2024-2025学年人教版七年级上册数学暑假 第5讲 有理数的乘方与混合运算

第5讲 有理数的乘方与混合运算 课程目标 1．理解乘方的意义，能识别一个幂的底数与指数； 2．能利用乘方的意义进行简单的计算，并能解决一些简单的实际问题； 3．会进行有理数的混合运算； 4．会用科学记数法表示绝对值较大的数，能按要求对某个数取近似值． 课程内容 知识点一 乘方的意义 乘方的意义：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫做幂；在中，叫做底数，叫做指数；也可以读作“的次幂”或“a的n次方”． 特别地，一个数可以看成是它本身的1次方；例如4是4的1次方，即，指数1通常省略不写；某数的二次方习惯上叫做这个数的平方，某数的三次方习惯上叫做这个数的立方． 题型一 乘方的意义 例1 根据乘方的意义填表： 知识点二 乘方的运算法则 乘方的运算法则：根据乘方的意义，有理数的乘方运算可以转化为有理数的乘法运算，因此有理数乘方的符号法则与运算法则，可根据有理数的乘法法则确定． 规律总结： （1）正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数；0的任何正整数次幂都是0． （2）有理数的乘方运算应先确定幂的符号，再计算幂的绝对值． 题型一 根据乘方的运算法则计算 例2 计算下列各题： （1） （－5）4； （2）； （3）； （4）． 练2 计算下列各题： （1）－（－2）6；（2）；（3）；（4）；（5）（－1）2018；（6）3×34． 题型二 乘方的实际应用 例3 一根5米长的绳子，第1次剪去一半，第2次剪去第1次剪后剩下的一半，第3次剪去第2次剪后剩下的一半的一半，如此剪下去，问第8次剪去后剩下的绳子有多长？ 练3 将一张完好无缺的白纸对折n次后，数了一下共有128层，则n的值为（ ）． A．64 B．32 C．16 D．7 知识点三 有理数的混合运算 有理数的混合运算法则： （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如果有括号，先算括号里面的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 拓展：有理数的混合运算法则以小学时学的混合运算法则为基础，在此基础上，增加了负数与乘方，在有理数的混合运算中，当乘方运算完成后，有理数的混合运算法则与小学所学的运算法则基本相同． 注意：在进行有理数的混合运算时，能简便计算的，要简便计算． 题型一 有理数的混合运算 例4 计算： （1）﹣3﹣（﹣3）×3＋5； （2）； （3）； （4）． 练4 计算：（1）； （2）． 题型二 有理数的运算与绝对值、相反数、数轴等知识相结合 例5 已知∣x∣＝8，∣y∣＝2，且x的相反数在数轴上的对应点位于原点的右侧，求（x＋y）2的值． 练5 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，且∣x－2∣＋（y＋3）2＝0，求x2y－（a＋b＋cd）x＋（x＋y）2018的值． 知识点四 科学记数法 把一个绝对值大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤|a|＜10，n是正整数），这种记数的方法叫做科学记数法． 规律总结： （1）在科学记数法中，a值的范围为：1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1； （2）利用科学记数法的记数方法，还能把一个用科学记数法表示的数还原为原数． 题型一 利用科学记数法表示一个绝对值较大的数 例6 用科学记数法表示下列各数： （1）地球距离太阳约有150000000千米； （2）地球的表面积约为510000000km2． 练6 我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130 000 000kg的煤所产生的能量．把130 000 000kg用科学记数法可表示为（　　）． A．13×107kg B．0.13×108kg C．1.3×107kg D．1.3×108kg 题型二 还原科学记数法表示的数 例7 将下面用科学记数法表示的数还原成原数． 1.29×103，8.7×106，－7.2×109，－7.535 6×102． 练7 下列求原数不正确的是（ ）． A．3.56×104＝35600 B．－4.67×106＝－4670000 C．2×102＝200 D．3×105＝30000 知识点五 近似数 1．准确数与近似数：与实际数完全相符的数叫做准确数，与实际数接近的数叫做近似数，近似数与准确数的差值叫做误差． 2．近似数的精确度有两种表示方法：①用数位表示：即一个近似数的最后一位数字所在的数位．