精品解析：江苏省徐州市铜山区第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

铜山一中高一年级5月份月考(数学）试卷 2025.5.22 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 某圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为π的扇形，则该圆锥的高为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 若向量，为单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 若为空间中两条不同的直线，为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为堑堵；将“底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥”称为阳马.如图，在堑堵中，，，，阳马的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部O的正东方向A处，测得旗杆顶端P的仰角为，在A的南偏西方向上的B处，测得P的仰角为（O，A，B在同一水平面内），A，B两点间的距离为20m，则旗杆的高度OP约为（，）（ ） A. 10m B. 14m C. 17m D. 20m 8. 在矩形中，，，将沿对角线折起，使到，形成三棱锥，则异面直线与所成角的范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 若复数（为虚数单位），则下列结论正确的有（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第二象限 10. 在棱长为1的正方体，中，，分别为，的中点，则（ ） A. B. 直线与平面所成的角的正弦值为 C. 平面截该正方体所得的截面面积为 D. 点到平面的距离为 11. 四边形中，，，，将四边形沿对角线折成直二面角，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 和平面所成的角为 D. 四面体的体积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中，则此三棱柱的体积是______． 13. 已知函数在有且仅有三个零点，则实数的取值范围是__________. 14. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为_______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量，． （1）若，求； （2）若，且，求． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求的大小； （2）若的面积为，且，当线段的长最短时，求的长. 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点． （1）证明：； （2）证明：平面． 18. 如图，在直棱柱中，，，，，. （1）证明：面面； （2）求多面体的体积. 19. 如图，在四棱锥中，，，，△MAD为等边三角形，平面平面ABCD，点N在棱MD上，直线平面ACN． （1）证明：． （2）设二面角的平面角为，直线CN与平面ABCD所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜山一中高一年级5月份月考(数学）试卷 2025.5.22 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简复数，再求出共轭复数即可. 【详解】, 则复数的共轭复数为. 故选：A. 2. 某圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为π的扇形，则该圆锥的高为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆锥底面圆半径，再利用圆锥的结构特征求出高. 【详解】依题意，圆锥的母线长，设圆锥的底面圆半径为， 依题意，，解得， 所以圆锥的高. 故选：B 3. 若向量，为单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】通过向量模的平方等于向量的平方即可求解. 【详解】因为向量，为单位向量，所以， 因为， 所以 ， 所以. 故选：A. 4. 若为空间中两条不同的直线，为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面和面面之间的关系，结合选项依次判断即可. 【详解】A：若，则，故A正确； B：若，则，故B正确； C：若，，则，故C正确； D：若，则或与异面或与相交，故D错误. 故选：D 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法，令，，找到与的关系，然后利用诱导公式和倍角公式进行求值即可. 【详解】令，，则， 令，则 所以 故选：B. 6. 《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为堑堵；将“底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥”称为阳马.如图，在堑堵中，，，，阳马的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由面面垂直的性质得到平面，设的外接球的半径为，则，求出，即可求出外接球的表面积. 【详解】因为，，，所以， 又为直棱柱，平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 又矩形外接圆的直径为， 设的外接球的半径为，又，， 所以，所以， 所以阳马的外接球的表面积. 故选：C 7. 某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部O的正东方向A处，测得旗杆顶端P的仰角为，在A的南偏西方向上的B处，测得P的仰角为（O，A，B在同一水平面内），A，B两点间的距离为20m，则旗杆的高度OP约为（，）（ ） A. 10m B. 14m C. 17m D. 20m 【答案】C 【解析】 【分析】利用仰角、方位角的定义及锐角三角函数，结合余弦定理即可求解. 【详解】 如图，设米，则米，米. 在中，由题意可得，， 由余弦定理可得， 解得 米. 故选：C. 8. 在矩形中，，，将沿对角线折起，使到，形成三棱锥，则异面直线与所成角的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可知初始状态时直线与直线所成的角为，由于，可得异面直线与不垂直，翻折过程中当平面与平面重合时，与所成锐角为异面直线与所成角的临界值，求出.，即可得到答案. 【详解】由题可知， 四边形是矩形，， 所以初始状态时直线与直线所成的角为， 已知矩形中，，， ， 翻折过程中，如下图， 因为，所以，则与平面不垂直， 因为，， 所以异面直线与不垂直， 翻折过程中，当平面与平面重合时，与所成锐角为异面直线与所成角的临界值，如下图： 因为矩形中，,，， ，所以，同理，所以，即异面直线与所成角的临界值为,所以异面直线与所成角的范围为； 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 若复数（为虚数单位），则下列结论正确的有（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第二象限 【答案】AC 【解析】 【分析】由复数的模长公式，虚部、共轭复数概念及几何意义逐个判断即可. 【详解】因为，所以，故A正确； 的虚部为，故B错误； ，所以，故C正确； 在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D错误. 故选：AC 10. 在棱长为1的正方体，中，，分别为，的中点，则（ ） A. B. 