2025--2026学年人教版七年级数学上册 -暑假-第1讲 有理数及数轴

第1讲 有理数及数轴 课程目标 1.能识别正数和负数，能用正数和负数表示具有相反意义的量. 2.能把有理数按不同的分类标准分类. 3.能把一个有理数在数轴上表示，能根据数轴上的点读出该点表示的有理数. 课程内容 知识点一 正数和负数 1、在小学中，我们学过像3，1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数，有时在正数前面也加上“+”（正号），例如+3、+1.8%，+3.5. 2、在正数前面加上“-”（负号）的数叫做负数. 易错警示：0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界线.0具有双重意义，既表示“没有”，有时也表示“有”.如：海拔0 m表示海平面的平均高度. 注意：①“+”与“-”不仅仅表示运算符号，它还可以表示一个数的符号，即正数与负数；②正数前面的“+”可以省略，但负数前面的“-”一定不能省略；③非正数包括负数与0，非负数包括正数与0. 应用：如果一个问题中出现相反意义的量，我们可以用正数和负数分别表示它们. 判断相反意. 判断相反意义的量的方法: (1)成对出现：具有相反意义的量是成对出现的，且必须是同类量； (2)单位一致：两个具有相反意义的量在数量上可以不相等，但单位必须一致. 注意：用正数、负数表示相反意义的量时，哪种意义为正没有硬性规定，并不是一成不变的. 题型一 识别正数与负数 例1 在数4.19，-，-1，120%，29，0，-3，-0.97中，非负数有（ ）. A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 练1 下列四个数：-3，0，1，2，其中是负数的是（ ）. A．-3 B．0 C．1 D．2 例2 下列说法中，正确的是（　　）. A．0是最大的负数 B．0是最小的整数 C．0既是正数又是负数 D．0是最小的非负数 练2 下列结论正确的是（ ）. A．不大于0的数一定是负数 B．海拔高度是0米表示没有高度 C．0是正数与负数的分界 D．不是正数的数一定是负数 题型二 用正数与负数表示具有相反意义的量 例3 下列各选项中描述的是具有相反意义的量的是（　　）. A．前进与后退 B．胜3局与负2局 C．气温升高3℃与气温为-3℃ D．盈利3万元与支出2万元 练3 李白出生于公元701年，我们记作+701，那么秦始皇出生于公元前256年，可记作（　　）. A．256年 B．-957年 C．-256年 D．445年 题型三 用正数与负数表示具有相反意义的量的实际应用 例4 如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　）. A．Φ45.02 B．Φ44.9 C．Φ44.98 D．Φ45.01 练4 如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　）. A B C D 知识点二 有理数的分类 1.有理数的定义：整数和分数统称为有理数. 2.常用的有理数的分类方法有两种： （1）按定义分类如下： （2）按符号分类如下： 3.有理数的分类方法可简记为：有理数分类有两种，最后结果都相同，按定义先分整、分数，按符号先分正、负、0. 4.所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合. 注意：①由于有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以它们都包含于分数之内. ②当按同一个标准分类时，同一个数只能属于同一个集合；但按不同的标准分类时，同一个数可能会属于不同的集合.如3既属于整数，也属于正有理数；-0.1既属于负有理数，也属于负分数. 题型一 有理数的概念 例5 在数0，2，-3，-1.2中，属于负整数的是（　　）. A．0 B．2 C．-3 D．-1.2 练5 在-，1，0，8.9，-6这些有理数中，正数有 ，整数有 ，非正数有 ． 题型二 对一组有理数进行分类 例6 将下列各数按要求分别填入相应的集合中：-100.1，5，-5，0，-99，+8，-2.25，0.001，+56，-，-7%，，2017. 正整数集合：｛ …｝； 负整数集合：｛ …｝； 正分数（小数）集合：｛ …｝； 负分数（小数）集合：｛ …｝； 正数集合：｛ …｝； 负数集合：｛ …｝； 非负整数集合：｛ …｝. 练6 把下列各数分类：-3，0.45，，0，9，-1，-1，10，-3.14. （1）正整数：{ …} （2）负整数：{ …} （3）整数：{ …} （4）分数：{ …}． 知识点三 数轴 数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 数轴的三要素 原点、正方向和单位长度 数轴的画法 画数轴的方法可概括为“一画三定”： 一画：画一条水平的直线； 三定： ①定原点，一般情况下，原点画在中间位置； ②定方向：一般规定向右为数轴的正方向，用箭头表示； ③定单位长度：选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为-1，-2，-3，…． 题型 判定某条数轴画的正确与否 例7 下面是四位同学所画的数轴.，其中画图正确的是（ ）. A B C D 练7 下列数轴画正确的是（　　）. A B C D 知识点四 用数轴表示有理数 1.任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，即每个有理数都对应数轴上的一个点，但是数轴上的点并不都表示有理数. 2.数轴上，表示正有理数的点都在原点的右侧，表示负有理数的点都在原点的左侧，原点表示的数是0. 3. 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度. 易错警示：根据数轴上的点读数时，一定要先根据该点与原点的位置关系读出数的符号，然后再读出数的大小. 题型一 写出数轴上的点表示的有理数 例8 指出如图所示的数轴上的点A，B，C，D分别表示的数. 练8如图，在数轴上点M表示的数可能是（　　）. A．1.5 B．-1.5 C．-2.4 D．2.4 题型二 把有理数表示在数轴上 例9 画一条数轴，在数轴上标出表示下列各数的点. -4，-2，1，-，3.5，2，0 练9 画出数轴表示下列各数： （1）0.6，-3，-1.5，2，-6； （2）-150，0，120，380，550，700； （3）-0.035，-0.02，0.008，0.025，0.05. 题型三 数轴上两点间的距离 例10 （1）已知数轴上一点A位于原点左侧，且到原点的距离为4个单位长度，则点A对应的数应是　　　　； （2）已知数轴上一点A到原点的距离为4个单位长度，则点A对应的数应是　　　　； （3）已知数轴上有两点A、B，且A、B之间的距离为3个单位长度，若点A对应的数为2，则点B所对应的数是　　　　； （4）已知数轴上有两点A、B，且A、B之间的距离为4个单位长度，若点A到原点的距离为3个单位长度，则点B所对应的数是　　　　. 练10 如图，数轴上的点A、B分别表示数-2和3，点C在点A、B之间且到点A、B的距离相等，则点C表示的数是　　　　. 题型三 用数轴表示有理数的实际应用 例11 超市、书店、玩具店依次坐落在一条南北走向的大街上，超市在书店南边200米处，文具店位于书店北边500米处．小明从书店出来沿街向北走了500米，接着又向南走了800米，此时小明在书店的什么位置？距书店多远？ 练11 邮递员骑摩托车从邮局出发，先向东骑行2 km到达A村，继续向东骑行3 km到达B 村，然后向西骑行9 km到C村，最后回到邮局． （1）以邮局为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1 km，请你在数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置； （2）C村离A村有多远？ （3）若摩托车每行1 km耗油0.03 L，这趟路共耗油多少升？ 附加题 1.某粮库13日库存粮食为1300吨，下表是该粮库14日至20日进出粮食的记录表（其中运进为正）： 日期 14 15 16 17 18 19 20 进出（吨） +88 －20 －28 +60 －24 +50 －50 请你回答： （1）说明每天记录所表示的意义； （2）哪天运进的粮食最多？哪天运出的粮食最多？ （3）15日该粮库库存粮食多少吨？ （4）18日与20日哪天库存的粮食较多？ 2.已知点A、B、C分别表示有理数-1、-5、2，请你在数轴上标出A、B、C三点，并回答下列问题： （1）若B点向右移动6个单位长度后，B点表示的数是多少？ （2）若C点向左移动6个单位长度后，C点表示的数是多少？ （3）移动A、B、C 三点中的任意两个，能使三个点表示的数相等吗？你能有几种移动方法？ 3.自然数中有许多奇妙而有趣的现象，很多秘密等待我们去探究！比如，对任意一个自然数，先将其各位数字求和，再将其和乘3后加上1，多次重复这种操作运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数R，它们掉入一个数字“陷阱”，永远也别想逃出来，没有一个自然数能逃出它的“魔掌”，试确定最终掉入“陷阱”的这个固定不变的数R. 一课一练 1.如果水库的水位高于正常水位2 m时，记作+2 m，那么低于正常水位3 m时，应记作（ ）. A．+3 m B．－3 m C．+1 m D．－1 m  2.下列各数中，不是负数的是（　　）. A．－2 B．3 C．－ D．－0.10 3．在数轴上，与原点的距离等于2的点表示的数为（ ）. A．2 B．－2 C．2或－2 D．4或－4 4.下列说法： ①－3.56既是负数、分数，也是有理数； ②正整数和负整数统称为整数； ③ 0是非正数； ④－2 018既是负数，也是整数，但不是有理数； ⑤自然数是整数. 其中正确的个数是（　　）. A．1 B．2 C．3 D．4 5.点A为数轴上表示－1的点，将点A沿数轴向右移动3个单位到点B，则点B所表示的数为 . 6.阅读材料，并回答问题： （1）如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B处.将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B时，点N所对应的数为20，当点N移动到点A时，点M所对应的数为5.（单位：cm） 由此可得，木棒长为　　　　 cm. （2）借助上述方法解决问题： 一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，村长爷爷到底是多少岁？ 请你画出示意图，求出村长爷爷和美羊羊现在的年龄，并说明解题思路. 家庭作业 1.下列数中，既是正数，又是分数的是（ ）. A．－3.1 B．10 C．5.8 D．0 2.数轴上原点以及原点右边的点所表示的数是（　　）. A．负数 B．非负数 C．正数 D．非正数 3.下列各组量中，具有相反意义的有（　　）. ①仓库的货物“运出20吨”与“运进30吨”； ②“低3.2米”与“重4.6千克”； ③温度计上的“零上4 ℃”与“零下4 ℃”； ④水库的水位“上升1.6米”与“下降1.8米”. A．3组 B．2组 C． 1组 D．0组 4.数轴上，设表示－3的点为M，表示3的点为N，则点M、N之间表示整数的点共有 （ ）. A．2个 B．3个 C．5个 D．6个 5.下列各数：，2，8.7，0.001，－2000，1.414，－1.732，0.其中为正有理数的是__________；为负有理数的是____________.  6.已知点A、B是数轴上的两点，点A与点B相距2个单位，点B表示的数是-1，则点A表示的数是 ． 7.某箱红富士苹果上标明苹果质量为，则这箱苹果最重为多少？如果某箱苹果重14.95 kg，则这箱苹果是否符合标准？为什么？ 8.一辆货车从超市出发，向东走了3千米到达小彬家，继续走2.5千米到达小颖家，然后向西走了10千米到达小明家，最后回到超市． （1）以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，在数轴上表示出小明家，小彬家，小颖家的位置． （2） 小明家距小彬家多远？ （3） 货车一共行驶了多少千米？ （4） 若货车每千米耗油0.2升，这次共耗油多少升？ 9.一列数：，，，，，，，，，，，，，，，，，，…，试问是第几个数？ 学科网（北京）股份有限公司 $$