精品解析：江西省南昌中学2024-2025学年高二下学期5月考试数学试题

南昌中学2024—2025学年度下学期5月考试高二数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，共40.0分. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可. 【详解】由题意可得：，则. 故选：A. 2. 设命题：，则的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题根据题意直接写出命题的否定即可. 【详解】解：因为命题：， 所以的否定：， 故选：B 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，是基础题. 3. 记等差数列的前项和为，则（ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】利用下标和性质先求出的值，然后根据前项和公式结合下标和性质求解出的值. 【详解】因为，所以，所以， 所以， 故选：C. 4. 设，为实数，且，则的最小值是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质与幂的运算性质，有，结合题意，代入可得答案． 【详解】因，， 根据基本不等式的性质有， 又由， 则，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 故选：B． 5. 若幂函数在单调递减，则（ ） A. 8 B. 3 C. -1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意得出关于的等式和不等式，解出即可. 【详解】∵是幂函数，∴ 解得或又函数在单调递减，则 即有幂函数，∴ 故选：D. 6. 已知关于的不等式的解集为，则错误的说法是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的解集为或 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式不等式解集得，，且，再应用基本不等式和含参一元二次不等式的解法判断各项正误. 【详解】由题知，其解集为， 所以，，且，即，故A错误，B正确； 由，当且仅当时等号成立，故C正确； 由或，解集为或，故D正确. 故选：A. 7. 定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到的图象的对称轴是，周期是8，进一步有，结合单调性即可得解. 【详解】定义在上的奇函数满足， 则的图象的对称轴是， 所以， 则， 则，所以的周期是8， 所以， 因为在上单调递增， 所以. 故选：D. 8. 设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，即可得到，构造函数，求导得其最值，即可得到结果. 【详解】由题意可得，即， 所以， 又，所以在上单调递增， 即，所以， 且， 令，， 则，其中， 令，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值， 所以，， 所以. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数同构问题以及导数求最值问题，结合同构函数，然后构造函数求导即可得到结果. 二、多选题：本大题共3小题，共18.0分. 9. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】CD 【解析】 【分析】先求得不等式的解集，根据题意，求得，结合选项，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以. 结合选项，选项C、D满足题意. 故选：CD. 10. 已知等比数列的前n项和，则（ ） A. 首项不确定 B. 公比 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据等比数列基本量运算，依次判断每个选项，即可得到答案； 【详解】由，当时，. 由数列为等比数列，可得必定符合， 有，可得， 数列的通项公式为，， 数列的公比.由上知A选项错误， 故选：BCD. 【点睛】本题考查等比数列的前项和递推公式，求数列的公比等性质. 11. 已知定义在上的函数和，是的导函数且定义域为．若为偶函数，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，先利用求导证明为奇函数，再证明其还为周期为的函数，再通过合理赋值可一一核对各选项的对错. 【详解】因为为偶函数，则，两边求导得，所以为奇函数， 因为，， 所以，则，所以， 即的周期，因为为定义域为的奇函数，所以， 则，故B错误； 在中，令，可得， 所以，故A正确； 由，令，可得， 则，则，即， 所以，故D错误； 在中，令，得， 在中，令，得， 两式相加得，即，故C正确． 故选：AC 【点睛】方法点睛： 对于抽象函数求值问题，赋值法是一种常用的方法， 尤其适用于题目中给出抽象函数关系式的题型. 三、填空题：本大题共3小题，共15.0分. 12. 等比数列中，，则的前4项和等于______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列项间关系列式求出公比，进而求出前4项和. 【详解】设等比数列的公比为，由，得， 解得，因此， 所以的前4项和等于5. 故答案：5 13. 若函数在区间上为减函数，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，分类讨论对数底数的范围，结合二次函数的单调性及真数大于0求解即可. 【详解】令， 当时，是增函数，由在区间上为减函数， 则在上为减函数，故，解得， 当时，是减函数，由在区间上为减函数，则在上为增函数，故，解得， 综上，的取值范围是. 故答案为： 14. 已知函数在处取得极大值，则______________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据极值与极值点的定义可得解. 【详解】由， 得， 则， 解得或， 当时，，， 此时函数在，上单调递增，在上单调递减， 即函数在处取极小值，不成立； 当时，，， 此时函数在，上单调递增，在上单调递减， 即函数在处取极大值，成立； 综上所述， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共60.0分. 15. 等差数列中，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d. 因所以. 解得a1＝1，d＝.所以{an}的通项公式为an＝. (2)bn＝＝， 所以Sn＝ 16. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）在线段上找一点，使平面平面，求的长； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取中点为，连接，可得，又可得，进而可得平面，可得平面平面，可求得的长； （2）取中点为，连接，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 取中点，连接，因为，所以， 又平面，平面，， 因为平面，平面，， 所以平面，因为平面，所以平面平面， 此时； 【小问2详解】 取中点为，连接，在平面内过点作的平行线为轴，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 所以与平面所成角的正弦值． 17. 在一个不透明的盒子中装有除颜色外其余完全相同的若干个小球，其中有m个白球，m个黑球，2个黑白相间的球，且从盒子中随机摸出1个球，摸到黑白相间的球的概率为． （1）从盒子中随机摸出1个球，求在摸出的球上带有黑色的条件下，摸出黑白相间的球的概率； （2）从盒子中1次随机取出1个球，取出后不放回，共取2次，设取出黑球数量为X，求X的分布列与期望． 【答案】（1）； （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率. （2）求出的可能值及对应的概率值，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 由从盒子中随机摸出1个球，摸到黑白相间的球的概率为，得，解得， 盒子中带有黑色的球有6个，其中黑白相间的球有2个， 所以在摸出的球上带有黑色的条件下，摸出黑白相间的球的概率. 【小问2详解】 依题意，的可能值为， 则， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望. 18. 已知椭圆的离心率是，点在上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 则 ， 所以线段的中点是定点. 【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 19. 已知函数，． （1）求的最小值 （2）当时，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导得函数单调性即可得最小值； （2）令，，所以恒成立，求导得，对分类讨论，结合基本不等式，零点存在性定理即可求解. 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故； 【小问2详解】 令，， 因为时，，所以恒成立， ，令， 则有，令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，所以，即， 则时，， 所以在上单调递增， 则，又，所以，即， 则在上单调递增，从而，又，所以； 当时，令， 因为，则有， 故在上单调递增， 而，， 故存在，， 从而当时，，单调递减， 所以当时，， 又，所以，在上单调递减， 则，又， 故，与矛盾，故不合题意， 综上所述，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南昌中学2024—2025学年度下学期5月考试高二数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，共40.0分. 1. 已知全集，集合，则（ ） A B. C. D. 2. 设命题：，则的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 记等差数列的前项和为，则（ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 4. 设，为实数，且，则的最小值是（    ） A. B. C. D. 5. 若幂函数在单调递减，则（ ） A. 8 B. 3 C. -1 D. 6. 已知关于的不等式的解集为，则错误的说法是（ ） A. B. C. 最小值为 D. 的解集为或 7. 定义在R上奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、多选题：本大题共3小题，共18.0分. 9. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知等比数列的前n项和，则（ ） A. 首项不确定 B. 公比 C. D. 11. 已知定义在上的函数和，是的导函数且定义域为．若为偶函数，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，共15.0分. 12. 等比数列中，，则的前4项和等于______． 13. 若函数在区间上为减函数，则的取值范围是___________. 14. 已知函数在处取得极大值，则______________. 四、解答题：本大题共5小题，共60.0分. 15. 等差数列中，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）在线段上找一点，使平面平面，求的长； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值． 17. 在一个不透明的盒子中装有除颜色外其余完全相同的若干个小球，其中有m个白球，m个黑球，2个黑白相间的球，且从盒子中随机摸出1个球，摸到黑白相间的球的概率为． （1）从盒子中随机摸出1个球，求在摸出的球上带有黑色的条件下，摸出黑白相间的球的概率； （2）从盒子中1次随机取出1个球，取出后不放回，共取2次，设取出黑球数量为X，求X的分布列与期望． 18. 已知椭圆的离心率是，点在上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 19. 已知函数，． （1）求最小值 （2）当时，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$