如精确到百分位、精确到0.1等，这种方法常用于没有单位的数；②用单位表示：一个近似数的最后一位数字所表示的单位．如精确到1cm、精确到0.1kg等，这种方法常用于带有单位的数． 题型一 确定一个近似数的精确程度 例8 下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？ （1）230；（2）18.3；（3）0.0098；（4）20.010；（5）9.03万；（6）3.21×104 练8 四舍五入得到的近似数6.49万，精确到（　　）． A．万位 B．百分位 C．百位 D．千位 题型二 求近似数 例9 用四舍五入法对下列各数取近似数． （1）0.4630（精确到百分位）；（2）0.02966（精确到0.001）； （3）1.5728（精确到0.01）；（4）5.649（精确到0.1）． 练9 用四舍五入法将1.8046取近似数并精确到0.01，得到的值是 ． 题型三 近似数在实际中的应用 例10 车工小王加工生产了两根轴，当它把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到长为2.60m，一根长为2.56m，另一根长为2.62m，怎么不合格？” （1）图纸要求精确到2.60m，原轴的长度范围是多少？ （2）你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ 练10 早在2013年12月14日21时11分，嫦娥三号就已成功登陆月球．北京飞控中心通过无线电波控制，将“嫦娥三号”着陆器与巡视器成功分离的画面传回到大屏幕上．已知无线电波传播速度为3×105km/s，无线电波到月球并返回地面用2.57s，求此时月球与地球之间的距离（精确到1000km）． 附加题 1．崔月山与王喆两位同学玩“24点”游戏（红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数）． （1）崔月山抽到的四张牌是红桃3，黑桃7，梅花3，方块A，你能写出两个不同的算式凑成24或－24吗？ （2）王喆抽到的四张牌是红桃9，梅花6，红桃2，黑桃3，你能写出三种不同的算式凑成24或－24吗？ 2．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2＋2ab＋a．如：1☆3＝1×32＋2×1×3＋1＝16． （1）求（﹣2）☆3的值； （2）求的值． 3．观察下列各式： ； ； ； …； （1）计算：13＋23＋33＋43＋…＋103的值； （2）试猜想：13＋23＋33＋43＋…＋n3的值． 一课一练 1．与算式22＋22＋22＋22的运算结果相等的是（ ）． A．24 B．82 C．28 D．216 2．计算﹣（－4）2的结果等于（ ）． A．﹣8 B．﹣16 C．16 D．8 3．近似数3.20×106精确到（ ）． A．百分位 B．百位 C．万位 D．百万位 4． 某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次（由1个分裂成2个，2个分裂成4个……），如果这种细菌由1个分裂成64个，那么这个过程需要经过（　　）． A．2小时 B．3小时 C．4小时 D．5小时 5．某数用科学记数法表示为－1.82×107，把它写成原数是 ． 6．计算： （1）（－47）×（64＋37）； （2）； （3）． 家庭作业 1．2017上半年，四川货物贸易进出口总值为2 098.7亿元，较去年同期增长59.5%，远高于同期全国19.6%的整体进出口增幅．在“一带一路”倡议下，四川同期对以色列、埃及、罗马尼亚、伊拉克进出口均实现数倍增长．将2098.7亿元用科学记数法表示是（　　）． A．2.098 7×103 B．2.098 7×1010 C．2.098 7×1011 D．2.098 7×1012 2．一根8米长的钢筋，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的钢筋长为（　　）． A．米 B．米 C．米 D．米 3．形如的式子叫做二阶行列式，其运算法则用公式表示为，依此法则计算的结果为（　　）． A．17 B．﹣17 C．1 D．﹣1 4．用四舍五入法对下列各数按要求取近似数：9.23456≈ （精确到0.0001）；567899≈ （精确到百位） 5．计算； ． 6．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，且b≠0，则的值为　　　　． 7．小华和小丽用不同的刻度尺都测出了自己的身高，小华测得自己的身高为1.6米，小丽测得自己的身高为1.61米，可是小华坚持说自己比小丽高．请你根据近似数的知识分析小华说的有可能吗？ 8．计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $$