03【22个考点解答65题 第7-12章】2024-2025学年七年级数学下册期末考试考点全攻略（苏科版2024）

期末考试考点全攻略 作者的话 亲爱的同学们： 期末考试即将来临，数学作为一门逻辑性强、知识点环环相扣的学科，系统化的复习至关重要。为了帮助大家高效备考，我们精心整理了这份《七年级数学下册期末考试考点全攻略》，按照选择题、填空题、解答题三大题型分类，精准剖析高频考点，点拨易错陷阱，并提供针对性解题策略。 本攻略以新人教版教材为纲，结合历年期末真题，提炼出最核心的考查方向。无论你是希望夯实基础，还是冲刺高分，都能在这里找到清晰的复习路径。选择题注重概念辨析与快速计算，填空题强调细节与严谨性，解答题则综合考查逻辑推理与规范书写。我们力求用最简洁的语言，直击要害，助你在考场上游刃有余。 复习建议： 先梳理再刷题——对照攻略自查知识漏洞，优先攻克薄弱环节； 限时模拟训练——按题型分配时间（如选择题1~2分钟/题）； 错题归因——标记反复出错的考点，考前重点复盘。 数学的魅力在于思维的严谨与灵活。愿这份攻略成为你复习路上的“导航仪”，助你稳扎稳打，自信迎考！ ​​ 中小学数学教研 2025年6月 2024-2025学年七年级数学下册期末考试考点全攻略 期末高频易错考点必刷练03 【22个考点解答65题 第7-12章】 目录 考点一同底数幂的乘法 3 考点二幂的乘方与积的乘方 5 考点三同底数幂的除法 7 考点四单项式乘单项式 9 考点五单项式乘多项式 11 考点六多项式乘多项式 13 考点七乘法公式 15 考点八图形的平移 18 考点九轴对称图形 21 考点十图形的旋转 23 考点十一二元一次方程的概念和解 29 考点十二二元一次方程组的概念 31 考点十三解二元一次方程组 33 考点十四三元一次方程的定义积应用 36 考点十五运用二元一次方程组解决问题 38 考点十六不等式的定义及性质 40 考点十七一元一次不等式的概念 42 考点十八解一元一次不等式 43 考点十九一元一次不等式组的认识及应用 45 考点二十用一元一次不等式解决问题 48 考点二十一命题的认识及判断 50 考点二十二证明的过程及方法 53 考点一同底数幂的乘法 1．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：　 　； (2)记，，．试说明：． 【答案】(1)3 (2)． 【解题思路】本题考查了有理数的乘方的新定义，解题的关键是认真读懂题意掌握新定义，利用新定义解决问题． （1）认真读懂题意，利用新定义的运算法则计算； （2）利用新定义计算并证明． 【详细解答】（1）解：； 故答案为：3； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴． 2．规定两个数a，b之间的一种运算：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定， ________，________； (2)若，试说明等式成立． 【答案】(1)3，5 (2)见解析 【解题思路】本题主要考查了有理数乘方运算的新定义，掌握新定义并利用新定义进行计算是解题的关键． （1）读懂题意，运用新定义的计算规则进行计算即可； （2）读懂题意，运用新定义以及有理数的乘方运算法则进行计算即可． 【详细解答】（1）解：，． 故答案为：3，5． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴． 3．在学习同底数幂的乘法和除法法则后，类似的，我们规定关于任意整数，的一种新运算，即：，且，以及的值都不等于．请根据这种新运算解决下列问题： (1)求证； (2)若，则求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【解题思路】本题考查新定义下对同底数幂的乘法法则的应用，解题的关键是正确理解题意，准确计算． （1）令，根据，即可证明； （2）根据新定义，将变形，得，可得进而可求的值． 【详细解答】（1）证明：令，，可得：， 又， 故等式左右两边同时除以得：． （2）解：， 而 ， ． 考点二幂的乘方与积的乘方 4．若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y（结果需要化简）． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】本题考查了逆用幂的乘方法则，逆用同底数幂的乘法则，解题关键是掌握逆用幂的乘方法则和逆用同底数幂的乘法则． （1）利用逆用幂的乘方法则计算； （2）逆用同底数幂的乘法计算； （3）逆用幂的乘方法则计算． 【详细解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，解得：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即． 5．利用下述结论解决问题：若且是正整数），则． (1)，求的值； (2)如果，求的值； 【答案】(1) (2) 【解题思路】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形． （1）根据幂的乘方运算法则把与化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可； （2）根据同底数幂的乘法法则把变形为即可解答． 【详细解答】（1）解：∵ ， ∵ ∴， 解得：； （2）解：∵ ∴， ∴， ∴． 6．某同学在比较，的大小时，发现55，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：因为，， 所以， 请根据上述解题思路完成下题：若，，试比较，的大小． 【答案】 【解题思路】此题考查了幂的乘方的逆用．把原式变为同指数的幂，比较底数的大小即可． 【详细解答】解：因为，， 而， 所以． 考点三同底数幂的除法 7．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】本题考查的是同底数幂的乘法与除法的逆用，幂的乘方的逆用； （1）把化为，再代入计算即可； （2）把化为，再代入计算即可． 【详细解答】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴． 8．对于整数、定义运算： （其中、为常数），如． (1)填空：当时， ___________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2) 【解题思路】（1）根据定义的运算解答即可； （2）根据新定义运算，幂的乘方计算即可即可． 【详细解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． （2）解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴． 【考点点评】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题． 9．规定两数a、b之间的一种运算．记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ． (2)计算 ，并说明理由． 【答案】(1)3；0 (2)，见解析 【解题思路】本题考查了有理数乘方的应用，同底数幂乘法，零指数幂，理解“雅对”的定义是解题关键． （1）根据乘方和“雅对”的定义求解即可； （2）仿照例题证明即可． 【详细解答】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴． 故答案为：3；0； （2）解：，理由如下： 设，， 则，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 考点四单项式乘单项式 10．计算：（1）； （2）； 【答案】（1）；（2） 【解题思路】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，积的乘方，单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算加减法即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可得到答案． 【详细解答】解；（1） ； （2） ． 11．先化简，再求值．其中． 【答案】，． 【解题思路】本题考查了整式的化简求值，根据幂的乘方，积的乘方，单项式乘以单项式法则化简，然后合并同类项化成最简，然后把代入求值即可，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详细解答】解： ， 当时， 原式 ． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】本题考查零指数幂，负整数指数幂，幂的运算，单项式乘以单项式，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）根据零指数幂，负整数指数幂，乘方法则，进行计算即可； （2）根据单项式乘以单项式，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法法则，进行计算即可． 【详细解答】（1）解：原式； （2）原式． 考点五单项式乘多项式 13．计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【解题思路】本题考查整式的混合运算： （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式，最后合并同类项进行化简； （2）计算单项式乘多项式． 【详细解答】（1）解： ； （2）解： ． 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】本题主要考查了单项式乘以多项式的计算，积的乘方计算，单项式乘以单项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，最后合并同类项即可得到答案． 【详细解答】（1）解： （2）解： ． 15．如图，在长为米、宽为米的长方形铁片上，剪去一个长为米、宽为b米的小长方形铁片． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影的部分的面积S． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)（平方米）． 【解题思路】本题考查整式的乘法运算及求值，解题的关键是根据长方形面积公式，用大长方形面积减去小长方形面积得到阴影部分面积表达式，再代入求值． （1）利用长方形面积公式分别求出大，小长方形面积．用大长方形面积减去小长方形面积得出阴影部分面积表达式． （2）将的值代入表达式求出阴影部分面积． 【详细解答】（1）解：根据题意，得 平方米． （2）当，时， （平方米）． 考点六多项式乘多项式 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【解题思路】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，整式的四则混合运算． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，然后再计算加减法． （2）先计算多项式乘以多项式，单项式乘多项式，最后再合并同类项即可． 【详细解答】（1）解： （2）解： ． 17．某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，建筑区域是长为米，宽为米的长方形，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)求该小区绿化的总面积； (2)若，，绿化成本为元平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 【答案】(1)该小区绿化的总面积S为平方米 (2)元 【解题思路】本题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清题意列出相应的式子是解题的关键． （1）绿化的总面积等于大长方形面积减小长方形面积，利用多项式乘多项式法则，然后合并同类项即可得出答案； （2）将与的值代入求出绿化的面积，再根据绿化成本为元/平方米，即可得出答案． 【详细解答】（1）解：由题意得： 平方米， 答：该小区绿化的总面积为平方米； （2）当，时， 平方米， 元， 当完成绿化共需要元钱． 18．如图是某路口的导向指示牌．已知该指示牌长为，宽为， (1)求箭头部分的面积并化简． (2)当，时，请计算箭头部分的面积． 【答案】(1)箭头的面积为： (2) 【解题思路】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）空白部分的面积为2个小正方形的面积与2个三角形的面积之和，箭头的面积可看作大长方形的面积减去空白部分的面积； （2）把相应的值代入运算即可． 【详细解答】（1）解：空白部分的面积为： 箭头的面积为： ． （2）当，时， 箭头部分的面积为 考点七乘法公式 19．（1）已知，，求代数式的值． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）（2） 【解题思路】本题考查了整式的化简求值，能熟练进行整式混合运算，并利用整体代入法进行计算是解题的关键． （1）先利用幂的运算化为，再整体代入，即可求解； （2）先利用平方差公式和完全平方公式进行运算，再进行加减运算，最后整体代值计算，即可求解； 【详细解答】解：（1）原式 ，， ，，， 原式 ； （2）原式 ， ， ， 原式 ． 20．我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式进行变形，如：，． (1)根据以上变形填空：已知；，则 ； (2)若，，求的值； (3)如图，正方形、的边长分别为x，y，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】(1)3； (2)； (3)． 【解题思路】本题主要考查了完全平方公式的应用，完全平方公式的几何背景，梯形的面积公式，熟练掌握题干中的公式变式是解题的关键． 利用：解答即可； 利用解答即可； 利用梯形的面积公式解答即可． 【详细解答】（1）解：，，， ， ， 故答案为：3； （2）解：，，， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴图中阴影部分的面积， 故答案为：． 21．（1）计算： （2）用简便方法计算 （3）用乘法公式简算： 【答案】（1）4（2）-4（3） 【解题思路】本题考查负整数指数幂、零指数磊、绝对值、乘方的运算以及平方差公式、完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握相关运算法则和公式． （1）分别根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值、乘方的运算法则计算各项，再进行加减运算； （2）将变形为符合平方差公式的形式，再结合完全平方公式计算； （3）把看作一个整体，利用平方差公式展开，再用完全平方公式展开． 【详细解答】解：（1） ； （2） ； （3） ． 考点八图形的平移 22．计算下面图形的周长．（单位：厘米） 【答案】图图形的周长是厘米，图图形的周长是厘米． 【解题思路】本题主要考查了平移，根据平移的定义即可求解，掌握平移的定义是解题的关键． 【详细解答】解：由平移可知：将图转化为求长厘米，宽厘米的长方形周长：（厘米）， 将图长厘米的线段移到下面，转化成了一个长方形，但多两条厘米的线段，周长：（厘米）， 答：图图形的周长是厘米，图图形的周长是厘米． 23．如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留作图痕迹）： (1)画出； (2)连接、，那么线段与线段的关系是______； (3)平移过程中，线段扫过的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)10 【解题思路】本题考查了平移作图和平移的性质，熟知平移的性质是解题的关键； （1）根据平移的性质画图即可； （2）利用平移的性质即可得到结论； （3）线段扫过的面积为平行四边形的面积，再求面积即可． 【详细解答】（1）解：如图所示： （2）解：连接、，那么线段与线段的关系是，； 故答案为：， （3）解：如上图，线段扫过的面积为平行四边形的面积， 且的面积． 24．如下图，在正方形网格中有两个三角形，将下面的三角形通过平移与上面三角形拼合成一个四边形，用不同的平移方法分别在图1，图2中画出符合题意的图形． 【答案】见解析 【解题思路】本题考查作图一应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据平移的性质按要求画图即可． 【详细解答】如图1，将下面的三角形向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度与上面三角形拼合成一个四边形，则四边形即为所求； 如图2，将下面的三角形向上平移3个单位长度，向右平移2个单位长度与上面三角形拼合成一个四边形，则四边形即为所求． ． 考点九轴对称图形 25．①在图中画出与关于直线成轴对称的； ②在直线上找到一点，使最短. 【答案】①见解析；②见解析 【解题思路】本题考查了画轴对称图形，轴对称的性质求线段和的最值问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键；①根据轴对称的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解；②连接，则，则，根据线段最短，即可求解． 【详细解答】解：如图，即为所求 ②如图所示，点即为所求； 26．如图．在方格纸上画出了一棵树的一半，请你以树干为对称轴画出树的另一半． 【答案】见解析 【解题思路】本题考查的是作图﹣轴对称变换，根据轴对称的性质画出图形即可． 【详细解答】解：如图所示： 27．图1、图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点都在格点上．（提醒：每个小正方形边长为1） (1)在图1中，将平移到，使点A与点D对应； (2)在图2中，作出一个与关于直线成轴对称的格点三角形； (3)在图3中，作出四边形，使四边形为轴对称图形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【解题思路】本题考查了平移作图，轴对称作图； （1）将向右平移，再向下平移，作出图形，即可求解； （2）利用轴对称的性质，作出关于直线的对称点，即可求解； （3）以直线为对称轴，作出关于直线的对称点，即可求解； 掌握平移作图及轴对称作图的作法是解题的关键． 【详细解答】（1）解：如图， 为所求作图形； （2）解：如图， 为所求作图形； （3）解：如图， 四边形为所求作图形． 考点十图形的旋转 28．按要求完成以下作图． (1)作，使其与关于直线成轴对称； (2)作线段关于点对称的线段； (3)作线段绕点C逆时针旋转后所得线段． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【解题思路】本题考查图形的变换---轴对称，中心对称和旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据成轴对称的性质，画出即可； （2）根据对称性确定的位置，画出线段即可； （3）根据旋转的性质画出线段即可． 【详细解答】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求； 29．如图均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点和点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图、并保留作图痕迹． (1)在图中，画出，使与关于点成中心对称； (2)在图中，画出将绕点顺时针旋转得到的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解题思路】此题考查了中心对称和旋转作图，解题的关键是掌握中心对称和旋转的性质． （1）根据中心对称的性质画图即可； （2）根据旋转的性质画图即可． 【详细解答】（1）解：如图，即为所求， ． （2）解：如图，即为所求， ． 30．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)平移到，其中点对应点为点，请画出； (2)以点O为旋转中心，将旋转得到，请画出． (3)已知与关于某点成中心对称，则该点为_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【解题思路】考查了作图—平移变换、旋转变换，中心对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）连接、、，交点即为所求． 【详细解答】（1）解：∵平移到，其中点对应点为点， ∴平移方式为：向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， 如图：即为所求， （2）解：如图：即为所求， （3）解：如图：连接、、，交点为， 即与关于某点成中心对称，则该点为． 考点十一二元一次方程的概念和解 31．兴庆宫公园是西安市最大的城市公园，拥有优美的自然风光和精致的园林景观，是市民游玩休闲的好地方．星光中学李老师组织七（1）班48名学生假期去兴庆宫公园划船游玩，已知公园内有四座电动船和六座电动船可供租用，若每条船均坐满，且每种船型至少租一条，请你求出所有可行的租船方案． 【答案】所有可行的租船方案有三种：租用3条四座电动船，6条六座电动船；租用6条四座电动船，4条六座电动船；租用9条四座电动船，2条六座电动船 【解题思路】本题考查二元一次方程的应用．设租用条四座电动船，条六座电动船，列二元一次方程组求出整数解即可解题． 【详细解答】解：设租用条四座电动船，条六座电动船， 则有：， ． 为正整数，且， 或或， 故所有可行的租船方案有以上三种，即租用3条四座电动船，6条六座电动船；租用6条四座电动船，4条六座电动船；租用9条四座电动船，2条六座电动船． 32．某包装生产企业承接了一批无盖包装盒制作业务，该包装盒如图甲所示．该企业购得规格为的标准板材作为原材料，每张标准板材可按照裁法一或裁法二裁出型与型两种规格的板材用于制作无盖包装盒，如图乙所示．（单位：） (1)求出图甲中与的值． (2)若企业有100张标准板材用于制作无盖包装盒，其中一部分按照裁法一进行裁剪，剩下的都按照裁法二进行裁剪，如果裁剪所得到的型与型板材刚好全部用完，求有多少张标准板材是按照裁法一进行裁剪的？ 【答案】(1)图甲中， (2)有张标准板材是按照裁法一进行裁剪 【解题思路】本题主要考查二元一次方程组，一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）根据裁法一、二的数量关系列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意，A型的数量与B型的数量关系是：倍B型数量被A型数量，设有张标准板材是按照裁法一进行裁剪，则有张标准板材是按照裁法二进行裁剪，分别求出A型的数量，B型的数量，列方程求解即可． 【详细解答】（1）解：根据裁法一、二可得方程组： ， 解得，， ∴图甲中，； （2）解：根据图示可知，一个无盖包装盒包含3个A型，2个B型， ∴A型的数量与B型的数量关系是：倍B型数量倍A型数量， 设有张标准板材是按照裁法一进行裁剪，则有张标准板材是按照裁法二进行裁剪， ∴裁法一、二中A型的数量为：（个）， 裁法一、二中B型的数量为：（个）， ∴， 解得，， ∴有张标准板材是按照裁法一进行裁剪． 33．某果农现采摘了32千克的脐橙，准备将采摘的脐橙用大箱子和小箱子分装销售，其中每个大箱子装4千克脐橙，每个小箱子装3千克脐橙，且要求大、小箱子都要装满．问最多需要多少个箱子？ 【答案】最多需要10个箱子 【解题思路】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题．熟练掌握脐橙总千克数和每个大箱子装千克数与大箱数，每个小箱子装千克数与小箱数的关系，列方程，赋值解二元一次方程，是解题的关键． 设用x个大箱，y个小箱，利用每个大箱装4千克脐橙，每个小箱装3千克脐橙，建立方程，求出方程的正整数解可得答案． 【详细解答】解：设用x个大箱，y个小箱， ∴， ∴， ∴方程的正整数解为： 或， ∴所装的箱数最多为箱； 故最多需要10个箱子． 考点十二二元一次方程组的概念 34．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) 【答案】(1)是，理由见解析 (2)是，理由见解析 【解题思路】根据二元一次方程组的定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组，即可进行解答． 【详细解答】（1）解：中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程， ∴该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组； （2）解：中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程， ∴该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组． 【考点点评】本题主要考查了二元一次方程组的定义，解题的关键是掌握：二元一次方程定义∶一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程．二元一次方程组定义∶两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组． 35．已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 【答案】(1)所有的正整数解为或 (2)（答案不唯一） 【解题思路】本题考查了二元一次方程组的解； （1）将方程变形，写出满足方程的正整数解即可； （2）写出满足解的一个二元一次方程即可． 【详细解答】（1）解：∵， ∴， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴所有的正整数解为或； （2）解：∵， ∴， ∴方程组的解为． 36．小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 【答案】小悦买书用了1元纸币3张，5元纸币9张． 【解题思路】本题考查二元一次方程组的实际应用，由所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，x、y均必须取非零自然数，，买书共用48元，逐步取值，看符合条件的x、y值即为方程组的解． 【详细解答】解：均必须取非零自然数， ∴列表尝试如下： x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 ∴方程组的解为 答：小悦买书用了 1元纸币 3张，5元纸币9张． 考点十三解二元一次方程组 37．解方程组： 【答案】 【解题思路】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． 方程组利用加减消元法求解即可． 【详细解答】解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 38．已知关于的方程组，若方程组的解互为相反数，求的值． 【答案】 【解题思路】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，相反数的应用，解答此题的关键是挖掘出内含在题干中的已知条件． 令，可得，，再根据方程组的解互为相反数，可得，求解即可． 【详细解答】解：， ，得， ，得， ∵方程组的解互为相反数， ∴， 即． 39．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：将方程②变形，得，即．③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得，方程组的解为 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代入”法解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2)17 【解题思路】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握整体代入法，是解题的关键： （1）将方程②变形，得，利用整体代入法进行求解即可； （2）利用加减消元法，消去，整体思想，求出的值即可． 【详细解答】（1）解： 将方程②变形，得， 即．③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得，解得， 方程组的解为 （2） ，得，即， ． 考点十四三元一次方程的定义积应用 40．解下列方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】本题主要考查了解二元一次方程组、解三元一次方程组等知识点，掌握加减消元法成为解题的关键． （1）直接运用加减消元法求解即可； （2）①可得③，然后运用加减消元法求解即可； （3）①②可得④，③④得，解得：．进而求得x、y的值即可解答． 【详细解答】（1）解： ①②，得，解得． 把带入①，得，解得：． ∴原方程组的解为：． （2）解： ①得，③． ②-③可得：，解得：， 把代入，解得：． ∴原方程组的解为： （3）解： ①②，得，即④   ③④，得，解得：． 把代入③可得：，解得：． 把代入①，得，解得：． ∴原方程组的解为： 41．某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元？ 【答案】C水果的销售额为150元 【解题思路】此题考查了三元一次方程组的应用，能够根据等量关系正确列方程组，然后运用加减法整体求得的值即可． 设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别是x、y、z套，根据该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元建立方程组求解． 【详细解答】解：设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别是x、y、z套． 则由题意得， 即 由得，即， 所以，共卖出C水果15千克，C水果的销售额为（元）； 答：C水果的销售额为150元． 42．有甲、乙、丙三种货物，若购甲货物2件、乙货物4件、丙货物1件，共需90元；若购甲货物4件、乙货物10件、丙货物1件，共需110元．若购甲、乙、丙货物各1件，则共需多少元？ 【答案】共需80元 【解题思路】本题考查了三元一次方程组的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设甲，乙，丙三种货物的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，然后用整体的思想求解即可． 【详细解答】设甲，乙，丙三种货物的单价分别为元，元，元． 根据题意，得 由，得③， 由，得． 所以若购甲，乙，丙货物各1件，则共需80元． 考点十五运用二元一次方程组解决问题 43．小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，一共花费5600元．已知彩色地砖每块80元，单色地砖每块40元，求两种型号的地砖各采购了多少块？ 【答案】购进彩色地砖块和单色地砖块 【解题思路】本题考查了二元一次方程组的应用，等量关系式：购进彩色地砖数量单色地砖的数量，购进彩色地砖费用单色地砖的费用，据此列方程组，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详细解答】解：设购进彩色地砖块和单色地砖块，由题意得 ， 解得：， 答：购进彩色地砖块和单色地砖块． 44．2025年春节，随着《哪吒2》电影的爆火，某玩具公司生产了“哪吒”和“放丙”两款手办．已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价便宜20元，按售价购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办共需540元．求“哪吒”手办和“敖丙”手办的售价分别为多少元． 【答案】“哪吒”手办和“敖丙”手办的售价分别为元，元． 【解题思路】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 本题根据“哪吒”比“敖丙”每个便宜20元以及购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办的总费用为540元，列出二元一次方程组，再解出的值，即可作答． 【详细解答】解：设“哪吒”手办和“敖丙”手办的售价分别为元，元， ∵“哪吒”比“敖丙”每个便宜20元， 即： ∵ 购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办的总费用为540元， ∴， 将以上两个方程联立，得到方程组： ． 得， ∴“哪吒”手办和“敖丙”手办的售价分别为元，元． 45．为降低空气污染，919公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车．计划购买型和型两种公交车（两种都需购买）其中每台的价格，年载客量如表： 型 型 价格（万元/台） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． (1)求的值； (2)如果该公司购买型和型公交车的总费用为1200万元，请你利用方程设计一个年载客最多的方案，并说明理由． 【答案】(1)的值为100，的值为150 (2)购买型公交车辆，型公交车辆时，年载客量最多，理由见解析 【解题思路】本题考查了解二元一次方程组的应用、二元一次方程的解，准确理解题意列出所需的方程组和方程是解答本题的关键． （1）根据题意列出关于的二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设购买型公交车辆，购买型公交车辆，由题意可列方程，根据，都为正整数，化简分析即可得解． 【详细解答】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴的值为100，的值为150． （2）解：设购买型公交车辆，购买型公交车辆， 由题意可列方程， 化简得，进一步变形为 ， ∵，都为正整数， ∴只能取、、 ， 当时，，此时年载客量为（万人/年）， 当时，，此时年载客量为（万人/年）， 当时，，此时年载客量为（万人/年）， ∵， ∴购买型公交车辆，型公交车辆时，年载客量最多． 考点十六不等式的定义及性质 46．利用不等式的性质解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】本题考查的是利用不等式的性质解不等式． （1）根据不等式的性质2，不等式两边乘，不等号的方向不变，即可求解； （2）根据不等式的性质1，不等式两边减3，不等号的方向不变，得到，再根据不等式的性质3，不等式两边除以，不等号的方向改变，即可求解． 【详细解答】（1）解：根据不等式的性质2，不等式两边乘，不等号的方向不变， 所以， 解得； （2）解：根据不等式的性质1，不等式两边减3，不等号的方向不变，所以 ， ， 根据不等式的性质3，不等式两边除以，不等号的方向改变，所以 ， 解得． 47．用不等式表示下列数量之间的关系： (1)一罐饮料净重为，其中，蛋白质含量为，且不低于净重的； (2)某校七年级学生有m人，八年级学生有n人，七年级学生人数比八年级的2倍还要多． 【答案】(1) (2) 【解题思路】本题主要考查了列不等式． （1）根据蛋白质含量不低于净重的列出不等式即可． （2）根据七年级学生人数比八年级的2倍还要多列出不等式即可 【详细解答】（1）解：根据题意可知蛋白质含量 （2）解：根据题意可知： 48．写出下列不等式变形的依据： (1)由，得； (2)由，得； (3)由，得． 【答案】(1)不等式的两边都加上1，不等号的方向不变 (2)不等式的两边都除以3，不等号的方向不变 (3)不等式的两边都乘，不等号的方向改变 【解题思路】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等， （1）根据不等式的性质回答即可． （2）根据不等式的性质回答即可． （3）根据不等式的性质回答即可． 【详细解答】（1）解： 不等式变形的依据为：不等式的两边都加上1，不等号的方向不变 （2）解：， 不等式变形的依据为：不等式的两边都除以3，不等号的方向不变 （3）解：， 不等式变形的依据为：不等式的两边都乘，不等号的方向改变 考点十七一元一次不等式的概念 49．已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【答案】 【解题思路】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详细解答】解：依题意得，且， ． 【考点点评】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 50．在一元一次不等式的定义中，为什么要有“系数不等于”这一限制条件？可举例说明． 【答案】见解析 【解题思路】根据一元一次不等式的定义举例说明即可． 【详细解答】解：∵当系数等于0时，不等式中x无论取何值，不等式的解集均为全体实数或无解， 此时不等式中不含有未知数，  例如：若不等式为：，当x的系数时，此时，不等式变为，无论x取何值，此不等式均不成立．； 【考点点评】本题考查的是一元一次不等式应具备系数不为条件，因为系数为时，不等式的解集均为全体实数或无解，此时不等式中不含有未知数． 考点十八解一元一次不等式 51．解不等式：，并在数轴上表示出解集． 【答案】，数轴见解析 【解题思路】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解题的关键．先根据不等式的性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详细解答】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 在数轴上表示为： ． 52．已知关于x、y的二元一次方程的解如下表 x … 0 1 2 … … 2 5 … (1)求k、b的值； (2)求当时x的值． (3)直接写出的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】本题考查二元一次方程的解得问题，解一元一次不等式，解题的关键是方程的解满足方程代入左右两边相等． （1）将方程的解代入方程组解方程组即可得到答案； （2）根据（1）将代入即可得到答案； （3）由（1）知k、b的值，建立一元一次不等式，求解即可． 【详细解答】（1）解：根据题意：当时， ，当时， ， 则， 解得：； （2）解：由（1）知二元一次方程原式为， 令， 解得：； （3）解：由（1）知， 则， 解得：． 53．已知关于的二元一次方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2)m<2 【解题思路】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一次不等式，熟知加减消元法是解题的关键． （1）得再根据得到，解方程即可得到答案； （2）得，根据得到，即，解不等式即可得到答案． 【详细解答】（1）解：得：，即 代入得：， 解得：， （2）解：得：，即， ∵， ∴， ∴， 解得：． 考点十九一元一次不等式组的认识及应用 54．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见详解 【解题思路】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可．本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．不等式组的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点． 【详细解答】解：， 由①式得， 由②得， ∴， 55．为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 【答案】全班至少有25人，至多有27人 【解题思路】本题考查的是二元一次方程与不等式组的应用，设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得，再进一步解题即可． 【详细解答】解：设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得 由①得：， 将代入②，得， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵是正整数， ∴全班至少有25人，至多有27人． 56．为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该校从商店购买了 A 种品牌的足球 50 个， B 种品牌的足球 25 个，共花费 4500 元，已知 B 种品牌足球的单价比 A 种品牌足球的单价高30 元． (1)求 A、 B 两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进 A、 B 两种品牌的足球 50 个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动， A 种品牌的足球单价优惠 4 元， B 种品牌的足球单价打 8 折．如果此次学校购买 A、 B 两种品牌足球的总费用不超过2750 元，且购买 B 种品牌的足球不少于 23 个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？该方案的购进费用为多少元？ 【答案】(1)A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元 (2)共有3种购买方案，为了节约资金，学校应选择购买方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球；总费用为元 【解题思路】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共需4500元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详细解答】（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； （2）解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球， 根据题意，得， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球，总费用为（元）； 方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为（元）； 方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为（元）． ∵， ∴为了节约资金，学校应选择购买方案1，总费用为元． 考点二十用一元一次不等式解决问题 57．今年五一当天，大唐芙蓉园迎来了四面八方的游客，为促进消费景区内A，B两个商店以相同价格出售同样的纪念品，并各自推出了不同的优恵方案：在店累计购物超过150元后，超出150元的部分打八五折；在店累计购物超过100元后，超出100元的部分打九折．若某游客准备购买标价为元的纪念品，则该游客到哪家店购买花费较少？ 【答案】当累计购物超过150元而不超过250元时，到店购买花费较少；当累计购物超过250元时，到店购买花费较少 【解题思路】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，根据题意可得店的花费为元，B店的花费为元，分到店购买花费较少和到B店购买花费较少两种情况，分别建立不等式求解即可． 【详细解答】解：当累计购物超过150元，即时，在A，B店购买都能享受优惠． ①若到店购买花费较少，则， 解得， 即时，到店购买花费较少； ②若到店购买花费较少，则， 解得， 即时，到店购买花费较少． 故当累计购物超过150元而不超过250元时，到店购买花费较少；当累计购物超过250元时，到店购买花费较少． 58．某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2台甲型号手机和1台乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3台甲型号手机和2台乙型号手机，共需要资金4600元． (1)求甲、乙型号手机每台进价为多少元？ (2)若该手机经销商计划用不超过10300元的资金购进甲、乙两种型号的手机共12台进行销售，则甲型号的手机最多只能购进多少台？ 【答案】(1)甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元； (2)甲最多购进3台 【解题思路】本题考查了一元一次不等式与二元一次方程组的应用， （1）设甲种型号手机每部进价为x元，乙种型号手机每部进价为y元，根据题意建立方程组求解就可以求出答案； （2）设购进甲种型号手机台，则购进乙种型号手机台，根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【详细解答】（1）解：设甲种型号手机每部进价为元，乙种型号手机每部进价为元 ， 解得， 答：甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元； （2）解：设购进甲种型号手机台，则购进乙种型号手机台， 根据题意得，， 解得， ∴甲最多购进3台． 59．苹果的进价是1.5元／千克，香梨的进价是2元／千克；李老板购进苹果的重量比香梨重量的3倍多20千克，一共花费420元；为方便销售，定价均为7元／千克． (1)李老板购进苹果和香梨各多少千克？ (2)若平均每天卖出苹果和香梨共50千克，每天利润不少于268元，则每天卖出的苹果至少是多少千克？ 【答案】(1)购进香梨60千克，购进苹果千克； (2)每天卖出的苹果至少是36千克． 【解题思路】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设李老板购进香梨千克，则李老板购进苹果为千克，根据“苹果的进价是1.5元/千克，香梨的进价是2元/千克，一共花费420元”，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设苹果的日销售量是千克，则香梨的日销售量是千克，根据“每天利润不少于268元”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案； 【详细解答】（1）解：设李老板购进香梨千克，则李老板购进苹果为千克， 根据题意得， 解方程得， 购进香梨60千克，购进苹果千克； （2）解：设苹果的日销售量是千克，则香梨的日销售量是千克， 根据题意，得 解不等式，得： 答：每天卖出的苹果至少是36千克． 考点二十一命题的认识及判断 60．如图，已知点、分别在、上，连接、交于点、．有以下三个论断：①；②，③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解题思路】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定： （1）任选两个条件作为题设，另外一个条件作为结论写出对应的命题，再判断真假即可； （2）根据（1）所求结合平行线的性质与判定条件证明即可． 【详细解答】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； （2）证明：选择①②为题设，③为结论， ，， ， ， ， ， ， ； 选择①③为题设，②为结论， ，， ， ， ， ∴， ， ； 选择②③为题设，①为结论， ， ， ， ， ， ， 又， ． 61．说出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假： (1)如果，那么； (2)周长相等的三角形的面积相等； (3)如果两个数都是正数，那么这两个数的差是正数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【解题思路】本题考查了逆命题，命题真假的判断，熟练掌握命题是解题的关键． （1）先根据命题与逆命题的关系写出逆命题，再判断真假即可． （2）先根据命题与逆命题的关系写出逆命题，再判断真假即可． （3）先根据命题与逆命题的关系写出逆命题，再判断真假即可． 【详细解答】（1）解：“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”， 原命题是真命题，逆命题是假命题； （2）解：“周长相等的三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形的周长相等”， 原命题是假命题，逆命题是假命题； （3）解：“如果两个数都是正数，那么这两个数的差是正数”的逆命题是“如果两个数的差是正数，那么这两个数都是正数”， 原命题是假命题，逆命题也是假命题． 62．阅读下面材料并解决问题： 一个命题的正确性需要经过推理，才能做出判断，这个推理过程叫做证明，证明中的每一步推理都要有根据，这些依据可以是已知条件，也可以是学过的的定义、基本事实、定理等，而判断一个命题是假命题，只需要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了． 判定命题“垂直于同一直线的两条直线平行”是真命题吗？如果是，写出证明过程；如果不是，请举出反例（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言进行表述）． 【答案】假命题；反例见解析 【解题思路】本题考查了命题真假的判断；根据题意画出图形即可作出判断． 【详细解答】解：如图所示长方体中，，但不平行； 即命题“垂直于同一直线的两条直线平行”是假命题． 考点二十二证明的过程及方法 63．你能否用方框（图示虚线框）在如图所示的月历中圈出9个数，使这9个数之和为171？如果能，请说明理由．如果不能，那么在下一个月的月历中能否圈出？为什么？ 【答案】不能，下一个月的月历中能圈出，理由见解析 【解题思路】此题考查反证法及一元一次方程的应用，反证法是一种论证方式，它首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证．根据反证法的步骤解答． 【详细解答】解：不能圈出，理由如下： 假设能圈出，设中间一个数为，则其余8个数字为：， 根据题意，得，即． 解得． 则其余8个数字为：， 与如图所示日历比较，19位于该月月历的最后一列，与题设矛盾，因此不能圈出； 如图下一个月的月历中能圈出， 因为下个月的月历1号是星期四， 所以19位于下一个月的月历的第4行第2列． 64．用反证法证明：已知a，b，c是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 【答案】见解析 【解题思路】此题考查反证法，反证法是一种论证方式，它首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证，反证法的步骤：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立．根据反证法的步骤解答． 【详细解答】解：假设与不平行，那么它们相交于一点． ，， 过点的两条直线，都与直线垂直． 这与基本事实“过一点有且只有一条直线与这条直线垂直”矛盾． 假设不成立． ． 65．给出命题：“如果两个角是同位角，那么这两个角相等．” (1)写出命题的题设和结论； (2)直接判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例．（只举例，不必详细说明理由） 【答案】(1)命题的题设为两个角是同位角，结论为这两个角相等． (2)命题是假命题，反例见详解（反例答案不唯一，正确即可） 【解题思路】本题主要考查命题，反例，掌握命题是有题设和结论组成，有真命题，假命题之分，反例的含义是解题的关键． （1）“如果”后面的部分为题设，“那么”后面的部分为结论； （2）反例是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子，由此即可求解 【详细解答】（1）解：命题的题设为两个角是同位角，结论为这两个角相等； （2）解：命题是假命题， 反例：如图， 与是同位角，但是． 学科网（北京）股份有限公司 $$期末考试考点全攻略 作者的话 亲爱的同学们： 期末考试即将来临，数学作为一门逻辑性强、知识点环环相扣的学科，系统化的复习至关重要。为了帮助大家高效备考，我们精心整理了这份《七年级数学下册期末考试考点全攻略》，按照选择题、填空题、解答题三大题型分类，精准剖析高频考点，点拨易错陷阱，并提供针对性解题策略。 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(2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y（结果需要化简）． 5．利用下述结论解决问题：若且是正整数），则． (1)，求的值； (2)如果，求的值； 6．某同学在比较，的大小时，发现55，33都是11的倍数，于是他将这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这三个数的大小． 解：因为，， 所以， 请根据上述解题思路完成下题：若，，试比较，的大小． 考点三同底数幂的除法 7．已知． (1)求的值； (2)求的值． 8．对于整数、定义运算： （其中、为常数），如． (1)填空：当时， ___________； (2)若，，求的值． 9．规定两数a、b之间的一种运算．记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空： ； ． (2)计算 ，并说明理由． 考点四单项式乘单项式 10．计算：（1）； （2）； 11．先化简，再求值．其中． 12．计算： (1)； (2)． 考点五单项式乘多项式 13．计算： (1)． (2) 14．计算： (1)； (2)． 15．如图，在长为米、宽为米的长方形铁片上，剪去一个长为米、宽为b米的小长方形铁片． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影的部分的面积S． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 考点六多项式乘多项式 16．计算： (1)； (2)． 17．某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，建筑区域是长为米，宽为米的长方形，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)求该小区绿化的总面积； (2)若，，绿化成本为元平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 18．如图是某路口的导向指示牌．已知该指示牌长为，宽为， (1)求箭头部分的面积并化简． (2)当，时，请计算箭头部分的面积． 考点七乘法公式 19．（1）已知，，求代数式的值． （2）已知，求代数式的值． 20．我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式进行变形，如：，． (1)根据以上变形填空：已知；，则 ； (2)若，，求的值； (3)如图，正方形、的边长分别为x，y，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 21．（1）计算： （2）用简便方法计算 （3）用乘法公式简算： 考点八图形的平移 22．计算下面图形的周长．（单位：厘米） 23．如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留作图痕迹）： (1)画出； (2)连接、，那么线段与线段的关系是______； (3)平移过程中，线段扫过的面积为______． 24．如下图，在正方形网格中有两个三角形，将下面的三角形通过平移与上面三角形拼合成一个四边形，用不同的平移方法分别在图1，图2中画出符合题意的图形． 考点九轴对称图形 25．①在图中画出与关于直线成轴对称的； ②在直线上找到一点，使最短. 26．如图．在方格纸上画出了一棵树的一半，请你以树干为对称轴画出树的另一半． 27．图1、图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点都在格点上．（提醒：每个小正方形边长为1） (1)在图1中，将平移到，使点A与点D对应； (2)在图2中，作出一个与关于直线成轴对称的格点三角形； (3)在图3中，作出四边形，使四边形为轴对称图形． 考点十图形的旋转 28．按要求完成以下作图． (1)作，使其与关于直线成轴对称； (2)作线段关于点对称的线段； (3)作线段绕点C逆时针旋转后所得线段． 29．如图均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点和点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图、并保留作图痕迹． (1)在图中，画出，使与关于点成中心对称； (2)在图中，画出将绕点顺时针旋转得到的． 30．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)平移到，其中点对应点为点，请画出； (2)以点O为旋转中心，将旋转得到，请画出． (3)已知与关于某点成中心对称，则该点为_______． 考点十一二元一次方程的概念和解 31．兴庆宫公园是西安市最大的城市公园，拥有优美的自然风光和精致的园林景观，是市民游玩休闲的好地方．星光中学李老师组织七（1）班48名学生假期去兴庆宫公园划船游玩，已知公园内有四座电动船和六座电动船可供租用，若每条船均坐满，且每种船型至少租一条，请你求出所有可行的租船方案． 32．某包装生产企业承接了一批无盖包装盒制作业务，该包装盒如图甲所示．该企业购得规格为的标准板材作为原材料，每张标准板材可按照裁法一或裁法二裁出型与型两种规格的板材用于制作无盖包装盒，如图乙所示．（单位：） (1)求出图甲中与的值． (2)若企业有100张标准板材用于制作无盖包装盒，其中一部分按照裁法一进行裁剪，剩下的都按照裁法二进行裁剪，如果裁剪所得到的型与型板材刚好全部用完，求有多少张标准板材是按照裁法一进行裁剪的？ 33．某果农现采摘了32千克的脐橙，准备将采摘的脐橙用大箱子和小箱子分装销售，其中每个大箱子装4千克脐橙，每个小箱子装3千克脐橙，且要求大、小箱子都要装满．问最多需要多少个箱子？ 考点十二二元一次方程组的概念 34．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) 35．已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 36．小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 考点十三解二元一次方程组 37．解方程组： 38．已知关于的方程组，若方程组的解互为相反数，求的值． 39．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法： 解：将方程②变形，得，即．③ 把方程①代入③，得，解得． 把代入①，得，方程组的解为 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代入”法解方程组 (2)已知满足方程组，求的值． 考点十四三元一次方程的定义积应用 40．解下列方程组： (1) (2) (3) 41．某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元？ 42．有甲、乙、丙三种货物，若购甲货物2件、乙货物4件、丙货物1件，共需90元；若购甲货物4件、乙货物10件、丙货物1件，共需110元．若购甲、乙、丙货物各1件，则共需多少元？ 考点十五运用二元一次方程组解决问题 43．小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，一共花费5600元．已知彩色地砖每块80元，单色地砖每块40元，求两种型号的地砖各采购了多少块？ 44．2025年春节，随着《哪吒2》电影的爆火，某玩具公司生产了“哪吒”和“放丙”两款手办．已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价便宜20元，按售价购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办共需540元．求“哪吒”手办和“敖丙”手办的售价分别为多少元． 45．为降低空气污染，919公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车．计划购买型和型两种公交车（两种都需购买）其中每台的价格，年载客量如表： 型 型 价格（万元/台） 年载客量（万人/年） 60 100 若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元． (1)求的值； (2)如果该公司购买型和型公交车的总费用为1200万元，请你利用方程设计一个年载客最多的方案，并说明理由． 考点十六不等式的定义及性质 46．利用不等式的性质解不等式： (1)； (2)． 47．用不等式表示下列数量之间的关系： (1)一罐饮料净重为，其中，蛋白质含量为，且不低于净重的； (2)某校七年级学生有m人，八年级学生有n人，七年级学生人数比八年级的2倍还要多． 48．写出下列不等式变形的依据： (1)由，得； (2)由，得； (3)由，得． 考点十七一元一次不等式的概念 49．已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 50．在一元一次不等式的定义中，为什么要有“系数不等于”这一限制条件？可举例说明． 考点十八解一元一次不等式 51．解不等式：，并在数轴上表示出解集． 52．已知关于x、y的二元一次方程的解如下表 x … 0 1 2 … … 2 5 … (1)求k、b的值； (2)求当时x的值． (3)直接写出的解集． 53．已知关于的二元一次方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 考点十九一元一次不等式组的认识及应用 54．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 55．为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 56．为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该校从商店购买了 A 种品牌的足球 50 个， B 种品牌的足球 25 个，共花费 4500 元，已知 B 种品牌足球的单价比 A 种品牌足球的单价高30 元． (1)求 A、 B 两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进 A、 B 两种品牌的足球 50 个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动， A 种品牌的足球单价优惠 4 元， B 种品牌的足球单价打 8 折．如果此次学校购买 A、 B 两种品牌足球的总费用不超过2750 元，且购买 B 种品牌的足球不少于 23 个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？该方案的购进费用为多少元？ 考点二十用一元一次不等式解决问题 57．今年五一当天，大唐芙蓉园迎来了四面八方的游客，为促进消费景区内A，B两个商店以相同价格出售同样的纪念品，并各自推出了不同的优恵方案：在店累计购物超过150元后，超出150元的部分打八五折；在店累计购物超过100元后，超出100元的部分打九折．若某游客准备购买标价为元的纪念品，则该游客到哪家店购买花费较少？ 58．某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2台甲型号手机和1台乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3台甲型号手机和2台乙型号手机，共需要资金4600元． (1)求甲、乙型号手机每台进价为多少元？ (2)若该手机经销商计划用不超过10300元的资金购进甲、乙两种型号的手机共12台进行销售，则甲型号的手机最多只能购进多少台？ 59．苹果的进价是1.5元／千克，香梨的进价是2元／千克；李老板购进苹果的重量比香梨重量的3倍多20千克，一共花费420元；为方便销售，定价均为7元／千克． (1)李老板购进苹果和香梨各多少千克？ (2)若平均每天卖出苹果和香梨共50千克，每天利润不少于268元，则每天卖出的苹果至少是多少千克？ 考点二十一命题的认识及判断 60．如图，已知点、分别在、上，连接、交于点、．有以下三个论断：①；②，③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 61．说出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假： (1)如果，那么； (2)周长相等的三角形的面积相等； (3)如果两个数都是正数，那么这两个数的差是正数． 62．阅读下面材料并解决问题： 一个命题的正确性需要经过推理，才能做出判断，这个推理过程叫做证明，证明中的每一步推理都要有根据，这些依据可以是已知条件，也可以是学过的的定义、基本事实、定理等，而判断一个命题是假命题，只需要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了． 判定命题“垂直于同一直线的两条直线平行”是真命题吗？如果是，写出证明过程；如果不是，请举出反例（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言进行表述）． 考点二十二证明的过程及方法 63．你能否用方框（图示虚线框）在如图所示的月历中圈出9个数，使这9个数之和为171？如果能，请说明理由．如果不能，那么在下一个月的月历中能否圈出？为什么？ 64．用反证法证明：已知a，b，c是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 65．给出命题：“如果两个角是同位角，那么这两个角相等．” (1)写出命题的题设和结论； (2)直接判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例．（只举例，不必详细说明理由） 学科网（北京）股份有限公司 $$