直线与平面所成的角的正弦值为 C. 平面截该正方体所得的截面面积为 D. 点到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用与不垂直，且，可判断A，求出线面角的正弦值可判断B；作出截面可判断C，利用三棱锥等体积计算点到平面的距离可判断D，进而可得正确选项. 【详解】 对于A：因为与不垂直，且，所以与不垂直，故选项A不正确； 对于B：连接，因为面，所以即为直线与平面所成的角，因为，所以， 故选项B正确； 对于C：连接，，则，所以所求截面为梯形， ，， ，所以 梯形的高为， 所以截面面积为，故选项C正确； 对于D：设点点到平面的距离为，由可得： ， 因为，，，所以 ， 所以， 所以， 所以，所以.故选项D正确， 故选：BCD. 11. 四边形中，，，，将四边形沿对角线折成直二面角，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 和平面所成的角为 D. 四面体的体积为 【答案】BC 【解析】 【分析】先证明平面、平面，再逐项判断即可. 【详解】因为二面角是直二面角，所以平面平面， 而平面平面，，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为，，所以， 所以，因为，所以平面. 因为平面，故即，故B正确. 若，因为，，故平面， 但平面，故，矛盾，故A错误. 因为平面，故为直线和平面所成的角， 在中，，故，故C正确. 又，故D错. 故选：BC. 【点睛】本题考查线面垂直的证明、线面角的计算以及三棱锥体积的计算，在垂直关系的证明过程中，注意线线垂直与线面垂直关系的转化，而体积的计算，注意选择合适的顶点和底面. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中，则此三棱柱的体积是______． 【答案】6 【解析】 【分析】首先还原底面，根据几何关系，计算底面积和体积. 【详解】根据直观图的画法规则，还原三棱柱的底面，得，，且， 所以底面的面积，三棱柱的高为3， 所以三棱柱的体积. 故答案为：6 13. 已知函数在有且仅有三个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由降幂公式及辅助角公式可得函数的解析式，由，得，由零点的个数，可得，可求的取值范围. 【详解】 ， 由，时，， 在有且仅有三个零点，则有，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为_______. 【答案】1 【解析】 【分析】法一：根据台体的体积公式得三棱台的高，作辅助线并结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系得，进而求正三棱锥的高，即得结果. 【详解】法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为，则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得， 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则，知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故答案为：1 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量，． （1）若，求； （2）若，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示求出，再由二倍角公式计算可得； （2）由数量积的坐标表示、两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可求出，最后根据两角和的余弦公式计算可得. 【小问1详解】 因为，且， 所以，则， 所以. 【小问2详解】 因为，且， 所以，则， 所以，则，所以， 又，所以，所以， 所以 . 16. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求的大小； （2）若的面积为，且，当线段的长最短时，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）由面积公式求出，在中利用余弦定理及基本不等式求出的最小值，求出此时、的值，再由余弦定理计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 所以，又，所以， 所以，即，又， 所以； 【小问2详解】 因为的面积为，即， 即，则，， 因为，所以， 在中， 即，当且仅当，即，时取等号， 所以，即的最小值为，此时，， 则， 所以，即. 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点． （1）证明：； （2）证明：平面． 【答案】（1） 连接交于点，由四边形是菱形得， 因为平面，平面， 所以， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以． （2） 连接， 因为四边形是菱形，所以点为中点， 又分别是棱的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 因为平面，且， 所以平面平面，又平面， 所以平面． 【解析】 【分析】（1）连接交于点，由已知证明平面，又平面，即可证明； （2）连接，证明出平面平面，结合面面平行的性质即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在直棱柱中，，，，，. （1）证明：面面； （2）求多面体的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理，直接证明，即可得出结论成立； （2）根据题意，得到底面是直角梯形，设，根据梯形面积公式，求出，再由，即可求出几何体的体积. 【详解】（1）证明：在直棱柱中，侧棱和底面垂直，即平面， 又平面，∴ 又∵，且，平面，平面， ∴平面 又∵平面，∴面面 （2），，，， 所以底面是直角梯形； 设，则，，又， 所以梯形的面积为， 即，所以， 整理得，解得 则或（舍），即； 所以多面体的体积 . 【点睛】本题主要考查证明面面垂直，考查求几何体的体积，属于常考题型. 19. 如图，在四棱锥中，，，，△MAD为等边三角形，平面平面ABCD，点N在棱MD上，直线平面ACN． （1）证明：． （2）设二面角的平面角为，直线CN与平面ABCD所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 【答案】（1） 连接BD交AC于O，连接ON． 因为，，所以根据相似的性质可得． 因为直线平面ACN，平面MBD，平面平面， 所以，则，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据相似以及线面平行的性质即可求解， （2）由面面垂直可得线面垂直，进而根据二面角以及线面角的定义，即可找到其平面角，利用三角形的边角关系，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取AD的中点E，AC的中点F，连接ME，EF，MF． 因为△MAD为等边三角形，所以不妨设， 则，． 因为平面平面ABCD，平面平面，平面, 所以平面ABCD，平面ABCD,所以，． 又因为E，F分别为AD，AC的中点，所以， 而，所以，又，平面MEF, 则平面MEF，平面MEF得， 所以∠MFE是二面角的平面角，即． 设，则，得． 过N作交AD于H，连接CH，由于平面ABCD，所以平面ABCD， 则∠NCH为直线CN与平面ABCD所成的角，即． ，，． 因为，所以， 则． 因为，所以． 故的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：第二问，根据线面角、二面角定义，应用几何法找到对应平面角，进而找到两角正切值相关边的关系并确定范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $